山東省濱州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濱州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡對(duì)應(yīng)位置“條形碼粘貼處”2.作答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的〖答案〗信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗.〖答案〗不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫(xiě)在答題卡各題目區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的〖答案〗，然后再寫(xiě)上新〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，可得直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，有，又，所以.故選：C.2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗雙曲線的漸近線方程為：雙曲線的漸近線方程為：．故選D．3.在平行六面體中，與的交點(diǎn)為．設(shè)，是下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所?故選：A.4.橢圓的焦距為8，且橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為10，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.或C. D.或〖答案〗B〖解析〗由題意得，焦距為，所以，則，所以，所以當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的方程為；當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的方程為，綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或，故選B．5.“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”，1852年英國(guó)來(lái)華傳教十偉列亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”.“中國(guó)剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問(wèn)題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問(wèn)題：將正整數(shù)中能被3整除余2（如）且被5整除余2的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則（）A.32 B.47 C.62 D.77〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知既是3的倍數(shù)，又是5的倍數(shù)，即是15的倍數(shù)，可得，即；所以.故選：B6.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬.當(dāng)水面上升后，水面寬為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以拱形頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)拋物線方程為，則有，解得，得拋物線方程為，令，則，得，所以，當(dāng)水面上升后，水面寬為m.故選：C，7.若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由函數(shù)，可得，令，可得，因?yàn)椋傻?，則，即平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.8.如圖，長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，設(shè)直線與所成的角為，直線與平面所成的角為，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則,可得，易知，且，所以；易得平面的一個(gè)法向量為，因此可得，又，可得，因此.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線和圓，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.直線恒過(guò)點(diǎn)B.圓與圓有兩條公切線C.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為D.當(dāng)時(shí)，圓上存在無(wú)數(shù)對(duì)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)A，直線，即，恒過(guò)點(diǎn)，所以A正確；對(duì)B，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1，則兩圓心的距離為，半徑和為3，半徑差為1，則，則兩圓相交，則兩圓有兩條公切線，B正確；對(duì)C，圓的圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為2．直線，恒過(guò)點(diǎn)，代入圓方程得，則定點(diǎn)圓內(nèi)，則直線與圓必有兩交點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng)，若要弦長(zhǎng)最短，則最大，而圓心到直線的距離最大值即為圓的圓心到定點(diǎn)的距離為：，所以直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為，所以C不正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，直線方程：，代入圓心坐標(biāo)，得，則該直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以圓上存在無(wú)數(shù)對(duì)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以D正確．故選：ABD．10.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列 B.當(dāng)時(shí)，最大C. D.〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于A，設(shè)的公差為，因?yàn)?，所以，又，所以，故，所以?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，最大，所以B正確；對(duì)于CD，因?yàn)?，，，所以，，所以C正確，D錯(cuò)誤．故選：BC11.如圖，橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，分別為長(zhǎng)軸和短軸的頂點(diǎn)，.則下列選項(xiàng)正確的是（）A.橢圓的離心率為B.成等差數(shù)列C.成等比數(shù)列D.過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則〖答案〗ACD〖解析〗根據(jù)橢圓性質(zhì)可得，可得，由可得，即，可得，即，解得或（舍），即A正確；由可得，即成等比數(shù)列，可得B錯(cuò)誤，C正確；易知為通徑，可得，即D正確.故選：ACD12.直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為B.直線與平面所成的角為定值C.點(diǎn)到平面的距離的最小值為D.的最小值為-2〖答案〗ABD〖解析〗取交點(diǎn)于點(diǎn)，因?yàn)橹彼睦庵乃欣忾L(zhǎng)都為，所以，以所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)豎直向上所直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以，，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，所以，，又因?yàn)?，所以，即，所以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為在平面，以為圓心，半徑為1的半圓弧，所以軌跡長(zhǎng)度為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)槊娴姆ㄏ蛄繛椋?，所以設(shè)直線與平面所成的角為，則有，又因?yàn)?，所以，所以直線與平面所成的角為定值，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則有，又因?yàn)?，所以時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，，，，，所以的幾何意義為點(diǎn)到距離的平方減3，所以的最小值為，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線平行于直線，則這兩條直線的距離等于________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)橹本€平行于直線，所以，得，所以直線化為，由，得，所以兩平行線間的距離為，故〖答案〗為：14.已知數(shù)列中，，則__________.〖答案〗〖解析〗由題意可知：，，，，將上述個(gè)式子相加可得：，則，所以故〖答案〗為：15.斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于兩點(diǎn)點(diǎn)在軸的上方，過(guò)點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則__________.〖答案〗3〖解析〗根據(jù)題意，拋物線的焦點(diǎn)，則直線，設(shè)，聯(lián)立方程組，得，解得，，則，所以.故〖答案〗為：3.16.若，且，都有，則的最大值為_(kāi)_________.〖答案〗1〖解析〗由題意可知，、均為正數(shù)，因?yàn)?，由，所以，，令，，則，由于，可得時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，則，即實(shí)數(shù)的最大值為1.故〖答案〗為：1.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的極值.解：（1）的定義域?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為，所以曲線在處的切線方程為（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為，無(wú)極大值.18.已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在軸上，一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后，與圓相切.（1）求圓的方程；（2）求反射后光線所在直線的方程.解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，即，即，解得，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑，所以圓的方程為.（2）點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)反射光線所在直線的斜率不存在時(shí)，直線與圓不相切，不符合題意，當(dāng)反射光線所在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為：，即，設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線與圓相切，所以,所以，即,解得或,所以反射后光線所在直線的方程為或.19.如圖，已知正方體中，點(diǎn)分別在棱和上，.（1）求平面與平面的夾角的余弦值；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，由已知可得平面的法向量為，易知，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，所以設(shè)平面與平面夾角為，所以.（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，由可得，設(shè)，所以，所以，若平面，可知，所以，即故在線段上存在點(diǎn)使得平面.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以時(shí)，，所以，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）由（1），所以，所以①②①-②得所以.21.已知函數(shù).（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求證為增函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求證.解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，，因，所以，所以為上的增函?shù).（2）方法一：當(dāng)時(shí)，，則有，故只需證恒成立，由（1）知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，又，由零點(diǎn)存在定理，可知在上有唯一實(shí)根，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值.由，得，即，所以，故.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，恒成立.方法二：當(dāng)時(shí)，，則有，故只需證明當(dāng)時(shí)，恒成立，令，，由得，由得，由得，所以時(shí).所以恒成立，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立