3.2.3直線與平面的夾角

1、異面直線所成角的范圍：異面直線所成角的范圍： 0,2ABCD1D結(jié)論：結(jié)論：cos|cos,| a b|一、線線角：一、線線角： ab，ab，設(shè)直線的方向向量為 ，的方向向量為CAaBbDaabb所以 與 所成角的余弦值為A1AB1BC1C1D1Fxyz解：以點C為坐標原點建立空間直角坐標 系 ,如圖所示，設(shè) 則： Cxyz11CC(1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0,1),( ,1)22 2FD所以：11(,0,1),2 AF111( ,1)22 BD11cos, AF BD1111| AF BDAFBD113041053421BD1AF3010練習(xí)練習(xí)090 ,中，現(xiàn)

2、將沿著Rt ABCBCAABC平面的法向量ABC1，BCCACC11求與所成的角的余弦值.BDAF111平移到位置，已知ABC1111取、的中ABAC111111取、的中點、 ，ABACDF練習(xí)：練習(xí)：在長方體 中，1111ABCDABC D58,ABAD= ，14,AA1112,為上的一點,且MBCB M1點 在線段上，NAD1.ADAN1.(1)求證：ADAMABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4), AM1(0,8, 4), AD10 AM AD1.ADAM（2）求與平面所成的角.ADANM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M簡解：簡解：斜線與

3、平面所成的角斜線與平面所成的角平面的一條斜線平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影和它在這個平面內(nèi)的射影 所成的所成的銳角銳角AOB二、線面角二、線面角當直線與平面垂直時，直當直線與平面垂直時，直線與平面所成的角是線與平面所成的角是90當直線在平面內(nèi)或當直線在平面內(nèi)或與平面平行時，與平面平行時，直線與平面所成的角直線與平面所成的角是是0斜線與平面所成的角斜線與平面所成的角（ 0, 90）直線與平面所成的角直線與平面所成的角 0, 90異面直線所成的角異面直線所成的角（ 0, 90若斜線段若斜線段AB的長度是它在平面的長度是它在平面內(nèi)的射影內(nèi)的射影長的長的2倍，則倍，則AB與與所成的角為所成的角為

4、 。60ABO最小角原理最小角原理AOBM斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平斜線與平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角最小的角。AOBM如圖如圖,直線直線OA與平面與平面所成的角為所成的角為 1,平平面內(nèi)一條直線面內(nèi)一條直線OM與與OA的射影的射影OB所成所成的角為的角為 2,設(shè)設(shè)AOM為為 求證求證:cos = cos 1 cos 2 1 2SACBOFE如圖，如圖， ACB=90 ，S為平面為平面ABC外一點，外一點， SCA= SCB= 60 ，求，求SC與平面與平面ACB所成的角所成的角4若直線若直線 l1與平面所成的角為與平面所

5、成的角為60 ，則這條直線與，則這條直線與平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角為平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角為 ，最大的角為最大的角為 。9060Ol1例題、如圖，在正方體例題、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中，中，求求A1B與平面與平面A1B1CD所成的角所成的角ABCDA1B1C1D1O例： 1111ABCDABC D的棱長為1.111.B CAB C求與 面所 成 的 角正方體ABCD1A1B1C1Dxyz2 ，n BA直線與平面所成角的范圍： 0,2ABO, 設(shè)平面 的法向量為 ，則與 的關(guān)系？nn BA思考：思考：結(jié)論：結(jié)論：sin|cos,| n AB 二、線面角：

6、二、線面角： nnBAAB2 ，n BA例1： 1111ABCDABC D的棱長為1.111.B CAB C求與 面所 成 的 角正方體ABCD1A1B1C1Dxyz(0 0 0)A ， ，1(101)B， ，(110)C ， ，設(shè)正方體棱長為設(shè)正方體棱長為1，1AB AD AA ， ，為單以以1(101)(110)ABAC ， ， ，1(111)C， ，11(010)BC 則， ，1()ABCnxyz設(shè)為， ，平平面面的的法法向向量量100n ABn AC 則，0=10= -1xzxyn =(1 -1 -1)， ， ，xyz所所以以取取得得故故位位正正交交基基底底，可可得得110 1 03c

7、os313n BC ，1113所以與面所成的角的正弦值為。3BCABC例例 2 如圖，在四棱錐如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面中，底面ABCD為平為平行四邊形，側(cè)面行四邊形，側(cè)面SBC 底面底面ABCD。已知。已知 AB=2，BC= 2 ，SA=SB= .(1)求證求證 (2)求直線求直線SD與平面與平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。045ABC3.SABCSABCDOxyz2SABDOC02 222452BCOBABABCOA則由得，又，得證明：證明：(1)取取BC中點中點O，連接，連接OA、OS。090AOBAOBC即SBCABCDAOABCDSBCABCDBCAOSBC又平面平

8、面，平面且平面平面，平面 231AOSOAO=SASO。又，22202390OBSBSBSOOBSOB又，BCSOBCAOSOAOOBCSOABCSA，平面，(2)求直線求直線SD與平面與平面SAB所成角的正弦值。所成角的正弦值。(1)SOOABCOAOBOS解：由知，兩兩垂直。故以、為正交基底建立空間直角坐標系如圖。則SABCOxyzD(0 01)( 2 -2 2 0)( 2 0 0)(02 0)SDAB， ， ， ，( 22 21)( 2 01)(021)SDSASB ， ， ， ， ， ()SABnxyz設(shè)平面的一個法向量為， ， ，則2000220 xzn SAn SBzyz ，得取得

9、(112)SABn 平面的一個法向量為， ，則22cos11SDn ，所以直線所以直線SD與平面與平面SAB所成角的正弦值為所成角的正弦值為2211例例3、如圖所示，在四棱錐、如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，側(cè)棱正方形，側(cè)棱PD 底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中的中點。點。(1)證明：證明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)證明：設(shè)正方形邊長為證明：設(shè)正方形邊長為1，則，則PD=DC=DA=1.連連AC、BD交于交于G點點DADC DP 以， ，

10、 為正交基底建立空間直角坐標系。如圖所示。則(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB， ， ， ， ， ，(101)PA ， ，1 1(0)2 2EPCE又 為中點，點坐標為 ，1 1(0)2 2GBDG 為中點，點坐標為，11(0)22EG ， ，2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因為與不共線，所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求求EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)(0)2 2DPBE由知， ， ， ， ，PDABCDPDABCD 解：因

11、為平面，所以是平面的法向量。11(0 01)(1)22PDEB ， ， ，10062cos6312PD EB ，所以所以EB與底面與底面ABCD所成的角的正弦值為所成的角的正弦值為66所以所以EB與底面與底面ABCD所成的角的正切值為所成的角的正切值為55 一個一個平面平面內(nèi)的一條內(nèi)的一條直線直線把這個把這個平面平面分成分成兩個部分兩個部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面。 一條一條直線直線上的一個上的一個點點把這條把這條直線直線分成兩分成兩個部分個部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射線射線。2OBAAB 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的從一條直線出發(fā)的兩個

12、半平面所組成的圖形叫做圖形叫做二面角二面角。 這條直線叫做這條直線叫做二面角的棱二面角的棱。這兩個半平面叫做這兩個半平面叫做二面角的面二面角的面。3定義:AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5OBAAOB表示方法： lOO1ABA1B1A O BA1O1B1？ 以二面角的以二面角的棱棱上任意一點為端點，在上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)兩個面內(nèi)分別作分別作垂直垂直于棱的兩條射線，這于棱的兩條射線，這兩條射線所成的兩條射線所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。平面角是平面角是直角直角的二的二面角叫做面角叫做直二面角直二面角9二面角的大小用它的平面角

13、來度量二面角的大小用它的平面角來度量度量：二面角的平面角必須滿足二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點在棱上角的頂點在棱上2）角的兩邊分別在兩個面內(nèi)角的兩邊分別在兩個面內(nèi) 以二面角的以二面角的棱上任意一點棱上任意一點為端點，為端點，在在兩個面內(nèi)兩個面內(nèi)分別作分別作垂直于棱垂直于棱的兩條射線，這的兩條射線，這兩條射線所成的兩條射線所成的角角叫做叫做二面角的平面角。二面角的平面角。10 lOAB:0,范 圍二面角的計算：二面角的計算：1、找到或作出二面角的平面角找到或作出二面角的平面角2、證明證明 1中的角就是所求的角中的角就是所求的角3、計算

14、出此角的大小計算出此角的大小一一“作作”二二“證證”三三“計算計算”16.如圖，正方體如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角中，二面角C1-BD-C的正切值是的正切值是_.2練習(xí). 在二面角在二面角-l-的一個平面的一個平面內(nèi)有一條直線內(nèi)有一條直線AB，它，它與棱與棱 l 所成的角為所成的角為45，與平面，與平面所成的角為所成的角為30，則，則這個二面角的大小是這個二面角的大小是_.344或練習(xí)3、在二面角在二面角-a-內(nèi)，過內(nèi)，過a作一個半平面作一個半平面，使二面角，使二面角-a-=45，二面角，二面角-a-=30，則，則內(nèi)的任意一點內(nèi)的任意一點P到平到平面面與平面與平面的距離之比為

15、的距離之比為 2練習(xí)二面角的求法二面角的求法(2)(2)垂線法垂線法(1)(1)垂面法垂面法(3)(3)射影法射影法垂面法垂面法(定義法定義法)定義法:根據(jù)定義,找到二面角的棱垂面即可得平面角,解三角形求其大小.ABDCA1B1D1C1在正方體在正方體AC1中，求二面角中，求二面角D1ACD的大小？的大小？OABC中中,ABBC,SA 平面平面ABC,DE垂垂直平分直平分SC,又又SA=AB,SB=BC,求二面角求二面角E-BD-C的大小的大小?SABCED3垂線法垂線法(三垂線三垂線定理或逆定理定理或逆定理)垂連求角三垂線法:首先找其中一個半平面的垂線,找不到垂線找垂面(指其中一個半平面的垂

16、面),找到垂面作垂線,構(gòu)造三垂線定理或逆定理條件得平面角. 三棱錐三棱錐P-ABC中，中，PA 平面平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BCPABC （1）求二面角）求二面角A-PC-B的大小的大小DEBD=DE=235815COS =43四棱錐四棱錐P-ABCD的底面是邊長為的底面是邊長為4的正方形，的正方形，PD面面ABCD，PD=6，M,N是是PB,AB的中點，的中點，求二面角求二面角M-DN-C的平面角的正切值？的平面角的正切值？PDABCNMOH3 5arctan2如圖，三棱錐如圖，三棱錐P-ABC中，面中，面PBC面面ABC，PBC是邊長為是邊長為a的正三角形，的正三角形，

17、ACB= 90， BAC=30，BM=MC求證：求證： PB AC 二面角二面角C-PA-M的大小的大小 PMBCADF2arctan3ABCDO射影法射影法是不找平面角求二面角的一種方法:ABCAM已知：如圖已知：如圖ABC的頂點的頂點A在平面在平面M上的射上的射影為點影為點A， ABC的面積是的面積是S， ABC的的面積是面積是S，設(shè)二面角設(shè)二面角A-BC-A為為 求證：求證：COS = S SD在正方體在正方體AC1中，中，E,F分別是中點分別是中點,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的銳二面角的大小所成的銳二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1FGBCDAFEA1C6a

18、rccos6在正方體在正方體AC1中，中，E,F分別是中點分別是中點,求截面求截面A1ECF和底面和底面ABCD所成的銳二面角的大小所成的銳二面角的大小EFGABDCA1B1D1C1HFGBCDAH過正方形過正方形ABCD的頂點的頂點A引引SA底面底面ABCD，并使平面并使平面SBC，SCD都與底面都與底面ABCD成成45度度角，角，(1)求二面角求二面角BSCD的大??？的大??？(2)求求面面SCD與面與面SAB所成的二面角所成的二面角ABCDSOE01200045135或一題多解：:ASD垂面法射影面積法法向量法ll三、面面角：三、面面角：二面角的范圍：0, 法向量法法向量法 1n 1n 2

19、n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n注意注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角同進同出，二面角等于法向量夾角的補角A( 0, 0, 0) ,C ( 1, 1, 0) ,1,0),D ( 0,(0,0,1)S1(0,1,0)SBAnAD易知面的法向量( 1,0,0),(0,1, 1)CDSD 2( , , ), SCDnx y z的法向量22, nCD nSD由得：設(shè)平面設(shè)平面00 xyz2(0,1,1)n 任取12121

20、22cos,2|n nn nnn 22即所求二面角得余弦值是:1 ;,SAO AB AD AS 解 設(shè)建立空間直角坐標系l將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的方向向量（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的（在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角。夾角。如圖，設(shè)二面角如圖，設(shè)二面角 的大小為的大小為 ，其中其中l(wèi),ABl ABCDl CDcoscos,AB CDAB CDAB CD DCBA三、面面角：三、面面角：方向向量法：方向向量法：二面角的范圍：0, 例、已知在一個二面角的棱上有兩個點例、已知在一個二面角的棱上有兩個點A，B，線段線段AC，BD分別在這個二

21、面角的兩個面內(nèi)，并且分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱都垂直于棱AB，AB=4=4cm，AC=6=6cm，BD=8=8cm，CD= =2 17cm，求二面角的度數(shù)，求二面角的度數(shù)CDAB 222222()(2 17)6482cos,CDCA AB BDCA BDCA BD 1cos,21cos,2CA BDAC BD 3E例例.正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中點，的中點，當當 時，求二面角時，求二面角 的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCABCBCD1CADBC1B1A1)0,21,23(aaA)0 ,0(aB)0 ,41,43(aaD), 0 , 0(1bC),0

22、(1baB解法一解法一(方向向量）：如圖，以方向向量）：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系為原點建立空間直角坐標系C-xyz。設(shè)底面三角形的邊長為。設(shè)底面三角形的邊長為a，側(cè)棱長為，側(cè)棱長為b,則則故),21,23(1baaAB), 0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba則可設(shè) =1， ，則B(0,1,0) a22b)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1CyxzCADBC1B1A1FE作作 于于E, 于于F，則則 即為二面角即為二面角 的大小的大小1BCCE 1BCDF FDEC,CBCD1在在 中，中， BCCRt121222211abBCCCEBEC12

23、CEEB 12(0,)33E12(0,)33EC 由于 且 ，所以 ACBDABCCC面1DCBD1在 中，同理可求 BDCRt1)42,21,0(F)42,41,43(FDcos = FDEC ,22463341FDECFDEC即二面角 的余弦值為 CBCD122yxzCADBC1B1A1FE解法二解法二（法向量）同法一，以（法向量）同法一，以C為原點建立空間直角坐標系為原點建立空間直角坐標系 C-xyz 在坐標平面在坐標平面yoz中中 1CC B設(shè)面設(shè)面 的一個法向量為的一個法向量為 BDC1),(zyxm 同法一，可求同法一，可求 B(0,1,0)0 ,41,43(D)22, 0 , 0

24、(1C) 0 ,43,43(DB)22,41,43(1DC可取可取 (1,0,0)為面為面 的法向量的法向量 BCC1nyxzCADBC1B1A1由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m二面角二面角 的大小等于的大小等于 CBCD1nm, cos = nm,22233nmnm即二面角即二面角 的余弦值為的余弦值為 CBCD122 證明：以證明：以 為正交基底，為正交基底，建立空間直角坐標系如圖。則可得建立空間直角坐標系如圖。則可得1DA DC DD 、 、1(2 0 0)(0 2 0)(0 01)(2 2 2)(110)ACMBO， ， ， ， ， ，。1(2 01)(0 21)( 112)MAMCBO 所以， ， ， ， ， ， ，1120200220BO MABO MC ，11BOMABOMC 所以 ， 11BOMABOMCMAMCC即 ， 。又1BOMAC所以平面 例例. .已知正方體已知正方體 的邊長為的邊長為2 2， O為為AC和和BD的交點，的交點，M為為 的中點的中點 （1 1）求證：）求證： 直線直線 面面MAC; （2 2）