2024年高考數(shù)學(xué)摸底考試卷（高考通用）（含答案）

2024年高考數(shù)學(xué)摸底考試卷

高三數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求.

1.設(shè)集合&={-3,—2,—1,0,1,2,3},2=卜--尤go},則4B=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.0

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l+27）=3—i,則回=

A.2B.6C.y/2D.1

3.已知向量a,%滿足同=2忖=2,（a-b）（2a+6）=8,則a與b的夾角為（）

A3B.2C.工D.生

3366

4.已知隨機(jī)變量XB（2,p）,隨機(jī)變量￥N（2,4）,若P（XWl）=0.36,P（V<4）=p,則P（0<y<2）=

（）

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

z1xx2+ax

5.若函數(shù)〃尤）=*在［1，2］單調(diào)遞減，則a的取值范圍（）

A.a>—2B.a<—2C.a<-4D.aN—4

22

6.已知點(diǎn)Fi、F2分別是橢圓'+七=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn),過(guò)Fi且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、

ab

B兩點(diǎn)，若AABF2為正三角形，則橢圓的離心率是

A.2B.J2C.3D.B

3

7.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，命題P：“%＞。，4＞?！保}，“跖＞0"，則命題P是命題4的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

8.在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，ZB/1D=|,現(xiàn)將菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起，當(dāng)AC=3新時(shí)，三棱錐

A-BCD外接球的表面積為()

A.24兀B.48兀C.60兀D.72兀

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)毛，一組樣本乙的數(shù)據(jù)2%+1,其中％[=1,2,3,4,5,6,7,8)為不完全相等的正數(shù)，則

下列說(shuō)法正確的是()

A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差

B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差

C.若樣本甲的中位數(shù)是加，則樣本乙的中位數(shù)是2m+1

D.若樣本甲的平均數(shù)是〃，則樣本乙的平均數(shù)是2〃+1

10.已知正方體ABCO-AqGA,貝！1()

A.直線BG與所成的角為90。B.直線BG與CA所成的角為90°

C.直線BG與平面8BQQ所成的角為45。D.直線BG與平面ABC。所成的角為45。

11.已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x+2)+〃x)=0,且y=〃2-x)為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確

的是()

A.函數(shù)的周期為2B.函數(shù)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱

C.函數(shù)〃x)為偶函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于x=3對(duì)稱

12.拋物線C:x2=2m(p＞0)的準(zhǔn)線方程為y=T,過(guò)焦點(diǎn)/的直線/交拋物線C于A,5兩點(diǎn)，貝U()

A.C的方程為爐=2＞

B.|席|+2怛尸|的最小值為4+2若

C.過(guò)點(diǎn)”(4,2)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有2條

211

D.過(guò)點(diǎn)A,2分別作C的切線，交于點(diǎn)尸國(guó),%)(無(wú)0H0),則直線PEPAP8的斜率滿足廠=1+]

KppKPAKpR

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地?fù)?dān)任服務(wù)工作，若被選派的人中至

少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有種.(用數(shù)字作答)

14.已知正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為3,兩底面邊長(zhǎng)分別為2和4,則該四棱臺(tái)的體積為

。8

2

15.已知直線/：x-my+l=0與?+Y=4交于A,B兩點(diǎn)，寫出滿足“11ABe面積為:'的m的一

個(gè)值______.

16.設(shè)函數(shù)〃x)=sin(0x+gj在區(qū)間(0㈤恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是.

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

17.為數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，已知%＞。，+=4s“+3.

(1)求證：數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)勿=-----，求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和

anan+l

18.在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,且6e-acosC)=csinA.

⑴求角A的大??；

(2)若。=2,求，1BC周長(zhǎng)的取值范圍.

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC，底面A3CD,四邊形ABCD是直角梯形，ADLDC,AB//DC,

PC=AB=2AD=2CD=2,點(diǎn)E在棱PB上.

⑴證明：平面￡4C_L平面PBC；

(2)當(dāng)BE=2放時(shí)，求二面角尸一AC-E的余弦值.

20.為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4

道題目進(jìn)行作答.假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是=且每道題正確完成與否互不影

響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成.

(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；

(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參

加市級(jí)比賽(活動(dòng)規(guī)則不變)會(huì)更好，并說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)，(尤)=*/-4111尤在X=1處的切線方程為y=(2e+l)x-6(a,6eR)

(1)求實(shí)數(shù)。，b的值；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=〃x)—2e*—x+3,當(dāng)xe1,1時(shí)，g(x)<m(meZ)恒成立，求加的最小值.

2

22.設(shè)直線x=，〃與雙曲線C：尤2一］_=〃?(〃?>0)的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn)，且三角形。4B的面積

為技

(1)求加的值；

(2)已知直線/與x軸不垂直且斜率不為0,/與C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)N,M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M',F

為C的右焦點(diǎn)，若AT,F,N三點(diǎn)共線，證明：直線/經(jīng)過(guò)x軸上的一個(gè)定點(diǎn).

2024年高考數(shù)學(xué)摸底考試卷

高三數(shù)學(xué)參考答案

1.B2.C3.A4.C5.A6.D

7.D8.C9.ACD10.ABD11.BC12.BD

13.36

28a

14.

3

2（2,-2,2,-《中任意一個(gè)皆可以）

15.

22

16.SI1

17.[詳解](1)由+2a〃=4S”+3,可知a1+i+2an+i=4Sn+1+3

兩式相減得d+1-片+2（為+1-為）=4%+1,

即2(%+%)=d+i-d=(%+%)(%+「%),

?4〉0，??“〃+1.%=2,

，?,當(dāng)〃=1時(shí)，a；+24=4〃i+3,a1=-1(舍)或〃i=3,

則｛見(jiàn)｝是首項(xiàng)為3,公差d=2的等差數(shù)列，

***｛]〃｝的通項(xiàng)公式4=3+2(〃-1)=2〃+1；

(2)Van=2n+1,

1

:.b=，=____________=1O_______

?

〃anan+i(2n+l)(2n+3)2(2〃+l2n+3J

???數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和

Tu」+」+…---

2135572n+l2n+3)2(32n+3j3(2〃+3)

18.【詳解】(1)由正弦定理得百(sin3-sinAcosC)=sinCsinA,

又A+B+C=71,sin(A+C)=sin(兀-B)=sinB,

貝16[sin(A+C)—sinAcosC]=sinCsinA,

化簡(jiǎn)得cosAsinC=sinCsinA，

又sinC>0,所以^3cosA=sinA,則^3=tanA，

因?yàn)?/p>

所以A4;

a_b_c_2_4A/3

（2）由正弦定理得：sinAsin5sinCsin二3，

3

??a+Z?+c=2d-------sinBH-------sinC=2H-------sinB+sin--------B

=2+^^-—sinB+^-cosB=2+4sinfB+—

ABC為銳角三角形,

解得:

63

2A/3<4sinB+-<4,

??2+2^/3<Q+Z?+C46,

即^ABC的取值范圍為（2+2省,61

19.【詳解】（1）因?yàn)镻C,底面ABCD,ACu平面ABCD,

所以尸C_LAC.

因?yàn)锳B=2,AD=CD=1,所以AC=8C=JL

所以AC2+BC2=432,所以AC1BC.

又因?yàn)槭珻cBC=C,PCu平面PBC,BCu平面PBC,

所以AC_L平面PBC.

又ACu平面EAC,

所以平面E4C_L平面PBC.

（2）解法一：

以點(diǎn)C為原點(diǎn),CB,CA,CP所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0,0）,

B(V2,0,0),A(0,V2,0),P(0,0,2),

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,y,z),因?yàn)锽E=2EP，所以(x-&,y,z)=2(-元,-y,2-z),

即彳=立，y=0,z=±,所以*g,0,。,

33I33J

所以C4=(O,0,O),CE=.

I33J

/、[n-CA=O

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為〃=(%,y,z),貝".

n-CE=0

6y=0

所以,y/24，取x=2^2，則>=°，z=—1.

——x+—z=O

[33

所以平面ACE的一個(gè)法向量為n=（272,0,-1）.

又因?yàn)锽C工平面PAC,所以平面PAC的一個(gè)法向量為C3=（0,O,O,

設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為0,

所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為述.

3

解法二：

取AB的中點(diǎn)G,連接CG,以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CG,CD,CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所

示

的空間直角坐標(biāo)系，則C（0,0,0）,3（1,-1,0）,4（1,1,0）,尸（0,0,2）.

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x,y,z）,因?yàn)辂?2而,所以（毆-1,丫+1,2）=2（-8-村2-2）,

即x=：,,=_；，z=g,所以一；,；].

JJJ

所以CA=（l/,0）,CE=1,-g,￡|.

.z、[n-CA=0

設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為〃=（羽y,z）,則1

n-CE-0

x+y=0

3

所以114c取x=3,則y=-3,z=一/.

—x——y+—z=0

〔333

所以，平面ACE的一個(gè)法向量為〃-3,-|

又因?yàn)锽C/平面PAC,所以平面PAC的一個(gè)法向量為CB=（l,T0）.

設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為巴

cos^=|coskCB）\=||3xl+（一3）x（T）|-----------=述

則c）3

所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為述

3

20.【詳解】（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A,則

33|4189

P（A）=C；I~256

（2）X的可能取值為2,3,4

c2c2153

小=2)=看

J7014

ClC340_4

()尚

PX=3=-

J707

P(X=4)/153

,

J70-14

X的分布列為;

X234

343

P

14714

343

數(shù)學(xué)期望E(X)=2XR+3X,+4X^=3.

190

（3）由（1）知，小明進(jìn)入決賽的概率為P（A）==；

256

431I

記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B,則P（B）=-+—=—

因?yàn)镻（3）>P（A）,故小宇進(jìn)決賽的可能性更大,

所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽.

21.【詳解】（1）定義域?yàn)椋?,+力，廣（x）=（x+l）e=?

/”)=2e-a=2e+l

由題意知

/(l)=2e+l-Z?=e

解得〃=—1,Z?=e+1；

(2)g(x)=/(x)—2ex-x+3=(x—2)e*+lnx-x+3,

貝Ijg，（尤=

令〃(x)=e'-L其中尤e：』，貝(無(wú))=e，+3>0,

x_2__x

所以函數(shù)〃（x）=e'-L在xe上單調(diào)遞增,

JC_乙_

因?yàn)椤?<0,/2（l）=e-l>0,所以存在唯一

使得/?(%)=廣-2=0,即e&=-!-,可得xo=_lnxo,

當(dāng)g<x<x°時(shí)，g'(x)>0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)X?！从?lt;1時(shí)，g'(x)<0,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)無(wú)e1,1時(shí)，g(x)1mx=g(%o)=(尤o-2)e*+ln/ro+3,

因?yàn)閑""=十，xQ=-lnxQ,所以8?耐=4-210+：卜4一4}).：=0,

當(dāng)且僅當(dāng)即％=1時(shí)，取等號(hào)，

%

又因毛*,11所以g(x)a=4-21。+￡|<0,

即g(x)<0,因?yàn)間(l)=2—e>-l,=■人>：-ln2-；x：=-ln2>-l,

所以當(dāng)xe1,1時(shí)，—l<g(x)<0,

因?yàn)楫?dāng)xe時(shí)，g{x)<m(meZ)恒成立，

所有加mm=。.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于把恒成立問(wèn)題通過(guò)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)

化后利用導(dǎo)數(shù)判斷出其定義域上的單調(diào)性求出值域或最值問(wèn)題就解決了.

2

22.【詳解】(1)雙曲線C：/■=根(〃-0)的漸近線方程為'=±氐，

不妨設(shè)人(相，月加)，網(wǎng)加,

因?yàn)槿切?。鉆的面積為右，所以:|A斗m=

所以73m2=百，又加>0,所以機(jī)=1.

2

(2)雙曲線C的方程為C：尤2-4=1，所以右焦點(diǎn)/的坐標(biāo)為(2,。)，

依題意，設(shè)直線/與x軸交于點(diǎn)(p,0),直線/的方程為、=人(左一。)(人°)，

設(shè)朋■(%,%),N(x2M，則”(占，f)，

丫=左(尤一0)

222

聯(lián)立2^（3-F）x+2^x-（Fp+3）=0,

2y.x

X----------1

3-/w0且A=（2汰2）2+4（3-％2）,2°2+3）＞0,

化簡(jiǎn)得公片3且（p2-l*2+3>o,

2pk2Fp2+3

所以玉+/=—-------,=—

3-公123-k.2

因?yàn)橹本€MN的斜率存在，所以直線M2V的斜率也存在,

因?yàn)閃,F,N二點(diǎn)共線，所以卜乂丁=kpN,

即己=鼠，即一y（%_2）=%（x「2）,

所以一女（看一夕）（無(wú)2-2）=左（%2—0（%-2），

因?yàn)閗wO,所以—p)(%2—2)+(9—P)(占一2)=0,

所以一(〃+2)(玉+%2)+4〃=0,

2024年高考數(shù)學(xué)摸底考試卷

高三數(shù)學(xué)-答題卡

姓名：__________________________________________

準(zhǔn)考證號(hào):IIIIIIIIIII

注意事項(xiàng)

1.答題前，考生先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫清貼條形碼區(qū)

楚，并認(rèn)真檢查監(jiān)考員所粘貼的條形碼。

2.選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用

0.5mm黑色簽字筆答題,不得用鉛筆或圓珠筆答

題；字體工整、筆跡清晰。

3.請(qǐng)按題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出

區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題缺考「

無(wú)效。此欄考生禁填廣

4.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破。標(biāo)記

5.正確填涂■

一、選擇題（每小題5分，共40分）

1[A][B][C][D]5[A][B][C][D]

2[A][B][C][D]6[A][B][C][D]

3[A][B][C][D]7[A][B][C][D]

4[A][B][C][D]8[A][B][C][D]

二、多項(xiàng)選擇題（全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得

0分，共20分）

9[A][B][C][D]10[A][B][C][D]

11[A][B][C][D]12[A][B][C][D]

三、填空題（每小題5分，共20分）

13.14.

15.16.

四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）

17.（10分）

7

請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效！

18.（12分）

y

請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效！

19.（12分）

P

|7

請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效!

20.（12分）

y

請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效!

21.（12分）

y

z*

請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效!

22.（12分）

請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效!

2024年高考數(shù)學(xué)摸底考試卷

高三數(shù)學(xué)

(考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求.

1.設(shè)集合A={-3,—2,—1,0,1,2,3},B={X|X2-X<0},則AB=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.0

【答案】B

【分析】解不等式召-xWO得集合3,再求A與8的交集即可得解.

【詳解】解不等式尤之一尤40得OVxVl,

于是得3={x|04xWl},

而4={-3,-2,-1,012,3},

所以AB={0,l}.

故選：B

2.已知復(fù)數(shù)z滿足z(l+27)=3—i,則目=

A.2B.73C.72D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得z,根據(jù)模長(zhǎng)運(yùn)算可求得結(jié)果.

3-i(3-/)(l-2z)_17.

【詳解】l+2z一(l+2z)(l-2z)-5-5Z

本題正確選項(xiàng)：C

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù).

3.3.已知向量a,%滿足同=羽=2,（°叫.（2a+6）=8,則a與6的夾角為（）

A.2B.生C.工D.空

3366

【答案】A

【分析】由（4-孫（20+6）=2同2-.2--=8求得°/=_1,再根據(jù)向量夾角公式即可求解.

［詳解］因?yàn)椋?_孫（24+5）=2同2_°必_好=8.又同=2忖=2,所以。力=-1.

所以cos(a,b)=a-b

同M一5,

因?yàn)?4《涉）<兀，所以。與人的夾角為

故選：A

4.已知隨機(jī)變量xB（2,p）,隨機(jī)變量yN（2,"），若P（XVl）=0.36,P（Y<4）=p,則P（0<Y<2）=

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】C

【分析】由P（XWl）=0.36求出p=0.8,進(jìn)而P（y<4）=p=0.8,由此求出網(wǎng)0<丫<2）.

【詳解】因?yàn)閄B(2,p),YN(2,/),P(X<1)=036,

所以尸(XVl)=(l—py+2p(l_p)=0.36,

解得P=0-8或。=一0.8(舍)，

由尸(y<4)=°=0.8,則尸(124)=1-0。=0.2,

所以P(0<y<2)=1(l-0.2x2)=0.3.

故選：C.

x+ax

5.若函數(shù)〃尤）=I在［L2］單調(diào)遞減，則a的取值范圍（）

A.〃2—2B.aS—2C.ci—4-D.a>-A

【答案】A

【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性來(lái)求得。的取值范圍.

z1\%+ax

【詳解】依題意函數(shù)/（X）=|在［L2］單調(diào)遞減,

在R上遞減，

5

?二爐+依的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=-_|,

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，-葭41=。2-2.

故選：A

22

6.已知點(diǎn)Fi、F2分別是橢圓與+與=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)Fi且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、

ab

B兩點(diǎn)，若AABF2為正三角形，則橢圓的離心率是

A.2B.J2C.3D.正

3

【答案】D

￡

【分析】先求出缺的長(zhǎng)，直角三角形AG鳥(niǎo)中，由邊角關(guān)系得tan30。=42=2建立關(guān)于離心率的方程，

片為2c

解方程求出離心率的值.

【詳解】由已知可得，AF^—,

a

￡

tan30°=?耳==a—c_1-e_6y/3e2+2e—G=0，

FXF22C2ac2e3

Q0<e<l,:.e=￡.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率，求解時(shí)要會(huì)利用直角三角形中的邊角關(guān)系，得到關(guān)于GC的方程，從而求

得離心率的值.

7.已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為s?,命題命題則命題P是命題4的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】由%不能推出$7>0,

例如%=〃-4,則%=。,%=1>°，4=2>。，所以4=704=。，

故命題P是命題Q的不充分條件；

由$7>0,不能推出%>。,。6>。，例如4“=9-2〃,則%=1,。5=-L4=—3,

所以$7=7的>。,為<。，/<0，故命題P是命題q的不必要條件；

綜上所述：命題〃是命題4的既不充分也不必要條件.故選：D.

8.在邊長(zhǎng)為6的菱形A8CZ）中，ZBAD=1,現(xiàn)將菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起，當(dāng)AC=3"時(shí)，三棱錐

A-BCD外接球的表面積為（）

A.24KB.48兀C.60兀D.72Tl

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出相關(guān)線段的長(zhǎng)，根據(jù)球的幾何性質(zhì)確定三棱錐外接球的球心

位置，求得外接球半徑，即可求得答案.

TT

【詳解】由題意在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，=g知，

和△3CD為等邊三角形，如圖所示，

取BD中點(diǎn)E,連接AE,CE,則AE_LBD,AE=A/A02-DE2=A/62-32=35/3>

同理可得CE=36，又AC=3娓,則AE2+CE2=AC2,則

又BD<7￡=￡,3￡>,<?￡'|^平面03￡）,故>1￡_1_平面08。，

而CEu平面C3D,故AE_LCE,

由于△BCD為等邊三角形，故三棱錐人-BCD外接球球心O在平面BCD內(nèi)的投影為△BCD的外心即

。。，平面。8。，故。O|〃AE,

過(guò)。作OHJLAE于H,則H為△ABD的外心，則OO1〃HE,即O,Q,H,E共面，

則0H//OXE,則四邊形OO、EH為矩形，

則在RtAO/M中，0H=0IE=3CE=6,AH=|AE=2V3,

22

所以外接球半徑R=y/OH+AH=415，則外接球表面積為S=471K=60%，

故選：C

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)X：,一組樣本乙的數(shù)據(jù)2%+1,其中x&=1,2,3,4,5,6,7,8）為不完全相等的正數(shù)，則

下列說(shuō)法正確的是（）

A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差

B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差

C.若樣本甲的中位數(shù)是優(yōu)，則樣本乙的中位數(shù)是2m+1

D.若樣本甲的平均數(shù)是〃，則樣本乙的平均數(shù)是2〃+1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)中的相關(guān)概念和性質(zhì)運(yùn)算求解.

【詳解】不妨設(shè)樣本甲的數(shù)據(jù)為。＜為4馬4???4看，且％＜/，

則樣本乙的數(shù)據(jù)為2再+1＜2元2+!＜?■?＜2xs+1,且2±+1＜2xg+1,

對(duì)于選項(xiàng)A：樣本甲的極差為網(wǎng)-占＞。，樣本乙的極差（2玉+1）-（2占+1）=25-%），

因?yàn)?（七一為）一（玉-玉）=七一玉＞0,即2伍一王）＞毛一石，

所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：記樣本甲的方差為端＞0,則樣本乙的方差為4s）

因?yàn)?s看=3s京〉。即4s帝＞端,

所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)闃颖炯椎闹形粩?shù)是根=也詈，

則樣本乙的中位數(shù)是〃=(2匕+1)：(2%+1)=%+%+1=2m+1,故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若樣本甲的平均數(shù)是九，則樣本乙的平均數(shù)是2a+1,故D正確；

故選：ACD.

10.已知正方體ABC。一，貝I()

A.直線3a與所成的角為90。B.直線BG與CA所成的角為90。

C.直線BG與平面8BQD所成的角為45。D.直線BG與平面A8C。所成的角為45。

【答案】ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】如圖，連接與C、BClt因?yàn)镈4|〃BC，所以直線BG與BC所成的角即為直線8a與。A所成的

角，

因?yàn)樗倪呅蜝BCC為正方形，則故直線8G與。所成的角為90。，A正確；

連接AC,因?yàn)锳A，平面24clC,平面BBCC，則A與，8G，

因?yàn)?4BXC=B},所以BC|JL平面44c,

又4CU平面44c,所以BG，ca，故B正確；

連接AG,設(shè)ACjBR=o,連接B。，

因?yàn)锽Bl±平面4旦C|R,CQU平面4瓦GR，則G?！繠.B,

因?yàn)镃Q_L8|Q,BRcBQ=B],所以CQ_L平面區(qū)BQD,

所以ZCtBO為直線BCX與平面BBQ。所成的角,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1,則CQ=且，BQ=y/2,sin/CiBO=*=g,

所以，直線BG與平面所成的角為30,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)镃C，平面ABCD,所以NGBC為直線BG與平面ABCD所成的角，易得/QBC=45,故D正確.

故選：ABD

11.已知定義在R上的函數(shù)“X)滿足〃x+2)+〃x)=0,且y=〃2-x)為偶函數(shù)，則下列說(shuō)法一定正確

的是()

A.函數(shù)/(x)的周期為2B.函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱

C.函數(shù)〃x)為偶函數(shù)D.函數(shù)的圖象關(guān)于x=3對(duì)稱

【答案】BC

【分析】根據(jù)給定的信息，推理論證周期性、對(duì)稱性判斷AB；借助變量替換的方法，結(jié)合偶函數(shù)的定義及

對(duì)稱性意義判斷CD作答.

【詳解】依題意，R上的函數(shù)〃尤)，/(x+2)=-/(x),貝！J“尤+4)=—〃尤+2)=/(x),函數(shù)的周期

為4,A錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù))=〃2-力是偶函數(shù)，則/(2-x)=〃2+x),函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，

=-/(%),即/(2r)+/(x)=0,函數(shù)〃x)圖象關(guān)于(1,0)對(duì)稱，B正確；

由〃2—x)=〃2+x)得〃T)=〃4+尤)=/(%),則函數(shù)〃尤)為偶函數(shù)，C正確；

由〃元+2)+/(無(wú))=。得/(x+3)+〃l+x)=0,由/(2-x)=f(2+x)得/(3-x)=J(l+x),

因此“x+3)+〃3-x)=0,函數(shù)的圖象關(guān)于(3,0)對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選:BC

12.拋物線C:x2=2py(2>0)的準(zhǔn)線方程為y=T,過(guò)焦點(diǎn)月的直線/交拋物線C于A,B兩點(diǎn)，貝U()

A.C的方程為V=2y

B.|AB|+2忸司的最小值為4+26

C.過(guò)點(diǎn)”(4,2)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有且僅有2條

211

D.過(guò)點(diǎn)AB分別作C的切線，交于點(diǎn)網(wǎng)飛,%)570),則直線PE%,尸8的斜率滿足7=廠+1

kpFKphkpB

【答案】BD

【分析】求出拋物線方程判斷A；設(shè)出直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義及均值不等式計(jì)

算判斷B；設(shè)出過(guò)點(diǎn)M的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求解判斷C；求導(dǎo)并結(jié)合選項(xiàng)B的信息求解判斷D

作答.

【詳解】對(duì)于A；依題意，苫=T，解得P=2,C的方程為Y=4y,A錯(cuò)誤；

fy=kx+1

對(duì)于B,由選項(xiàng)A知，尸(0,1),設(shè)直線/的方程為丁="+1,由[/消去y得Y—4丘-4=0,

[x=4y

設(shè)(占,%),B(x,y),則有再々，幽=必

A22=TIABI+2]B/|=|AF|+31+1+3(%+1)=再?gòu)V+4

「J3G；+4=2石+4,當(dāng)且僅當(dāng)占=-6羽時(shí)取等號(hào)，B正確；

4

對(duì)于C,過(guò)點(diǎn)”(4,2)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線不垂直于y軸，設(shè)此直線方程為1-4=/(y-2),

由[-2)消去丫得：t2_x_2t+4=Q>當(dāng)，=0時(shí)，彳=4,直線與拋物線僅只一個(gè)交點(diǎn)，

[x=4y4

當(dāng)N。時(shí)，△=17(-2,+4)=2/一書+1=0,解得"1±1，即過(guò)點(diǎn)”(4,2)且與拋物線相切的直線有2條,

2

所以過(guò)點(diǎn)加(4,2)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由y=M求導(dǎo)得y=J,由選項(xiàng)B知，kpA=±kpB=?,=4,

4222xx2=-4

>=+(彳-占)+%

工+工—+2=2(由兩式相減得:

kPAkPBxxx2x1x2

y=^(x-x2)+y2

三x-g(x；-/)+%-%=0，即"\尤2彳=；(無(wú)；一君)，貝！|尤="!；2=2、，

于是%=24，y0=y(2fc-x1)+y1=kxi-yi=^-(^+1)=-1,即點(diǎn)P(2A,-1),

,-212~11

所以3才-『晶=-2人/或，D正確.故選：BD

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地?fù)?dān)任服務(wù)工作，若被選派的人中至

少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有種.（用數(shù)字作答）

【答案】36

【分析】依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，②選兩名男志愿者，按照分步乘法

計(jì)數(shù)原理與分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；

【詳解】解：依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，則有CR1照=24種選派方法;

②選兩名男志愿者，則有。寵娘=12種選派方法；

綜上可得一共有24+12=36種選派方法；

故答案為：36

14.已知正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為3,兩底面邊長(zhǎng)分別為2和4,則該四棱臺(tái)的體積為

【答案】身且

3

【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的性質(zhì)求出高，即可由體積公式求出.

【詳解】如圖，正四棱臺(tái)ABC。-A與GA中，設(shè)下底面中心為。，上底面中心為a,

則。。I即為四棱臺(tái)的高，過(guò)用作8道1瓦），則用E=oa,

在上ZX8E耳中，34=3,助=20-&=力，則gE=WH=近，

22

又^ABCD-4=16,S451GA=2=4f

所以該四棱臺(tái)的體積為V=g（16+Vi百海+4卜布=邛.

28-

故答案為:

3

8

15.已知直線/：%-g+1=0與C:（x-19）+/=4交于A,B兩點(diǎn)，寫出滿足“一ABC面積為《”的m的一

個(gè)值______.

【答案】2（2,-2,；,-g中任意一個(gè)皆可以）

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)|AB|,以及點(diǎn)C到直線A3的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C到直線A3的距離為d,由弦長(zhǎng)公式得|八|=2"-屋,

所以S△皿=；>d>2〃-儲(chǔ)=],解得：/=述或d=拽，

2355

11+11224#22-J51

由〃=4^=下「，所以方J=竽或白^=等，解得：加=±2或%=±

Vl+m2y/1+m2y/1+m25&+療52

故答案為：2（2,-2q,-3中任意一個(gè)皆可以）.

16.設(shè)函數(shù)〃x）=sin"+為在區(qū)間（0㈤恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是.

【答案】（y,|]

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意，當(dāng)。<0時(shí)，不能滿足在（0,兀）上極值點(diǎn)比零點(diǎn)多，

當(dāng)0>0時(shí)，因?yàn)橛萫（O,n）,所以COX+~G（―,（071+9

要使函數(shù)"X）=sin+鼻在區(qū)間（0,兀）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，

由y=sinx的部分圖象如下圖所示：

打

O兀JTCx

貝（1M＜即+￡（3兀，解得即

23o363

故答案為：

63

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.

17.S〃為數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和，已知。〃＞。，Q；+2%=4S〃+3.

（1）求證：數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列；

71，、

（2）設(shè)瓦=——，求數(shù)列出｝的前n項(xiàng)和

anan+\

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）1-3（2?+3）

rS[,7?—i