2024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（全國甲卷、乙卷通用）文科（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024屆高三下學(xué)期開學(xué)摸底考（全國甲卷、乙卷通用）文科數(shù)學(xué)一、選擇題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由得，則，所以.故選：A．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．3 B． C．7 D．13〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，令，且，則所以，故，故.故選：B.3．若實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．5 B．7 C．9 D．6〖答案〗C〖解析〗作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．設(shè)得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點時，直線的截距最大，此時最大．由，解得，即，代入目標(biāo)函數(shù)得．即目標(biāo)函數(shù)的最大值為故選：C．4．已知角滿足，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗，，，故選：B.5．執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11〖答案〗B〖解析〗運(yùn)行程序，，，判斷否，，，判斷否，，，判斷否，，以此類推，……，，判斷否，，，判斷是，輸出.故選：B6．某人統(tǒng)計了甲、乙兩家零售商店在周一到周五的營業(yè)額（單位：百元）情況，得到了如下的莖葉圖（其中莖表示十位數(shù)，葉表示個位數(shù)），關(guān)于這5天的營業(yè)額情況，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲、乙兩家商店營業(yè)額的極差相同B．甲、乙兩家商店營業(yè)額的中位數(shù)相同C．從營業(yè)額超過3000元的天數(shù)所占比例來看，甲商店較高D．甲商店營業(yè)額的方差小于乙商店營業(yè)額的方差〖答案〗C〖解析〗A選項：甲商店營業(yè)額的極差為10，乙商店營業(yè)額的極差為8，故A錯誤；B選項：甲商店營業(yè)額的中位數(shù)為32，乙商店營業(yè)額的中位數(shù)為30，故B錯誤；C選項：甲商店營業(yè)額超過3000元的天數(shù)為3，乙商店營業(yè)額超過3000元的天數(shù)為2，故從營業(yè)額超過3000元的天數(shù)所占比例來看，甲商店較高，故C正確；D選項：甲商店營業(yè)額的平均值為，乙商店營業(yè)額的平均值為，故甲商店營業(yè)額的方差，乙商店營業(yè)額的方差，則，故甲商店營業(yè)額的方差大于乙商店營業(yè)額的方差，故D錯誤.故選：C.7．已知，，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因為，，又因為，所以，，所以，，即.故選：C.8．已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，，，則（

）A． B． C．0 D．〖答案〗A〖解析〗因為為偶函數(shù)，所以，所以，因為，故，即，所以，故，故函數(shù)的一個周期，故，中，令得，，因為，所以，故.故選：A9．如圖是四棱錐的平面展開圖，四邊形是矩形,，，，，，則在四棱錐中，與平面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗如圖，四棱錐中，由題意得，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又四邊形是矩形，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，故即為與平面所成角，其中，，，所以，又，，由勾股定理得，所以.故選：D.10．若，是函數(shù)的兩個不同的零點，且，，這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則關(guān)于的不等式的解集為（）A．{或} B．{或}C．{或} D．{或}〖答案〗C〖解析〗依題意，由，是函數(shù)的兩個不同的零點，可知，是一元二次方程的兩個不同的根，由根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得，因為，所以，又因為，，這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，所以只有為該等比數(shù)列的等比中項才滿足題意，即，因為，，這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，所以只有不能為該等差數(shù)列的中項，當(dāng)為等差中項時，根據(jù)等差中項的性質(zhì)有，當(dāng)為等差中項時，根據(jù)等差中項的性質(zhì)有，綜合，可得，所以不等式，解得或.故選：C.11．等腰三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O中，，且M為圓O上一點，的最大值為（

）A．2 B．6 C．8 D．10〖答案〗B〖解析〗以圓O的圓心O為原點，射線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，連接，如圖，因為，則，而圓O的方程為，設(shè)點，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，，所以的最大值為6.故選：B.12．已知點在曲線上，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗可看作到直線的距離，可看作到點的距離，如圖所示，聯(lián)立與得，，則，此時，解得，故，故與相切于點，此時取得最小值，最小值為0，當(dāng)不與重合時，過點作⊥于點，則，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)運(yùn)動至?xí)r，，此時取得最大值，最大值為，故的取值范圍是.故選：D.二、填空題13．已知函數(shù)，若直線與曲線相切，則.〖答案〗〖解析〗設(shè)切點為，，由題意可得，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以，所以切點為，則，解得.故〖答案〗為：.14．已知具有公共焦點的橢圓與雙曲線在第一象限的交點為P，若，橢圓與雙曲線的離心率分別記作，則的最小值為．〖答案〗〖解析〗設(shè)橢圓中長半軸長為，雙曲線中實半軸長為，橢圓與雙曲線的焦距為，則，即可得，由P是橢圓與雙曲線在第一象限的交點，可得，兩式相加得：，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故〖答案〗為：15．已知三棱錐的四個頂點均在同一球面上，平面，，，且與平面所成角的正弦值為，則該球的表面積為.〖答案〗〖解析〗如圖根據(jù)題意，平面，所以即為與平面所成角，則，又因為，，所以，則,又，即三角形為直角三角形，取中點，則為三角形外接圓圓心，取中點，則，且，所以，即為三棱錐的外接球球心，其半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.故〖答案〗為：16．在中，角、、的對邊分別為、、，若，且，則當(dāng)邊取得最大值時，的周長為.〖答案〗〖解析〗因為，由正弦定理可得，即，整理可得，因為、，所以，，則，故，由正弦定理可得，整理可得，因為，當(dāng)時，取最大值，且的最大值為，此時，，，所以，，因此，當(dāng)邊取得最大值時，的周長為.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17．某高中組織學(xué)生參加線上新冠肺炎防控知識競答活動，現(xiàn)從參與答題的男生?女生中分別隨機(jī)抽取20名學(xué)生的得分情況（滿分100分），得到如下統(tǒng)計圖：性別成績男生女生合計80分以上80分以下合計202040(1)學(xué)校對得分80分以上的學(xué)生，頒發(fā)“知識達(dá)人”榮譽(yù)稱號.根據(jù)直方圖補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為是否為“知識達(dá)人”與性別有關(guān).(2)從成績在的學(xué)生中，按分層抽樣抽取6人，再從6人中隨機(jī)抽取3人，求恰有1人成績在的概率.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)性別成績男生女生合計80分以上691580分以下141125合計202040.∴沒有90%的把握認(rèn)為是否為“知識達(dá)人”與性別有關(guān).(2)按分層抽樣成績在的抽2人，成績在的抽4人.記成績在的2人為A，B，成績在的4人為C，D，E，F(xiàn)，則從這6人隨機(jī)抽取3人的所有情況為：ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF，共20種情況，其中恰有1人成績在有ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF，12種情況，所以所求概率為.18．已知數(shù)列的前n項和為，且，．(1)求的值；(2)若，求數(shù)列的通項公式．解：(1)因為，所以．兩式相減，得．所以；(2)由(1)知①，可得②，．因為，，所以，又，所以又由①②得．所以，即，n為偶數(shù)，則當(dāng)，且為奇數(shù)時，，又符合上時，綜合得．19．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面分別是中點.(1)判斷直線與平面的位置關(guān)系；(2)若與平面所成角為，求到平面的距離.解：(1)設(shè)是的中點，連接，由于是的中點，所以，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.(2)連接，由于平面，所以直線與平面所成角為，由于平面，所以，由于，所以，所以.由(1)得平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，，，對于三角形，，所以為鈍角，所以，所以，，設(shè)到平面的距離為，由得，所以到平面的距離為.20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)若，判斷的零點個數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，．解：(1)當(dāng)時，，則，易知單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以．(2)由題，，又，所以單調(diào)遞增，因為，所以存在唯一的，使，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增．又，所以在內(nèi)有1個零點．令，則，令，則．所以單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，，即，故在內(nèi)有1個零點．綜上，當(dāng)時，的零點個數(shù)為2．21．設(shè)分別為橢圓:的左、右焦點，是橢圓短軸的一個頂點，已知的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)如圖，是橢圓上不重合的三點，原點是的重心（i）當(dāng)直線垂直于軸時，求點到直線的距離；（ii）求點到直線的距離的最大值.解：(1)由題意得整理得解得所以橢圓得方程為.(2)（i）設(shè),根據(jù)題意有.因為原點是的重心，所以，即，.將，代入解得，所以.所以到直線的距離為.（ii）由（i）知當(dāng)直線斜率不存在時到直線的距離為.當(dāng)斜率存在時，設(shè)所在直線方程為，.由得，且，即.所以.因為原點是的重心，所以所以，所以.將點代入橢圓方程得并整理可得所以點到直線的距離為.綜上所述，當(dāng)與軸垂直時點到直線的距離最大為（二）選考題選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（其中），曲線（為參數(shù)，），曲線（t為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求的極坐標(biāo)方程；(2)若曲線與分別交于兩點，求面積的最大值．解：(1)因為曲線（其中），且，所以的極坐標(biāo)方程為，即.(2)由題意可知：曲線（為參數(shù)，）表示過坐標(biāo)原點，傾斜角為的直線，所以曲線的極坐標(biāo)方程為；曲線（t為參數(shù)，），即，表示