人教A版（2019）選擇性必修第一冊 空間向量基本定理 同步練習（含解析）

人教A版(2019)選擇性必修第一冊1.2空間向量基本定

理同步練習

一、單選題

1.如圖，在四面體OABC中，04=“，OB=b，OC==c,點M在OA上，且

OM=2MA，點N為BC的中點，則MN=().

O

二＞

B

A.LLZ+'B.-LT1,1

232322

C1r1[2r2r)r1r

C.-a+-b——cD.—〃+--b——C

223332

在四棱錐尸-ABC。中，底面ABC。是平行四邊形，己知尸4

2

aB

A.We

BC.l—a——1b,+1-c

222222

c.L+J+LCl1,?

D.—a——b+-c

222222

3.空間四邊形OABC中，OA=aOB=Ib，OC=c,且。M=2MA,BN=NC，則

MN=（）

二C2r2fIrCl2,I

A.J+LB.L+2cC.——a+-b+-cD.—a——b+-c

322222332232

π

4.已知空間向量滿足Ial=IAI=1,1:Ia,8的夾角為。為空間直角坐標系

的原點，點A,B滿足。4=2。+/?,OBw?a-b.則ZiOAB的面積為（）

A.-43B.-y∕3C.-√3D.—

2444

5.在三棱錐。一ASC中，OA=α,08=b,OC=GAM=2M0,N為BC中點,則MN=

()

L二&C?L+4」CD—」C

A.B.

232322222332

6.在三棱錐O-ABC中,AD=DB，CE=2EB,若。E=XOA+yOB+zOC,則

()

1B.—,z」

A.x=2^y=~—,z=-

63263

11」

C.X=——D.—,z

2263

7.如圖，在三棱柱ABC-A/B/C/中，B。與B/C相交于點O,ZA∣AB=ZAlAC=60,

ZBAC=90，AlA=3,AB=AC=I,則線段40的長度為()

√29√23

A.B.√29rD.而

~2~2

8.已知｛4,6,c｝是空間的一個基底,則可以與向量p=a+b,夕=。一〃構成基底的向量

是()

A.B.bC?a+2bD.a+2c

9.如圖，在三棱錐0-43C中，點P,Q分別是Q4,BC的中點,點O為線段PQ上

-"點，且∕V)=2OQ,若記0A=〃，OB=h>OC=c，則OO=()

A.L+“cBjJ+L

633333

c?U+LD?U+'

363336

10.如圖，在平行六面體ABCD-ABlG￡>1中，AAt=a,AB=bfAO=c,點P在

AC上，且AP：PC=2：3,則"等于（）

11.已知空間任意一點。和不共線的三點A,B,C,若

.31

OD=mOA+nOB+pOC（m,n,p&R）,則“4,B,C,〈四點共面"是=—,??=—,

P=T'的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.如圖，在三棱錐P-ABC中，點D,E,P分別是AB,PA,CO的中點，設

PA=a，PB=b,PC=c,則EF=（）

?

B

口11

A.B.L.——。1+―c

442442

Cll71?1,1

C.—a+-b——cD.——c（【+―/?+—c

442442

13.如圖所示，空間四邊形的各邊和對角線長均相等,E是8。的中點，那么

().

Λ

BbD

C

A.AEBC<AE?CDB.AEBC=AECD

C.AEBC>AECDD.AE?8C與AEeQ不能比較大小

14.已知空間向量b，C滿足α+b+c=O,忖=1，W=2,H=√L貝必與〃的

夾角為（）

A.30oB.45oC.60oD.90°

15.如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體ABCo-ABCI。，其中，以頂點A為端點

的三條棱長均為6,且它們彼此的夾角都是60,下列說法中正確的是（）

A.AC1=6

B.AC11BD

C.向量BC與AA的夾角是60

D.BR與AC所成角的余弦值為亞

3

二、填空題

16.在正四面體P-ASC中，M是R4上的點，且EM=2M4,N是BC的中點，若

MN=xPA+yPB+zPC,則x+y+z的值為.

17.如圖，平行六面體ABC。-A4G。中，AB=5,AD=3,AAI=7,

ITπ

ZBAD=-,ZBAAt=ZDAAt=-,則4C∣的長為.

18.化學中，將構成粒子（原子、離子或分子）在空間按一定規(guī)律呈周期性重復排列

構成的固體物質稱為晶體.在結構化學中，可將晶體結構截分為一個個包含等同內容的

基本單位，這個基本單位叫做晶胞.已知鈣、鈦、氧可以形成如圖所示的立方體晶胞

（其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在頂點位置，。原子位于棱的中點）.則圖

中原子連線BF與瓦E所成角的余弦值為

三、解答題

19.如圖，在長方體48CD-AB∣GR中，M是AC與8。的交點.若RA=2,

DG=2,D?D=3,求耳M的長.

20.如圖所示，已知空間四邊形4BC。的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分

別是A8,AD,CQ的中點.

(1)求EF?BA;

(2)求EG的長.

21.如圖，已知ABCn-ABcR是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA=3,AB=2,

且NGCB=NGC。=60',設CD=a,CB=b,CG=c.

(1)試用C表示Ac；

(2)已知。為對角線AC的中點，求Co的長.

22.如圖所示，在平行六面體ABCo-ABC。中，設R=I∕?=Z,A3=1

M,MP分別是AA,BC,CQ的中點，試用表示以下各向量：

AB

⑴逅

（2）AiN；

⑶MP+NCt-

參考答案:

1.B

由向量的加法、減法及數乘運算法則計算即可.

【詳解】

連接OM則

由題可得MN=ON-OM

=∣(OB+OC)-∣OΛ

21,I

=—aΛ■—OH■一c

322

故選：B.

2.A

利用空間向量加法法則直接求解.

【詳解】

連接B。，如圖，

答案第1頁，共14頁

11/131?131

=一一PB+-PA-2PS+PCλ)=-PA一一PB+-PC=-a一一b+-c

22、7222222

故選：A.

3.A

結合圖形以及空間向量的線性運算即可求出結果.

【詳解】

?1?ii?11

MN=Mo+ON=——OA+-(OB+OC}=——OA+-OB+-OC=——a+-h+-c,

32、,322322

故選：A.

4.B

UU

求出I。4|和I。8|,CoSNAo8和SinNAo8,根據三角形的面積公式可求出結果.

【詳解】

IoAl=λ∕(24+1)?=j4∣4F+∣A∣2+4α?1=^4+l+4×l×l×^=√7,

IOBI-?∣(3a—b)2=?∣9a2—6a?b+b2=，9—6xlxlx∕+l=?jl,

則cosNA。B=O^=細*3

?OA??OB?

5√3

從而有SinZAOB=

答案第2頁，共14頁

.M0AB的面積S」IOAIIoBlSinZAO8=!x√7x√7X更=更

22144

故選：B.

5.B

連接。N,得ON=g(0B+0C),OM=^OA,所以碗=MO+ON=-OM+，(OB+OC

可得答案.

【詳解】

連接QN,所以ON=；(08+0C)=#+c),

因為AM=2MO，所以OM=:OA=La,

33

所以MN=Mo+0N=-OM+*8+0C)=-ga+；6+；c.

故選：B.

6.C

利用向量的線性運算把OE用OAO叢。C表示出來即可得.

【詳解】

由題意。是AB中點，.?.OO=;(OA+08),

2212

又CE=2EB,則OE=OC+CE=OC+1C8=OC+](O3-OC)=IoC+§08,

答案第3頁，共14頁

.?.DE=OE-OD=-OC+-OB--OA

3629

什?11

?DE=xOA+yOB+zOC,則πfX=—,y=—,z=—.

263

故選：C.

7.A

用AB,AC,例表示出N,計算AA,開方得出AO的長度.

【詳解】

因為四邊形BCG耳是平行四邊形，

.?.BO=；BCl=∣(βC+BBl),

.?.AO=AB+BO=AB+-BC+-AA=-AC+-AB+-AA.

22"1222"

ZAλAB=NAAC=60",ZfiAC=90",A1A=3,AB=AC=2,

2-2-2

/.AB=AC=4,AA1=9,ABAC=0,

AB'AA1=ΛC?A41=3×2×cos60=3,

2

.?.AO=1(AB+AC+AΛ1J",

222

=^AB+AC+Λ41+2AB?AC+2AB?Λ41+2AC?A4lj

29

^T

而=啜

即AO=叵.

2

故選：A

8.D

由基底的定義求解即可

【詳解】

因為〃，p=a+b,q=a-b,為共面向量，所以不能構成基底，故A錯誤;

答案第4頁，共14頁

因為6，p=a+h,q=a-b,為共面向量，所以不能構成基底，故B錯誤；

因為α+26,p=a+b,q=a-b,為共面向量，所以不能構成基底，故C錯誤；

因為α+2c,p=a+h,q=a-b,為不共面向量，所以能構成基底，故D正確；

故選：D

9.A

利用空間向量的基本定理求解.

【詳解】

1?1?1??

解：OD=OP+PD=-OA+-PQ=-OA+-(OQ-OP)=-OA+-OQ一一OP

2323233

=-OA+-×-(θB+OC]--×-OA=-OA+-OB+-OC=-a+-b+-c,

232、732633633

故選:A

10.B

2

根據題意得到Ap=WAc,結合空間向量的運算法則，準確運算，即可求解.

【詳解】

一2一

因為Λ1P:PC=2:3,所以4∕=(4C,

根據空間向量的運算法則，可得AP=AA+A1P=AA+∣(AC-AAJ=∣AA+]AC

=-ΛΛ1+-(AB+BC)=∣A4l+-(Aβ+ΛD)=∣A4l+-ΛB+-AD,

ULUU1322

又因為AA=a，AB=b?AD=c?所以AP=Wa+不。.

故選：B.

11.A

根據空間向量的共面定量，結合充要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】

答案第5頁，共14頁

由題意，空間中四點A,B,C,D,?1OD=mOA+nOB+pOC^tn,n,peR)

若A,B,C,。四點共面，根據空間向量的共面定量，只需〃任〃+p=l,

31

又由機=一，n=-,P=T,可得機+"+p=l,

22

31

所以"==，"=：,P=-I”時，A,B,C,。四點共面，即必要性成立，

22

反之不一定成立，即充分性不成立，

31

所以“4,B,C,。四點共面”是"機==,〃=：,P=T”的必要不充分條件.

22

故選：A.

12.D

利用空間向量的線性運算、三角形的中位線及線段中點的向量表示進行化簡求解.

【詳解】

如圖，連接OE,

因為點￡>,E分別是AB,的中點，

所以ED=4.

2

因為點。是48的中點，

所以CO=g(C4+CB)

1/-1-1

=-(PA-PC+PB-PC]x=-a+-b-c.

2、,22

因為點尸是CO的中點，

所以DF=-LCQ=—Lq—J匕+，c,

2442

則M=EZ)+￡>尸=-1"+,。+10.

442

故選：D.

答案第6頁，共14頁

由題設易得AE?BC=O,且AE?8=g(A8+AC)?(4O-AC),應用向量數量積的運算律

化簡，進而比較它們的大小關系.

【詳解】

是BC的中點，AB=AC,

AELBC>BPAEBC=O-

不妨設空間四邊形的各邊和對角線長均為1,又48,AC,AO兩兩之間的夾角均為60。，

AECD=^(AB+ACy(AD-AC)=^AB-AD-AB-AC+ACAD-AC-AC)=-^<O.

^.AEBC>AECD.

故選：C

14.C

將α+6=-c,兩邊平方，利用空間向量的數量積即可得選項.

【詳解】

設”與人的夾角為〃.由α+8+c=0,得a+b=-c,兩邊平方，得/+2“2+江=J

所以l+2xlx2COSe+4=7,解得CoSe=；,又6e[θ,π?,所以。=60，

故選：C.

15.B

答案第7頁，共14頁

A選項，計算得ACl=6幾，所以選項A不正確；

B選項，AC1-BD=O,所以AG，8D,所以選項8正確；

C選項，向量BC與AA的夾角是120,所以選項C不正確；

。選項，BR與AC所成角的余弦值為亞，所以選項。不正確.

6

【詳解】

A選項，由題意可知ACI=Aβ+AZ>+∕U1,

則AC：=(A8+AO+AAI)2

-2-2-2-.

=AB+AD+A41-+2AB?AD+2AB?Λ41+2AΓ>?A41

=62+62+62+2×6×6×cos60+2×6×6×cos60÷2×6×6×cos60=63,

ΛAC1=6?∣6,所以選項A不正確；

B選項，BD=AD-AB,又ACl=AB+AD+AA1,

AC1?BD=(AB+AD+AAy)(AD-AB)

=AB?AD+ADAD+AAi?AD-ABAB-AD?AB-AAi?AB

=6×6×cos60+62÷6×6×cos60—62—6×6×cos60-6×6×cos60=0

ΛAC11BD,所以選項B正確；

,

/DrAΛ?(AO-AA)AA11

C選項，BlC=Bβ+BC=AD-AAy,CoS(BCAA)=產需悶=一萬

???向量線C與AA的夾角是120，所以選項C不正確；

Z)選項，BDi=BD+DDf=AAx+AD-AB,AC=AB+AD>

設BD1與AC所成角的平面角為θ,

.?.cosθ=cos(SDl,A1/c])Il=I?"C

\∣βOl∣?∣AC∣

答案第8頁，共14頁

(AAt+AD-AB)(AB+AD)√6所,、,四行；CTTm

=/~~I=—,所以選項D不正確.

226

√(A41+AD-AB)-y∣(AB+AD)

故選：B

關鍵點點睛：解答本題的關鍵是把幾何的問題和向量聯(lián)系起來，轉化為向量的問題，提高

解題效率，優(yōu)化解題.把線段長度的計算，轉化為向量的模的計算；把垂直證明轉化為向量

數量積為零；把異面直線所成的角轉化為向量的夾角計算.

根據向量的線性運算再結合空間向量的基本定理即可得到答案.

【詳解】

如圖所示：

?1?11

MN=MP+PN=一一PA+-(PB+PC?=一一PA+—PB+—PC.

32、,322

、211

由空間向量基本定理得：X=--,y=2fz=2,

j?x+γ÷z=-.

故答案為：—

本題主要考查空間向量的線性運算，同時考查空間向量的基本定理，屬于簡單題.

17.√98+56√2

答案第9頁，共14頁

根據AG=AB+3C+CG,兩邊平方，然后根據向量的數量積進行計算即可.

【詳解】

平行六面體ABS-ABCQ中,

ππ

AB=5,AD=3,AAi=7rZBAD--,ZBAAi=ZDAAt?-

AC,=AB+BC+CCt,

則IACF=AC：=(AB+BC+CCJ

222

=IABI+1BCI+∣CCl∣+2∣AB∣?∣BC∣cos→2∣BC∣?∣CCl∣?cos→2∣AB∣?∣CC,∣cos^

=25+9+49+2x5x3x'+2x3x7x走+2x5x7x^=98+56√Σ.

222

.?.∣ACl∣=∣ACl∣=√98+56√2.

故答案為：^98+560-

本題考查利用空間向量法求線段長，解答的關鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算

能力，屬中檔題.

i8?I

如圖所示，以短為坐標原點，D4,oc,oA所在的直線分別為χ,y,z軸，建立直角坐標系,

設立方體的棱長為。，求出8S<BE4E>的值，即可得到答案；

【詳解】

如圖所示，以。為坐標原點，D4,OC,O〃所在的直線分別為x,)',z軸，建立直角坐標系,

設立方體的棱長為α,則B[a,a,0),F(0,,

BF=(-a,-^,a),B,E=(0,-j,0),

答案第10頁，共14頁

???連線BF與B1E所成角的余弦值為?

故答案為：?

19.√∏

以。為原點，RA，D￡,DiD為X、），、Z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求解.

【詳解】

答案第Il頁，共14頁

以。為原點，RA,D￡,DQ為x、AZ軸正方向建立空間直角坐標系,

則A(0,0,0),4(2,2,0),。(0,0,3),8(2,2,3),M(Ll,3),

所以4M=(-ι,-1,3),所以IBM=J(-I)*-)?+32=JrT

即8∣M的長為日.

20.(1)?;(2)變.

42

設AB=α,AC=b.AD=C,

(1)將E廠和8A化為",Ac可求出結果；

⑵將詫化為彳。+/+；C可求出結果.

【詳解】

設AB=。，AC=b,AD=C,貝!]∣α∣=Ibl=ICl=1,

<a,h>=<h,c>=<c,a>=60,ab=b-c=c?a=?×l×^=^9

EF=gBD=:AD-!AB=gc-ga,BA=-AB=-Ci

22222

(1)EFBA=—(c-a)?(-a)=--a?c+—6z2=-—×-+—=—,

乙乙乙乙乙乙I

UUUl

(2)EG=EB+BC+CG

=548+(AC-ABAD-AC)

1-1,八1511f1

=——AB+-AC+-AD=——a+—?+—c,

222222

r.∣EGF=(-'"+?!?6+Lc)2=-(a2+h2+c2-2a-b-2a-c+2h?c)

2224

」(1+1+1