2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 4 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 二級結(jié)論講練 學(xué)案

專題4指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

二級結(jié)論1：不同底的指數(shù)函數(shù)圖像變化規(guī)律

【結(jié)論闡述】當(dāng)?shù)讛?shù)大于時，底數(shù)越大指數(shù)函數(shù)的圖像越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于且小于時，底數(shù)越小,

指數(shù)函數(shù)的圖像越靠近>軸.即如圖1所示的指數(shù)函數(shù)圖像中,底數(shù)的大小關(guān)系為：0<c<d<l<b<a,

即圖1中由y軸右側(cè)觀察，圖像從下至上，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)依次增大.

圖1

【應(yīng)用場景】利用這一結(jié)論根據(jù)圖像迅速判斷對應(yīng)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小，從而對底數(shù)進行定位.

【典例指引1】

（2022北京市十一學(xué)校高一上學(xué)期期中考試）

1.已知函數(shù)y=，、y=b?y=c?y=d'的大致圖象如下圖所示，則下列不等式一定成立的是（）

C.a+d>b+cD.a+d<b+c

【答案】B

【分析】如圖，作出直線X=L得到c>d>l>α>6,即得解.

【詳解】

如圖，作出直線x=l,得到c>d>l>α>力，

所以h+d<α+c.

故選：B

【典例指引21

(2021?寧夏?青銅峽市寧朔中學(xué)高一期中)

2.如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y=",(2)y=bx,(3)y=c',(4)y=，的圖象，則。，b,,d與

的大小關(guān)系是

⑴⑵⑶（4）

【答案】c>d>l>a>b

【分析】作直線x=l,由圖可知。，b,,d與的大小關(guān)系.

【詳解】

作直線x=l,由圖可得d>">l>">",即c>d>l>α>h.

故答案為：c>d>l>a>b.

【針對訓(xùn)練】

（2022?全國?高一課時練習(xí)）

3.函數(shù)①y=α';②y=z∕;③y=c*;④y=dλ的圖象如圖所示，a,h,c,d分別是下列四個數(shù):

〃的值分別是（)

??

B.

5i3,2

QLLL5r

D.?

2'3'6，43,2,“5

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小關(guān)系.

【詳解】由題圖，直線X=I與函數(shù)圖象的交點的縱坐標(biāo)從上到下依次為c,d,a,b,≡√3>→→∣.

故選：C.

（2022?全國?高一課時練習(xí)）

%=10'，則在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，它們的圖象大致為（)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及圖像特征進行比較，即可判斷.

【詳解】必=3“與”=10,是增函數(shù)，乂=，）與%=1。7=（、）是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)作直線

該直線與四條曲線交點的縱坐標(biāo)的大小對應(yīng)各底數(shù)的大小，易知：選A.

故選：A

5.已知實數(shù)α,6滿足等式2"=3",下列五個關(guān)系式：

?0<b<a；(2)α<Z><0;③。<a<b;@b<a<0；?a=h=O

其中有可能成立的關(guān)系式有()

A.①B.②⑤C.②③D.④

【答案】AB

【分析】畫出指數(shù)函數(shù)y=2，，y=3，的圖象，利用單調(diào)生即可得出答案.

【詳解】如圖所示，數(shù)y=2*,)，=3,的圖象，

由圖象可知：

(1)當(dāng)時x>0,若2"=3"，貝∣Jα>b;

(2)當(dāng)X=O時，若2"=3",則α=b=0;

(3)當(dāng)x<0時，若2n=3fc.則a<b.

綜上可知，有可能成立的關(guān)系式是①②⑤.

6.(多選)已知實數(shù)”,人滿足等式,則下列關(guān)系式中不可能成立的是()

A.O<b<aB.a<b<O

C.O<a<bD.b<a<0

【答案】CD

【分析】根據(jù)y=2',y=3"的圖象，討論2-"=3”與1的大小關(guān)系判斷”,8的大小.

【詳解】由題設(shè)，2-"=3"，而y=2?t,y=3'的圖象如下:

.?.當(dāng)2'=3-"<l時，-α<-h<O,即a>6>0;

當(dāng)2-"=3"'=l時，"=6=0;

當(dāng)2一"=>1時，-a>-b>O,即α<b<O；

綜上，故C、D不可能成立.

故選：CD

7.已知實數(shù)。力滿足等式30=6”,則下列可能成立的關(guān)系式為（）

A.a=hB.O<b<aC.a<h<OD.O<a<h

【答案】ABC

【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出函數(shù)y=3、和y=6'的圖像，結(jié)合圖像即可判斷.

【詳解】由題意，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出函數(shù)y=3'和y=6'的圖像，如圖所示,

由圖像知，當(dāng)“=%=0時，3"=6"=1,故選項A正確；

做出直線y=3當(dāng)&>1時，若3"=6"=%,則O<b<a,故選項B正確;

當(dāng)0<m<l時;若3"=6"=m,則α<b<O,故選項C正確；

當(dāng)OCaCb時，易得2">1，則3"<3"<2"?3"=6",故選項D錯誤.

故選：ABC.

（2022.湖南?高一課時練習(xí)）

8.設(shè)α,b,c,d都是不等于的正數(shù)，y=∕,y=N,y=c*,y="'在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則

a,b,c,d的大小順序是.

【答案】b<a<d<c

【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定α,b,c,d與1的關(guān)系，再由x=l時，函數(shù)值的大小判斷.

【詳解】因為當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，

當(dāng)?shù)讛?shù)小于1時，指數(shù)函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，

所以c,d大于1,a,6小于1,

由圖知：d>dl,即c>d,b'<a',HPb<a,

所以6<α<l<d<c,

故答案為：b<a<d<c

二級結(jié)論2:不同底的對數(shù)函數(shù)圖像變化規(guī)律

【結(jié)論闡述】當(dāng)?shù)讛?shù)大于且小于時，底數(shù)越小，對數(shù)函數(shù)的圖像越靠近X軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于時，底數(shù)越

大，對數(shù)函數(shù)的圖像越靠近X軸.即如圖2所示的對數(shù)函數(shù)圖像中，底數(shù)的大小關(guān)系為：

0<b<a<l<d<c,即圖2中，在X軸上側(cè)觀察，圖像從左向右，對數(shù)函數(shù)的底數(shù)依次增大.

yft?y=log狽/

圖2

【應(yīng)用場景】利用這一結(jié)論根據(jù)圖像迅速判斷對應(yīng)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小，從而對底數(shù)進行定位.

【典例指引1】

9.如圖，曲線G,c2.G，C4分別對應(yīng)函數(shù)y=log,,,χ,y=k）g,,產(chǎn)，y=log“產(chǎn)，y=log,,/的圖象,

則()

A.4>%>1>%>>°B.a3>a4>?>al>a2>O

C.a2>a[>i>a4>a3>OD.a↑>a2>?>a3>a4>O

【答案】A

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)特點，可作直線y=ι,根據(jù)各曲線與直線的交點越靠左，對應(yīng)底數(shù)越小判斷

即可

【詳解】作直線y=ι,它與各曲線C,C2,G，C」的交點的橫坐標(biāo)就是各對數(shù)的底數(shù)，由此可判斷

出各底數(shù)的大小必有：a4>a3>l>a2>al>O.

故選：A

【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的判斷，技巧是：作一條y="(α>O)的直線，與曲線交點在第一

象限越靠左，則對應(yīng)底數(shù)越小，屬于基礎(chǔ)題

【典例指引2]

(2022四川綿陽南山中學(xué)高一上學(xué)期期中考試)

io.已知實數(shù)。力滿足等式，P■)”=R■丫下列五個關(guān)系式：

Φθ<b<a;?a<b<0；③OVaCb；@b<cz<0；(§)a=b.

其中可能成立的關(guān)系式有_______.(填序號)

【答案】①②⑤

【解析】先畫出的圖象，考慮動直線y=f與它們的交點情況后可得可能成立的

關(guān)系式.

【詳解[％=(；)'，=A)'的圖象如圖所示

則當(dāng)r>l時，由圖象可得α<6<（）:

當(dāng)f=l時，由圖象可得α=i>=O;

當(dāng)O<f<l時，由圖象可得0<8vα;

故答案為：①②⑤

【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，注意底數(shù)的變化對圖象的影響，注意把大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為動

直線與確定函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)的大小問題，本題屬于中檔題.

【針對訓(xùn)練】

（2022?新疆巴音郭楞?高一期末）

C的大小關(guān)系是（）

B.c>b>a

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與單調(diào)性確定大小.

【詳解】J=Iogar的圖象在（O,÷∞）上是上升的，所以底數(shù)a>l,函數(shù)y=logfex,y=logcx的圖象

在（O,+∞）上都是下降的，因此b,c∈（0,1）,又易知c>b,故">c>b.

故選：D.

12.?logra8.1<logπ8.1<0,那么機，〃滿足的條件是（）

A.m>n>?B.n>m>?C.0<n<m<?D.Q<m<n<1

【答案】C

【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)判斷即可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意知，一定都是大于0且小于1的數(shù),

畫出y=bg"X,y=bg,χ的圖象，如圖，

根據(jù)函數(shù)圖象，當(dāng)x>l時，底數(shù)越大，函數(shù)值越小，

所以有0<〃<m<l.

故選：C.

【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

（2022?湖南五市十校期末考試）

13.已知函數(shù)/(x)=IOga(X-])(α>0且4xl,”,b為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是

)

B.a>0,-1<￡><O

C.O<α<l,i><-1D.0<α<1,—1<?<0

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.

【詳解】因為函數(shù)/（燈=1嗎,（》-6）為減函數(shù)，所以0<"1

又因為函數(shù)圖象與X軸的交點在正半軸，所以x=l+%>0,即b>T

又因為函數(shù)圖象與y軸有交點，所以b<o,所以-ι<8<o,

故選：D

14.設(shè)幕函數(shù)y===,指數(shù)函數(shù)y=ajt,y=∕,y==可,對數(shù)函數(shù)

y=bg%χ,y=?θg?χ,y=IogAχ,y=χ在同一坐標(biāo)系中的圖象如下圖所示，則它們之間的大小關(guān)系

錯誤的是（）.

A.c1<O<c3<1<C2B.O<α4<α3<1<tzl<a2

C.O<?3<?4<1<?2<?lD.O<?4<?3<1<?l<?2

【答案】C

【分析】對四個選項一一驗證：

對于A：利用基函數(shù)y=K的圖像，直接判斷；

對于B：利用指數(shù)函數(shù)y=α'的圖像，直接判斷;

對于C、D：利用對數(shù)函數(shù)y=Iogj的圖像，進行判斷;

【詳解】對于A：要判斷的是嘉函數(shù)y=6的圖像，根據(jù)y=xMy=xc?y=/的圖像可以判斷

c1<O<c3<l<c2,故A正確;

對于B：要判斷的是指數(shù)函數(shù)y=a'的圖像，作出ml,看交點，交點高，底數(shù)越大，所以

O<α4<α3<1<α1<α2,故B正確;

對于C、D：要判斷的是對數(shù)函數(shù)y=IogJ的圖像，作出產(chǎn)1,看交點，交點越靠由，底數(shù)越大，所

以0<匕4<么<1<々<4，故D正確，C錯誤;

(2022?湖南?高一課時練習(xí))

15.對于函數(shù)y=iog,,,χ與y=iog,,χ.

(1)若,你能在直角坐標(biāo)系中畫出它們的大致圖象嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？

(2)若你能在直角坐標(biāo)系中畫出它們的大致圖象嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么？

【答案】(1)答案見解析

(2)答案見解析

【分析】(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作答;

O根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作答.

(1)

圖象如圖：

圖象都過(1,0)點，函數(shù)都是單調(diào)遞減，在直線X=I右側(cè)，底數(shù)越小，越靠近X軸;

(2)

圖象都過(LO)點，函數(shù)都是單調(diào)遞增，在直線x=l右側(cè)，底數(shù)越大，越靠近X軸.

(2022?全國?高一課時練習(xí))

16.如圖所示是6個函數(shù)的圖像，依據(jù)圖中的信息將4,h,C,d從大到小排列.

【答案】d>b>c>a.

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像的特征，進行判斷

即可.

【詳解】通過兩個對數(shù)函數(shù)圖像的性質(zhì)可以得出：d>2?,

根據(jù)函數(shù)y=b'的圖像與y=bg2x的圖像關(guān)于Y=*對稱，所以有6=2,即d>b=2;

根據(jù)三個指數(shù)函數(shù)的圖像可知：b>c>l>a>0,因此有d>6>c>”.

【點睛】本題考查了通過指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像比較參數(shù)的大小，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，考查

了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

二級結(jié)論3:方程x+"x)=k的根為玉，方程x+尸(x)=k的根

【結(jié)論闡述】若函數(shù)丫寸⑶是定義在非空數(shù)集O上的單調(diào)函數(shù)，則存在反函數(shù)y=∕-'(χ)?特別地，

y=tr^y=iog,,χ(。>0且分1)互為反函數(shù).

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，兩函數(shù)互為反函數(shù)圖像關(guān)于y=χ對稱，即(XoJ(Xo))與(/(毛),毛)分別在函數(shù)

y=f(χ)與反函數(shù)y=尸(χ)的圖像上

若方程x+∕(X)=Z的根為芭，方程x+∕T(x)=Z的根為七，則=A

【應(yīng)用場景】同底的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，利用互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像的對稱性來求

兩方程根的和.

【典例指引1】

17.若實數(shù)“滿足e'+x-2=0,實數(shù)b滿足InX+x-2=0,則”+。=.

【答案】2

【分析】。力可以看作是函數(shù)y=e'和y=I∏x的圖象與直線y=-χ+2交點的橫坐標(biāo)，由前兩個函數(shù)的

圖象關(guān)于直線V='對稱求解.

【詳解】ev+x-2=0=>e'=-x+2,lnx+x—2=0=InX=—x+2,而y=e*和y=hw互為反函數(shù)，

圖像關(guān)于>=x對稱，可知X="是函數(shù)y=e'和y=-x+2交點的橫坐標(biāo)，同理x=6是函數(shù)y=Inx與

產(chǎn)一+2交點的橫坐標(biāo)，且尸…2與尸X垂直，作出圖像如下，0所以』，X"

關(guān)于x=l對稱，所以α+8=2.

故答案為：2.

18.設(shè)尸為曲線G上的動點，。為曲線G上的動點，則稱IPQl的最小值為曲線c∣、。2之間的距離,

t

記作d(C∣C).若G：e-2y=O,C1：?nx+?n2=y,則d(C∣C)=.

【答案】√2-√21n2

【分析】由題意，根據(jù)兩個曲線方程，整理其函數(shù)解析式，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為曲線到直線的

最短距離問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求切線，可得答案.

【詳解】由題意，C,:y=y,cι-.y=?n2x,由C∣:X=In2y,則兩個函數(shù)互為反函數(shù)，

r

即c,,c2的圖像關(guān)于＞=χ對稱，所以只需求出曲線G上的點到y(tǒng)=?的距離的最小值，

C?對應(yīng)的函數(shù)為y=hγ+ln2,求導(dǎo)y'=：,故斜率為1的切線方程對應(yīng)的切點為(l,ln2),

從而切線方程為y=χ-i+in2,與y=χ的距離為”=基「，所以

1_]n?

J(Cl,C,)=2J=2×^y=^=√2-√21n2,

故答案為：√2-√21n2?

【點睛】由于曲線G，G表示的是兩個互為反函數(shù)的圖像，圖像關(guān)于直線y=χ對稱，所以轉(zhuǎn)化為曲線

上的點到直線V=X的距離的最小值的2倍.

【針對訓(xùn)練】

19.已知X]是方程x+2*=4的根，巧是方程》+/。82%=4的根，則x∣+%的值是.

【答案】4

【詳解】?.?χ+2"=4,.?.2*=4-x,不是y=2"與y=4-x交點的橫坐標(biāo).

x

XVx+log1x=4,；.log2x=4-x,巧是y=bg2?與y=4-x交點的橫坐標(biāo).

又y=2，與y=∕og∕互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于V=X對稱，

V

由卜=j得χ=2,.?.A1?=2,.?x1+X2=4.

Iy=X2

20.已知為是方程x+lgx=3的一個根，々方程x+10*=3的一個根，則方+%=.

【答案】

【分析】根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的交點，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，利用中點坐標(biāo)

公式，可得答案.

【詳解】將已知的兩個方程變形得IgX=-X+3,10，=-x+3.

令：/(x)=lgx,g(x)=10,,∕ι(x)=3-x,畫出它們的圖像，如圖,

記函數(shù)/(x)=IgX與A(X)=3-x的交點為A(XI,χ),g(x)=10"與A(X)=3-。的圖像的交點為B(X2,%),

由于/(X)=IgX與g(x)=10*互為反函數(shù)，且直線y=3-χ與直線y=χ垂直，所以人占,乂)與Bg,%)兩

點關(guān)于直線y=χ對稱,

3

X=-

y=x2X.+3,?

由解得3廠.———=—,則π1F+W=3.

y=-Λ+3

y=—

I2

故答案為：.

11Ξ

21.已知函數(shù)/U)=區(qū)，xeli,e],g(x)=(~y,若/⑴，g(x)圖像上分別存在點"，N關(guān)于直線產(chǎn)Y

ee

對稱，則實數(shù)2的取值范圍為()

1232

A.[—,e]B.[—,2e]C.[—,3e]D.(—,2e)

eeee

【答案】B

【分析】根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)圖像關(guān)于直線y=χ對稱，只需函數(shù)/a)二丘與函數(shù)g0)=(L1)Ξ2的反函數(shù)

e

y=-21nx有交點，即可存在滿足題意的點M,N,聯(lián)立二者，反解參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)〃?(X)=-網(wǎng)土，

X

Xed,e]的值域問題，利用導(dǎo)數(shù)求解即可得到答案.

e

【詳解】g(x)=d/的反函數(shù)為y=-21nx,設(shè)M("Z,yz),me[,,e],

ee

則點MQ%Q")在y=-21nx上，即滿足/(x),g(x)圖像上分別存在點M,N關(guān)于直線產(chǎn)*對稱，

2In

即方程k〃=-21n機有解，可得火=------，

m

令m(x)=,?^[?,e],

xe

則加⑴=1—2底2如-1,當(dāng)Xeq,e]時，加(“4°，NX)是減函數(shù)，

IjX2X26

所以加(e)<m(x)<mg)，即二Wm(x)<2e,

2

所以一一≤k≤2e.

e

故選：B.

22.若當(dāng)是方程x∕=/的解，/是方程XlnX=3的解，則X/等于

A./B./C.JD.

【答案】B

【分析】xex=e3<≠>e^-,XlnX=e?=Inx=W■再利用函數(shù)y=e'與函數(shù)y=lnx互為反函數(shù)，推出

XX

函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系

【詳解】由題意知須是方程e'=Q的解，々是方程InX=Q的解，

XX

即4是函數(shù)y=e*與函數(shù)y=W■交點的橫坐標(biāo)，々是函數(shù)V=Inx與函數(shù)y=Q交點的橫坐標(biāo).

XX

因為函數(shù)y=e*與函數(shù)y=Inx互為反函數(shù)，圖像關(guān)于對稱.

所以A等于函數(shù)y=Inx與函數(shù)y=6交點的縱坐標(biāo)，

X

3

即xtx2=-?x2=e

X2

【點睛】方程的解就是對應(yīng)函數(shù)圖像的交點，還是函數(shù)的零點利用函數(shù)y=e'與函數(shù)y=lnx互為反函

數(shù)，推出函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，即可求解本題.

4ei

23.已知實數(shù)。力滿足a=10~,∣g?=10-'-3,則而=.

【答案】IO4##10000

【分析】根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系，整理方程，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的反

函數(shù)關(guān)系，可得交點的軸對稱性，利用中點坐標(biāo)公式，可得答案.

【詳解】因為α=10