含參二元二次方程的解法

含參二元二次方程的解法一元二次方程是大學(xué)入門的必修課程。如果其中存在參數(shù)，我們稱為含參一元二次方程，相應(yīng)地，如果方程中出現(xiàn)了二個(gè)未知量，我們稱之為二元二次方程。本文將討論含參二元二次方程的解法。一、二元二次方程概述二元二次方程的一般形式如下：$ax^2+by^2+2hxy+2gx+2fy+c=0$其中$x,y$為未知數(shù)，$a,b,c,h,g,f$為已知系數(shù)。如果其中至少一個(gè)系數(shù)為$0$，那么就不是二元二次方程。如果$h=0$，那么我們可以通過變量代換把它轉(zhuǎn)變?yōu)橐话阈问较碌暮瑓⒁辉畏匠獭６畏匠逃懈鞣N各樣的解法，比如直接套用求根公式、化為一元二次方程再使用求根公式、配方法（巧妙地通過配方法變換之后得到一元二次方程再解決）等等。但是由于含參二元二次方程的復(fù)雜性，采用配方法是最簡(jiǎn)單和最常見的解題方法。二、配方法對(duì)于含參二元二次方程，其特殊性在于求出的結(jié)果很有可能也是含有參數(shù)的，因此我們需要選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)姆匠淌絹韺⑽粗?x,y$逐一消去。接下來，我們以一個(gè)具體例子來說明。例題：已知以下方程：$x^2+xy+y^2-6x-3y+m=0$，求$m$取何值時(shí)方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根。解：我們可以考慮如下的方程式：$$(x-y)^2+3x^2+3y^2-12x+6y+m=0$$這樣的變化有什么特殊含義呢？首先，我們可以立刻發(fā)現(xiàn)對(duì)于新的方程式，當(dāng)$x=y$時(shí)其值為$m$；其次，對(duì)于新方程式中的$x^2,y^2$項(xiàng)，我們可以通過將其與$x^2+xy+y^2-6x-3y$中的$3$對(duì)應(yīng)起來，來消去交叉項(xiàng)；最后，我們可以通過調(diào)整系數(shù)，使新方程式中所有未知量都具有完全平方數(shù)形式。由于$x^2+xy+y^2$不低于$0$，所以當(dāng)$(x-y)^2=0$時(shí)，$3x^2+3y^2-12x+6y+m$的值最小。而唯一的滿足這一條件的正實(shí)數(shù)解是$x=y$時(shí)的解。因此，我們只需令上述方程式中的$m$為真實(shí)值時(shí)，$(x-y)^2=0$有不等的正實(shí)根即可。通過計(jì)算可以得到，方程式為$(x-2)^2+(y+1)^2=4$。因此，得到$$(x-2)^2+(y+1)^2=4>m$$解得$m<5$。因此，當(dāng)$m<5$時(shí)，方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根。三、總結(jié)通過本文例子，我們可以獲得正確地配方法策略，從而解決含參二元二次方程。配方法是二元二次方程一般形式的標(biāo)配，是熟練解答這類問題的基