中考數學復習指導：例談“SAS”全等思想在解題中的應用

例談“SAS”全等思想在解題中的應用利用兩個特殊多邊形的對應邊及其夾角相等得到兩個三角形全等，這也就是SAS全等思想的應用．運用其模型分析時，一要抓住兩對相等的對應邊，二要找準等對應邊的夾角．下面以近年來的中考試題加以說明．一、兩個等腰三角形組合型例1已知：如圖1(1)，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分別是AB，AC邊的中點．將△ABC繞點A順時針旋轉α角(0°<α<180°)，得到△AB'C'，如圖1(2)．(1)探究DB'與EC'的數量關系，并給予證明；(2)當DB'∥AE時，試求旋轉角α的度數．評析本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質．題中的兩個等腰三角形中隱含著兩對對應邊相等，易想到利用“SAS”全等模型分析，從而使問題迅速得解，問題(2)也可證∠AEC'＝90°，在Rt△AEC'中，根據cosα＝，求得旋轉角α＝60°．二、兩正方形組合型例2如圖2，點G是正方形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AG為邊作一個正方形AEFG，線段EB和GD相交于點H． (1)求證：EB＝GD； (2)判斷EB與GD的位置關系，并說明理由；(3)若AB＝2，AG＝，求EB的長．解析(1)由正方形ABCD和正方形AEFG知：AG＝AE，AB＝AD．又∠GAD＝90°＋∠EAD，評析本題考查了正方形的性質、全等三角形的判斷與性質以及勾股定理，題中的兩個正方形中隱含著我們需要的兩對相等的對應邊，利用“SAS”全等模型分析，易判斷出夾角相等，從而完成(1)問，根據(1)的解答才能順利完成(2)、(3)問．三、等腰三角形與正方形組合型例3如圖3(1)，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，點D，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，此時BD＝CF，BD上CF成立．(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ角（0°<θ<90°）時，如圖3(2)，BD＝CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3(2)，延長BD交CF于點G．①求證：BD⊥CF；②當AB＝4，AD＝時，求線段BG的長．解析(1)由等腰直角AABC和正方形ADEF知：AB＝AC，AD＝AF；由旋轉性質得∠BAD＝∠CAF＝θ．根據“SAS”全等模型可得評析此題利用圖形的旋轉，考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質、矩形的性質、勾股定理以及三角函數等知識，綜合性很強．問題(1)利用“SAS”全等模型易得解，根據(1)中的全等條件，利用其對應角相等并結合條件中的兩角和為90°，可證(2)問中的①；第②問利用①中的結論垂直，并結合三角形函數，求得CC的長，最后利用勾股定理得解．四、等邊三角形與菱形組合型例4已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重臺），以AD為邊作菱形ADEF(A.D.E.F按逆時針排列)，使∠DAF＝60°，連結CF．(1)如圖4(1)，當點D在邊BC上時，求證：①BD＝CF，②AC＝CF＋CD；(2)如圖4(2)，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論AC＝CF＋CD是否成立？若不成立，請寫出AC，CF，CD之間存在的數量關系，并說明理由；(3)如圖4(3)，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC，CF，CD之間存在的數量關系．解析(1)由△ABC是等邊三角形，可得評析