2024春八年級數(shù)學(xué)下冊第1章三角形的證明2直角三角形課件新版北師大版

1.2直角三角形第一章三角形的證明逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2直角三角形角的性質(zhì)定理與判定定理勾股定理勾股定理的逆定理互逆命題和互逆定理“斜邊、直角邊”

(“HL”)定理知1－講感悟新知知識點直角三角形角的性質(zhì)定理與判定定理11.直角三角形角的性質(zhì)定理直角三角形的兩個銳角互余.幾何語言：在△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°.感悟新知2.直角三角形角的判定定理有兩個角互余的三角形是直角三角形.幾何語言：在△ABC

中，∵∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，即△ABC

為直角三角形.知1－講感悟新知知1－講特別解讀1.直角三角形角的性質(zhì)定理和判定定理的理論依據(jù)是三角形內(nèi)角和定理.2.在直角三角形中，若已知兩個銳角之間的關(guān)系，可結(jié)合兩個銳角互余求出每個銳角的度數(shù).知1－練感悟新知如圖1-2-1，AB，CD

相交于點O，AC⊥CD

于點C.若∠BOD=35°，則∠A=________.例155°知1－練感悟新知解：∵∠BOD=35°，∴∠AOC=35°.又∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°.∴∠A=90°－∠AOC=90°－35°=55°.解題秘方：根據(jù)直角三角形中兩銳角之間的數(shù)量關(guān)系求出角的度數(shù).知1－練感悟新知1-1.

[中考·江西]如圖，平面鏡MN放置在水平地面CD

上，墻面PD⊥CD

于點D，一束光線AO

照射到鏡面MN上，反射光線為OB，點B在PD上，若∠AOC=35°，則∠OBD的度數(shù)為(

)A.35°B.45°C.55°D.65°C知1－練感悟新知如圖1-2-2，在△ABC

中，∠ACB=90°，∠ACD=∠B.求證：CD⊥AB.例2

知1－練感悟新知證明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°.∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°.∴∠CDA=90°.∴CD⊥AB.解題秘方：利用直角三角形角的性質(zhì)定理與判定定理求出CD，AB的夾角為直角.知1－練感悟新知2-1.如圖，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE

是直角三角形嗎？為什么？解：△ADE是直角三角形．理由如下：∵∠C＝90°，∴∠A＋∠2＝90°.∵∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°.∴∠ADE＝90°，即△ADE是直角三角形．感悟新知知2－講知識點勾股定理21.勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.數(shù)學(xué)表達式：如圖1-2-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，

則a2+b2=c2.知2－講感悟新知特別提醒◆勾股定理揭示的是直角三角形三邊的平方關(guān)系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理.◆已知直角三角形的任意兩邊，利用勾股定理可以求出第三邊.感悟新知知2－講2.勾股定理的變形公式a2=c2－b2；b2=c2－a2.感悟新知知2－講3.基本思想方法勾股定理把“形”與“數(shù)”有機地結(jié)合起來，即把直角三角形這個“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來，它是數(shù)形結(jié)合思想的典范.感悟新知知2－練如圖1-2-4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足為D，求CD

的長.例3知2－練感悟新知解題秘方：緊扣“同一三角形的面積的兩種表示法”求解.

知2－練感悟新知3-1.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB，BC的長.知2－練感悟新知感悟新知知2－練如圖1-2-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中線，MN

⊥AB，垂足為N.求證：AN2

－BN2=AC2.例4

知2－練感悟新知解題秘方：將要證明的線段劃到不同的直角三角形中，結(jié)合勾股定理證明.知2－練感悟新知證明：∵MN⊥AB，∴∠ANM=∠BNM=90°.∴在Rt△AMN中，AN2+MN2=AM2，在Rt△BMN中，BN2+MN2=MB2.∴AM2

－MB2=AN2

－BN2.在Rt△AMC

中，∵∠C=90°，∴AM2

－MC2=AC2.又∵AM

是△ABC的中線，∴MC=MB.∴AM2

－MB2=AC2.∴AN2

－BN2=AC2.知2－練感悟新知4-1.如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，D

為斜邊BC

的中點，DE

⊥DF，求證：EF2=BE2+CF2.知2－練感悟新知知2－練感悟新知感悟新知知3－講知識點勾股定理的逆定理31.勾股定理的逆定理?如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.感悟新知知3－講2.利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟(1)

“找”：找出三角形三邊中的最長邊；(2)

“算”：計算其他兩邊的平方和與最長邊的平方；(3)

“判”：若兩者相等，則這個三角形是直角三角形，否則不是.感悟新知知3－講3.勾股定理與其逆定理的關(guān)系定理勾股定理勾股定理的逆定理區(qū)別(1)勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個直角三角形三邊長的關(guān)系，即a2+b2=c2(

c為斜邊長)；

(2)勾股定理是根據(jù)直角三角形探求邊的關(guān)系，體現(xiàn)了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化(1)勾股定理的逆定理是以“一個三角形的三邊長a，b，c

滿足a2+b2=c2”為條件，進而得到這個三角形為直角三角形；

(2)勾股定理的逆定理是由三角形的三邊關(guān)系探求三角形的形狀，體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化

感悟新知知3－講定理勾股定理勾股定理的逆定理聯(lián)系勾股定理和勾股定理的逆定理的條件和結(jié)論相反，勾股定理是直角三角形的性質(zhì)，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都與直角三角形有關(guān)

知3－講感悟新知特別提醒1.a2+b2=c2

只是一種表現(xiàn)形式，滿足a2=b2+c2

或2b=a2+c2

的也是直角三角形，只是這時a

或b

為斜邊.2.若最長邊的平方比兩短邊的平方和大，則該三角形為鈍角三角形；若最長邊的平方比兩短邊的平方和小，則該三角形為銳角三角形.知3－練感悟新知判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC

中，∠A=25°，∠C=65°；例5解題秘方：緊扣“直角三角形的定義”和“勾股定理的逆定理”進行判斷.解：在△ABC

中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°－25°－65°=90°.∴△ABC

是直角三角形.知3－練感悟新知(2)在△ABC

中，AC=12，AB=20，BC=16；解：在△ABC

中，∵AC2+BC2=122+162=202=AB2，∴△ABC是直角三角形.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知5-1.在△

ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，以下命題是假命題的是()A.若∠B+∠C=∠A，則△ABC

是直角三角形B.若a2=(

b+c)(

b－c)，則△ABC是直角三角形C.若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，則△ABC是直角三角形D.若a=32，b=42，c=52，則△ABC

是直角三角形D感悟新知知4－講知識點互逆命題和互逆定理41.互逆命題?在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題.感悟新知知4－講2.互逆定理如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理，這兩個定理稱為互逆定理.注意：命題有真有假，而定理都是正確的，即都是真命題.感悟新知知4－講3.互逆命題與互逆定理的關(guān)系?每個命題都有逆命題，但每個定理不一定都有逆定理.只有當(dāng)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，才能稱這個逆命題為逆定理.知4－講感悟新知特別提醒1.寫一個命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的條件和結(jié)論，把條件和結(jié)論互換，并用通順的語句將它們連接起來.2.原命題的真假和逆命題的真假沒有必然聯(lián)系.原命題是真命題，其逆命題不一定是真命題；原命題是假命題，其逆命題也不一定是假命題.感悟新知知4－練[母題教材P16隨堂練習(xí)T3]判斷下列命題的真假，寫出逆命題，并判斷逆命題的真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點；例6

解：原命題是真命題.逆命題：如果兩條直線只有一個交點，那么它們相交.逆命題是真命題.知4－練感悟新知解題秘方：緊扣互逆命題“條件、結(jié)論正好相反”這一特征改寫命題.感悟新知知4－練(2)如果a>b，那么a2>b2；(3)如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零；(4)如果ab<0，那么a>0，b<0.解：原命題是假命題.逆命題：如果a2>b2，那么a>b.逆命題是假命題.原命題是真命題.逆命題：如果兩個數(shù)的和為零，那么它們互為相反數(shù).逆命題是真命題.原命題是假命題.逆命題：如果a>0，b<0，那么ab<0.逆命題是真命題.知4－練感悟新知6-1.按要求完成下列各題.(1)請寫出以下命題的逆命題：①相等的角是內(nèi)錯角；②如果a+b>0，那么ab>0.解：“相等的角是內(nèi)錯角”的逆命題是“如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等”．“如果a＋b＞0，那么ab＞0”的逆命題是“如果ab＞0，那么a＋b＞0”．知4－練感悟新知(2)判斷(1)中①的原命題和逆命題是不是互逆定理.解：定理首先是真命題，而(1)中①的原命題與逆命題都是假命題，故(1)中①的原命題和逆命題不是互逆定理．感悟新知知5－講知識點“斜邊、直角邊”（“HL”）定理51.定理斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”)

.知5－講感悟新知特別提醒◆應(yīng)用“HL”判定兩個直角三角形全等，在書寫時兩個三角形符號前一定要加上“Rt”.◆判定兩個直角三角形全等的特殊方法“HL”，只適用于直角三角形全等的判定，對于一般三角形不適用.◆判定一般三角形全等的所有方法對判