廣東省韶關(guān)市乳源桂頭中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省韶關(guān)市乳源桂頭中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若點(diǎn)P是曲線lnx上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x+3的最小距離為(

)A.1

B.

C.

D.

參考答案：B2.設(shè)變量x，y滿足約束條件：.則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值為(

)A.6

B.7

C.8

D.23參考答案：B3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=”時(shí)，在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（）A．1+a+a2 B．1+a+a2+a3 C．1+a D．1參考答案：A【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)．只需把n=1代入等式左邊即可得到答案．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=”，在驗(yàn)證n=1時(shí)，把當(dāng)n=1代入，左端=1+a+a2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法中的歸納奠基步驟，本題較簡(jiǎn)單，容易解決．不要把n=1與只取一項(xiàng)混同．4.設(shè)a∈R，“1，a，16為等比數(shù)列”是“a=4”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出a的值，結(jié)合集合的包含關(guān)系判斷即可．【解答】解：若“1，a，16為等比數(shù)列”，則a2=16，解得：a=±4，故“1，a，16為等比數(shù)列”是“a=4”的必要不充分條件，故選：B．5.在曲線y＝x3＋x－2的切線中，與直線4x－y＝1平行的切線方程是

()A．4x－y＝0

B．4x－y－4＝0

C．2x－y－2＝0

D．4x－y＝0或4x－y－4＝0參考答案：D．略6.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A7.數(shù)列前n項(xiàng)和為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略8.設(shè)，，，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.圓（x﹣2）2+y2=2上的點(diǎn)與點(diǎn)A（﹣1，3）的距離的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（x﹣2）2+y2=2上的點(diǎn)與點(diǎn)A（﹣1，3）的距離的最大值d=|AC|+r．（r是圓半徑）【解答】解：圓C：（x﹣2）2+y2=2的圓心C（2，0），半徑r=，|AC|==3，∴（x﹣2）2+y2=2上的點(diǎn)與點(diǎn)A（﹣1，3）的距離的最大值：d=|AC|+r=4．故選B．10.已知且，則下列不等式中成立的是(

)

A．

B．

C．

D.參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為__________.參考答案：2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)得，即可得到復(fù)數(shù)的虛部，得到答案．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，即，所以復(fù)數(shù)的虛部為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的分類的應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12.已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則曲線C上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為

。參考答案：13.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)且與極軸垂直的直線交曲線于、兩點(diǎn)，則

；參考答案：

解析：過(guò)點(diǎn)(1,0)作x軸的垂線，與圓(x－2)2＋y2＝4交于點(diǎn)A,B，；14.已知點(diǎn)是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，則直線方程為_______________．參考答案：略15.已知數(shù)列的，則=_____________.參考答案：100略16.已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象如圖所示，則不等式xf′（x）＜0的解集為．參考答案：（﹣∞，0）∪（，2）【考點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】由函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象可得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得不等式xf′（x）＜0的解集．【解答】解：由f（x）圖象特征可得，f′（x）在（﹣∞，）∪（2，+∞）上大于0，在（，2）上小于0，∴xf′（x）＜0???x＜0或＜x＜2，所以xf′（x）＜0的解集為（﹣∞，0）∪（，2）．故答案為：（﹣∞，0）∪（，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查學(xué)生的識(shí)圖能力，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性是重點(diǎn)．17.某商場(chǎng)在國(guó)慶黃金周的促銷活動(dòng)中，對(duì)10月2日9時(shí)至14時(shí)的銷售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時(shí)至10時(shí)的銷售額為2.5萬(wàn)元，則11時(shí)至12時(shí)的銷售額為___________萬(wàn)元．參考答案：10三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分10分）已知，函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若的極大值是，求的值.參考答案：19.經(jīng)過(guò)點(diǎn)的光線射到軸上，反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求反射光線所在的直線方程.參考答案：解析：作A(1,2)點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)N(-1,2)則NB所在的直線即為反射光線所在直線，由兩點(diǎn)式，得20.參考答案：.

（II）由（I）得，，令，得，或.

當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：+0

-0

+↗↘

↗（III）由（II）得，，.

函數(shù)的圖像大致如右：若方程有3個(gè)解，需使直線與函數(shù)的圖像有3個(gè)交點(diǎn)，由圖像可知：.略21.已知定義在R上的函數(shù).（1）若對(duì)，恒成立，并求a的取值范圍；（2）函數(shù)，且方程有兩個(gè)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：（1）（2）【分析】（1）由絕對(duì)值的三角不等式，求得函數(shù)的最小值，即求解的取值范圍；（2）由（1），將方程轉(zhuǎn)化方程的解個(gè)數(shù)即函數(shù)和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為1，故.（2）由（1）知，方程可轉(zhuǎn)化為，方程的解個(gè)數(shù)即函數(shù)和的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)和的圖象（如圖）.由圖象可知，方程有兩個(gè)解時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用，以及含絕對(duì)值的參數(shù)的求解問(wèn)題，其中解答中熟練應(yīng)用絕對(duì)值的三角不等式求得函數(shù)的最小值，以及把方程的解得個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，合理使用數(shù)形結(jié)合法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.22.設(shè)橢圓C：的離心率e=，左頂點(diǎn)M到直線=1的距離d=，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試求△AOB的面積S的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，x1x2+y1y2=0，點(diǎn)O到直線AB的距離為．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)O到直線AB的距離為，由此能證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．（3）設(shè)直線OA的斜率為k0，OA的方程為y=k0x，OB的方程為y=﹣，聯(lián)立，得，同理，得，由此能求出△AOB的面積S的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，∴橢圓C的方程為．（Ⅱ）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性知x1=x2，y1=﹣y2，∵以AB為直線的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，∴=0，∴x1x2+y1y2=0，∴，又點(diǎn)A在橢圓C上，∴=1，解得|x1|=|y1|=．此時(shí)點(diǎn)O到直線AB的距離．（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴，，∵以AB為直徑的圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴OA⊥OB，∴=x1x2+y1y2=0，∴（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，∴（1+k2