2024屆全國大聯(lián)考數(shù)學(xué)高二年級上冊期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆全國大聯(lián)考數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若傾斜角為(的直線過92,2目),3(1,a)兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)()

A.百B.2月

C.3V3D#

2.已知函數(shù)/(x)=Inx+G；2,那么“a>0”是“/(無)在(0,+?)上為增函數(shù)”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22

3.設(shè)雙曲線/=1(?！?力〉0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,點(diǎn)。在雙曲線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若A6C的三

個內(nèi)角分別為A、B、C且tanA+tanB+3tanC=O,則雙曲線的漸近線方程為()

A.y=±xB.y=±yf2x

C,y=+y/3xD.y=±2尤

4.在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)凡是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的

人數(shù).凡一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染病的

基本傳染數(shù)幾=3,平均感染周期為4天，那么感染人數(shù)超過1000人大約需要()(初始感染者傳染幾個人為第一

輪傳染，這R。個人每人再傳染R。個人為第二輪傳染)

A.20天B.24天

C.28天D.32天

5.過點(diǎn)(-1,2),且斜率為2的直線方程是

A.2x-y+4=0B.2x+y=0

C.2x-y+5=0D.％+2y-3=0

6.數(shù)列｛/｝滿足%+1=4—3（〃21）且q=7,則%的值是（）

A.lB.4

C.-3D.6

7.過點(diǎn)42,3）且平行于直線2%+y-5=。的直線的方程為（）

A.％-2y+4=0B.2x+y-7=0

C.x+2y-8=0D.4x+2y-5=0

2

8.已知橢圓。：/+乙=1,則橢圓。的長軸長為（）

4

A.2B.4

C.272D.8

9.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d,前"項(xiàng)和為S,,,等比數(shù)列｛2｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為T”.若

22n+122

SnTn=n3-In-3"-3n+2n，則（）

A.Q]—?—1B.d——6

C.bx=-8D.9=9

10.已知向量）=（1/,0）,Z?=（-l,0,-2）,且左a+/＞與2。_〃互相垂直，貝！H的值是（）.

1

A.lB.-

5

37

C._D.一

55

曲線。：（/+尤22為四葉玫瑰線，這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用，苜蓿葉型立

11.）?）3=16）7

交橋有兩層，將所有原來需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來實(shí)現(xiàn)，即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高

速公路，四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）

①曲線C關(guān)于點(diǎn)（0,0）對稱；②曲線C關(guān)于直線y=x對稱；③曲線C的面積超過47r.

A.OB.l

C.2D.3

12.已知函數(shù)丁=/(力(?！?<)的圖象如圖所示，則不等式上回<0的解集為()

x-1

B.(-l,l)(1,3)

D.l-oo,-

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)“％)與g(x)是定義在同一區(qū)間可上的兩個函數(shù)，若函數(shù)/z(x)=/(%)-g(x)在［a,b］上有兩個不同的零

點(diǎn)，則稱"％)與g(x)在［a,b］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”.若/⑴=白3一熱與g(x)=1f+2x在［0,3］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實(shí)

數(shù)加的取值范圍是.

14.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(2,1,3),(-1,3,2),貝!||人卻=.

2九一7

15.不等式的解集是.

x-1

Y2y2

16.已知橢圓c：0+l(a〉b>0)交x軸于A,5兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是橢圓C上異于A,5的任意一點(diǎn)，直線B4,PB

aF

分別交》軸于點(diǎn)N,則5M為定值現(xiàn)將雙曲線與橢圓類比得到一個真命題：若雙曲線

22

?二-乙=l（?>0,?！?）交X軸于A,3兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A,3的任意一點(diǎn)，直線24,用分別

c■?2b2-

交丁軸于點(diǎn)/，N,則為定值__

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）設(shè)數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,且S“=2"-1,數(shù)列2=2〃4

（1）求｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和為7“，證明：2s“+北〉0

18.（12分）已知直線/經(jīng)過兩條直線2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交點(diǎn)，且與直線x+y-2=0垂直

（1）求直線/的方程；

（2）若圓C過點(diǎn)（1,0）,且圓心在x軸的正半軸上，直線,被該圓所截得的弦長為20，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

19.（12分）已知橢圓C的焦點(diǎn)為耳卜6,0）,8（6,0）,且長軸長是焦距的半倍

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若斜率為1的直線/與橢圓C相交于A,3兩點(diǎn)，已知點(diǎn)求人鉆。面積的最大值

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=0^+方--3x在x=-1和x=3處取得極值.

（1）求”，6的值

（2）求/（%）在［-4,4］內(nèi)的最值.

21.（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線/的極坐標(biāo)方程為

（萬、x=v5cos?

2psin^+--1=0,曲線C的參數(shù)方程是（。為參數(shù)）

Io）［y=A/5sin0

（1）求直線/和曲線C的普通方程；

（2）直線/與x軸交于點(diǎn)P,與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求|尸4卜|尸用

22.（10分）如圖，三棱錐A—BCD中，一ABC為等邊三角形，且面ABC上面BCD,CD1BC

(1)求證：CDLAB,

(2)當(dāng)A。與平面3。所成角為45。時，求二面角C-AD-5的余弦值

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】解方程"2二二百即得解.

1-2

【詳解】解：由題得仁28=6,00-26=-6,；々=6.

1-2

故選：A

2、A

【解析】對函數(shù)/(X)=lnx+依2進(jìn)行求導(dǎo)得廣(另="匚±1,進(jìn)而得a之o時，/(x)在(0,+?)上

為增函數(shù)，然后判斷充分性和必要性即可.

【詳解】解：因?yàn)?(無)的定義域是(0,+?),

所以尸(X)=+2ax=2"犬+1,

當(dāng)aNO時，/^x)>0,/(無)在(0,+?)上為增函數(shù).

所以a>0n/(無)在(0,+?)上為增函數(shù)，是充分條件；

反之，/(九)在(0,+?)上為增函數(shù)na>0或。=0,不是必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，屬于中檔題.

3、B

【解析】設(shè)點(diǎn)C(毛,%)，其中/〉0，%〉0，求得心C^BC=4，且有tanA=Kc，tanB=-kBC,利用兩角和

的正切公式可求得二的值，進(jìn)而可求得一b的值，即可得出該雙曲線的漸近線的方程.

aa

序2

【詳解】易知點(diǎn)4（—。,0）、設(shè)點(diǎn)C（/，%），其中/〉。，％〉。，且y=幺乎一/，

a

Kn_%.%__,2_工，且kACwkBC,

^AC^BC-_22_22~—2

XQ+6ZXQ—QXQ—ClXQ—ClCl

b2

tanA=ktan5=-&c，所以，tanAtanB=-kk=

AC9ACB'Ca

r/.?\-|/.八、tanA+tanBk-kci2/,、

TCArRr7—女”)

tanC—tan—(A+B)——tanv(A+B)J------------------------2------———2(VkAArCBC)

L'〃tanAtanB-1bAc

3〃2

因?yàn)閠anA+tan5+3tanC=(—左5c)......—(—攵3c)=1---^~\(k-k]=Q,

,'c''ACBC

所以‘a(chǎn)則rb斤=3=日

因此，該雙曲線漸近線方程為y=±0x.

故選：B.

4、B

【解析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算"輪傳染后感染的總?cè)藬?shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解,

然后可得需要的天數(shù).

【詳解】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,

則每輪新增感染人數(shù)為&",

經(jīng)過“輪傳染，總共感染人數(shù)為:

1_Dn+1

1+&+&2++^=^-

即上立=1000,解得“26,

1-3

所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要24天,

故選：B

【點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公

式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式時，應(yīng)該要分類討論，有時還應(yīng)善于運(yùn)用整體

代換思想簡化運(yùn)算過程

5,A

【解析】由直線點(diǎn)斜式計(jì)算出直線方程.

【詳解】因?yàn)橹本€過點(diǎn)(-1,2),且斜率為2,所以該直線方程為y—2=2(x+l),即2x-y+4=0.故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了求直線方程，由題意已知點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，故選用點(diǎn)斜式即可求出答案，較為簡單.

6、A

【解析】根據(jù)題意，由于%+1=4—3(〃21),可知數(shù)列｛4｝是公差為-3的等差數(shù)列，則可知d=-3,由于

%=%+2d=7—2x3=1,故選A

7、B

【解析】根據(jù)平行設(shè)直線方程2x+y+C=。，代入點(diǎn)計(jì)算得到答案.

【詳解】設(shè)直線方程為2x+y+C=0,將點(diǎn)A(2,3)代入直線方程得到4+3+C=0,解得C=—7.

故直線方程為：2x+y—7=0.

故選:B.

8、B

【解析】根據(jù)橢圓的方程求出。即得解.

【詳解】解：由題得橢圓的。2=4,r.a=2,所以橢圓的長軸長為2a=4.

故選:B

9、D

【解析】用基本量表示可得基本量的關(guān)系式，從而可得q=9,故可得正確的選項(xiàng).

【詳解】若9=1,貝!!<="乙，而洋二〃1+」；1)7=~|~〃2+1q_")一,

此時=丁~〃3+412,這與題設(shè)不合，

h

故故

q-lq-1

-1^

_db"q〃22d

+------nq"--^-nxUn

2—)q-i2"1)"r-2jq—l

而S,Z=3/9"-2"-9"-3”2+2〃

火-￡|偽

曲=3。=9=—2'

2（小）q-i

故曲=48,她=8,此時d,4,q不確定,

故選：D.

10、D

【解析】利用向量的數(shù)量積為0可求％的值.

［詳解】因左o+A與—b互相垂直，故（左a+bj（2a—Z?）=0,

227

故2左〃-b+（2—左）〃?/;=（）即2左義2—5—（2—左）=。，故k=《.

故選：D.

11、C

【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對稱性①②；估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.

【詳解】①將點(diǎn)（一X,—y）代入（f+y2?=16x2,2后依然為（X2+y2）3=16x2y2,故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對稱;

②將點(diǎn)3,x)代入(_?+y2了=16%2y2后依然為卜2+y2）3=16x2y2,故曲線C關(guān)于y=x對稱;

③曲線C在四個象限的圖像是完全相同的，不妨只研究第一象限的部分,

仁+打2nx=0,.±行,

y-x

二曲線C上離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離為2

顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以2為直徑的圓的面積,

2

XV71|=兀，...第一象限內(nèi)曲線C的面積小于兀，則曲線C的總面積小于47r.

故③錯誤.

故選：C.

12、D

【解析】原不等式等價于（1—1）/'（力＜0,根據(jù)y=/（力（九eR）的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得/'（力＞0和

,、［x-1>0fx-l<0

/'(%)<o的解集，再分情況j/,⑴<0或°解不等式即可求解.

【詳解】由函數(shù)y=/(￡)(%eR)的圖象可知：

y=/(力在］一*g］和(2,+?)上單調(diào)遞增，在\，2)上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)xe［-co,g)(2,+co)時，/,(x)>0；當(dāng)時，/,(%)<0；

由,(X)〈0可得。一1)/'(無)<0,

x-1

fx-1>0fx-l<0

所以jr（x）<o或[r（x）>（r

X>1[x<\

解得：l<x<2^x<—f

2

所以原不等式的解集為：f-oo,1L(l,2),

故選：D.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】令/(x)=g(x)得機(jī)=；三—2x,設(shè)函數(shù)/z(x)=；%3—2x,則直線丁=根與函數(shù)y=/2(x)在

區(qū)間［0,3］上的圖象有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=〃(x)的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得實(shí)數(shù)加的取

值范圍.

【詳解】令/(x)=g(x)得機(jī)=；/一；12—2x,設(shè)函數(shù)/z(x)=gx3一；彳2一2%，

則直線丁=根與函數(shù)y=M%)在區(qū)間［0,3］上的圖象有兩個交點(diǎn)，

hr(x)=x2-x-2=(x-2)(x+l),令h'(x)=0,可得x=2￡(0,3),列表如下：

X[0,2）2（2,3]

—0+

/z(x)極小值-~—

3

〃(O)=O,/z(3)=--,如圖所示:

因此，實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

故答案為：.

14、J14

【解析】利用空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算即得.

【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，因點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(2』,3),(—1,3,2),

所以|=732+(-2)2+12=V14.

故答案為：

15、(1,6]

【解析】把原不等式的右邊移項(xiàng)到左邊，通分計(jì)算后，根據(jù)分式不等式解法，然后轉(zhuǎn)化為兩個一元一次不等式組，注

意分母不為0的要求，求出不等式組的解集即為原不等式的解集

【詳解】不等式生?<1得，

x~lx—\

故,I八7^1<%<6,

%—1w0

故答案為：(1,6].

16、—b2-a2

【解析】由雙曲線的方程可得A,B的坐標(biāo)，設(shè)P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程可得P的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，求出直線AP,

成的方程，令％=0,分別求出N的縱坐標(biāo)，求出AN?斯的表達(dá)式，整理可得為定值-4一

【詳解】由雙曲線的方程可得4-a,0),3(a,0),設(shè)P(〃”)，

22

貝!|與-一4=1,可得〃2〃2=療02_〃202=/(刈2_〃2),

ab2

直線的方程為：y=-^—(x+a)9令x=0,貝！|W二’^，可得"(0,」^),

m+a機(jī)+a機(jī)+〃

直線的方程為》=一L(%-。)，令x=0,可得%=二"，即N(0,二^幺)，

m—am—am—a

na2222

?AZn"z-x/na、2n^2/?(m-a)2Z2

??AN?BM=(Q,)?(-a,---------)=—ci---———u-----------------------二—u—b,

m—am+am—am—a

故答案為：—Z?2-6Z2

2222

另解：雙曲線方程化為三+二=1,只是將當(dāng)+二=1的尸替換為一"，故答案也是只需將廿一片中的萬2替換為

a2-b2a2b2

-b-即可.

故答案為：—及-a?.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1

17、(1)an=2"-,bn=n-T

(2)證明見解析

S-S_,n>2

【解析】⑴根據(jù)%=二nn：l可得%,從而可得與；

Svn=l

n+ln+1

(2)利用錯位相減法可得=21+22+23++2"-nx2=2Sn-n-2,從而可得2s“+7；=〃?2用,又

nwN*，即可證明不等式成立.

【小問1詳解】

解：；S“=2"-1,當(dāng)〃=1時，=1,

當(dāng)”》2時，Si=2'T—1,凡=Sn-S,T=2"-2"T=2"T,

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=1也符合q=231,

1

???=2-,bn=n-2\

【小問2詳解】

證明：因?yàn)?；=1x21+2x2?+3x23++(?-l)x2,,-1+?x2\

27；,=1X22+2X23+3X24++(w-l)x2n+TIX2/1+1,

-7；,=2'+22+23++2"-nx2n+l=2S?-n-2n+l

n+l

：.2Sn+Tn=n-2,

所以2s“+/>0

18、(1)y=x-l

(2)(x-3『+/=4

【解析】(1)先求得直線2x-y-3=0和直線4%-3,-5=。的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式求得直線/的方程.

(2)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(^-。了+/二,，根據(jù)已知條件列方程組，求得。,廠，由此求得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【小問1詳解】

2x-y-3=0fx=2

4x-3y-5=0[y=],

直線x+y-2=。的斜率為—i,所以直線/的斜率為1,

所以直線/的方程為y—l=lx(x—2),y=x—1.

【小問2詳解】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-。丫+/=/,

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+丁=4.

尤2

19、(1)—+/=1；

4'

(2)1.

【解析】⑴根據(jù)給定條件求出橢圓半焦距c,長短半軸長用?即可得解.

⑵設(shè)出直線/的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，求出弦A5長及點(diǎn)P到直線/的距離，然后求出面積的表達(dá)式

并求其最大值即得.

【小問1詳解】

設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡+/=1（。〉。〉0）,依題意，半焦距C=G，2a=子x2c，即a=2,b2=a2-c2=l

2

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+/=1.

4'

【小問2詳解】

依題意，設(shè)直線/：y=x+m,人（%,%）,5（%,%），

y=x+m

由《22消去y并整理得：5犬+8祖％+4加之-4=0，

x+4y2=4

由△=64m2-20（4m2-4）=-16m2+80>0,解得—下<m（布,

皿士8m4m2-4

則有xi+x2=,xrx2=——-——，

22

于是得[AB]=A/1+1x,(否+%)2—4否入2=夜x-^)-4x——-=~Y~x小5一后

而點(diǎn)P到直線I的距離為d=號，

因此，△ABQ的面積S=g|AB|々=gx警x后方x裳=：屈。F=|J-(m2-1)2+y<1,

當(dāng)且僅當(dāng)7儲=』，即團(tuán)=±?時取"/

22

所以△ABQ面積最大值為1.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線/：y=h+B上兩點(diǎn)4（冷,）,8（%2，%）間的距離\AB\=yll+e\xl-x^

直線/：x=/ny+f上兩點(diǎn)間的距離\AB\=yfl+ir^\yl-y2\.

]765

20、(1)a——,b=-1(2)f(x)，"加=----,f(x)max——

333

【解析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得/''（X）=3ax2+2取-3=0的兩個根為-1和3,結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可

求,

（2）由（1）可求/'（X）,然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的最值.

【詳解】解：(1)f*(x)=3ax2+2bx-3,

由題意可得f(X)=3ax2+2bx-3=0的兩個根為-1和3,

［一1+3;一竺

則：，

-1x3=——

、a

解可得a=g,b=-l9

(2)由(1)f\x)=(x-3)(x+l),

易得/(“)在(-8,-1),(3,+8)單調(diào)遞增，在(—1,3)上單調(diào)遞減，

76520

又/(-4)=-w，/(-D=丁/(3)=-9,/(4)=-§,

765

所以/(X)min=f(-4)=---,f(X)max=f(-1)=§.

【點(diǎn)睛】本題考查利用極值求函數(shù)的參數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬于中檔題

21、(1)x+j3y-l=0,x2+y2=5

(2)4

tx=rcosq

【解析】(1)根據(jù)；.,即可將直線/的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；消參數(shù)。，即可求出曲線。的普通方

fy=rsing

程；

(2)由題意易知P(l,o),求出直線/的參數(shù)方程，將其代入曲線C的普通方程，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式

的應(yīng)用，即可求出結(jié)果

【小問1詳解】

解：直線/極坐標(biāo)方程為2psin/+f-1=0,

即百psine+pcosO-l=0,

ix=rcosq「

又；.，可得/的普通方程為x+退y-1=0,

Iy=rsing

X=A/5COSG)

曲線C的參數(shù)方程是廠.(。為參數(shù))，消參數(shù)。，

y=

所以曲線C的普通方程為Y+/=5

【小問2詳解】

解：在x+退y—1=0中令y=0得。(1,0),

-k———，，傾斜角a―――,