2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)檢測(cè)8-2空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系

8.2空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

一、選擇題

1.（2021河南名校聯(lián)考,4）已知m,n為兩條不同的直線，α,B為兩個(gè)不同的平面,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.若a〃B,m〃a,則m〃B

B.若mCɑ,nCa,m//β,n〃B,則a〃B

C.若m±n,m±a,n〃B,則aJ_B

D.若m_Lɑ,m〃n,a〃6,則n?β

答案D對(duì)于選項(xiàng)人,若&〃B,m〃a,則m〃?；騧UB,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,若InUa,11匚（1,111〃6,11〃8,則＜1〃8或（1與8相交,只有加上條件m與n相交,

才有結(jié)論a〃B,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,若m±n,m_La,n〃B,則a〃B或a與B相交,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,若m±ɑ,m∕∕n,則n_La,又a〃B,則n_LB,所以選項(xiàng)D正確.故選D.

2.（2022屆昆明摸底,5）設(shè)a,b為兩條不同的直線，a,B為兩個(gè)不同的平面,則下列命題正確

的是（）

A.若2〃&,1）〃￡1,則@〃6

B.若@〃。，|0_1（1,貝1」2_16

C.若2〃（1,@〃6,則（1〃B

D.若a_Lɑ,b_Lβ,a?b,則α〃B

答案B在A中,若a〃a,b〃a,則a與b相交、平行或異面,故A錯(cuò)誤;在B中,若

a//a,b_La,則a±b,故B正確;在C中，若a〃a,a〃B,則a與B相交或平行,故C錯(cuò)誤；

在D中，若a,a,b,B,a±b,則由面面垂直的判定定理得α，B,故D錯(cuò)誤.故選B.

3.（2022屆河南中原名校聯(lián)盟11月聯(lián)考,7）已知平面α,B,Y兩兩垂直,直線a,b,c滿足

aCα,b?β,cCγ,則直線a,b,c不可能滿足的關(guān)系是（）

A.兩兩垂直B.兩兩平行

C.兩兩相交D.兩兩異面

答案B設(shè)αCB=I,且1與a,b均不重合,假設(shè)a〃b〃c,由a〃b可得a〃B,b〃α,又

ɑ∩B=I,可知@〃1,1）〃1,又@〃1）〃5可得（:〃1,因?yàn)?,β,Y兩兩垂直,所以1與Y相交，

故1與C相交或異面;若1與a或b重合,同理可得1與C相交或異面,可知假設(shè)不成立，故三

條直線不可能兩兩平行，故選B.

4.（2022屆西安三校9月聯(lián)考,7）己知直線IC平面α,直線mU平面α,給出下面四個(gè)結(jié)

論:①若1與m不垂直,則1與a一定不垂直;②若1與m所成的角為30°,則1與a所成的

角也為30°;③l〃m是1〃a的必要不充分條件;④若1與a相交,則1與m一定是異面直線.

其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

答案A對(duì)于①,當(dāng)1與m不垂直時(shí),假設(shè)ILa,則一定能得到l，m,這與已知條件矛盾，

因此1與ɑ一定不垂直，故①正確;對(duì)于②，易知1與m所成的角為30°時(shí)，1與a所成的角不

一定為30°,故②不正確;對(duì)于③，l〃m可以推出1〃a,但1〃a不能推出l〃m,因此l〃m

是1〃a的充分不必要條件,故③不正確;對(duì)于④,若1與a相交,則1與m相交或異面,故④

不正確.故選A.

5.（2022屆合肥8月聯(lián)考,9）已知直三棱柱ABC-AIBG中,點(diǎn)M,N分別是線段BB,,A1C1的中點(diǎn),

若直線B1C1∩平面AMN=Q1則縹=（）

Λ?B.2C;D.3

23

答案A延長(zhǎng)AN,CG交于點(diǎn)P,連接PM交Bc于點(diǎn)Q,則縹=警筆,故選A.

6.（2022屆長(zhǎng)春調(diào)研,7）在長(zhǎng)方體ABCD-ABC。中，AB=Z,AD=1,AA,=√2,則異面直線ADI與A,3

所成角的余弦值為（）

?-fB』CTD4

答案D如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中,連接AC,CD”因?yàn)锳C〃AC,所以ZDlAC為異面直

線ADl與Ae所成的角（或其補(bǔ)角），由長(zhǎng)方體的性質(zhì)及已知可得,AD∣=g,ΛC=√6,D,C=√7,所以

在4ACD∣中，由余弦定理的推論可得,cos/RAC/：空汽叱?整薩）4即異面直線

ADl與Ac所成角的余弦值為故選D.

O

2

7.（2022屆湖南永州一中月考）已知α,β,Y是三個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線，下

列命題為真命題的是（）

A.若則α

B.若m//ɑ,n//a,則m∕∕n

C.若m?ɑ,n±a,貝IJm∕∕n

D.若a，γ,B，γ,則a〃B

答案C對(duì)于A,若則a與B平行或相交,故A中命題是假命題.對(duì)于B,若

m〃a,n〃a,則m與n平行或異面或相交,故B中命題是假命題.對(duì)于C,若m_La,n_La,則

m〃n,垂直于同一平面的兩條直線平行,故C中命題為真命題.對(duì)于D,若a，γ,6_LY,則a

與β平行或相交,故I）中命題是假命題.故選C.

8.（2022屆遼寧師大附中期中,5）如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為底面邊長(zhǎng)的2

倍,M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AB1和BM所成的角的余弦值為（）

a--B?下CF—

答案C取BBl的中點(diǎn)N,AB的中點(diǎn)K,連接NC”NK,CK,GK,可得四邊形BNCM為平行四邊形，

則CN〃BM,由K為AB的中點(diǎn),N為BBl的中點(diǎn),可得NK〃AB”則NKNG（或其補(bǔ)角）為異面直線

ABl和BM所成的角.

設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1,側(cè)棱長(zhǎng)為2,則NC,=BM=√FH=√2,NK=IAB廠與-苧,在RtACKC1

中,可得GK=JG?2+CCf=J∣+4=^,

-+2-orr∩

11

在4KNG中，cosZKNC1=--由異面直線所成角的范圍可得異面直線ABl和BM所成

2×^×√220

的角的余弦值為嚼,故選C.

9.（2022屆重慶一中9月檢測(cè),6）在正方體ABCD-A耳CD中,E為棱Ca的中點(diǎn)，則異面直線AE

與CD所成角的正切值為（）

AWB.塔C.?DW

2222

答案C以D為原點(diǎn),DA所在直線為X軸,DC所在直線為y軸,DD所在直線為Z軸,建立空

間直角坐標(biāo)系,則D（0,0,0）.設(shè)正方體ABCD-AECD的棱長(zhǎng)為2,則

A（2,0,0）,E（0,2,1）,C（0,2,0）,則正（-2,2,1）,CD=（0,-2,0）,設(shè)異面直線AE與CD所成角為

3

?

0，貝UCoSθ???????sin?=JHD4??tanθ喙..?異面直線AE與CD所成

角的正切值為苧.故選C.

10.（2022屆全國(guó)新高考月考一,5）如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，下列命題正確的是（）

A.AB與CF成45°角B.BD與EF成45°角

CAB與EF成60。角D.AB與CD成60。角

答案D由題意,將正方體的平面展開(kāi)圖還原為正方體,如圖，因?yàn)镃F_L平面ACBG,ABU平

面ACBG,所以ΛB±CF,故AB與CF成90°角，故A中命題錯(cuò)誤.因?yàn)锽D√CF,CF±EF,所以

BD±EF,故BD與EF成90°角，故B中命題錯(cuò)誤.因?yàn)镋F/∕CG,AB與CG成90°角，所以AB與

EF成90。角，故C中命題錯(cuò)誤.因?yàn)镃D〃AE,所以NEAB（或其補(bǔ)角）為異面直線AB與CD所成

的角，在三角形AEB中，AE=EB=AB,所以∕EAB=60°,所以AB與CD成60°角，故D中命題正確.

故選D.

11.（2022屆成都名校聯(lián)盟聯(lián)考（-）,6）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CCl的中點(diǎn),則

過(guò)三點(diǎn)A,D,,E的截面過(guò)（）

4

A.AB的中點(diǎn)B.BC的中點(diǎn)

C.CD的中點(diǎn)D.BB∣的中點(diǎn)

答案B如圖，取BC的中點(diǎn)F,連接AF,EF,B&,則EF〃BC,由正方體的性質(zhì)可知

ABD,Cl,AB=D1C,,所以四邊形ABCD為平行四邊形，貝UBC,√AD1,所以EF√DlA,所以D”A,F,E

四點(diǎn)共面,所以截面過(guò)BC的中點(diǎn)，故選B.

12.（2021山東濱州二模,7）在正方體ABCD-ABeD中,M是棱DD1的中點(diǎn),P是底面ABCD（包括

邊界）內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若MP〃平面A1BC,,則異面直線MP與Ac所成角的取值范圍是（）

a?(0>τ]B??>T]C?[T?T]D?[T)Π)

答案C如圖，

以0為原點(diǎn),DA,DC,DDl所在直線分別為X,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=2,則

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),Aι(2,0,2),C1(0,2,2),D,(0,0,2),M(0,0,1),則印=(2,0,-2),

取AD的中點(diǎn)E,DC的中點(diǎn)F,連接EM,EF,MF,則E(l,0,0),F(0,1,0),則密(1,0,-1),孕=2磁

所以C1B#ME,同理,EF√A1C1.又MEQ平面A,BC1,QBU平面A1BC1,所以ME〃平面A1BC1,同理

EF〃平面A1BC1,而EF∩ME=E,EF,MEU平面MEF,所以平面MEF〃平面A,BCl.P是底面ABCD（包

括邊界內(nèi)）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若MP〃平面A1BC1,則P在線段EF上.因?yàn)镋FZZA1C1,所以MP與AC所

成的角就是MP與EF所成的角.易知aMEF是等邊三角形，則MP與EF所成角最大為B（P為EF

的中點(diǎn)時(shí)），最小為?（P與E或F重合時(shí)），所以所求角的范圍是E，?].故選C.

13.（2022屆廣西名校聯(lián)考,7）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體表面上的點(diǎn)P在正視

圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)A,B,C在俯視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,B1C,則異面直線PA與BC所成角的

余弦值為（）

5

答案B由三視圖還原直觀圖可知,該幾何體是四棱錐P-ABCD,且PDJ_平面ABCD,如圖所示,

取CD的中點(diǎn)M,連接AM,PM,則AB//MC,且AB=MC,所以四邊形ABCM是平行四邊形,所以AM//BC,

所以NPAM或其補(bǔ)角就是異面直線PA與BC所成的角，在APAM中，易知PA=2√2,ΛM=PM=√5,

14.（2022屆四川綿陽(yáng)11月聯(lián)考，10）已知四面體ABCD的所有棱長(zhǎng)均為近,M,N分別為棱AD,BC

的中點(diǎn),F為棱AB上異于Λ,B的動(dòng)點(diǎn).有下列結(jié)論:①線段MN的長(zhǎng)度為1;②若點(diǎn)G為線段MN

上的動(dòng)點(diǎn)，則無(wú)論點(diǎn)F與G如何運(yùn)動(dòng),直線FG與直線CD都是異面直線;③NMFN的余弦值的

取值范圍為［θ,零）；④Z?FMN周長(zhǎng)的最小值為近+1.其中正確的結(jié)論為（）

A.①②B.②③C.③④I).①④

答案D將正四面體ABCD放置在正方體中，如圖1,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a則

a=y×√2=l,ΛMN=a=l,故①正確.當(dāng)G為線段MN的中點(diǎn),F為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，直線FG與直

線CD相交且垂直,故②錯(cuò)誤.若F在線段AB的中點(diǎn)處，則MF=NF邛,此?

cos/MFN-my-O;若F在線段AB的端點(diǎn)A處（在B處同理），易知MN±AD,NF=?MF造

此時(shí)CoSNMFN卡仔〉",故③錯(cuò)誤.將平面ABC和平面ABD沿AB展開(kāi)在一個(gè)平面上,如圖2,

NF35

6

當(dāng)且僅當(dāng)M、F、N三點(diǎn)共線時(shí),MF+NF取得最小值,此時(shí)MF+NF=AC=BD=√I,AFMN周長(zhǎng)的最

小值為近+1.故④正確.故選D.

二、填空題

15.（2022屆廣東惠州調(diào)研，15）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相

垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn),設(shè)異面直線EM與AF所成的角為θ,

則CoSθ的最大值為.