2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編：向量的數(shù)量積與三角恒等變換章節(jié)綜合

2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

向量的數(shù)量積與三角恒等變換章節(jié)綜合

1.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知正方形ABC。的邊長為2,P為正方形ABC。內(nèi)部(不含邊界)的動

點，且滿足PA?P3=0,則CPOP的取值范圍是()

A.(0,8]B.[0,8)C.(0,4]D.[0,4)

2.(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)函數(shù)/(x)=sin2x?tanX是()

A.奇函數(shù)，且最小值為0B.奇函數(shù)，且最大值為2

C.偶函數(shù)，且最小值為0D.偶函數(shù)，且最大值為2

3.(2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模)如圖，圓M為二A3C的外接圓，AB=4,AC=6,N為邊8C的中點，則

ANAM=()

4.(2023?北京豐臺?統(tǒng)考一模)在/5C中，若2cosAsin8=sinC,則該三角形的形狀一定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

5.(2023?北京豐臺?統(tǒng)考一模)已知正方形ABCZ)的邊長為2,則ABSC=

6.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=SinX+sin(x+g

⑴求/(x)的最小正周期;

TT

(2)若X=W是函數(shù)y=∕(x)-∕(x+0)">O)的一個零點，求9的最小值.

6

7.(2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模)設(shè)函數(shù)/(x)=ASin5CoS0x+cos2αM?(A>O,0>θ),從條件①、條件②、

條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得f(x)存在.

⑴求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)求/(x)在區(qū)間0,；上的最大值和最小值.

條件①：f(χ)=f(-χ)↑

條件②：/(x)的最大值為?

條件③：/(?)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為5.

注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分.

8.(2023?北京豐臺?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=2sin(5+s)3>O,O<0<7t)的部分圖象如圖所示.

JT

⑵若函數(shù)g(x)=∕(x)sinx,求g(x)在區(qū)間0,-上的最大值和最小值.

9.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=4SinXCOSX-ΛΛCOS2X的一個零點為｝

6

⑴求A和函數(shù)/O)的最小正周期；

⑵當(dāng)xe[θgj時，若/(x)≤m恒成立，求實數(shù)〃?的取值范圍.

10.(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)設(shè)A(COSa,sina),8(2CoS∕7,2sin0,其中α∕wR.當(dāng)α=τr,/?=]時，∣ABl=

—;當(dāng)IAH=K時，a-6的一個取值為一.

參考答案

1.D

【分析】通過建立合適的直角坐標(biāo)系，設(shè)P(χ,y),得到尸的軌跡方程，最后得到CPoP的表達(dá)式，根據(jù)

函數(shù)單調(diào)性即可得到其范圍.

【詳解】以AB中點為原點建立如下直角坐標(biāo)系；

則A(TO),8(1,0),C(l,2),0(-1,2),

設(shè)P(X,y),則PA=㈠一x,-y),PB={?-x,-y),

貝”AP8=-(l2)+y2=0,

BRX2+y2=1,則/_1=_》2,其中τ<χ<ι,0<y<l,

貝IJCP=(X—1,)，一2),OP=(X+l,y_2),O<y≤l

貝IJCPOP=X2_]+(y_2)2=_y2+(y_2)2=Ty+4e[0,4),

故選：D.

2.C

【分析】根據(jù)題意可知定義域關(guān)于原點對稱，再利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系化簡可得

/(x)=2SinA=I-COS2x,由三角函數(shù)值域即可得/(x)e[θ,2),即可得出結(jié)果.

【詳解】由題可知，f(x)=sin2x?tanx的定義域為卜∣x≠]+far,keZ∣,關(guān)于原點對稱，

且/(x)=Sin2x?tanx=2sinxcosx??^^=2sin2χ,

COSX

而/(-1)=25訪2(_力=25由21=/(不)，即函數(shù)/(X)為偶函數(shù)；

所以/(?)=2sin2X=1-cos2x,x≠+Ax,Z:∈Z,又CoS2x∈(-1,1],

即/(x)=l-cos2x∈[0,2),可得函數(shù)/a)最小值為0,無最大值.

故選：C

3.C

【分析】由三角形中線性質(zhì)可知AN=g(A8+AC),再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知

[T]T

IAMICOSZBAM=-IABI,同理可得IAMlCoS/C4M=二IAC|,再由數(shù)量積運(yùn)算即可得解.

22

【詳解】N是BC中點,

.?.AN=—（AB+AC）,

2

M為.ΛBC的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，

1,1,

.?.AM-AB=IAMIlAB?cosZBAM=-∣AB∣2=-×42=8,

22

同理可得AM?AC=L∣AC∣2=I8,

2

.?.AMAD=AM?-(AB+AQ=-AMAB+-AMAC=-×S+-×?S=?3.

22222

故選：C

4.A

【分析】利用內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式得至USinC=Sin(A+8),利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，代入

已知等式變形再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，得到A-B=O,即A=B,即可確定出三角形形

狀.

【詳解】解：?在ABe中，sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A÷B)=sinAcosB÷cosAsinB,

.?.2cosAsinB=SinC=sinAcosB÷cosAsinB,即SinAcosB-cosAsinB=sin(A—B)=0,

A,B∈(0,π),.??A-B∈(-π,π),

A-B=O9即A=3,則ABC為等腰三角形.

故選：A.

5.4

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及數(shù)量積的定義計算可得.

【詳解】因為正方形ABa)的邊長為2,所以NC4B=45。，IAM=2,IAq=JI何+忸Cf=20,

所以48?4C=∣ABHAqcosNC4B=2x2√Σx*=4.

故答案為：4

6.(l)2π

嗎

【分析】(1)三角函數(shù)恒等變換的公式，化簡函數(shù)"x)=6Sin(X+看)，進(jìn)而求得函數(shù)的最小正周期；

(2)由(1)得至IJ函數(shù)y=Gsin[x+^)-若sin。:+/+%｝根據(jù)題意，得至IJ方程Sin(W+s]=等，即可

求解.

【詳解】(1)解：由函數(shù)F(X)=SinX+sin[x+5)=sinx+gsinx+*osx

=—sinx+-cos%=χ∕3sinfΛ+-1,

22I6)

所以函數(shù)/(x)的最小正周期為7=2兀.

由看卜

(2)解:y=∕(x)-f(x+9)=√5sin(x+6Sin(X+e+S

π

因為X=Z是函數(shù)y=∕(x)-∕(x+0)">O)的一個零點,

O

=0,

艮f?等一sin(g+e)=O,艮pJsin［1+e)=^,

「?Tr7r_._Jr2ττCl.-

口J得cλ］+G=］+2kπ或IX§+*=彳+2?π,攵∈Zrr

Tr

即φ—2?π或°=§+2kπ,keZ,

又因為e>o,所以9的最小值為。.

7.(1)選擇條件②③，/(x)=sinf2x+^+l

3

(2)最大值為5,最小值為0.

【分析】(1)由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性可排除條件①，先利用輔助角公式化簡/(x),再根據(jù)正弦函

數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；

(2)利用整體代入法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)若選擇條件①，

AC

因為/(尤)=—sin26yχ+cos2ωx所以/(T)=5Sin(-2GX)+cos2(-69%)=-—sin2tyχ+cos2ωx

22

由/(%)寸(-%)可得Asin2ωx=O對XGR恒成立,與A>0,G>0矛盾，

所以選擇條件②③，

由題意可得/(-?)=Asin(-6Λτ)cos(-69x)+cos2(-69x)=-Asin26ΛX+COS2ωx,

設(shè)苫,

由題意可得/(x)=^sinZGx+geos2Gx+g=-［十］Sin(2S+j)+g，

A1

其中COSe=-=,sm^=-==,

JrAτ-+1√7A~+1

因為f(x)的最大值為?所以Y穿+g=∣,解得A=G,

所以SinsT夕哈

由/(X)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為]可得￡=5,

兀

所以T=W2=π解得0=1,

2ω

所以，(X)=Sin(2》+弓)+；.

(2)由正弦函數(shù)的圖象可得當(dāng)x』0,1時，2x+mJ[?],SinbX-?1

L2」OLθθJIo√L2

所以“X)在區(qū)間o,?f上的最大值為∣?,最小值為0?

8.⑴〃x)=2sin(x+；)

(2)最大值為應(yīng)和最小值為0

【分析】(1)由圖象及三角函數(shù)的性質(zhì)可以得到他夕，進(jìn)而得到AX)的解析式；

(2)根據(jù)三角恒等變換化簡g(x),進(jìn)而分析在區(qū)間0,：上的最大值和最小值.

【詳解】(1)由圖象可知：7=4x(手-；]=生.?.<y=l,

將點(：2卜弋入y=f(x)得/(7)=2sin[：+g)=2;.e=：+2E,

_π

0<°vπ.?.0=]

π

/./(x)=2sinXH---

4

√2

(2)g(x)=/(x)sin?=72sinX(Sin?+cos?)=?(sin2x-cos2Λ)+?=sin(2x-?^1+

2

.八兀/I-兀πππ

由Xe叱得2>片-

44,4

當(dāng)2X-：=-：時，即"=°超(力.=°；

當(dāng)時，即％=甘(為皿=&；

9.(1)Λ=2;π

⑵[2,田)

【分析】(1)解方程/(5=0即可求A,然后把函數(shù)降幕，輔助角公式后再求周期.

(2)若/(x)≤”恒成立，即求F(X)Im*≤加.

【詳解】(1)/(x)=ASinXCoSX-GeoS2x的一個零點為J

?,?∕f^τ^∣?Asin-?cos--?∣3cos—=O,g∣]A?-?—?/???=O?.?A=2

⑹663222

.,./(?)