2022-2023學(xué)年湖南省郴州市博文實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省郴州市博文實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知變量x，y之間具有良好的線性相關(guān)關(guān)系，若通過10組數(shù)據(jù)得到的回歸方程為，且，，則（

）A.2.1 B.2 C.-2.1 D.-2參考答案：C【分析】根據(jù)回歸直線過樣本點(diǎn)的中心，可以選求出樣本點(diǎn)的中心，最后代入回歸直線方程，求出.【詳解】因?yàn)?，所以根本點(diǎn)的中心為，把樣本點(diǎn)的中心代入回歸直線方程，得，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用樣本點(diǎn)的中心在回歸直線方程上這個(gè)性質(zhì)求參數(shù)問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2.投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測(cè)試，已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.7，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測(cè)試的概率為（）A．0.784 B．0.648 C．0.343 D．0.441參考答案：A【考點(diǎn)】C9：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】利用互獨(dú)立事件的概率乘法公式，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：該同學(xué)通過測(cè)試的概率等于投中2次的概率加上投中3次的概率，即為?0.72?0.3+?0.73=0.441+0.343=0.784，故選：A．3.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，則b=（）A．4 B．4 C．2 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【分析】首先利用正弦和余弦定理轉(zhuǎn)化出2（a2﹣c2）=b2，結(jié)合a2﹣c2=2b，直接算出結(jié)果．【解答】解：sinAcosC=3cosAsinC，利用正、余弦定理得到：解得：2（a2﹣c2）=b2①由于：a2﹣c2=2b②由①②得：b=4故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：正、余弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題．4.函數(shù)y＝f(x)是R＋上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(1)＝－1，f′(x)＋，則函數(shù)g(x)＝f(x)＋在R＋上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：C∵x≠0時(shí)，f′(x)＋，，則討論f(x)＋＝0的根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求xf(x)＋1＝0的根的個(gè)數(shù)．設(shè)，則當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)′(x)＝x·f′(x)＋f(x)＞0，函數(shù)F(x)＝xf(x)＋1在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故F(x)在R＋上至多有一個(gè)零點(diǎn)，又F(1)＝1·f(1)＋1＝1×(－1)＋1＝0，即x＝1為函數(shù)F(x)的零點(diǎn)，這是函數(shù)F(x)的唯一零點(diǎn)，所以選C．考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．5.命題“若a＞b，則2a＞2b－1”的否命題為(

)

A.若a＞b，則有2a≤2b－1.

B.若a≤b，則有2a≤2b－1.

C.若a≤b，則有2a＞2b－1.

D.若2a≤2b－1，則有a≤b.參考答案：B略6.已知f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，則（）A．f（x）＞0 B．f（x）＜0 C．f（x）為減函數(shù) D．f（x）為增函數(shù)參考答案：A【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x）=xexf（x），g′（x）=ex[（x+1）f（x）+x′（x）]，可得函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，而g（0）=0即x＞0時(shí)，g（x）=xexf（x）＞0?f（x）＞0；x＜0時(shí)，g（x）=xexf（x）＜0?f（x）＞0；在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．【解答】解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=xexf（x），g′（x）=ex[（x+1）f（x）+x′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）=ex[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，而g（0）=0∴x＞0時(shí)，g（x）=xexf（x）＞0?f（x）＞0；x＜0時(shí)，g（x）=xexf（x）＜0?f（x）＞0；在（x+1）f（x）+xf'（x）＞0中取x=0，得f（0）＞0．綜上，f（x）＞0．故選：A．7.在R上定義運(yùn)算⊙：，則滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.（0，2） B.（－2，1） C. D.（－1，2）參考答案：B8.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．a(chǎn)R（1）當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)f(x)在上存在極小值，求a的取值范圍；（3）若，證明：．參考答案：（1）解：∵，∴．令，得．∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．∴當(dāng)時(shí)，有最小值1．…………4分(2)∴在上遞增，若函數(shù)f(x)在上存在極小值，即在有解，a的取值范圍是…………8分（3）證明：由（1）知，對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，即．令（），則，∴．即．∵∴．∵，∴．．…………14分略9.用三段論演繹推理：“復(fù)數(shù)都可以表示成實(shí)部與虛部之和的形式，因?yàn)閺?fù)數(shù)z=2+3i的實(shí)部是2，所以復(fù)數(shù)z的虛部是3i”．對(duì)于這段推理，下列說法正確的是（）A．大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤C．推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 D．推理沒有問題，結(jié)論正確參考答案：A【考點(diǎn)】演繹推理的基本方法．【分析】復(fù)數(shù)都可以表示成實(shí)部與虛部之和的形式，這個(gè)說法是錯(cuò)誤的，即大前提是錯(cuò)誤的．【解答】解：復(fù)數(shù)都可以表示成實(shí)部與虛部之和的形式，這個(gè)說法是錯(cuò)誤的，大前提是錯(cuò)誤的，∴得到的結(jié)論是錯(cuò)誤的，∴在以上三段論推理中，大前提錯(cuò)誤．故選：A．10.方程的圖象是

(

)參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，在圓x2+y2=16上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程為

．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】設(shè)出M的坐標(biāo)為（x，y），利用中點(diǎn)坐標(biāo)得出P的坐標(biāo)為（x，2y），P點(diǎn)在圓上，帶入可以M的軌跡方程．【解答】解：由題意，設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），x軸的垂線段PD，M是線段PD的中點(diǎn)，∴P的坐標(biāo)為（x，2y）點(diǎn)P在圓x2+y2=16上，∴x2+4y2=16即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡方程方程的求法，利用到了中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．12.=（n∈N+）參考答案：i略13.邊長(zhǎng)分別為、的矩形，按圖中所示虛線剪裁后，可將兩個(gè)小矩形拼接成一個(gè)正四棱錐的底面，其余恰好拼接成該正四棱錐的4個(gè)側(cè)面，則的取值范圍是

．參考答案：

14.如圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖．根據(jù)此樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在[6，10)內(nèi)的頻數(shù)為

▲

．參考答案：64略15.行列式的最大值是

參考答案：16.已知數(shù)列{an}滿足，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=_______．參考答案：【分析】先對(duì)式子進(jìn)行變形得到可知為等差數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所以所以是?為首項(xiàng)和公差的等差數(shù)列，所以，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，通過構(gòu)造等差數(shù)列求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，如何構(gòu)造等差數(shù)列是求解這類問題的關(guān)鍵，一般是根據(jù)遞推關(guān)系式的特點(diǎn)，結(jié)合等差數(shù)列的定義形式來進(jìn)行構(gòu)造，側(cè)重考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.17.已知數(shù)對(duì)滿足，則的最大值是___________.參考答案：6_略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題8分）已知函數(shù)在（）處的切線方程為。（Ⅰ）求函數(shù)的表達(dá)式；（Ⅱ）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增？參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)椋?分而函數(shù)在處切線為，所以

3分即解得所以即為所求。4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可知，的單調(diào)增區(qū)間是。5分所以，

7分所以。所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增。8分19.甲乙兩班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試，每班45人，統(tǒng)計(jì)學(xué)生成績(jī)，乙班優(yōu)秀率為20%，甲班優(yōu)秀人數(shù)比乙班多三人.（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表；

優(yōu)秀不優(yōu)秀總計(jì)甲班

乙班

總計(jì)

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.010的前提下，認(rèn)為成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系？參考公式：：，其中；臨界值表供參考：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：（1）見解析（2）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”，詳見解析【分析】（1）先根據(jù)乙班優(yōu)秀率求出乙班優(yōu)秀人數(shù)，進(jìn)而可得甲班優(yōu)秀人數(shù)，從而可得列聯(lián)表；（2）先根據(jù)數(shù)據(jù)求出卡方，結(jié)合臨界值可得結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表；

優(yōu)

秀

不優(yōu)秀

總

計(jì)

甲

班123345

乙

班93645

總

計(jì)216990

（2）假設(shè)“成績(jī)與班級(jí)無關(guān)”，據(jù)列聯(lián)表計(jì)算，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”．【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)及列聯(lián)表的完善，獨(dú)立性檢驗(yàn)結(jié)論的獲得主要依賴卡方公式計(jì)算的結(jié)果.20.某市公用電話（市話）的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：分鐘之內(nèi)（包括分鐘）收取元；超過分鐘部分按元/分鐘加收費(fèi)。設(shè)計(jì)一個(gè)程序，根據(jù)通話時(shí)間計(jì)算話費(fèi)。參考答案：解析：

21.（本小題12分）．點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)到直線的最大距離和最小距離。參考答案：設(shè)，則即，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)