2024春八年級數(shù)學(xué)下冊第1章三角形的證明3線段的垂直平分線課件新版北師大版

1.3線段的垂直平分線第一章三角形的證明逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2線段垂直平分線的性質(zhì)定理線段垂直平分線的判定定理三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)定理用尺規(guī)作已知直線(或線段)的垂線知1－講感悟新知知識點(diǎn)線段垂直平分線的性質(zhì)定理11.性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.條件：點(diǎn)在線段的垂直平分線上.結(jié)論：這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.感悟新知2.幾何語言如圖1-3-1，∵AD⊥BC

于D，BD=CD，∴AB=AC.知1－講感悟新知3.線段垂直平分線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：兩者都可以直接得到兩條線段相等.區(qū)別：前者指的是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，后者指的是點(diǎn)到直線的距離.知1－講感悟新知知1－講特別解讀1.線段的垂直平分線的性質(zhì)中的“距離”是“該點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離”.2.用線段的垂直平分線的性質(zhì)可直接證明線段相等，不必再用三角形全等來證明，因此它為證明線段相等提供了新方法.知1－練感悟新知[母題教材P24習(xí)題T3]如圖1-3-2，在△ABC

中，AB=5cm，BC

的垂直平分線分別交AB，BC

于點(diǎn)D，E，△ACD

的周長為8cm，求線段AC的長.例1知1－練感悟新知解：∵DE

為BC的垂直平分線，∴CD=BD.∴△ACD的周長=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=8cm.∵AB=5cm，∴AC=3cm.解題秘方：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)將要求的線段向已知條件轉(zhuǎn)化.知1－練感悟新知1-1.

[中考·麗水]如圖，在△ABC

中，AC

的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，∠B=∠ADB．若AB=4，則DC的長是_______.4感悟新知知2－講知識點(diǎn)線段垂直平分線的判定定理21.判定定理到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.條件：點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等.結(jié)論：點(diǎn)在線段的垂直平分線上.感悟新知知2－講2.幾何語言如圖1-3-3，∵AB=AC，∴點(diǎn)A在線段BC

的垂直平分線上.知2－講感悟新知特別解讀1.用定義法證明一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上，思路有兩種：一是作垂直，證平分；二是取中點(diǎn)，證垂直.2.用判定定理證明線段的垂直平分線，必須證明兩個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上.感悟新知知2－練如圖1-3-4，AD

為∠BAC

的平分線，交BC

于點(diǎn)D，AE=AF，請判斷線段AD所在的直線是否為線段EF的垂直平分線.若是，請給予證明；若不是，請說明理由.例2

知2－練感悟新知解題秘方：緊扣線段的垂直平分線的判定，證明直線AD上的點(diǎn)A和點(diǎn)D

到線段EF

的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等即可.知2－練感悟新知

知2－練感悟新知∴DE=DF.∴點(diǎn)D

在線段EF的垂直平分線上.∵AE=AF，∴點(diǎn)A

在線段EF的垂直平分線上.∴線段AD

所在的直線是線段EF

的垂直平分線.切忌只證明一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，就說過該點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線.知2－練感悟新知教你一招：判定線段垂直平分線的兩種方法：一是定義法，二是判定定理.一般習(xí)慣用定義法進(jìn)行判定，而利用判定定理判定一條直線是線段的垂直平分線時(shí)，一定要證明直線上有兩點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.知2－練感悟新知2-1.如圖，AB=AD，BC=DC，點(diǎn)E

是AC上一點(diǎn).求證：(1)

BE=DE；知2－練感悟新知證明：連接BD.

∵AB＝AD，∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上．又∵BC＝DC，∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上．∴AC所在的直線是線段BD的垂直平分線．∵點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，∴BE＝DE.知2－練感悟新知(2)∠ABE=∠ADE.證明：易知四邊形ABCD是以直線AC為對稱軸的軸對稱圖形，∴∠ABE＝∠ADE.感悟新知知3－講知識點(diǎn)三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)定理3性質(zhì)定理三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.知3－講感悟新知特別解讀因?yàn)槿切稳我鈨蓷l邊的垂直平分線一定交于一點(diǎn)，所以要證明三角形三條邊的垂直平分線的性質(zhì)，只要證明這個(gè)交點(diǎn)在第三條邊的垂直平分線上即可.該性質(zhì)綜合了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，是這兩個(gè)定理的升華，同時(shí)也給出了判定三線共點(diǎn)的一種特殊方法.感悟新知知3－講符號語言如圖1-3-5，∵直線MN，EF，PQ分別垂直平分BC，AB，AC，∴直線MN，EF，PQ

相交于一點(diǎn)O，且OA=OB=OC.拓展幾種三角形三條邊的垂直平分線交點(diǎn)的情況如圖1-3-6所示.知3－練感悟新知如圖1-3-7，OE，OF所在直線分別是△ABC中AB，AC邊的垂直平分線，∠OBC，∠OCB

的平分線相交于點(diǎn)I，試判斷OI

與BC

的位置關(guān)系，并給予證明.例3知3－練感悟新知解題秘方：根據(jù)三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)和三個(gè)內(nèi)角的平分線也相交于一點(diǎn)這兩條性質(zhì)進(jìn)行證明.知3－練感悟新知解：OI⊥BC.證明如下：如圖1-3-7，延長OI

交BC

于點(diǎn)M.∵OE垂直平分AB，OF垂直平分AC，∴點(diǎn)

O在BC

的垂直平分線上.∴OB=OC.又∵BI平分∠OBC，CI

平分∠OCB，∴OI

平分∠BOC，即∠BOI=∠COI.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知3-1.如圖，點(diǎn)P

為△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∠PAC=20°，∠PCB=30°.(1)求∠PAB的度數(shù)；知3－練感悟新知知3－練感悟新知(2)直接寫出∠APB與∠ACB

的數(shù)量關(guān)系：__________________.∠APB＝2∠ACB感悟新知知4－講知識點(diǎn)用尺規(guī)作已知直線（或線段）的垂線4作圖已知、求作作法作等

腰三

角形已知：如圖，線段a，h.

求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.

(1)如圖，作線段BC=a.

(2)作線段BC

的垂直平分線l，交BC

于點(diǎn)D.

(3)在l

上作線段DA，使DA=h.

(4)連接AB，AC.

△ABC

為所求作的等腰三角形.

感悟新知知4－講作圖已知、求作作法過直

線上

一點(diǎn)

作直

線的

垂線已知：如圖，直線

l和

l上一點(diǎn)P.

求作：直線

l的垂

線，使它過點(diǎn)P.

(1)如圖，以點(diǎn)P

為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交直線

l于點(diǎn)A，B.

(2)作線段AB

的垂直平分線m.

直線m

為所求作的垂線.

感悟新知知4－講作圖已知、求作作法過直

線外

一點(diǎn)

作直

線的

垂線已知：如圖，直線

l和

l外一點(diǎn)P.

求作：直線

l的垂

線，使它過點(diǎn)P.

(1)如圖，以點(diǎn)P

為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線l

于點(diǎn)A，B.

(2)作線段AB

的垂直平分線m.

直線m

為所求作的垂線.

知4－講感悟新知?dú)w納總結(jié)作圖題的一般思路：1.假設(shè)所求作的圖形已作出，畫出草圖；2.在草圖上標(biāo)出已知的邊、角的對應(yīng)位置及規(guī)定的交點(diǎn)字母；3.從草圖中找出可作的基本圖形，確定作圖順序；4.按確定的順序作出所求作的圖形.感悟新知知4－練

例4

知4－練感悟新知解題秘方：緊扣尺規(guī)作圖作線段垂直平分線及過直線上一點(diǎn)作已知直線的垂線的步驟作出三角形，并按提供的數(shù)據(jù)求高.知4－練感悟新知解：如圖1-3-9，△ABC

即為所求.感悟新知知4－練(2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB=4cm，求AC邊上的