江蘇省宿遷市海安實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

江蘇省宿遷市海安實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理模擬試

卷含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.函數(shù)f(x)=ln(x2+l)的圖象大致是()

參考答案：

A

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象.

【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】’；或2+121,又y=lnx在(0,+8)單調(diào)遞增,y=ln(x2+l)21nl=0,函數(shù)的

圖象應(yīng)在x軸的上方，

在令x取特殊值，選出答案.

【解答】解：'；x2+l2l,又y=lnx在(0,+8)單調(diào)遞增，；.y=ln(x2+l)21nl=0,

...函數(shù)的圖象應(yīng)在x軸的上方，又f(0)=ln(0+1)=lnl=0,.,.圖象過(guò)原點(diǎn)，

綜上只有A符合.

故選：A

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于函數(shù)的選擇題，從特殊值、函數(shù)的性質(zhì)入手，往往事半功倍，本題屬于低檔

題.

2.已知。＞°力則'一"％的最小值是()

97

A.2B.2C.5D,4

參考答案：

A

【分析】

二元變量求最值，可以利用基本不等式求最值，

考慮連續(xù)多次使用不等式等號(hào)條件不一致，所以將a+b=2化成2,

代入運(yùn)算，即可求出最值。

【詳解】解：；a>0,b>0,a+b=2,

1411418恒J卜恒9

=-?—=——+—=—+—?N—I---=一

ab2(ab)(a+b)2(1+4ab)2(5+2Ala*)2,

當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本不等式的基本應(yīng)用，要熟悉“1”的代換技巧。

3.已知角a滿足—Q=2cosa,則cas2a=

44

A>5B、MC、

33

5D,-5

參考答案：

D

.?,,cos,a=—1

將.。二②但。代入aa+awa=l,解得5,根據(jù)二倍角公式知

CA?3

cosLa-2cos1a—1=——

5.故選D.

4.設(shè)a=?=向150+008150,c=\Zi+cDs56°,貝ij°、b、c的

大小關(guān)系為()

A.c<b<aB.

C.a<b<cD.b<a<c

參考答案：

c

分析：分別對(duì)a,b,c化簡(jiǎn)，最后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

詳解“=力(<?’1,-sin'lS)=應(yīng)COS32，

&=ail5*icosl5*=>^sni60'=^cos30*,

c=J+cosS6=也cos'28=0CDS28

又.；，=COB工在際…,

.'.a?28>cos30>cos32,

：.c>b>a

故選：C

點(diǎn)睛：本題考查了輔助角公式、二倍角公式、半角公式、誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用，以及利用

函數(shù)性質(zhì)比較大小的方法.

1_X2,X<1

5.(5分)函數(shù)f(x)」X2-X-3,X>1,則f(f(2))的值為()

A.-1B.-3C.0D.-8

參考答案：

c

考點(diǎn)：函數(shù)的值.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解.

1-x2,X41

*

解答：?.?函數(shù)f(x)=X2-X-3,X>1,

Af(2)=4-2-3=-1,

f(f(2))=f(-1)=1-(-1),=0.

故選：c.

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)

用.

6.化簡(jiǎn)Jl-sin2160°的結(jié)果是（）

A.cosl60°B.-cosl60°C.±cosl60°D.±|cosl60°|

參考答案：

B

【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；三角函數(shù)值的符號(hào).

【分析】確定角的象限，然后確定cosl60°的符號(hào)，即可得到正確選項(xiàng).

【解答】解：160°是鈍角，所以讓一sir/lGO。=|Cosl60°|=-cosl60°

故選B

7.若集合人={1,2},則集合A的所有子集個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

參考答案：

B

【考點(diǎn)】子集與真子集.

【分析】根據(jù)n元集合有2n個(gè)子集，得到答案.

【解答】解:集合A={1,2},

則集合A的所有子集個(gè)數(shù)是2"=4個(gè)，

故選：B.

8.如圖，在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD,底面ABCD,PA±AD,PA=AD,

則異面直線PB與AC所成的角為（）

參考答案:

C

【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；異面直線及其所成的角.

【分析】由已知可得：PA，平面ABCD,底面ABCD為正方形，分別過(guò)P,D點(diǎn)作AD,AP的

平行線交于M,連接CM,AM,因?yàn)镻B〃CM,所以ACM就是異面直線PB與AC所成的角

【解答】解：由題意：底面ABCD為正方形，PA,平面ABCD,

分別過(guò)P,D點(diǎn)作AD,AP的平行線交于M,連接CM,AM,

：PM〃AD,AD〃BC,PM=AD,AD=BC.

APBCM是平行四邊形，

所以/ACM就是異面直線PB與AC所成的角.

設(shè)PA=AB=a,在三角形ACM中，AM=J^a,"、區(qū),CM='&a

三角形ACM是等邊三角形.

所以/ACM等于60°,即異面直線PB與AC所成的角為60°.

故選：C

9.如圖，在四棱錐中，PA1底面底面A5CO為直角梯形,

ZHAD-ZJDC-9F,CD=2M=2AP=2AD,則直線尸8與平面pen所成角的大

小為（）

參考答案:

A

【分析】

取R中點(diǎn)加中點(diǎn)尸，連接加，此AE,先證明后為所求角，再計(jì)算其大小.

【詳解】取PC中點(diǎn)&W）中點(diǎn)W,連接心眶AE

設(shè)CZ）-l^AB-T^AP-2JLD-2

易知：CD工平面PMnCDIAF

ZF_LPDOa_L平面E4D

易知：四邊形NQ為平行四邊形=>AKJ■平面AD,即為直線口與平面HO）

所成角

BE=AF=—ZgPE=-=>ZJfPE=-

BP=hr226

c

故答案選A

【點(diǎn)睛】本題考查了線面夾角，先找出線面夾角是解題的關(guān)鍵.

10.圓（I）'MlF'=2被y軸所截得的弦長(zhǎng)為（）

A.1B.v'2C.2D.3

參考答案：

C

【分析】

先計(jì)算圓心到》軸的距離，再利用勾股定理得到弦長(zhǎng).

【詳解】（1）"（，一3）'「2圓心為（U力

圓心到尸軸的距離d=i

弦長(zhǎng)=2

故答案選C

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的弦長(zhǎng)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

”.△ABC中，”也。分別是角人小￡的對(duì)邊，且/+/=附/（用為常數(shù)），若

———=2012

cotA^cotB，則m=.

參考答案：

4025

12.已知扇形的圓心角為2,半徑為6cm,則扇形的弧長(zhǎng)為cm.

參考答案：

9

【分析】

由扇形的弧長(zhǎng)公式運(yùn)算可得解.

?3Nc

I=ar--x6=9

【詳解】解：由扇形的弧長(zhǎng)公式得：2,

故答案為9.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)，屬基礎(chǔ)題.

13.已知函數(shù)f(x)=logax+b(a>0,aWl)的定義域、值域都是[1,2],則

a+b=.

參考答案：

心

，或3

【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【分析】分類討論a的取值范圍，得到函數(shù)單調(diào)性，代入數(shù)據(jù)即可求解.

【解答】解：當(dāng)0<a<l時(shí)，易知函數(shù)f(x)為減函數(shù)，

ff(l)=b=21匚

<15

由題意有If⑵=l°ga2+b=l解得：a="b=2,符合題意，此時(shí)a+b=E；

f(l)=b=l

當(dāng)a>l時(shí)，易知函數(shù)為增函數(shù)，由題意有1f(2)=l°ga2+b=2,

解得：a=2,b=l,符合題意，此時(shí)a+b=3.

§

綜上可得：a+b的值為E或3.

故答案為：2或3.

14.已知函數(shù)/(x)=a6m(mr+a)+b8$(m+向+4,xeR,且/(2010)=2,則

」(201D的值為.

參考答案：

6

略

15.(5分)已矢口f(X-1)=x2,貝If(x)=.

參考答案：

(x+1)2

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法.

專題：計(jì)算題.

分析：可用換元法求解該類函數(shù)的解析式，令X-l=t,則x=t+l代入f(X-1)=/可得

2

至!Jf(t)=(t+1)2即f(x)=(x+1)

解答：由f(x-1)=X)令X-l=t,則x=t+l

代入f(x-1)=x?可得到f(t)=(t+1)2

f(x)=(x+1)2

故答案為：(x+1)2.

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解，考查學(xué)生的整體意識(shí)和換元法的思想，屬基礎(chǔ)題.

16.幕函數(shù)y=/(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(》，2),貝l]/(x)=0

參考答案：

,(1)*=2*-1062-1〃、-*

解析：設(shè)段)=),..?“，工?=3,.?./⑶一八。

-cX2+-5^—>1

17.已知下列不等式：(1)^+1>%；(2)/+1；(3)

a32

sinx+—ij->4a+b>

(4)sm3x；(5)2,

其中所有正確的不等式的序號(hào)是.

參考答案：

(2)(4)(5)

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

步驟

18.已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試，學(xué)校決定利用

隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績(jī)抽樣調(diào)查，先將800人按001,002,800進(jìn)行編

號(hào).

(1)如果從第8行第7列的數(shù)開(kāi)始向右讀，請(qǐng)你依次寫(xiě)出最先檢查的3個(gè)人的編號(hào)；

(下面摘取了第7行到第9行)

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

(2)抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚?/p>

數(shù)學(xué)

人數(shù)

優(yōu)秀良好及格

優(yōu)秀7205

地

良好9186

理

及格a4b

成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、及格三個(gè)等級(jí)；橫向、縱向分別表示地理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)，例如：

表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4-42.

①若在該樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率是30%,求m6的值：

②在地理成績(jī)及格的學(xué)生中，已知aN10,b>n,求數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)

少的概率.

參考答案：

3

(1)785,667,199.(2)①o~14；ft=17.②M

【分析】

(1)根據(jù)給定的隨機(jī)數(shù)表，從第8行第7列的數(shù)開(kāi)始向右讀，即可得到答案；

7*9*。=30%

(2)①由100，解得AM,進(jìn)而求得占=17；

②由a+b=31,且a310,列舉出基本事件的總數(shù)，利用古典概型及其概率的

計(jì)算公式，即可求解。

【詳解】(1)由題意，根據(jù)給定的隨機(jī)數(shù)表，從第8行第7列的數(shù)開(kāi)始向右讀，最先檢

查的3個(gè)人的編號(hào)依次為785,?7,199.

7+9+a

=30%

(2)①由題意100解得人14,

又由人100-30(20+18+4)-(升6)=17

②。+”100(7+20+5)-(9+18+6)-4=31

因?yàn)閃*212,所以，b的搭配：(1。21)(1L20)(口19)(13,14)

(H15)(15,16)(1M5)(1734)(1M3)(19,12)共有種,

設(shè)a工10,〃工12時(shí)，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少為事件A,

事件A包括：0*到,U)(U19),,(15,16)共有6個(gè)基本事件；

=—=—

'1105,

3

數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率為5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣，以及古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中熟

記簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣的隨機(jī)數(shù)表法的抽取方法，以及利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答

的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.(本小題滿分12分)

已知某山區(qū)小學(xué)有100名四年級(jí)學(xué)生，將全體四年級(jí)學(xué)生隨機(jī)按00?99編號(hào)，并且按編

號(hào)順序平均分成10組.現(xiàn)要從中抽取10名學(xué)生，各組內(nèi)抽取的編號(hào)按依次增加10進(jìn)行

系統(tǒng)抽樣.

59

6257

703689

81

(1)若抽出的一個(gè)號(hào)碼為22,則此號(hào)碼所在的組數(shù)是多少？據(jù)此寫(xiě)出所有被抽出學(xué)生的

號(hào)碼；

(2)分別統(tǒng)計(jì)這10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，獲得成績(jī)數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，求該樣本的方

差；

(3)在(2)的條件下，從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績(jī)不低于73分的學(xué)生，求被抽

取到的兩名學(xué)生的成績(jī)之和不小于154分的概率.

參考答案：

解：(1)由題意，得抽出號(hào)碼為22的組數(shù)為

3.....................................................................1分

因?yàn)?+10x(3—1)=22,所以第1組抽出的號(hào)碼應(yīng)該為02,抽出的10名學(xué)生的號(hào)碼依次

分別為：02,12,22,32,42,52,62,72,82,

92.........................................................3分

(2)這10名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)椋篨^10x(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)

=71,

P=lx

故樣本方差為：10(1。2+尸+22+52+72+82+92+62+42+122)=

52...................6分

(3)從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名成績(jī)不低于73分的學(xué)生，共有如下10種不同的取

法：

(73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,

81)(78,79)(78,81),(79,

81)............................................................................

……8分

其中成績(jī)之和不小于154分的有如下7種：(73,81),(76,78),(76,79),

(76,81),(78,79),(78,81),(79,

81)...........................................................................10

分

故被抽取到的兩名學(xué)生的成績(jī)之和不小于154分的概率為：

7

,二而..........................12分

20.已知數(shù)列｛詼｝滿足,,?22.首項(xiàng)(A#-2)數(shù)列｛兒｝滿足

4=4+2?

(I)求證：｛瓦｝為等比數(shù)列；

CID設(shè)數(shù)列｛兒｝的前"項(xiàng)和為S“，是否存在實(shí)數(shù)人，使得對(duì)任意正整數(shù)"都有1<4<3?

若存在，求4的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案：

解：(I)由?2T，可得、217f5,

即“\=A*2,所以隔｝為等比數(shù)列.

1

(ID由于是首項(xiàng)為4公比為一￡的等比數(shù)列,

4--------------產(chǎn)-一押n-c-p'i

其前■項(xiàng)和為I字，

令2,■￡]1,

(1)當(dāng)■為奇數(shù)時(shí)，/(力遞減，所以

(2)當(dāng),為偶數(shù)時(shí)，””遞增，所以

33

所以/(■)的最大值為1,最小值為彳，

若a*z)>i

3-(A>2)<3

由題意可知，工必須滿足匕3,解得?<a<1.

21.直線1的方程為(a+1)x+y+2-a=0(a￡R).

(1)若1在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求a的值；

（2）若1不經(jīng)過(guò)第二象限，求