2023年中考數(shù)學(xué)考前第10講：折疊翻轉(zhuǎn)性問(wèn)題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第10講：折疊翻轉(zhuǎn)性問(wèn)題

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

有關(guān)圖形折疊的相關(guān)計(jì)算，首先要熟知折疊是一種軸對(duì)稱變換，即位于折痕兩側(cè)的圖形

關(guān)于折痕成軸對(duì)稱；然后根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，即折疊前、后圖形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分進(jìn)行相關(guān)計(jì)算,折疊問(wèn)題常常伴隨著勾股定理，這是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵所在.

圖形的折疊通常和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合在一起進(jìn)行考查，常見(jiàn)的問(wèn)題類型有以下3種：（1）求

線段的取值范圍；（2）求最值問(wèn)題；（3）分類討論線段長(zhǎng)度.其中第（3）種類型在河南中

招考試中為?？碱愋?，解決此類型題，一般運(yùn)用等量代換，并結(jié)合勾股定理或相似三角形的

性質(zhì)來(lái)構(gòu)造方程，進(jìn)而求解線段的長(zhǎng)度.

【例題1］求線段的取值范圍：

如圖，有一矩形紙片ABCD,AB=8,AD=17,將此矩形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在BC邊的

A，處，折痕所在直線同時(shí)經(jīng)過(guò)邊AB、AD（包括端點(diǎn)），設(shè)BA，=x,則X的取值范圍是.

----------------ID

----------------IC

【例題2】求最值問(wèn)題：

如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,

D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于點(diǎn)H,折痕

為EF,連結(jié)BP,BH.

（1）求證：ZAPB=ZBPH.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，APDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論.

（3）設(shè)AP為X,四邊形EFGP的面積為S,求出S關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，試問(wèn)S是否存在最

小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【例題3】分類討論線段長(zhǎng)度.

對(duì)一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作如下:

第一步：先對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN,展開(kāi).

第二步：再一次折疊，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A，處,并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,得到折痕BE,同

時(shí)，得到線段BA，，EA,,展開(kāi)，如圖①.

第三步：再沿EA，所在的直線折疊,使點(diǎn)B落在AD卜一的點(diǎn)處，得到折痕EF,同時(shí)得到

線段B，F(xiàn),展開(kāi)，如圖②.

(1)求證：ZABE=30o.

(2)求證：四邊形BFB，E為菱形.

EEB

圖①圖②

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【例題4】涉及折疊的函數(shù)與幾何圖形綜合問(wèn)題:

已知拋物線y=χ2-2x+a(a<0)與y軸相交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為M.直線y=；x—a分別與X軸，y

軸相交于B,C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N.

(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則點(diǎn)M(l，a—1),N(Ul

(2)如圖，將ANAC沿y軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N，恰好落在拋物線上，AW與X軸交于點(diǎn)

D,連結(jié)CD,求a的值和四邊形ADCN的面積.

(3)在拋物線y=χ2-2x+a(a<0)上是否存在一點(diǎn)P,使得以P,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由.

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一、選擇題：

1.如圖，D是等邊aABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD=I,BD=2,現(xiàn)將AABC折疊，使點(diǎn)C

與D重合，折痕EF,點(diǎn)E、F分別在AC和Be上，若BF=I.2,則AE=（）

2.如圖，將邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD紙片折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線的交點(diǎn)O處若折痕

EF=2√3,則NA=()

3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9,將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕

為GH,若BE：EC=2:1,則線段CH的長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.5D.6

4.如圖，在菱形紙片ABCD中，NA=60。，將紙片折疊，點(diǎn)A,D分別落在點(diǎn)AlD處,

且ATr經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,EF為折痕，當(dāng)DTLCD時(shí)，"的值為（）

c2√3-lp√3+l

A±B且

26.6.8

二、填空題：

5.（2017周口商水縣一模）如圖,在RtZkABC中,ZACB=90o,AB=10,AC=8,E、F分別為

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AB、AC上的點(diǎn)，沿直線EF將NB折疊，使點(diǎn)B恰好落在BC上的D處，當(dāng)aADE恰好為直

6.在三角形紙片ABC中，ZA=90o,ZC=30o,AC=30cm,將該紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折

疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處，折痕記為BD（如圖4—1—3①），剪去ACDE后得

到雙層ABDE（如圖②），再沿著過(guò)ABDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi)，使得展開(kāi)后的平

面圖形中有一個(gè)是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為cm.

7.（2017安陽(yáng)、林州二模）已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，

點(diǎn)A（11,0）,點(diǎn)B（0,6）,點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)0、

P折疊該紙片，得點(diǎn)夕和折痕OP（如圖①）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB，

8.如圖①,在aABC中,沿NBAC的平分線ABl折疊,剪掉重疊部分;將余下部分沿∕B∣A∣C

的平分線A∣B2折疊，剪掉重疊部分；…：將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBnU折疊，點(diǎn)

Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱AABC是好三角形，

小麗發(fā)現(xiàn)好三角形折疊的次數(shù)不同，/B與NC的數(shù)量關(guān)系就不同.并作出展示:

第一種好三角形：如圖②，沿AD折疊1次，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；

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第二種好三角形：如圖③，沿著AB∣,A∣B2經(jīng)過(guò)2次折疊.

(1)小麗展示的第一種好三角形中，ZB與NC的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如果有一個(gè)好三角形ABC要經(jīng)過(guò)5次折疊，最后一次恰好重合.則NB與NC的數(shù)量關(guān)

系是_—.

9.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=IO.點(diǎn)E在CD上，將^BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落

在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將aABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處.

有下列結(jié)論：①∕EBG=45°:②^DEFS^ABG;③SAABG='SΔFGH;④AG+DF=FG.其中正確的

是(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)

三、解答題：

10.如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，F(xiàn)C交AD于E.

(1)求證：?AFE^?CDE;

(2)若AB=4,BC=8,求圖中陰影部分的面積.

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IL如圖，將矩形紙片ABCD(AD>AB)折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與

邊BC,AD相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H,折痕分別與邊BC,AD相

交于點(diǎn)E,F.

(1)判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)若AB=3,BC=9,求線段CE的取值范圍.

12.已知：如圖4一1一8,現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上

的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,點(diǎn)D重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG

交DC于H,折痕為EF,連結(jié)BP,BH.

(1)求證：NAPB=NBPH：

(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，^PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論.

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13.課程學(xué)習(xí)：正方形折紙中的數(shù)學(xué).

動(dòng)手操作：如圖①，四邊形ABCD是一張正方形紙片，先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與

AD重合，折痕為EF,把這個(gè)正方形展平，然后沿直線CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上，對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為B,.

數(shù)學(xué)思考：

(1)求/CBF的度數(shù).

(2)如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上，連結(jié)AB，，試判斷/BAE與/GCB，的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解決問(wèn)題：

(3)如圖③，按以下步驟進(jìn)行操作：

第一步：先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為EF,把這個(gè)正方形展平，然

后繼續(xù)對(duì)折，使AB與DC重合，折痕為MN,再把這個(gè)正方形展平，設(shè)EF和MN交于點(diǎn)

0；

第二步：沿直線CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，，再沿直線AH折疊，使點(diǎn)D落

在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，；

第三步：設(shè)CG,AH分別與MN交于點(diǎn)P,Q,連結(jié)BRPD,DQ,QB',試判斷四邊形

B-PD-Q的形狀，并證明你的結(jié)論.

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第10講：折疊翻轉(zhuǎn)性問(wèn)題答案解

析

【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥，疑難突破；

有關(guān)圖形折疊的相關(guān)計(jì)算，首先要熟知折疊是一種軸對(duì)稱變換，即位于折痕兩側(cè)的圖形

關(guān)于折痕成軸對(duì)稱；然后根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)，即折疊前、后圖形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等，

對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被折痕垂直平分進(jìn)行相關(guān)計(jì)算,折疊問(wèn)題常常伴隨著勾股定理，這是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵所在.

圖形的折疊通常和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題結(jié)合在一起進(jìn)行考查，常見(jiàn)的問(wèn)題類型有以下3種：（1）求

線段的取值范圍；（2）求最值問(wèn)題；（3）分類討論線段長(zhǎng)度.其中第（3）種類型在河南中

招考試中為?？碱愋?，解決此類型題，一般運(yùn)用等量代換，并結(jié)合勾股定理或相似三角形的

性質(zhì)來(lái)構(gòu)造方程，進(jìn)而求解線段的長(zhǎng)度.

【例題11求線段的取值范圍：

如圖，有一矩形紙片ABCD,AB=8,AD=I7,將此矩形紙片折疊，使頂點(diǎn)A落在BC邊的

A，處，折痕所在直線同時(shí)經(jīng)過(guò)邊AB、AD（包括端點(diǎn)），設(shè)BA，=x,則X的取值范圍是—.

-----------ID

-----------IC

分析：作出圖形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BC=AD,CD=AB,當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，，根據(jù)

翻折的性質(zhì)可得AD=AD,利用勾股定理列式求出AC,再求出BAl當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BA，=AB,此兩種情況為BA，的最小值與最大值的情況，然后寫出X的

取值范圍即可.

解：如圖，?四邊形ABCD是矩形，AB=8,AD=I7,...BC=AD=I7,CD=AB=8,

①當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，由翻折的性質(zhì)得，A,D=AD=17,

在RtCD中，A,C=?∕A'D2-CD:=√172-82=15,

ΛBA,=BC-A,C=17-15=2；

②當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，由翻折的性質(zhì)得，BA-=AB=8,

???x的取值范圍是2WxW8.故答案為：2<x<8.

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歸納：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于判斷出BA，的最小值與最大

值時(shí)的情況，作出圖形更形象直觀.

【例題2】求最值問(wèn)題：

如圖，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,

D重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于點(diǎn)H,折痕

為EF,連結(jié)BP,BH.

(1)求證：ZAPB=ZBPH.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，APDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論.

(3)設(shè)AP為X,四邊形EFGP的面積為S,求出S關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式，試問(wèn)S是否存在最

小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)由折的疊性質(zhì)，得PE=BE,ZEPH≈ZEBC=90o,，/EBP=NEPB,

ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP,即ZPBC=ZBPH.

XVAD/7BC,ΛZAPB=ZPBC.

ΛZAPB=ZBPH.

(2)Z?PHD的周長(zhǎng)不變，為定值8.證明如下：

如解圖①，過(guò)點(diǎn)B作BQJ_PH,垂足為Q

由(1)知NAPB=NBPH,

又?.?NA=NBQP=90°,BP=BP,

ΛΔABP^?QBP.ΛAP=QP,AB=BQ.

XVAB=BC,ΛBC=BQ.

又?.?∕C=NBQH=90°,BH=BH,

ΔBCH^ΔBQH..?.CH=QH.

.?.△PDH的周長(zhǎng)=PD+PH+DH=PD+PQ+QH+DH=PD+HC+AP+DH=AD+CD=8.

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(3)如解圖②，過(guò)點(diǎn)F作FM_LAB,垂足為M,則FM=BC=AB.

又YEF為折痕，??.EFLBP.

ΛZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90o,

NEFM=NABP.

又：/A=/EMF=90°.,Λ?EFM^?PBA.

二EM=AP=x-

在RtZ?APE中，AE2+AP2=PE2,即(4-BE/+χ2=BE2,

解得BE=2H—.

8

χ2

.?.CF=BE-EM=2+*-χ.

8

又：四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，

即S=?x2-2x+8.

2

配方得，S=^(χ-2)2+6,

.?.當(dāng)x=2時(shí),S有最小值6.

【例題3】分類討論線段長(zhǎng)度.

對(duì)一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊，具體操作如下：

第一步：先對(duì)折，使AD與BC重合，得到折痕MN,展開(kāi).

第二步：再一次折疊，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A，處，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,得到折痕BE,同

時(shí)，得到線段BA'EA,,展開(kāi)，如圖①.

第三步：再沿EA，所在的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B，處，得到折痕EF,同時(shí)得到

線段BE展開(kāi),如圖②.

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(1)求證：ZABE=30o.

(2)求證：四邊形BFB，E為菱形.

"E-EB'd

圖①圖②

解：(1)；對(duì)折后AD與BC重合，折痕是MN,

，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

.?.A，是EF的中點(diǎn).

?.?∕BA'E=NA=90°,

BA，垂直平分EF,

ΛBE=BF,

.,.ZA,BE=ZA,BF.

由折疊的性質(zhì)，得/ABE=NABE,

NABE=NABE=ZA,BF,

.?.NABE=1χ90°=30°.

3

(2)由折疊的性質(zhì)，得BE=BE,BF=BF

VBE=BF,

.?.BE=B'E=B'F=BF,故四邊形

【例題4】涉及折疊的函數(shù)與幾何圖形綜合問(wèn)題：

已知拋物線y=χ2-2x+a(a<0)與y軸相交于點(diǎn)A,頂點(diǎn)為M.直線y=3-a分別與X軸，y

軸相交于B,C兩點(diǎn)，并且與直線AM相交于點(diǎn)N.

(1)填空：試用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)M與N的坐標(biāo)，則點(diǎn)M(l，a-1),N甚4)

(2)如圖，將ANAC沿y軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N，恰好落在拋物線上，AN，與X軸交于點(diǎn)

D,連結(jié)CD,求a的值和四邊形ADCN的面積.

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(3)在拋物線y=χ2-2x+a(a<0)上是否存在一點(diǎn)P,使得以P,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形是

平行四邊形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由.

解：⑴點(diǎn)M(l，a-l),Nb'3a).

(2)由題意得：點(diǎn)N與點(diǎn)N，關(guān)于y軸對(duì)稱，

f-4-O

.?.點(diǎn)N(33J.

將點(diǎn)N，的坐標(biāo)代入y=χ2-2x+a得-%=$2+++a,解得a∣=0(不合題意，.舍去)，a2=

_9

4,

???點(diǎn)NS'力，.?.點(diǎn)N到y(tǒng)軸的距離為3.

..點(diǎn)J。，-3,N(39.

...直線AN的表達(dá)式為y=x—2,它與X軸的交點(diǎn)為DbJ,

4

.?.點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為2

4

?*?S四邊的ADCN=SΔACN÷SΔACD

=lχ9χ3+k29=這

2222416,

(3)當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，若ACPN是平行四邊形，則PN平行且等于AC,

.?.把點(diǎn)N向上平移一2a個(gè)單位得到點(diǎn)P,坐標(biāo)為til'一31),代入拋物線的表達(dá)式，

?a=-a2--a+a,

393

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解得a∣=0（不合題意，舍去），a2=

點(diǎn)IH9

當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，若APCN是平行四邊形，則AC與PN互相平分,

ΛOA=OC,OP=ON.

???P與N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，.?.點(diǎn)』—黑，3a）,

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，得3=?^a2+%+a,解得a∣=0（不合題意，舍去），a?

__15

-t

8

???存在這樣的點(diǎn)PIW3或PS-3,能使得以P,A,C,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形.

一、選擇題：

1.如圖，D是等邊AABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD=I,BD=2,現(xiàn)將AABC折疊，使點(diǎn)C

與D重合，折痕EF,點(diǎn)E、F分別在AC和BC上，若BF=L2,則AE=（）

【解析】：?.?Z?ABC為等邊三角形,

ΛAC=AB=3,ZA=ZB=ZC=60o.

由翻折的性質(zhì)可知：ZEDF=60o.

NFDB+NEDA=120°.

VZEDA+ZAED=120o,

ΛZAED=ZFDB.

Λ?AED^?BDF.

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??.更=絲即AE2

ADFB7二石

解得：AE=

3

54

CE=3-AE=3--=—.

33

故選：B.

2.如圖，將邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD紙片折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線的交點(diǎn)。處若折痕

EF=2√3,則NA=()

:A沿EF折疊與O重合，.?.EF±AC,EF平分AO,

VAC±BD,ΛEF/7BD,ΛE,F分別為AB,AD的中點(diǎn)，

ΛEF為aABD的中位線，.?.EF=^BD,

2

ΛBD=2EF=4S,ΛB0=2√3,ΛAO=√AB2-BO2=2,

.?.A0=IAB,ΛZABO=30o,ΛZBAO=60°,

2

ΛZBAD=120°.

3.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9,將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕

為GH,若BE：EC=2：1,則線段CH的長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、圖形的折疊、勾股定理，解題的關(guān)鍵是設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù),

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使能在Rt?ECH中利用勾股定理列方程，進(jìn)而求解.

【解答】解：設(shè)CH=x,：BE：EC=2：1,BC=9,ΛEC=3,由折疊知性質(zhì)知，EH=DH=9

-X,在RtaECH中，由勾股定理，得＜9-χf=3'+「，解得x=4,故選B.

4.如圖，在菱形紙片ABCD中，ZA=60°,將紙片折疊，點(diǎn)A,D分別落在點(diǎn)D處,

且AD，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,EF為折痕，當(dāng)D，F(xiàn)_LCD時(shí)，"的值為（)

FD

3+1

A*Bw,8

【解析】：如解圖，延長(zhǎng)DC與ATr交于點(diǎn)M.

二在菱形紙片ABCD中,NA=60。,

???NDCB=NA=60°,AB√CD,

???ND=180。-NA=I20。.

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得NATrF=ND=I20。,

??.ZFD,M=180o-ZAfDT=60°.

VDT±CD,

ΛZDTM=90o,NM=90。-NFD'M=300.

'/ZBCM=180o-ZBCD=120。，

ΛZCBM=I80°-ZBCM-NM=30。，

ΛZCBM=ZM,ΛBC=CM.

設(shè)CF=x,D'F=DF=y,

則BC=CM=CD=CF+DF=x+y,

ΛFM=CM+CF=2x+y.

在RtZSDTM中，tanM=tan300="=-=匯，?'.x=也二?p,

FM2x+y32

.CF=X=√5T

,*FD^y^2

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DC

二、填空題:

5.（2017周口商水縣一模）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90o,AB=10,AC=8,E、F分別為

AB、AC上的點(diǎn)，沿直線EF將NB折疊，使點(diǎn)B恰好落在BC上的D處，當(dāng)AADE恰好為直

分析先在RtZ?ABC中利用勾股定理求出AC=6cm,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BE=DE,直線

EF將/B折疊，使點(diǎn)B恰好落在BC上的D處，AADE恰好為直角三角形，有兩種可能:

①/ADE=90。，②NAED=90。，設(shè)BE=X,運(yùn)用三角形相似列比例式解方程即可得解.

".*ZC=90o,AC=8cm,AB=IOcm,

ΛBC=6cm.直線EF將NB折疊，使點(diǎn)B恰好落在BC上的D處，當(dāng)AADE恰好為直角三

角形時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)：BE=DE,設(shè)BE=x,則DE=x,AE=IO-X

①當(dāng)NADE=90。時(shí)，則DE〃BC,

.DEAE

.?------=-------

CBAB

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.x10-x

6IO

解得：χ=—

②當(dāng)NAED=90。時(shí)，

則aAEDs∕?ACB

.DEAE

??

CBAC

...一X=-1-0---x

68

解得：X=—

7

故所求BE的長(zhǎng)度為:”或出

47

故答案為：經(jīng)或犯.

47

6.在三角形紙片ABC中，ZA=90o,ZC=30o,AC=30cm,將該紙片沿過(guò)點(diǎn)B的直線折

疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的一點(diǎn)E處，折痕記為BD（如圖4—1—3①），剪去ACDE后得

到雙層ABDE（如圖②），再沿著過(guò)aBDE某頂點(diǎn)的直線將雙層三角形剪開(kāi)，使得展開(kāi)后的平

面圖形中有一個(gè)是平行四邊形，則所得平行四邊形的周長(zhǎng)為cm.

【解析】VZA=90o,NC=30°,AC=30,,AB=IO√3,ZABC=60o,V?ADB^?EDB,

/ABD=NEBD=INABC=30°,BE=AB=Io√LΛDE=10,BD=20,如答圖①，

2

平行四邊形的邊是DF,BF,且DF=BF=迎，.?.平行四邊形的周長(zhǎng)=處但，如答圖②,

33

平行四邊形的邊是DE,EG,且DE=EG=I0,???平行四邊形的周長(zhǎng)=40.綜上所述，平行

四邊形的周長(zhǎng)為40或辿旦

3

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W

X”一n

H

1

7.（2017安陽(yáng)、林州二模）已知一個(gè)矩形紙片。ACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,

點(diǎn)A（11,0）,點(diǎn)B（0,6）,點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)0、

P折疊該紙片，得點(diǎn)夕和折痕OP（如圖①）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB，

當(dāng)點(diǎn)U恰好落在OA上時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

【解析】I把a(bǔ)OPB沿OP折疊,

二BP=PB',OB=OB'=6,NA=NOB'P=90°,

Y把a(bǔ)CPQ沿PQ折疊，使點(diǎn)D落在直線OA上的點(diǎn)C處,

ΛCP=C,P,CQ=C,Q,NPC'Q=NC=90°,

設(shè)BP=B'P=x,貝IJPC=PC=ILx,

?/BC〃AC,

ΛZl=ZEPOA,

VZ1=Z2,

∕2=∕C'0P,

Λ0C,=PC,=ll-x,

ΛB,C,=ll-2×,

在RtZ?OB'C'中,

VOC,2=OB,2+B,C,2,

/.62+(ll-2×)2=(ll-×)2,

解得X=但I(xiàn),??.AE二H1姮或n?巫

333

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8.如圖①,在aABC中,沿NBAC的平分線AB1折疊,剪掉重疊部分;將余下部分沿NBIAIC

的平分線A∣B2折疊，剪掉重疊部分：…；將余下部分沿NBnAne的平分線AnBN折疊，點(diǎn)

Bn與點(diǎn)C重合，無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱aABC是好三角形，

小麗發(fā)現(xiàn)好三角形折疊的次數(shù)不同，/B與NC的數(shù)量關(guān)系就不同.并作出展示：

第一種好三角形：如圖②，沿AD折疊1次，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；

第二種好三角形：如圖③，沿著AB∣,AR?經(jīng)過(guò)2次折疊.

(1)小麗展示的第一種好三角形中，ZB與NC的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如果有一個(gè)好三角形ABC要經(jīng)過(guò)5次折疊，最后一次恰好重合.則NB與NC的數(shù)量關(guān)

系是_____.

【解析】(1)∕B=∕C.如圖②，沿AD折疊1次，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，則AB=AC.故NB=

ZC；

(2)如答圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，ZB=ZAA∣B∣,ZC=ZA2B2C,ZAIBiC=ZA1A2B2,

根據(jù)三角形的外角定理知，ZA1A2B2=ZC+ZA2B2C=2ZC:根據(jù)四邊形的外角定理知，

ZBAC+ZB+ZAA∣Bι-ZA1BiC-ZBAC+2ZB-2ZC=180°,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定

理知，ZBAC+ZB+ZC=180o,ΛZB=3ZC;

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4

?l∣

由小麗展示的第一種好三角形知，當(dāng)/B=NC時(shí)，/BAC是AABC的好角；由小麗展示

的第二種好三角形知，當(dāng)NB=2NC時(shí)，NBAC是aABC的好角；如答圖，當(dāng)NB=3NC

時(shí)，NBAC是aABC的好角；故可推得若經(jīng)過(guò)n次折疊NBAC是AABC的好角，則NB

與NC（不妨設(shè)NB>NC）之間的數(shù)量關(guān)系為∕B=nNC:所以一個(gè)好三角形ABC要經(jīng)過(guò)5

次折疊，最后一次恰好重合.則NB與NC的數(shù)量關(guān)系是∕B=5NC.

9.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=Io.點(diǎn)E在CD上，將^BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落

在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，^?ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處.

有下列結(jié)論：①∕EBG=45°;②^DEFS∕?ABG;③SAABG=；SZSFGH;④AG+DF=FG.其中正確的

是（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上）

【分析】由折疊得到相等的角和相等的線段，結(jié)合矩形的性質(zhì)可求NEBG的度數(shù)；在Rt?DEF

和Rt?FGH中根據(jù)勾股定理建立方程分別求出DE,GH,FG的長(zhǎng)，根據(jù)相似三角形的判定方法

對(duì)②進(jìn)行判斷，根據(jù)三角形面積公式對(duì)③進(jìn)行判斷.④可以根據(jù)各線段的長(zhǎng)度直接進(jìn)行判斷.

【解答】解:由折疊知NABG=NFBG,NFBE=NCBE,.?.BEBG=JNABC=45°,①正確;又

2

BC=BF=IO,由勾股定理求得AF=?IO-6=8,DF=2,設(shè)CE=EF=X,由勾股定理得

10V

x2=22÷（6-x）2,x=,DE=漢AB=BH=6,HF=4,設(shè)AG=GH=Y,由勾股定理

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8

l

y2+42=(8-y)2,y=3,GF=5,：=，=3^,.?Z?DEF與AABG不相似，②錯(cuò)誤；

/G3-23

SAABG=IX3κ6=9,SAFGH=1X3：?4=6,故③正確；AG+DF=3+2=5=FG,④正確，故答案

為①③④.

三、解答題：

10.如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，F(xiàn)C交AD于E.

(1)求證：?AFE^?CDE;

(2)若AB=4,BC=8,求圖中陰影部分的面積.

解：(1)證明：：四邊形ABCD是矩形，

AB=CD,NB=/D=90。，

；將矩形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，

.,.ZF=ZB,AB=AF,ΛAF=CD,ZF=ZD,

在aAFE與ACDE中，

NF=ND,

ZAEF=ZCED,?'.?AFE^?CDE;

AF=CD,

⑵：AB=4,BC=8,.?.CF=AD=8,AF=CD=AB=4,

V?AFE^ΔCDE,ΛAE=CE,FE=DE,

.?.DE2+CD2=CE2,即DE?+42=(8-DE)2,

.?.DE=3,.?.EF=3,

-

?*?S∣BS∣?-SΔACESΔAEF~~×4×8-^×4×3=10.

11.如圖，將矩形紙片ABCD(AD>AB)折疊，使點(diǎn)C剛好落在線段AD上，且折痕分別與

邊BC,AD相交，設(shè)折疊后點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H,折痕分別與邊BC,AD相

交于點(diǎn)E,F.

(1)判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結(jié)論；

第22頁(yè)共27頁(yè)

(2)若AB=3,BC=9,求線段CE的取值范圍.

解：(1)四邊形CEGF為菱形.

證明：：四邊形ABCD是矩形，，AD〃BC,

.?.NGFE=NFEC,

???圖形翻折后點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，EF為折痕，

ΛZGEF=ZFEC,ΛZGFE=ZFEG,ΛGF=GE,

,/圖形翻折后EC與GE完全重合，

.?.GE=EC,.?.GF=EC,四邊形CEGF為菱形；

(2)如答圖①，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，CE取最小值，

由折疊的性質(zhì)，得CD=DG,ZCDE=ZGDE=450,

VZECD=90o,ΛZDEC=450=ZCDE,

ACE=CD=DG,

；DG〃CE,四邊形CEGD是正方形,

ΛCE=CD=AB=3;

如答圖②，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A重合時(shí)，CE取最大值,

由折疊的性質(zhì)，得AE=CE,；NB=90。，

ΛAE2=AB2+BE2,即CE2=32+(9-CE)2,ΛCE=5,

.?.線段CE的取值范圍是3<CE<5.

12.已知：如圖4一1一8,現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為正方形AD邊上

的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,點(diǎn)D重合)，將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG

交DC于H,折痕為EF,連結(jié)BP,BH.

(1)求證：ZAPB=ZBPH;

第23頁(yè)共27頁(yè)

(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，^PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論.

解：(1)證明：VPE=BE,ΛZEBP=ZEPB.

又：NEPH=ZEBC=90°,

二ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP,

即NPBC=NBPH,又：AD〃BC,

NAPB=NPBC,ΛZAPB=ZBPH;

(2)?PHD的周.長(zhǎng)不變?yōu)槎ㄖ?.

證明：如答圖，過(guò)B作BQJ_PH,垂足為Q.

由(1)知NAPB=/BPH,

ZAPB=ZPBH,

在AABP和AQBP中，?NA=NBQP,

BP=BP,

Λ?ABP^?Q