北京市延慶區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市延慶區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，，所以.故選：C.2.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)是，漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，焦距為，由題意可得雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，，所以，又，所以，解得，所以，所以雙曲線離心率.故選：B.3.復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以的虛部為，故選：A.4.已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由橢圓方程可知：，由橢圓定義可知：到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為，故選：D.5.到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大的動(dòng)點(diǎn)且動(dòng)點(diǎn)不在軸的負(fù)半軸的軌跡方程是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到軸的距離大，所以動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到的距離，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是.故選：B.6.正方體的棱長(zhǎng)為，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，故選：B.7.已知圓上一點(diǎn)和圓上一點(diǎn)，則最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知圓的圓心為原點(diǎn)，半徑，由圓，故其圓心為，半徑，兩圓圓心距為，所以?xún)蓤A相交，則，如圖所示.故選：A8.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，取，此時(shí)，故方程表示圓；當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，則，解得或，此時(shí)或是的真子集，所以或可推出；綜上可知，“”是“方程表示橢圓”的必要而不充分條件，故選：B.9.若不論為何值，直線與曲線總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）．A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由直線方程可知直線恒過(guò)定點(diǎn)，要使直線與曲線總有公共點(diǎn)，則點(diǎn)在圓內(nèi)或圓上，所以，解得：．所以，的取值范圍是：.故選：B．10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，是圓上一點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，則的最大值是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以?dāng)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最大值，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在圓上，求的最大值，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，設(shè)點(diǎn)所在的直線為，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離不大于半徑，即，所以，解得，即，所以，所以的最大值是12，故選：B第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)雙曲線的漸近線公式得到故〖答案〗為.13.已知圓，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程_________．〖答案〗〖解析〗由題可知切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，即，，解得，所以切線方程為.故〖答案〗為：.14.已知方程，求的取值范圍_________．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，原式化為，無(wú)解，故，則，由得，設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)知，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故，則的值域?yàn)?，即，則或.故〖答案〗為：15.若曲線上的兩點(diǎn)，滿足，則稱(chēng)這兩點(diǎn)為曲線上的一對(duì)“雙胞點(diǎn)”.下列曲線中：①；②；③；④.存在“雙胞點(diǎn)”的曲線序號(hào)是_________．〖答案〗①④〖解析〗對(duì)于①，如顯然符合“雙胞點(diǎn)”定義；對(duì)于②，易知其圖象為雙曲線的圖象在第一、三象限的部分，顯然該部分圖象單調(diào)遞增，沒(méi)有符合“雙胞點(diǎn)”定義的點(diǎn)；對(duì)于③，易知其圖象為拋物線的圖象在第一象限的部分，顯然該部分圖象單調(diào)遞增，沒(méi)有符合“雙胞點(diǎn)”定義的點(diǎn)；對(duì)于④，如顯然符合“雙胞點(diǎn)”定義；綜上①④有“雙胞點(diǎn)”.故〖答案〗為：①④三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.根據(jù)下列條件，分別求出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦距是，過(guò)點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓；（2）一個(gè)焦點(diǎn)是，一條漸近線方程為的雙曲線；（3）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，而且焦點(diǎn)在軸上的拋物線.解：（1）由題意可設(shè)，可知，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）易知雙曲線的焦點(diǎn)在橫軸上，可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，且是其一條漸近線，即，故，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（3）若焦點(diǎn)在縱軸正半軸，可設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，則有，所以，若焦點(diǎn)在縱軸負(fù)半軸上，可設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，則有，所以，綜上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.17.已知過(guò)點(diǎn)的直線l被圓所截得的弦長(zhǎng)為．（1）寫(xiě)出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓心坐標(biāo)、半徑；（2）求直線l的方程．解：（1）由題意整理圓的方程得，標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓心坐標(biāo)為，半徑為.（2）由（1），又直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故弦心距為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為,則過(guò)的直線，可設(shè)為，即，直線與圓的圓心相距為，，解得，此時(shí)直線的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，也符合題意.故所求直線的方程為或.18.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)棱底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，.（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）若為棱的中點(diǎn)，則棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面.若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)榈酌媸蔷匦危瑐?cè)棱底面，可知三線兩兩垂直，如圖示建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可知，所以,則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，即，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，且，根據(jù)（1）可知，則，若平面，又平面，所以，而，則不成立，所以平面不成立.19.已知拋物線C：y2=4x，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)M（5，0）．（1）若直線l的斜率為1，求△ABM的面積；（2）若△AMB是以M為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求直線l的方程．解：（1）由題意，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，代入拋物線方程得設(shè)，，，，，，點(diǎn)到直線的距離的面積；（2）易知直線時(shí)不符合題意．可設(shè)焦點(diǎn)弦方程為，，，，，代入拋物線方程得，則，，，，，，，，．故的方程為20.已知橢圓：的短半軸長(zhǎng)為1，焦距為．（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓E于不同的兩點(diǎn)，直線分別與直線交于點(diǎn)．求的取值范圍．解：（1）依題意知，解得，所以離心率；（2）由（2）得，橢圓E的方程為，則，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，得，且.，設(shè)，，則，設(shè)，依題意有:，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，且，所以，所以的取值范圍?21.給定正整數(shù)，設(shè)集合．對(duì)于集合中的任意元素和，記．設(shè)，且集合，對(duì)于中任意元素，若則稱(chēng)具有性質(zhì)．（1）判斷集合是否具有性質(zhì)？說(shuō)明理由；（2）判斷是否存在具有性質(zhì)的集合，并加以證明．解：（1）對(duì)于