教師資格《初中數(shù)學(xué)》必背基本公式匯總

2021年教師資格證考試初中數(shù)學(xué)

教資必背基本公式整理匯總

【全】

常用的公式匯總

1.平方差公式：(a+6)(a-6)=a2-b2o

222

2.完全平方公式：(a±b)=a±2ah+bo

2233

3.立方和公式：(〃+6)(a-ah+b)=a+bo

4.立方差公式：(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3c

5.完全立方公式：(a±b)3=Q3±3a2b+3〃b2±b3。

6.如果一元二次方程"2+bx+c=0(X為未知數(shù),4。0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是為,工2,那么Xl+X2=-2,

a

X]X2=^o若Xl+X2=〃?，X\X2=n,則以X],X2為根的一元二次方程是/?〃a+〃=0。

a

7.指數(shù)公式

(l)a°=l(a>0)

(2)ar?爐="+'&,sGR,a>0)

(3)=a-s(r,sWR,a>0)

(4)(ab)r=arb'\rdR,a,b>0)

(5)(4T=〃'(廠,56氐a>0)

(6)a"=*GR,a>0)

(7)￡=府(廠61<,0>0,sWN*,J>1)

8.對(duì)數(shù)公式

特殊：log“l(fā)=0,k>g“a=l,log*=-1(a>0且aWl)

和式：bg“(A/?AO=log“A/+lo&N(a>0且aWl,M>0,N>0)

差式：10&,，=10&知一10&及(a>0且a#l,M>0,N>。)

換底：10&力=畢勁(a>0且a/l,c>0,且c#l；6>0)

logca

n

指系：logamb=^\og(lb(。>0且a#l,6>0,團(tuán),〃WR,mWO)

第1弗，1片W31頁(yè)7/27

還原：Qi°g。"=log。a”(a>0且aWl：x>0)

倒數(shù)：k)g/=；^—(a>0且aWl,6>0且6W1)

°logba

9,三角函數(shù)的基礎(chǔ)公式

sin2a+cos2a=1tana=巴絲

cosatanacota=1

10.和差公式

(1)sin(a±P)=sinacosP±cosasinp

(2)cos(a±p)=cosacosp+sinasinp

tana±tanp

(3)tan(a±P)=1+tanatanp

11.倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

2tana

(3)tan2a=l-tan2a

12.正弦定理

在△NBC中，內(nèi)角/、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,R為△ABC的外接圓的半徑,

s-t7n—AsinBsinC—2Rc

三角形的面積公式：S畦ABC=/csiM=%csiiB=、6sinC

13.余弦定理

在△力8C中，內(nèi)角Z、B、C所對(duì)的邊分別為人b、c,有q2=〃+c2-2bccos4,b2=

a2+c2-2accosB,c2=a2+Z>2_2abcosC

*'人.b2+c2-aia2-/-c2-b2M+b?_c2

推定：cosJ=----c--o-s-B=

2bc2accosC=2ab

14.均值不等式

①若a,beR,a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時(shí)，等號(hào)成立

②若〃>0,b>0,則呼N/標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)，等號(hào)成立。

這里a,6均為正數(shù)，稱卓為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，疝稱為正數(shù)a,b的幾何平均

數(shù)，即兩個(gè)整數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于（大于等于）它們的幾何平均數(shù)。

③若a,h,CER,則可上2V赤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

第2猱,2埃31頁(yè)7/27

15.柯西不等式

若。，b,c,dWR,都是實(shí)數(shù)，則(。2+爐)?2+d?)N(QC+bd)2,當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc

時(shí)，等號(hào)成立。

16,復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1.加減運(yùn)算：(a+bi)土(c+由)=(a土c)+S±rf)i

2.乘法運(yùn)算：(。+山)(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

3.除法運(yùn)算：(。+質(zhì))+9+力)=與您+與濯i(c+山NO)

c4-razcz7-az

4.i的霉運(yùn)算：*=1,*+1=1,j4n+2=—1,j4n+3=-j(〃WN)

17.復(fù)數(shù)方程

實(shí)系數(shù)方程渥+bx+c=O(a彳0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求根：

當(dāng)判別式△>()時(shí)，有一對(duì)實(shí)根X/廠-可ic；

2a

當(dāng)判別式A=0時(shí)，有一對(duì)相等的實(shí)根必產(chǎn)一3；

2a

b±iacb

當(dāng)判別式A<0時(shí)，有一對(duì)共輯虛根Xl.2--^~\

2a

(3)數(shù)量積：對(duì)于兩個(gè)向量日和人它們的模㈤、回及它們的夾角。的余弦的乘積稱為

向量d和B的數(shù)量積，記作d即五不=同同cos。。

18.坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=(x”i),石=(X2,y2)，則：

向量的加減法運(yùn)算：a±另=(xitT2,?±、2)

實(shí)數(shù)與向量的積：Aa=A(xi,_yi)=(Ari,A_yi)?

若A(xiyi),B(X2,J2).則而uaz—Xijz—yi)，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的

有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(工鏟，空)。

平面向量數(shù)量積：a-b=x\X2+y\y2o

向量的模：|2|=+y2,日2=忻|2=%2+,2。

兩點(diǎn)間的距離：若A(xi,yi),B(X2^2)，則I第I=J(%2-X1)2+(72-丫1)2。

19.向量的運(yùn)算律

交換律：d+b=b+a,入(〃五)=(入a,b=b-d

結(jié)合律：(d+b)+c=a+(b+c)9a+b+c=(a+b)+c,a—b-c=d-(b+c),(ka)-b

=X(a-h)=a?(Ah)；

第3弗,3圾31頁(yè)7/27

分配律：(X+n)a=Xd-/-/za,X(a+b)=Xd+Ab9(a+b)-c=d-c+b-co

,2

20.向量平行的充要條件：a//h—d=Ab(AeR)(a-b')2=(|a||6|)?->xiy2-X2_yi=0。

21.兩個(gè)向量垂直的充要條件

設(shè)@=(X”|),萬(wàn)=(X2J2)，

①向量式：a±b(b手G)c日,b—0；

②坐標(biāo)式：a±b(bHJ)-x\X2+y\y2—0?

③直線/i：A|x+Biy+Ci=0與A：A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是A|A2+B|B2=

0?

向量垂直的充要條件：a1b(b*0)a-b=0?-?|a+&|=|a—b|?-?工武2+川2=0。

22.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式

設(shè)向量七(x,y,z),則向量模的坐標(biāo)表示式出=yjx2+y2+z2

設(shè)有點(diǎn)/=3加與)，8=(x2必/2)，則AB=OB-OA=(X2—%1^2—yi,Z2—zi)

于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為MB|=\AB\=J(X2—xJ2+@2-yi)?+32—z】)2

23.數(shù)量積

(1)數(shù)量定義

對(duì)于兩個(gè)向量&和a它們的模同、同及它們的夾角。的余弦的乘積稱為向量五和冽勺數(shù)

量積，記作日不，即，?J=|由同COS0

24.數(shù)量積的性質(zhì)

①d-a=\a\2

②對(duì)于兩個(gè)非零向量五和如果小3=0,則反之，如果213,則di=0。如

果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直，則

25.數(shù)量積的運(yùn)算律

①交換律,<b=b-a

②分配律：(五

③(-)??=&?(Ah),(河心L)=入u(曲入、〃為常數(shù)

26.數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)一=@,ay,az),b=(bx,by,bz),Hfla-b=axbx+ayby+azbz

(5)兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示

第4域,4城31頁(yè)7/27

設(shè)。=＜五］＞,則當(dāng)doo,BHO時(shí)，有8sg=磊=_,氣鋁吟+吁一

同回配的司應(yīng)對(duì)短

27.向量積

(1)向量積的定義

設(shè)向量乙是由兩個(gè)向量五和9按下列方式定出：

邢J模團(tuán)=@,|sin。，其中。為潸麗間的夾角。

加勺方向垂直于日和前決定的平面，不的指向按右手定則從五轉(zhuǎn)向加來(lái)確定。那么，向量,

叫做向量五與B的向量積，記作ax5,即m=ax加

向量積的幾何意義：平行四邊形的面積

28.向量積的性質(zhì)

①Gxa=0

②對(duì)于兩個(gè)非零向量蒼、b,如果dxB=O,則己〃3；反之，如果d〃族，則dx族=0。

29.向量積的運(yùn)算律

①交換律dx3=—bxa

②分配律：(五+力xc=axc+bxc

③而xb=ax(Ab)=A(axb),4為常數(shù)

30.向量積的坐標(biāo)表示

-ijk

aaa

axb=xyz=(aQz—dzby)i-{axbz-azbx)j+(axhy-aybx)fc

bxbybz

31.利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行

設(shè)d=(g,ay,az)W0,石=(bx，byfbz)9向量為〃石1日=看，

即五〃族一(七,ay9az)=k(bx,by,bz),于是叁=曳=%

a%Oy°z

32.混合積

設(shè)已知三個(gè)向量a,b,c,先作兩向量。和6的向量積把所得到的向量與第三個(gè)向

量c再作數(shù)量積(合6).如這樣得到的數(shù)量叫做三向量〃、氏c的混合積，記作［a,b,c］。

ClyQyQ7

QyidyCLZI|Q%Qyb.7.

［a,h,c］=(a^b)-c=cxbybz\-Cy\bx/J+'z口by=xbybz

cxcycz

幾何意義：以向量。，力，c,為棱長(zhǎng)的平行六面體的體積。

33.兩條平行線間的距離

第5彈,5坂31頁(yè)7/27

若/i：4t+gy+G=0，hi4v+及y+C2=0平行，則：d=。

A2+B2

34.點(diǎn)與直線的關(guān)系

向0+Byo+c|

點(diǎn)Po（xo,次）到直線4*+到+C=0的距離為：d=

JA2+B2

35.圓的方程的幾種形式

表達(dá)式圓心半徑

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=33,b)r

x2+y2+Dx+Ey+F=O,

DED2+E2-4F

一般方程（一于一或r=Q-----------

(D2+E2~4F>0)2

(x=rcos0+a

參數(shù)方程ly=rsin0+b(a,b)r

37.排列數(shù)公式：=n(n—l)(n—2)...(n-m+D\;)！(加，〃￡N,m<m)

m個(gè)相乘

如父=5X4X3=&

38.組合數(shù)公式:

蕾=第=叢*答=誓=篇而(九〃￡N,g/),如威孝=窯

7711771-1)…21(M—433X2X1

39.組合數(shù)性質(zhì)

Cm=Cn-mi規(guī)定或=毓=［。

40.二項(xiàng)式定理

（a+b）n=C^an+C^1-1ft+...+C\an-rhr+...+CJ}b"（n,rGN*）,其中組合數(shù)品叫做第&+

1）項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；展開式共有（〃+1）項(xiàng)，其中第（r+1）項(xiàng)「+|=品/-萬(wàn)&=0,1,2,...〃）稱為二

項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的主要用途是求指定的項(xiàng)。

41.等可能事件的概率

（1）幾何概率：每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成事件區(qū)域的幾何度量（面積或體積）成

正比。

p,,_構(gòu)成事件A的區(qū)域的幾何度量：（長(zhǎng)度、而積或體積）

一優(yōu)驗(yàn)所有可能結(jié)果構(gòu)成的K域的幾何度埴（長(zhǎng)度、間積或體積）

42.等可能事件的概率

①特點(diǎn)：所有基本事件有限個(gè)；每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等

4包含的基本事件的個(gè)數(shù)

②概率公式：P（4）=~一木事件的總數(shù)~

43.古典概型概率的求法

第6猱,6共X31頁(yè)7/27

一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有"種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件

力包含其中的加種結(jié)果，那么事件N發(fā)生的概率為

P(N)=n-

44.如果事件力和8互斥，則尸(A+B)=P(A)+尸(B)(加法公式)。

45.如果/和8對(duì)立，則：P(A)=1一尸(8)。

46.條件概率P(B|A)母名，為在事件力發(fā)生條件下，事件8發(fā)生的概率。

P(4)

47.獨(dú)立事件概率P(AB)=P(A)P(B⑷=P(A)P(B)o

48.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率

在〃次重復(fù)試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，用自來(lái)表示，事件發(fā)生的概率是

p,則在〃次試驗(yàn)中恰好成功上次的概率為：PK=k)=C"(l-p嚴(yán)。

49.兩點(diǎn)分布

如果隨機(jī)變量X的分布列為

X01

P1-PP

則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱片P(六I)為成功概率。

50.二項(xiàng)分布

〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)4是一個(gè)隨機(jī)變量,其所有可能的取值為0、1、

2、…〃，并且P*=P(4=k)=Cp*g"*,其中OS七小q=\-p,隨機(jī)變量。的分布列如下:

e01kn

PcW「PH"

稱這樣的隨機(jī)變量1r服從二項(xiàng)分布，記作?8(〃,p),并稱p為成功概率，其中〃、。為

參數(shù)，并記C初*(1—p)"-*=b(A,n,p).

51.超幾何分布

在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取〃件，其中含有次品數(shù)記為蜃則事件歸=的發(fā)生

的概率為尸?=%)=魚斛(％=1,2,…且建N,M<N,n,M,NGN*),

CN

其分布如下表所示：

三01I

r'Or,n/'Iz'n-lplpn-l

CC

pMN-M

a

稱這樣的隨機(jī)變量。服從超幾何分布，記作。?〃(〃，M,N),并將=臉第記

第7彼,7埃31頁(yè)7/27

為H(k：n,M,N)。

52.期望=平均數(shù)元=?內(nèi)+X2+…+x“)

53.方差：s2=；[(X]—元)2+(X2—制2+…+(x“一￡)2]

54.標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)(離散系數(shù))：%

55.離散型隨機(jī)變量的期望

E(5=pg+p2X2+……為j的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，簡(jiǎn)稱為期望。

00

E(X)=WXfcPfc

k=l

若n=a1+b,其中a,b為常數(shù)，則n也是隨機(jī)變量，且E(n)=E(a&+b尸aE&+b。

隨機(jī)變量期望的性質(zhì)：

?E(c)=c(c為常數(shù))；

②E(cX尸cE(X)；

③E(X士Y尸E(X)士E(Y)；

④E(￡d=￡%E(XD；

⑤若X,Y相互獨(dú)立，則E(XY尸E(X>E(Y)。

56.離散型隨機(jī)變量的方差O?=pGi-E?)2+p2(X2-E?)2+…+P，(XLE?)2+.+

p”(x“一E(e))2為隨機(jī)變量的方差。

若n=a&+b,其中a,b為常數(shù)，則耳也是隨機(jī)變量，且D(n尸Dg+b)4%。

隨機(jī)變量方差的性質(zhì)：

①D(X)=X迄1%-E(X)Fpk=E{[X-E(X)『}；

②D(c)=0(c為常數(shù))；

(3)D(cX)=c2D(X)(c為常數(shù))；

④D(X+c尸D(X)(c為常數(shù))；

⑤若X,Y相互獨(dú)立，則D(X+Y尸D(X)+D(Y)；

@D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

57.隨機(jī)變量的分布函數(shù)

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，

函數(shù)F(x)=P{XWx},-oo<x<8,稱為X的分布函數(shù)。

對(duì)于任意實(shí)數(shù)X],X2(^l<刀2)，

第8猱,8片X31頁(yè)7/27

有P{%1<X<x2}=P[X<x2]-P[X<Xi)=F(x2)-F(%1)0

也就是，只要知道X的分布函數(shù)，我們就知道X落在任一區(qū)間(打/2]上的概率。

F(x)具有以下性質(zhì)：

X

1.F(x)是一個(gè)不減函數(shù)。對(duì)于任意實(shí)數(shù)與，X2(1<%2)，有F(》2)-F(%1)=P{%1<X<x2}>

Oo

2.0WF(x)〈l且F(—8)=limF(x)=0,F(oo)=limF(x)=1

XT-8XT8

3.F(x+0)=F(x)即F(x)右連續(xù)。

58.如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有FQ)=

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱密度概率。

概率密度函數(shù)/(x)具有以下性質(zhì)：

l./(x)>0

21:/0)八=1

3.對(duì)于任意實(shí)數(shù)X1，X2(%1<x2)>有P{X1<XWX2}=F(X2)-FQ1)=C"(x)dx

4.若/(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有F'(x)=/(x)

/*<x>

59.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為/(x),若積分/公絕對(duì)收斂，則稱積分

J-00

/?oo/*00

/W(X)公的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。記為￡(X)。即E(X)=/xf(x)dxo

?/-8J-a0

數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱均值。

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量有O(x)=/8[x*—￡(x)『/(x)dx,其中/(X)是X的概率密度。

kx0<x<3

23<X<4

{0其他

(1)確定常數(shù)k;(2)求X的分布函數(shù)F(x)；求P{1<X4}

解：由得+/；(2-§dx=1,解得k=，，于是

r-x0<x<3

6

X具有概率密度/(%)=《23<x<4

、0其他

第9弗,9圾31頁(yè)7/27

0%<0

fo2xdx0<x<3

(2)X的分布函數(shù)F(x)=

0而+/：(2—23<x<4

x>4

(0x<0

X2

0<x<3

BPF(X)=12/

-34-2%--3<x<4

4

(1x>4

(3)P[l<X<g=Fg)-F(l)=il

60.隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望定理

設(shè)隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X),這里g是連續(xù)函數(shù)，那么

(1)若X是離散型隨機(jī)變量，且X的概率分布為P{X=xJ=p.=123…，則

E(Y)=E[g(x)]=￡g(Xi)Pi；

(2)若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，且概率密度函數(shù)為/(x),則E(Y)=E[g(x)]=J：0g

61.正態(tài)分布的概念

1(*r)2

如果連續(xù)型隨機(jī)變量4的概率密度函數(shù)為f(x尸患e-k,xGR,其中O,□為常數(shù)，

VV1(x-g)2

-

并且o>0,則稱自服從正態(tài)分布，記為&?N(p,M)。稱F(x)=J_oo/(x)dx=正前e―京dx

為分布函數(shù)。期望E《=N，方差DJ=(T2。

62.性質(zhì)

I.曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x=p對(duì)稱。

P(X<p)=P(X>p.)=0.5；P(X<p-G)=P(X>JX+G)

2.曲線在x=R時(shí)處于最高點(diǎn)，由這一點(diǎn)向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低。

3.曲線的對(duì)稱軸位置由N確定；曲線的形狀由。確定，o越大，曲線越“矮胖”，反之越

“高瘦”。

63.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

第l0?J0fti3l頁(yè)7/27

當(dāng)(i=0,o=l時(shí)，&服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作&?N(0,1),且有中儀)=意0-尹2,(p(x)

稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)為①

且滿足①(-x)=l-e(x),<P(0)=0.5o

-------------------

-XX

當(dāng)X?N(N，<72)時(shí)，F(xiàn)(H)=0.5；

F(x)=中葉)，

P(X<r)=P(^<^)=^>(—),

GO(J

P(a<X<6)=F(b)-F(a)=0>牛)-①")。

O(J

64.數(shù)列極限

設(shè)數(shù)列｛&｝與常數(shù)a有如下關(guān)系：對(duì)任意給定的正數(shù)￡(不論它多么小)，總存在正整

數(shù)M使得當(dāng)〃>N時(shí)，有|xn-a|<￡成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列｛xj的極限，或者稱數(shù)

列｛x｝收斂于a,記作limx=a。

nn-?oon

語(yǔ)言：VE>0,m正整數(shù)M當(dāng)〃〉N時(shí)，有％-a|<￡。

65.函數(shù)極限

(1)自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)出的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A,對(duì)任意給定的正數(shù)￡(不

論它多么小)，總存在正數(shù)6,當(dāng)0<|x-x0|<5時(shí)，|/(x)-川<￡成立，則稱/(x)當(dāng)x->x0

時(shí)以A為極限，記作

limf(x)=Ao

X-^X0

描述語(yǔ)言：當(dāng)x—沏時(shí)，/(x)無(wú)限趨近(接近)于某個(gè)常數(shù)A。

0

“e—A叫吾言：VE>0,38>0,對(duì)任意的xeU(xo),有|f(x)-川<￡。

66.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限

設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)團(tuán)大于某一正數(shù)時(shí)有定義。如果存在常數(shù)/,對(duì)于任意給定的正數(shù)￡(不

第11瓶版31頁(yè)7/27

論它多么小)，總存在著正數(shù)X,使得當(dāng)x滿足不等式|x|>X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足

不等式I/O)-A\<E,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/(x)當(dāng)xT8時(shí)的極限,記作

limf(x)=A或/(x)—A(當(dāng)尤->8)

X-><?

氣—M，語(yǔ)言：VE>0,3X>0,當(dāng)|x|>X時(shí)，有|f(x)-A\<E?

67.函數(shù)的有界性

如果在變量x所考慮的范圍(用D表示)內(nèi)，存在一個(gè)正數(shù)M.使在D上的函數(shù)值f(x)都

滿足|〃x)|<M,則稱函數(shù)y=/(x)在D上有界，亦稱/(%)在D上是有界函數(shù)。如果不存在

這樣的正數(shù)M,則稱函數(shù)y=f(x)在D上無(wú)界，亦稱/(X)在D上是無(wú)界函數(shù)。

一般來(lái)說(shuō)，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上具有有界性。

68.極限的性質(zhì)

(1)函數(shù)極限的唯一性

如果極限limf(x)存在，那么這極限唯一。

x-*x0

(2)函數(shù)極限的局部有界性

如果極限

limf(x)=A

x-?x0

那么存在常數(shù)M>0和d>0,使得當(dāng)0<|x-xol<<5時(shí)，有|/(x)|WM。

(3)函數(shù)極限的局部保號(hào)性

如果

lim/(x)=A

x-*x0

且Z>0(或/<0),那么存在常數(shù)3>0,使得當(dāng)0<|x-%0|<3時(shí)，有/'(x)>0(或/(x)<0)o

(4)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

如果極限

lim/(x)

X->X0

存在，｛馬｝為函數(shù)y(x)的定義域內(nèi)任一收斂于X。的數(shù)列，且滿足：xn^xo(ne/v+),那

么相應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列｛/On)｝必收斂，且

lim/(xn)=lim/(%).

n-*oox-^x0

69.極限的運(yùn)算法則

設(shè)lim〃(x)=4limv(x)=B,則有

第12須版31頁(yè)7/27

(1)加減法：lim[w(x)士u(x)]=lim〃(x)±limv(x)=4±8

(2)乘法：lim[u(x)v(x)]=limw(x)\mv(x)=AB

(3)除法：當(dāng)limv(x)=8用時(shí)，lim峰==d

v(x)h:m嗎v(？x)B

推論1：如果lim〃(x)存在，而c為常數(shù)，那么lim[cw(x)]=c\mu(x)o

nz,

推論2：如果lim〃(x)存在,而n是正整數(shù),那么lim[u(x)]=[limu(x)]o

70.判定極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則

(1)(夾逼準(zhǔn)則)設(shè)函數(shù)./)，g(X),，7(X)在%()的某個(gè)鄰域U(%o)內(nèi)滿足g(X)g(X)W/?(X),

且有極限

lima(x)=lim/i(x)=A

n-?x0x->x0

則有l(wèi)imf(x)=A?

x->x0

(2)單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

71.極限的求法

代入法就是直接將所趨近的值代入函數(shù)表達(dá)式中，這種方法的前提條件是這個(gè)值能使函

數(shù)有意義。

約公因子法：所趨近的值使得函數(shù)沒(méi)有意義，因此需要進(jìn)行約公因子，約公因子通常運(yùn)

用因式分解的方法。

最高次幕：當(dāng)函數(shù)是分式形式，且分子、分母都是多項(xiàng)式時(shí)，可以通過(guò)這種方法。最高

次辱法主要是比較分子與分母次數(shù)的高低。

―,當(dāng)九=m

..劭”+。1”-1+...+0m

lim-----------------------

一d/+瓦盧-1+...+%0,當(dāng)n>m

oo.當(dāng)九<m

72.兩個(gè)重要極限公式

sinx

(1)lim...-1

XTOx

/1\X-

(2)lim1+-=6或1而(1+?』

X->00\x)X—0

73.洛必達(dá)法則

法則1：吟型)

設(shè)(1)lim/(x)=O,limg(x)=O；

(2)在x變化過(guò)程中，f(x),g{x)皆存在；

第13須：13J版31頁(yè)7/27

(3)lim^y-=A(或8),則lim^^=4(或8)。

gfWg(x}

注意：如果lim零不存在，則不能得出lim祟不存在，如反例

g39M

x+sinx

lim-----------。

X->oox

法則2：(史型)

OO

設(shè)(1)lim/(x)=oo,limg(x)=oo；

(2)在x變化過(guò)程中，./V),g。)皆存在；

(3)lim篇=4(或8),則lim怒=4(或8)。

注意：(1)離散型數(shù)列極限不能直接用洛必達(dá)法則：

(2)如果直接用洛必達(dá)法則更麻煩，可先作變量替換，如令*=/。

74.兩個(gè)無(wú)窮小的比較

在自變量同一變化過(guò)程(X-?X。或％—8)中，設(shè)lim/(x)=0,limg(x)=0.且lim^y=I,

則有:

①若/=0,稱/(幻是比g(x)高階的無(wú)窮小，記作：/(x)=o[g(x)]；

②若/=8,稱f(x)是比g(x)低階的無(wú)窮小，記作：/(x)=0[g(x)]；

③若/="0,稱f(x)與g(x)是同階無(wú)窮?。?/p>

④若/=1,稱是/(x)與g(x)等階無(wú)窮小，記作：/(x)?g(x)。

75.常用等價(jià)無(wú)窮小

當(dāng)XT0的等價(jià)無(wú)窮小量有：

sinx—%；tanx?x；arcsinx~x；arctanx~x；e*-l~x；

x2

ln(l+x)~x；(1+x)2—1?2x；1-cosx~w；av-1\nci

76.水平漸近線

當(dāng)limf(x)=c(常數(shù))時(shí)，則稱產(chǎn)c為水平漸近線。

X-?±oo

77.垂直漸近線

當(dāng)lim/(x)=±8時(shí)，則稱x=xo為垂直漸近線。

78.閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1(有界性與最大值最小值定理)：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界且一定

第14項(xiàng)>口版31頁(yè)7/27

能取得它的最大值和最小值。

這就是說(shuō)，如果函數(shù)y(x)在閉區(qū)間⑷勾上連續(xù)，那么存在常數(shù)M>0,使得對(duì)任一xe[a,b],

滿足|/(%)|WM；且至少有一點(diǎn)g,使火9是.危)在[a,0上的最大值；又至少有一點(diǎn)n，使

/(n)是/(X)在口，6]上的最小值。

定理3(介值定理)：設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間口，切上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不同的函

數(shù)值J(a)=A及J(b)=B則對(duì)于A與B之間的任意一個(gè)數(shù)C,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)

&，使得y(&尸CCa<^<b)o

79.第一類間斷點(diǎn)

設(shè)沏是函數(shù)y=/(x)的間斷點(diǎn)，如果/(%)在間斷點(diǎn)X。處的左、右極限都存在，則稱與是

f(x)的第一類間斷點(diǎn)。

第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。左、右極限相等稱為可去間斷點(diǎn)，不相等

者稱為跳躍間斷點(diǎn)。

80.第二類間斷點(diǎn)

第一類間斷點(diǎn)以外的其他間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第二類間斷點(diǎn)。(至少一個(gè)單側(cè)極限不存在)

常見(jiàn)的第二類間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。

例如：x=0是f(x)=等的可去間斷點(diǎn)，是f(x)=?的跳躍間斷點(diǎn)，是/■(*)=：的無(wú)窮

間斷點(diǎn)，是/'(x)=sin：的振蕩間斷點(diǎn)。

81.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

f'(x)=lim/=limf(x+Ax)-f(x)

*)

△x—oAX-?O△x

第15項(xiàng):版31頁(yè)7/27

(*)式稱為導(dǎo)數(shù)的定義式，其常用形式還有下列兩種：/'Qo)=lim

X-^XQX-XO

../(xo+^-ZCxo)

_=l】m-------：--------

Tvoh->0h

82.基本初等函數(shù)求導(dǎo)

1.(C)'=0

2.(F)'=*,特別地，(x)，=1,(⑸'=京，G)'=-2

3.(")'=ax\na,(a>0且的H),特別地(靖)'=峭

4.(logx)'=-^—(”>0且存1),特別地，(Inx)—

°axlnax

(siar),=cosx(cosx)'=-sinr

(tairr),=sec2x(cotr)'=-csc?x

(secx),=tarLrsecx(cscx)"=—cotxcscx

(arcsinx)'=(arccosx)r=-^===

(arctanx)'=(arccotx)，=—

83.求導(dǎo)法則

函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

定理：設(shè)〃=〃(x),u=n(x)都可導(dǎo)，則

(1)[u(x)土v(初'=u\x)±vf(x)；

(2)[w(x)-v(x)]/=uf(x)v(x)+〃(x)M(x),特別地,[Cu(x)]f=Cu\x)；

84.反函數(shù)求導(dǎo)法則

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

85.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。

86.隱函數(shù)求導(dǎo)

(1)隱函數(shù)的概念

由二元方程/(x,y)=0所確定的函數(shù)稱為隱函數(shù)。

(2)隱函數(shù)的求導(dǎo)法

例：求由方程e、+盯-e=0所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)字。

第16須：16J版31頁(yè)7/27

解：把方程兩邊分別對(duì)X求導(dǎo)數(shù)，注意產(chǎn)況）。方程左邊對(duì)X求導(dǎo)得意（“+xy-e）=

e'M+v+x?，方程右邊對(duì)x求導(dǎo)得（0），=0。

由于等式兩邊對(duì)X的導(dǎo)數(shù)相等，所以"的”X字=0,從而察=--y（x+ey#o）。

在這個(gè)結(jié)果中，分式中的尸y（x）是由方程蜻+孫-e=0所確定的隱函數(shù)。

87.由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地，若參數(shù)方程仔=?，?，確定y與x間的函數(shù)關(guān)系，則稱此函數(shù)關(guān)系所表達(dá)的

函數(shù)為由參數(shù)方程所確定的函數(shù)。要計(jì)算這個(gè)參數(shù)方程所確定的x的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，假設(shè)函數(shù)

dy

x=W（t）、y=W（t）都是可導(dǎo)的，而且W'（t）則用=患需。

88.切線方程與法線方程

函數(shù)/（x）在點(diǎn)與處的導(dǎo)數(shù)/''（xo）在幾何上表示曲線y=f（x）在點(diǎn)（X。，/"（x。））處的切線的

斜率，即/（&）=%.

②若f'Go）=8,則在點(diǎn)（%。，/（X。））處的切線垂直于x軸；

③曲線y=/（x）在點(diǎn)（x（）,/1Go））處的切線方程為y-/（xo）=/'（xo）（x-與）；

曲線y=/（x）在點(diǎn)（Xo，/（xo））處的法線方程為y-f（x0）=---（x-x0）?

J^XQ）

89.函數(shù)單調(diào)性的判定

設(shè)函數(shù)廣/（x）在［a,6］上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)。

（1）如果在（a,b）內(nèi)/（x）K）,且等號(hào)僅在有限多個(gè)點(diǎn)處成立，那么函數(shù)產(chǎn)本）在。

6］上單調(diào)增加；

（2）如果在（a,b）內(nèi)/（x）S0，且等號(hào)僅在有限多個(gè)點(diǎn)處成立，那么函數(shù)y=/（x）在［a,

6］上單調(diào)減少；

90.求函數(shù)最值的方法

極值與區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

91.曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

設(shè)兀0在區(qū)間/上連續(xù)，如果對(duì)/上任意兩點(diǎn),X2恒有f（空）＜R△@，那么稱

/（X）在/上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；

如果恒有弩）＞f（＞）7（xz）,那么稱左）在/上的圖形是（向上）凸的（或凸?。?

如果函數(shù)/（X）在/內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，那么可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來(lái)判定曲線的凹凸性,

第1735147^31頁(yè)7/27

設(shè)兀t)在［a,3上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那么

(1)如果在(a,b)內(nèi)廣(x)>0,那么函數(shù).危)在［a,0上的圖形是凹的；

(2)如果在(a,b)內(nèi)/'(x)<0,那么函數(shù)/(x)在口，0上的圖形是凸的；

92.詹森不等式:若/為回句上的凹函數(shù),則對(duì)任意x,G［a,b］,X,>0(/=l,2,3,...n),

￡A=I,

i=l

?zn

i=li=l

一般地，設(shè)產(chǎn)危)在區(qū)間/上連續(xù)，xo是