中考數(shù)學復習重難點專項突破訓練專題12 新定義型幾何圖形綜合問題（重點突圍）(教師版)

專題12新定義型幾何圖形綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一與三角形有關(guān)的新定義型問題】 1【考向二與四角形有關(guān)的新定義型問題】 11【考向三三角形與圓綜合的新定義型問題】 23【考向四四角形與圓綜合的新定義型問題】 31【直擊中考】【考向一與三角形有關(guān)的新定義型問題】例題：（2022·江西撫州·統(tǒng)考一模）定義：從三角形（不是等腰三角形）的一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點所連線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果其中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我么就把這條線段叫做這個三角形的“華麗分割線”．例如：如圖1，AD把△ABC分成△ABD和△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的“華麗分割線”．【定義感知】(1)如圖1，在中，，AB=BD．求證：AD是的“華麗分割線”．【問題解決】(2)①如圖2，在中，，AD是的“華麗分割線”，且是等腰三角形，則的度數(shù)是________；②如圖3，在中，AB=2，AC=，AD是的“華麗分割線”，且是以AD為底邊的等腰三角形，求華麗分割線AD的長．【答案】(1)見解析(2)①21°或者42°；②AD=【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出角的度數(shù)，進而利用相似三角形的判定解答即可；（2）①分兩種情況討論，利用三角形內(nèi)角和解答即可；②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：∵AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，∵∠B=40°，∴∠ADB==70°，∴∠ADC=180°-∠BDA=110°=∠BAC，又∵∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴AD是△ABC的“華麗分割線”．（2）①當AB＝BD時，得∠ADB＝67°，∴∠ADC＝180°?∠ADB＝113°．∵△ADC∽△BAC，∴∠BAC＝∠ADC＝113°．在△ABC中，由內(nèi)角和定理得∠C＝21°；當AD＝BD時，∴∠ADC＝92°，∵△ADC∽△BAC，∴∠BAC＝∠ADC＝92°，在△ABC中，由內(nèi)角和定理得∠C＝42°；綜上分析可知，∠C的度數(shù)為21°或42°；故答案為：21°或42°；②∵AD是的“華麗分割線”，且△ABD是以AD為底邊的等腰三角形，∴△ADC∽△BAC，∴，即，解得：CD=1，∴，即，解得：．【點睛】本題主要考查了相似三角形的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)解答．【變式訓練】1．（2022·山東濟寧·三模）我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（）．如圖，在中，AB=AC，頂角的正對記作，這時，容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解答下列問題：(1)___________，___________；(2)如圖，已知，其中為銳角，試求的值．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）根據(jù)正對的含義分別求解即可；（2）延長到點，使得，連接，由題意可得：，求解即可．【詳解】（1）解：為等邊三角形，如下圖：則，，為等腰直角三角形，如下圖：則，，由勾股定理可得：，；故答案為：，；（2）解：延長到點，使得，連接，如圖：，設，由勾股定理可得：，則，由勾股定理可得：，由題意可得：，【點睛】此題考查了解直角三角形，以及新定義三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握三角函數(shù)的定義．2．（2022春·福建龍巖·九年級校考期中）在一個三角形中，如果有兩個內(nèi)角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“亞直角三角形”．根據(jù)這個定義，顯然，則這個三角形的第三個角為，這就是說“亞直角三角形”是特殊的鈍角三角形．(1)【嘗試運用】:若某三角形是“亞直角三角形”，且一個內(nèi)角為，請求出它的兩個銳角的度數(shù)；(2)【嘗試運用】:如圖1，在中，，，，點在邊上，連接，且不平分．若是“亞直角三角形”，求線段的長；(3)【素養(yǎng)提升】:如圖2，在鈍角中，，，，的面積為15，求證：是“亞直角三角形”．【答案】(1)，(2)(3)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)方程組求出α，β即可．（2）證明△ACD∽△BCA，推出，可得結(jié)論．（3）過點A作AD⊥BC，交CB的延長線于點D．利用三角形面積求出AD，再利用勾股定理求出BD，再證明△ADB∽△CAD，可得結(jié)論．（1）解：由題意，，解得，∴它的兩個銳角的度數(shù)為，．（2）解：∵，∴，又∵，∴，∵是“亞直角三角形”，∴，∴，∴，∴，∴，在中，．（3）證明：過點作，交的延長線于點．∵，，∴，在中，∵，∴，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴是“亞直角三角形”．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，“亞直角三角形”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2022秋·江蘇常州·九年級?？计谥校纠斫飧拍睢慷x：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”．(1)已知△ABC是“準直角三角形”，且．①若，則______；②若，則______；【鞏固新知】(2)如圖①，在中，，點D在邊上，若是“準直角三角形”，求的長；【解決問題】(3)如圖②，在四邊形中，，且是“準直角三角形”，求的面積．【答案】(1)①15；②10或25(2)或(3)的面積為48或24【分析】（1）①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)題意可分為①當時，過點D作于H，結(jié)合勾股定理求解；②，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（3）過點C作于F，，交的延長線于E，設，根據(jù)和可得，即可證明，可得，進而分情況討論求解：當時和當．【詳解】（1）①當時，則，∴（不合題意舍去），當，則，∵，∴，∴，綜上所述：，故答案為：15；②當時，則，∴，當，則，∵，∴，∴，綜上所述：或，故答案為：10或25；（2）當時，如圖①，過點D作于H，在中，，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，當時，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：或；（3）如圖②，過點C作于F，，交的延長線于E，設，∵，∴，又∵，∴，又∵，在和中，，∴，∴，當時，又∵，∴，由（2）可知：，設，則，∴，∴，∴，當，又∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述：的面積為48或24．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和三角形內(nèi)角和定理，靈活運用所學知識求解是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形．例如：如圖①．在和中，分別是和邊上的高線，且，則和是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用，分別表示和的面積．則，∵∴．【性質(zhì)應用】(1)如圖②，D是的邊上的一點．若，則__________；(2)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點．若，，，則__________，_________；(3)如圖③，在中，D，E分別是和邊上的點，若，，，則__________．【答案】(1)(2)；(3)【分析】（1）由圖可知和是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得到答案；（2）根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)和等高三角形的性質(zhì)可求得；（3）根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得，然后根據(jù)，和等高三角形的性質(zhì)可求得．【詳解】（1）解：如圖，過點A作AE⊥BC，則，∵AE=AE，∴．（2）解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．（3）解：∵和是等高三角形，∴，∴；∵和是等高三角形，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形的性質(zhì)并能靈活運用是解題的關(guān)鍵．【考向二與四角形有關(guān)的新定義型問題】例題：（2022·陜西西安·校考三模）定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，箏形中，，，若，求箏形的面積的最大值；(2)問題解決：如圖2是一塊矩形鐵片，其中厘米，厘米，李優(yōu)想從這塊鐵片中裁出一個箏形，要求點E是邊的中點，點F、G、H分別在、、上（含端點），是否存在一種裁剪方案，使得箏形的面積最大？若存在，求出箏形的面積最大值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)18(2)存在，最大面積為3000平方厘米【分析】（1）由題意證明，則，，根據(jù)，求出面積的最值即可；（2）由題意可知，分兩種情況討論：①當為中點時，如圖2，箏形中，，，，則厘米，厘米，由（1）可知，根據(jù)，求出箏形的面積；②當與重合時，如圖3，箏形中，，，，在中，由勾股定理得，求出的值，設，則，在中，由勾股定理得，即，求出的值，設，則，根據(jù)，可得，求出的值，如圖3，作于，則，在中，由勾股定理得，求出的值，根據(jù)，求出箏形的面積；然后比較①②的大小，進而可得結(jié)論．(1)解：在和中，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴時，面積最大，值為18．(2)解：由題意可知，分兩種情況討論：①當為中點時，如圖2，箏形中，，，，∴厘米，厘米，由（1）可知，平方厘米；②當與重合時，如圖3，箏形中，，，，在中，由勾股定理得，設，則，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，設，則，∵，∴，解得，如圖3，作于，則，在中，由勾股定理得，∴平方厘米；∵，∴存在一種裁剪方案，使得箏形的面積最大，面積為3000平方厘米．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值等知識．解題的關(guān)鍵在于明確箏形面積與對角線乘積的關(guān)系．【變式訓練】1．（2022·吉林長春·?？寄M預測）定義：如果一個四邊形的一組對角互余，我們稱這個四邊形為對角互余四邊形．(1)問題．利用下面哪組圖形可以得到一個對角互余四邊形（）①兩個等腰三角形；②兩個等邊三角形；③兩個直角三角形；④兩個全等三角形．(2)如圖①，在對角互余四邊形中，，且，．若，求四邊形的面積和周長．(3)問題．如圖②，在對角互余四邊形中，，，，，，求四邊形的面積和周長．(4)問題．如圖③，在對角互余四邊形中，，，，，求面積的最大值．【答案】(1)①③④(2)，四邊形的周長(3)，四邊形的周長(4)面積的最大值【分析】（1）結(jié)合定義來判斷，重點是拼成的四邊形一對對角互余．（2）因為，，所以，所以在對角互余四邊形中，只能．這樣利用含直角三角形三邊的特殊關(guān)系，就可以解決問題；（3）如圖，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到，則，連接，作于H，作于G，作于F，這樣可以求，則可以得到的長，進而把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，和的面積容易算出來，則四邊形面積可求．再求出和的長度，就可以得到和的長，利用勾股定理可以求出的長，四邊形的周長可求．（4）構(gòu)造，根據(jù)，利用相似的性質(zhì)和勾股定理求出，然后根據(jù)對角互余四邊形的性質(zhì)得到，從而得到四點共圓，而與同底，高成比例，從而得出，根據(jù)面積最大值可求面積的最大值．【詳解】（1）解：①兩個等腰三角形底邊相等，頂角互余，就可以，故①可以得到一個對角互余四邊形；②等邊三角形不成，即使是全等的等邊三角形拼成四邊形對角和為120°或240°，故②得不到對角互余四邊形；③兩個全等的直角三角形或有一條直角邊相等的相似的兩個直角三角都可以，故③可以得到一個對角互余四邊形；④由③可知④可以得到一個對角互余四邊形；故答案為：①③④；（2）∵，，∴，∵對角互余四邊形中，，∴，在中，，，，∴，，在中，，，∴，，∵，，∴，四邊形的周長；（3）如圖，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到，則，連接，作于H，作于G，作于F．∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，，，，∵；∴；∵，∴，∴在中，根據(jù)勾股定理可得，∵，，∴，∴根據(jù)勾股定理可得，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，根據(jù)勾股定理可得，∴，∴四邊形的周長；（4）如圖：作，∴，，∴,∵，，∴，，過P點作，∵，∴，∴，，，∴連接，由作可得，由對角互余四邊形，可得，∴，∴，∴四點在以為直徑的圓上，作，設，∵，∴，∴，∴，，，∵面積最大時是以為斜邊的等腰直角三角形，如圖：故面積最大，所以面積的最大值．【點睛】此題是相似形綜合題，主要考查了新定義的理解和應用，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解（2）的關(guān)鍵構(gòu)造，解（3）的關(guān)鍵是構(gòu)造作，將求面積的最大值轉(zhuǎn)化為求面積．2．（2023春·江西撫州·九年級金溪一中?？茧A段練習）【圖形定義】有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．【問題探究】(1)如圖①，已知矩形是“等鄰邊四邊形”，則矩形___________（填“一定”或“不一定”）是正方形；(2)如圖②，在菱形中，，，動點、分別在、上（不含端點），若，試判斷四邊形是否為“等鄰邊四邊形”？如果是“等鄰邊四邊形”，請證明；如果不是，請說明理由；此時，四邊形的周長的最小值為___________；【嘗試應用】(3)現(xiàn)有一個平行四邊形材料，如圖③，在中，，，，點在上，且，在邊上有一點，使四邊形為“等鄰邊四邊形”，請直接寫出此時四邊形ABEP的面積可能為的值___________．【答案】(1)一定(2)四邊形是“等鄰邊四邊形”，理由見解析，四邊形的周長最小值為(3)或或14【分析】（1）根據(jù)等鄰邊四邊形的定義和正方形的判定可得出結(jié)論；（2）如圖②中，結(jié)論：四邊形是等鄰四邊形，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可；（3）如圖③中，過點作于，點作于N，則四邊形是矩形．分三種情形：①當時，②當時，③當時，分別求解即可．【詳解】（1）∵四邊形的鄰邊相等，∴矩形一定是正方形；故答案為：一定；（2）如圖②，四邊形是等鄰四邊形；理由：連接．∵四邊形是菱形，∴，，∴，都是等邊三角形，∴

，，∵，∴，∴，∴，，∴四邊形是等鄰四邊形，∴，∵，∴的值最小時，四邊形的周長最小，根據(jù)垂線段最短可知，當時，的值最小，此時，，∴四邊形的周長的最小值為．（3）如圖③中，過點作于，點作于N，則四邊形是矩形．∵，，∴，，∵，∴，①當時，．②當時，設，在中，∵，∴，∴，∴．③當時，點與重合，此時．．綜上：四邊形的面積為或或14．【點睛】本題考查了“等鄰邊四邊形”的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，梯形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會正確尋找全等三角形解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．3．（2022·江西贛州·統(tǒng)考二模）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”．例如：如圖①，，則四邊形為“等鄰角四邊形”．(1)定義理解：以下平面圖形中，是等鄰角四邊形的是___________．①平行四邊形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．(2)深入探究：①已知四邊形為“等鄰角四邊形”，且，則________．②如圖②，在五邊形中，，對角線平分，求證：四邊形為等鄰角四邊形．(3)拓展應用：如圖③，在等鄰角四邊形中，，點P為邊BC上的一動點，過點P作，垂足分別為M，N．在點P的運動過程中，的值是否會發(fā)生變化？請說明理由．【答案】(1)②④(2)①或或；②見解析(3)不會發(fā)生變化，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、等腰梯形的性質(zhì)即可解答；（2）①分當和、時三種情況求解；②由得，根據(jù)對角線平分，得，故，即證得四邊形為等鄰角四邊形；（3）過C作于H，過P作于G，由，，得四邊形是矩形，得，可證明，得，即有，從而說明在點P的運動過程中，的值總等于C到的距離，不會變化．（1）解：①平行四邊形的鄰角互補，不是等鄰角四邊形；②矩形四個角都是直角，則鄰角相等，是等鄰角四邊形；③菱形的鄰角互補，不是等鄰角四邊形；④等腰梯形的兩個底角相等，是等鄰角四邊形．綜上，②④是等鄰角四邊形．故答案為：②④；（2）解：①當時，四邊形為“等鄰角四邊形”，∵，∴；當時，四邊形為“等鄰角四邊形”，當時，四邊形為“等鄰角四邊形”，；故答案為：或或；②∵，∴，∵對角線平分，∴，∴，∴四邊形為等鄰角四邊形；（3）解：在點P的運動過程中，的值不會發(fā)生變化，理由如下：過C作于H，過P作于G，如圖：∵，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，即，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，∴，即在點P的運動過程中，的值總等于C到AB的距離，是定值．【點睛】本題考查多邊形綜合應用，涉及新定義、多邊形內(nèi)角和、三角形全等的判定及性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．【考向三三角形與圓綜合的新定義型問題】例題：（2022·江西上饒·統(tǒng)考一模）定義：如果一個三角形有一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊的夾角是，那么稱該三角形為“特異角平分三角形”，這條角平分線稱為“特異角平分線”．(1)如圖1，是一個“特異角平分三角形”，是一條“特異角平分線”①當時，試求的值．②在中，過點D作于點E，延長至點H，，若，證明：．(2)如圖2．是的直徑，是的切線，點C為切點，于點A且交于點H，連接交于點E，，．試證明是一個“特異角平分三角形”．【答案】(1)①1：1；②見解析(2)見解析【分析】（1）①由直角三角形兩銳角互余得，故可得，繼而得從而可得結(jié)論；②根據(jù)角一部分線的性質(zhì)得，．運用可證明；（2）連接，．分別證明，平分即可．（1）①當時．如圖1①，∵，∴，∵平分，∴，在中，，∴，∴，∴；②如圖1②∵，，∴，∴，∴．∵是一條“特異角平分線”，是一個“特異角平分三角形”．∵，∴．∴∵，平分∴，．在與中，∴．（2）連接，．∵是的切線，是的半徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即平分．∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．∴，∴，∵，∴，又平分，符合定義．即是一個“特異角平分三角形”．【點睛】本題主要考查了新定義推理，正確理解“特異角平分三角形”是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2022春·九年級課時練習）定義：三角形一個內(nèi)角的平分線和與另一個內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的“好角”．(1)如圖1，∠E是中∠A的“好角”，若，則______；（用含的代數(shù)式表示）(2)如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于，點D是優(yōu)弧ACB的中點，直徑弦AC，BF、CD的延長線于點G，延長BC到點E．求證：∠BGC是中∠BAC的“好角”．(3)如圖3，內(nèi)接于，∠BGC是中∠A的“好角”，BG過圓心O交于點F，的直徑為8，，求FG．【答案】(1)α(2)見解析(3)FG＝4【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形外角定理，可知∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，由此可知∠E==α；（2）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知∠DCB＋∠BAD＝180°，可知∠BAD＝∠DCE，根據(jù)圓周角的定理可知∠ACD＝∠DCE，進而證得∠ABF＝∠CBF，根據(jù)“好角”的定義即可得出結(jié)論；（3）連接CF，根據(jù)“好角”的定義可知∠G＝∠A，即∠G＝∠BFC，由外角定理可知∠G＝∠GCF，可知FG＝CF，利用三角函數(shù)求得CF即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：由題意得，∠ABE=∠CBE=，∠ACE=∠ECD=，∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD=∠E+∠EBC，∴∠A=∠ACD-∠ABC，∠E=∠ECD-∠EBC=-，∴∠E==α；（2）如圖，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠DCB＋∠BAD＝180°，又∵∠DCB＋∠DCE＝180°，∴∠BAD＝∠DCE，∵點D是優(yōu)弧ACB的中點，∴，∴∠ACD＝∠BAD，∴∠ACD＝∠DCE，∴CG是△ABC的外角平分線，∵直徑BF⊥弦AC，∴，∴∠ABF＝∠CBF，∴BG是∠ABC的平分線，∴∠BGC是△ABC中∠BAC的“好角”；（3）如圖3，連接CF，∵∠A＝45°

，

∴∠BFC＝45°．∵BG過圓心O

，∴∠BCF＝90°．∵∠BGC是△ABC中∠A的“好角”

，

∴∠G＝∠A，

∵∠A＝∠BFC；∴∠G＝∠BFC，∴∠G＝∠GCF，∴FG＝CF，∵cos∠BFC＝，∴CF＝cos45°×BF＝×8＝4，∴FG＝4．【點睛】本題考查的是圓的有關(guān)知識、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握圓周角定理、三角形外角性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南長沙·長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學校?？家荒＃┪覀儾环炼x：有兩邊之比為1：的三角形叫敬“勤業(yè)三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤業(yè)三角形”的是________；（填序號）①等邊三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形．(2)如圖1，△是⊙O的內(nèi)接三角形，為直徑，為上一點，且，作，交線段于點，交⊙O于點，連接交于點．試判斷△和△是否是“勤業(yè)三角形”？如果是，請給出證明，并求出的值；如果不是，請說明理由；(3)如圖2，在（2）的條件下，當AF：FG＝2：3時，求的余弦值．【答案】(1)③④(2)都是，(3)【分析】(1)根據(jù)“勤業(yè)三角形”的定義進行計算，即可一一判定；(2)如圖，連結(jié)OE，設∠ABE=α，可證得∠AED=∠ABE=α，△ADE∽△AEB，可得，結(jié)合AD=AB，可得，即可判定△和△都是“勤業(yè)三角形”，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得的值；(3)如圖，過點G作交DE于點I，可得△FGI∽△FAD，△EIG∽△EDB，可證得，設EG=3a，則BE=4a，利用，可求得，，從而可得答案．(1)解：①等邊三角形各邊的比值為1，故等邊三角形不是“勤業(yè)三角形”；②等腰直角三角形兩直角邊的比值為1，直角邊與斜邊的比為，故等腰直角三角形不是“勤業(yè)三角形”；③設含角的直角三角形的最短邊長為a，則斜邊長為2a，另一條直角邊長為，，故含角的直角三角形是“勤業(yè)三角形”；④如圖：中，AB=AC，，過點A作于點D，，設AD=a，則AB=AC=2a，，，，含角的等腰三角形是“勤業(yè)三角形”；故答案為：③④；(2)解：△和△都是“勤業(yè)三角形”，證明如下：如圖：連接OE，設，，，，又，，即，，又，，，，，，，，，，△和△都是“勤業(yè)三角形”，；(3)解：如圖：過點G作交DE于點I，，，，，，，，，設EG=3a，EB=4a，由(2)知，，，，，，，在中，，即．【點睛】本題考查的是新定義問題，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義等有關(guān)知識，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【考向四四角形與圓綜合的新定義型問題】例題：（2022秋·九年級課時練習）定義：有一個角為45°的平行四邊形稱為半矩形．(1)如圖1，若?ABCD的一組鄰邊AB＝4，AD＝7，且它的面積為14．求證：?ABCD為半矩形．(2)如圖2，半矩形ABCD中，△ABD的外心O（外心O在△ABD內(nèi)）到AB的距離為1，⊙O的半徑＝5，求AD的長．(3)如圖3，半矩形ABCD中，∠A＝45°①求證：CD是△ABD外接圓的切線；②求出圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)①見解析，②12﹣2π【分析】（1）由S?ABCD＝AB?DH＝4×DH＝14，解得DH＝，進而求解；（2）連接OD、OB、BD，則∠BDO＝2∠DAB＝90°，則BD＝BO＝5，進而求解；（3）①證明△ABD為等腰直角三角形，得到OD是圓的半徑且OD⊥CD，即可求解；②由陰影部分的面積＝S?ABCD﹣S△ADO﹣S扇形ODB，即可求解．（1）解：過點D作DH⊥AB交AB的延長線于點H，∵S?ABCD＝AB?DH＝4×DH＝14，解得DH＝，則AH＝＝DH，∴∠A＝45°，∴?ABCD為半矩形；（2）解：連接OD、OB、BD，則∠BDO＝2∠DAB＝90°，則BD=BO＝5，過點O作OH⊥AB于點H，則BH＝＝AB，則AB＝4，過點B作BE⊥AD于點E，則BE＝AB＝4=AE，在Rt△BDE中，DE＝，∴AD＝AE+DE＝4+；（3）解：①過點D作DO⊥AB于點O，∵∠A＝45°，AD＝BD＝4，故AB＝4，則△ABD為等腰直角三角形，則OD＝AB＝2，∵ABCD，DO⊥AB，∴OD⊥CD，∴CD是△ABD外接圓的切線；②陰影部分的面積＝S?ABCD﹣S△ADO﹣S扇形ODB＝4×2﹣×2×2﹣×π×（2）2＝12﹣2π．【點睛】本題為圓的綜合題，主要圓切線的判定與性質(zhì)、新定義、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、面積的計算等，有一定的綜合性，難度適中．【變式訓練】1．（2022·浙江寧波·?？寄M預測）定義：如果一個四邊形的一組對角互余，那么我們稱這個四邊形為“對角互余四邊形”．(1)如圖1，在“對角互余四邊形”中，，，求四邊形的面積．(2)如圖2，在四邊形中，連接，，點O是外接圓的圓心，連接，．求證：四邊形是“對角互余四邊形”；(3)在（2）的條件下，如圖3，已知，連接，求的值．（結(jié)果用帶有a，b的代數(shù)式表示）【答案】(1)9(2)見解析(3)【分析】（1）作，使，且點E、A在直線異側(cè)，連接，則，先由，根據(jù)勾股定理求得，再證明，得，作于點F，則，根據(jù)勾股定理求得，即可由求得四邊形的面積是9；（2）連接，則，所以，而，可推導出，則，即可證明四邊形是“對角互余四邊形”；（3）在下方作，作于點G，連接，則先證明，，所以由，根據(jù)勾股定理得，由，得，則，所以，再證明，得，所以，則．【詳解】（1）解：如圖1，作，使點，且點E、A在直線異側(cè)，連接，則，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，作于點F，則，∴，∵，∴四邊形的面積是9．（2）證明：如圖2，連接，則，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是“對角互余四邊形”．（3）解：如圖3，在下方作，作于點G，連接，則∴，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，∴的值為．【點睛】此題考查