2023-2024學(xué)年陜西省西安市鄠邑區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）

2023-2024學(xué)年陜西省西安市鄂邑區(qū)高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)(理)

試題

一、單選題

1.已知直線(xiàn)與平面α,其中SUa,則是“/J_a”的()條件

A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要

【正確答案】B

【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)垂直，線(xiàn)面垂直的判定定理，性質(zhì)定理解決即可.

【詳解】由題知，直線(xiàn)/,團(tuán)與平面α,其中Uα,

當(dāng)“/，機(jī)”時(shí)，"/_La”不一定成立，/可能在平面內(nèi)，如圖

當(dāng)“/_Le”時(shí)，由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理知，/垂直于平面ɑ內(nèi)的任意一條直線(xiàn)，即“/_1_機(jī)”成

?L.

所以“/，機(jī)”是"/_La”的必要不充分條件.

故選：B

X—V>0

2.若實(shí)數(shù)X,>滿(mǎn)足約束條件《八，貝IJZ=X-2y的最小值為()

x+y-2≤0

A.-1B.1C.-2D.2

【正確答案】A

【分析】畫(huà)出可行域，平移基準(zhǔn)直線(xiàn)x-2y=0到可行域邊界位置，由此來(lái)求得Z的最小值.

[?-V=0,、

【詳解】C八，解得χ=y=ι,設(shè)A(LI,

[x+y-2=0

平移基準(zhǔn)直線(xiàn)X-2y=0到可行域邊界A(Ll)處時(shí)，

z=x-2y取得最小值1-2Xl=-L

故選:A

3.設(shè)等比數(shù)列｛%｝中，al+a2+a3=2,a4+a5+a6=4,則須+%+/=()

A.16B.32C.12D.18

【正確答案】A

【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比，代入計(jì)算即可.

a+a+a_,_4

【詳解】由題,456—Cf——

4+4+%2

貝IJan)+“∣∣+《2=(6+色+%)/=2x(∕y=∣6

故選：A.

4.已知，"=α+:+l(a>O),n=Y[x<1),則加，”之間的大小關(guān)系是()

A.m>nB.m<nC.rn=nD.m<n

【正確答案】A

【分析】利用基本不等式及其指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】a>0,m=a+^+l≥2Ja^-+1=3,當(dāng)且僅當(dāng)α=l時(shí)，等號(hào)成立,即m≥3,

又?.?X<1,?'?n=3x<3'=3,即〃<3,

則Ml>",

故選.A

5.在,49C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是α,b,c,且C=2?CoS8,則一ABC的形狀

為()

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角

三角形

【正確答案】A

【分析】已知條件用正弦定理邊化角，由SinC=Sin(A+3)展開(kāi)后化簡(jiǎn)得tanA=taπ3,可

得出等腰三角形的結(jié)論.

【詳解】c=2αcosB,由正弦定理，WsinC=sin(Λ+B)=2sinAcosB,

即sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB,

/.sinAcosB=cosAsinB,可得tanA=tan6,

又OVAV兀,OvB<π,ΛA=B,

則.43C的形狀為等腰三角形?

故選：A.

6.拋物線(xiàn)無(wú)2=2刀，(〃>0)上一點(diǎn)用的坐標(biāo)為(—2,1),則點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為()

17

A.3B.2C.1D.—

16

【正確答案】B

【分析】將點(diǎn)M坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)可得。，則所求距離為l+?^.

【詳解】〃(一2,1)在拋物線(xiàn)上，，4=2。，解得：p=2,.?.點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1+5=2.

故選：B.

7.在正方體ABCD—A耳CR中，異面直線(xiàn)4。，8。所成角的余弦值為()

A.?B.—C.—D.在

2223

【正確答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線(xiàn)的夾角余弦值.

【詳解】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC,。。為x,%z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1,則。(0,0,0),A(l,0,0),8(1,1,0),O∣(0,0,1),

則AO=(TOQ)Iq=(TTl),

設(shè)異面直線(xiàn)A。，BA所成角為6,

∣AD?Bn∣I(TO=6

則cos，=CoS(AD

∣AD∣?∣BDl∣√33

8.己知橢圓/+〃9，2=1（機(jī)>0）的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則”=（）

A.2B.1C.-D.4

4

【正確答案】C

【分析】根據(jù)焦點(diǎn)的位置和長(zhǎng)短軸的關(guān)系可求加的值.

【詳解】因?yàn)闄E圓Y+陽(yáng)2=］（,">o）的焦點(diǎn)在）,軸上，故o<zn<ι,

且橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：龍+丁一|,所以笳=上力2=1

一m

m

所以4=lx',故

m4

故選：C.

9.已知〃?c是空間的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法第氓的是（）

A.若Xa+）溫+zc=O,則X=y=Z=O

B.a,。,C兩兩共面，但b,c不共面

C.一定存在X,y,使得o=xb+yc

D.4+b,b-c,c+2a一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底

【正確答案】C

【分析】利用向量的線(xiàn)性關(guān)系、向量的基底的定義和空間向量基本定理，即可求解.

【詳解】對(duì)于A,若入，V，z不全為0,則a,b,c共面，與題意矛盾，故A正確；

對(duì)于B,b,c是空間的一個(gè)基底,則a,b,c兩兩共面，但a,b,c不共面，故B正確;

對(duì)于C,a,b,c不共面，則不存在實(shí)數(shù)乂兒使得a=xb^yc,故C錯(cuò)誤;

1=22

對(duì)于D,若〃+0,b-c,c+20共面，α+Z?=ZS-C)+2(c+24),<k=1無(wú)解，

k=λ

故4+A,∕7-c,c+2α不共面，一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D正確

故選：C.

2

10.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為一一匕=1,則下列說(shuō)法正確的是()

3

A.該曲線(xiàn)兩頂點(diǎn)的距離為26

B.該曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)尸-1_=1有相同的漸近線(xiàn)

C.該曲線(xiàn)上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為1

D.該曲線(xiàn)與直線(xiàn)hy=√^(x-2)有兩個(gè)公共點(diǎn)

【正確答案】C

【分析】對(duì)A、B、C：根據(jù)雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)D：聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)

的方程求解判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可判斷.

【詳解】由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程/-5=1可得α=l,b=K,c=√7左=2,且焦點(diǎn)在X軸上,

對(duì)A：該曲線(xiàn)兩頂點(diǎn)為4(-1，°)，4(1，°)，則兩頂點(diǎn)間的距離∣A4∣=2,A錯(cuò)誤；

對(duì)B：雙曲線(xiàn)/-二=1的漸近線(xiàn)為y=±^x=±"v,

3a

由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程y2-∕=l可得％=1舌=G,q=√TT^=2,且焦點(diǎn)在y軸上，則其

漸近線(xiàn)為y=±3x=土B錯(cuò)誤；

對(duì)C：當(dāng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支時(shí)，該點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為c-α=l；

當(dāng)點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的左支時(shí)，該點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為c+α=3;

綜上所述：該曲線(xiàn)上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為1,C正確；

y=√3(x-2)

對(duì)D：聯(lián)立方程，√,消去y得4x-5=0,解得X=：,

x2-z-=I'4

I3

故該曲線(xiàn)與直線(xiàn)/:>=相(x-2)有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

故選：C.

11.已知空間四面體Q48C中，對(duì)空間內(nèi)任一點(diǎn)M,滿(mǎn)足。河=1。4+，08+/1。。下列條

46

件中能確定點(diǎn)M,A8,C共面的是（）

1157

A.λ=-B.λ=-C.λ=—D.λ=——

231212

【正確答案】D

【分析】利用空間中四點(diǎn)共面定理求解即可.

117

【詳解】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面可知:+?∣+4=1,解得2=丘.

故選：D

12.阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)

家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還桌有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).拋物線(xiàn)上任意兩點(diǎn)A,B處的

切線(xiàn)交于占尸，稱(chēng)二QAS為“阿基米德三角形”，當(dāng)線(xiàn)段A8經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F時(shí)，a<B45具

有以下特征：（1）尸點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上；（2）7?B為直角三角形，且P4LP3;（3）

PFlAB.已知過(guò)拋物線(xiàn)/=16y焦點(diǎn)的直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)交于A,B頁(yè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,B處的

切線(xiàn)交于點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為2,則直線(xiàn)A8的方程為（）

A.x+2y-8=0B.x-2y+8=O

C.x-4γ+16=0D.x+4y-16=0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)“阿基米德三角形''的性質(zhì)直接可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得解.

【詳解】拋物線(xiàn)Y=16），的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0,4）,準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=T,

由題意知，.√?8為“阿基米德三角形“，可得P點(diǎn)必在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，

所以點(diǎn)P（2,-4）,直線(xiàn)P尸的斜率為七”=_4,

又因?yàn)镻尸，AS,所以直線(xiàn)AB的斜率為:，

所以直線(xiàn)AB的方程為y=^x+4,即x-4y+16=0,

4

故選：C.

二、填空題

13.若命題“*eR,2-∕>M'是真命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【正確答案】(-8,2)

【分析】求得y=2-χ2的最大值，結(jié)合題意，即可求得結(jié)果.

【詳解】y=2-f的最大值為2,根據(jù)題意，2＞加，即巾的取值范圍是(-∞,2).

故答案為?(9,2)

14.若"=(-1,√Σ,l),則與向量“同方向的單位向量的坐標(biāo)為.

【正確答案】卜;S)

【分析】根據(jù)與向量a同方向的單位向量為∏計(jì)算即可.

H

【詳解】由題知，α=(-l,√2,l),

a(-1,√2,1)(1√2∩

所以與向量”同方向的單位向量為R=而不=一萬(wàn)一，］｝

所以與向量”同方向的單位向量的坐標(biāo)為

故,巖，)

15.設(shè)｛α,,｝是公差不為O的等差數(shù)列，q=l且生嗎，4成等比數(shù)列，則-L++?=

a?aι%α∣o

【正確答案】?9

【詳解】分析：由題意先求出｛%｝的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

詳解：；數(shù)列｛all｝是公差不為0的等差數(shù)列，a∣=l,且a2,a4,as成等比數(shù)列，

二(l+3d)2=(i+d)(l+7d),

解得d=l,或d=0(舍)，

Λan=l+(n-1)×l=n.

111111111119

++=+++=1——+++--------=1=—

ala2-----------π9a101x22x39x10--------223910--------1010

故答案為木9

點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這

一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧：

1_1?_1

“)〃(〃+%)k；⑵E+&=X問(wèn)-G)(3)

nn+k

;-

(2n-l)(2n+l)~l?2n-?~2n+?J⑷n(π+l)(n+2)^2n(n+l)(n+l)(n+2)；此

外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.

16.在平面直角坐標(biāo)系Xoy內(nèi)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于任意兩點(diǎn)A(χ,y),B(x2,y2),定義它

22

們之間的“歐幾里得距離''∣AB∣=7(x1-x2)+(y,-y2),“曼哈頓距離”為

∣∣AB∣∣?l?,-x2∣÷∣y1-J2I,則對(duì)于平面上任意一點(diǎn)P,若IIoPII=2,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為

【正確答案】8√2

【分析】求得P點(diǎn)滿(mǎn)足的方程，轉(zhuǎn)化為分段的形式，畫(huà)出圖象，進(jìn)而求得點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度.

【詳解】設(shè)P(χ,y),則IIoHl=雙+以=2①,

當(dāng)x≥0,yZ0時(shí)，①化為：x+y=2,y=-x+2；

當(dāng)x≥O,y<O時(shí)，①化為：x-y=2,y=x-2?

當(dāng)x<O,y≥O時(shí)，①化為：-x+y=2,y=x+2.

當(dāng)x<O,y<0時(shí)，①化為：-x-y=2,y=-x-2i

由此畫(huà)出尸點(diǎn)的軌跡如下圖所示，

所以軌跡的長(zhǎng)度為12?+2?x4=8√∑?

故8√Σ

三、解答題

17.設(shè)。：x?-4nx+3a2<0(￠/>0),?:x2-1Ix+18≤0.

(1)若α=l,P且(-7)為真，求實(shí)數(shù)X的取值范圍；

(2)若P是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【正確答案】⑴{x∣l<x<2}

(2){α∣2≤α≤3}

【分析】(1)當(dāng)α=l時(shí)，分別求出p,q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)X的取值范圍，即可求出P且(「4)

為真命題，實(shí)數(shù)X的取值范圍；

(2)根據(jù)題意利用集合的包含關(guān)系運(yùn)算求解.

【詳解】(1)對(duì)f-4ox+3∕<0(α>0),則(x-α)(x-34)V。，

因?yàn)镚>0,所以不等式V-4αt+3∕<0(α>0)的解集為A={x∣αvx<3α},

當(dāng)”=1時(shí)，P為真命題，實(shí)數(shù)尤的取值范圍為8={x∣l<x<3},

對(duì)χ2-llχ+18≤0,則(x-2)(x-9)≤0,解得2≤x≤9,

(7為真命題，實(shí)數(shù)X的取值范圍為C={x∣2≤x≤9},

?：P旦(~'4)為真命題，

所以實(shí)數(shù)X的取值范圍為Bc(δRC)={x∣l<x<2}

(2)Yp是q的充分不必要條件，則A是C的真子集，

a>0

。22,解得2≤α≤3,

3Q≤9

綜上所述：實(shí)數(shù)”的取值范圍為{α∣2≤α≤3}?

18.已知函數(shù)/(x)=∣x∣+2∣x-9|.

⑴解不等式"x)<15;

(2)若關(guān)于X的不等式/(x)<α有解，求實(shí)數(shù)&的取值范圍.

【正確答案】⑴{巾＜χ＜ll};

⑵。＞9.

3x-18,x≥9

【分析】(1)根據(jù)零點(diǎn)分段法可得/")=18-x,0≤x<9,然后分段解不等式，即得；

18-3x,x<0

(2)由題可得α>∕(x)min,然后求函數(shù)的最小值即得.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)〃X)=為+2∣x-9|,

'3x-18,x≥9

所以/(x)=,18-x,0≤x<9,

18-3x,X<O

V∕(x)<15,

fx≥9_[0≤x<9JX<0

所以tIQ14或LQ1;或?

[3x—18<15[18—x<15[18—3x<15

解得3vxvll,

所以原不等式的解集為{R3<x<ll};

3x-18,x≥9

(2)由/(X)=，18-x,0≤x<9,可得

18-3x,x<0

函數(shù)/(X)在(Y?,9)上單調(diào)遞減，在(9,4W)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=9l?,函數(shù)/(x)有最小值為9,

：.a>9.

19.如圖所示，四棱錐P-ABcD的底面ABCD是矩形，PB，底面ABa),AB=BC=3,

BP=3,CF=-CP,DE^-DA.

33

P

⑴證明：EFP平面ABP；

(2)求直線(xiàn)PC與平面APF所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵加

10

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，證明EF與平面/WP的法向量垂直即可；(2)利用空間向

量求線(xiàn)面角即可.

【詳解】(1)由題意知，BC,BA,BP兩兩互相垂直，以B為原點(diǎn),BC,BA,BP所在

直線(xiàn)分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-型，

則8(0,0,0),C(3,0,0),E(2,3,0),尸(2,0,1),

所以3C=(3,0,0),￡F=(0,-3,1).

P3_L底面ABer>,BCU底面ABC。，..PBYBC

y

又BCLBA,PBBA=B,

且PB,BAu平面48尸，

.?.SCl5FffiA8P,

所以BC=(3,0,0)是平面的一個(gè)法向量.

因?yàn)锽CEF=(3,0,0)(0,—3,1)=0,

所以BC_LEF.

又EV(Z平面ΛBP,所以EFP平面ABP.

(2)因?yàn)锳(0,3,0),C(3,0,0),￡>(3,3,0),P(0,0,3),F(2,0,l),

所以AZ)=(3,0,0),AF=(2,-3,1),PC=(3,0,-3),

設(shè)平面AoF的法向量為"=(x,y,z),則

n?AD=3x=0X=O

由《解得令y=l,

n?AF=2x-3y+z=0z=3y

得平面AoF的一個(gè)法向量為“=(0,1,3).

設(shè)直線(xiàn)PC與平面AoF所成的角為θ,

(3,0,-3)?(0,1,3)3√5

貝IJSine=∣cos<PC,n>|=PCn

KH3√2×√10?

故：直線(xiàn)PC與平面AoF所成角的正弦值為定.

10

20.已知./8C的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且滿(mǎn)足

/sinBsinC6(笳+廿一^)

sinA2

(1)求角C的值；

(2)若“=2,6=5,且Ao=JA8,求8的長(zhǎng)度.

TT

【正確答案】(I)C=§

⑵迥

3

【分析】(1)根據(jù)正弦定理與余弦定理即可得tanC=6，從而可得角C的值；

12

(2)根據(jù)向量共線(xiàn)定理可得Co=]C8+]C4,利用向量的模長(zhǎng)運(yùn)算即可得C。的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)解：由正弦定理一J=—勺得：當(dāng)=2,因?yàn)?sinBSinC=G(α-+?-c-),

sinAsinBSmAaSinA2

所以遜貶=皿匕)，即必SinC=也士2

a22

又由余弦定理得,則

COSC=sinC=fd+p=GcosC

2ab2ab

化簡(jiǎn)得tanC=√L又Ce(0,兀)，所以C=1.

1-12

(2)解：由A。=—AB可得C￡>=—CB+—CA

333

所以ICOF=P■CB+2ɑ]=-a1+-b2+2×-CB?CA=—?^^+2×-×2×5×cos-^=-^,

∣k33J99999939

.?.∣8>∣=2史，即C。的長(zhǎng)度為空L

33

21.在直角梯形ABC。中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2^,ZABC=90°,。為80中點(diǎn),

如圖(1).把AABZ)沿Bf)翻折，使得平面ABD_L平面Bez),如圖(2).

圖(1)圖(2)

⑴求證：OA1CD；

(2)若M為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面ACD的距離.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵立.

2

【分析】(1)先根據(jù)面面垂直證線(xiàn)面垂直，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理證明線(xiàn)線(xiàn)垂直:

(2)建系，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.

【詳解】(1)在△/1Br)中，AB=AD,且。為3。中點(diǎn)，則。4_LBQ,

平面ABDJ_平面BCD,平面ABZ)C平面BCD=BD,OAU平面9，

所以。4,平面BCD,

且CDu平面BC￡>,

所以Q4_LCD.

(2)在直角梯形ABC。中，BC=2AD=2AB=2√2,AABC=90°,

所以8O=C￡)=2,BC=2及,則Br>2+Cr>2=8C2,

：.CDlBD,

又TO、M分別為80、BC的中點(diǎn)

ΛOM//CD,：.OM±BD

以。為原點(diǎn)，以O(shè)B、OM,所在直線(xiàn)分別為X,y,z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0),A(0,0,1),D(-l,O,O),M(0,1,0),C(-l,2,0),

可得MC=(-1,1,0),DC=(0,2,0),DA=(1,0,1),

平面ACD的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

nDC=2y=0

由｛,令x=l,則y=O,z=T,可得"=(1,O,T),

n?DA=X+z=O

則點(diǎn)M到平面ACD的距離d=LMc"I=J==YZ.

I〃l√22

g=l(">%>0)的離心率為半，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)√6,

22.已知橢圓C:=+

CT

(1)求C的方程;

(2)動(dòng)直線(xiàn)/與圓O:好+V=I相切，與C交于W,N兩點(diǎn)，求O到線(xiàn)段MN的中垂線(xiàn)的最大

距離.

【正確答案】(嗚+y2=l

C2√2

e=—=--

a3

1

6a

【分析】（I）首先根據(jù)題意列出方程