人教版八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題專題與平行四邊形有關(guān)的折疊問題(原卷版+解析)

八年級下冊數(shù)學《第十八章平行四邊形》專題與平行四邊形有關(guān)的折疊問題題型一平行四邊形中的折疊問題題型一平行四邊形中的折疊問題【例題1】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝120°，點E、F分別在邊AD與BC上，將四邊形EFCD沿EF進行折疊，使點D落在AB邊上的點P處，點C落在點Q處，若∠APE＝36°．則∠BFQ等于（）A．36° B．32° C．24° D．18°【變式1-1】如圖，先將一平行四邊形紙片ABCD沿AE，EF折疊，使點E，B′，C′在同一直線上，再將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，則∠AEG＝度．【變式1-2】有一張平行四邊形紙片ABCD，已知∠B＝75°，按如圖所示的方法折疊兩次，則∠BCF的度數(shù)等于（）A．60° B．55° C．50° D．45°【變式1-3】如圖，平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE折疊，使點A恰好落在CD上的點F，若△BCF的周長為14，CF的長為3，則△DEF的周長為（）A．8 B．7 C．6 D．5【變式1-4】如圖，E、F分別是?ABCD的邊AD、BC上的點，EF＝8，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于點G，則△GEF的高是（）A．4 B．43 C．8 D．82【變式1-5】在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，點E、F分別為AD、BC的中點，沿EF折疊平行四邊形，使線段CD落在直線AB上，點C的對應(yīng)點為C1，點D的對應(yīng)點為D1，若BD1＝2，則AD的長為．【變式1-6】如圖，將平行四邊形紙片ABCD折疊，使得點D落在AB邊上的D'處，折痕為AE．再將△AD'E翻折，點A恰好落在BC的中點A'處，連接AA'，若AD＝2，則線段AA'的長為．【變式1-7】如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，點D落在點G處，（1）求證：AE＝AF；（2）求證：△ABE≌△AGF．【變式1-8】如圖，將?ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D到AB邊上的點D'處，折痕交CD邊于點E，連接BE．（1）求證：四邊形BCED'是平行四邊形；（2）若BE平分∠ABC，求證：AE2+BE2＝AB2．題型二矩形中的折疊問題題型二矩形中的折疊問題【例題2】(2023春?武城縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．6【變式2-1】將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF．若AD=3，則菱形AECFA．23 B．33 C．4【變式2-2】(2023春?越秀區(qū)校級期中）如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，則矩形ABCD的面積是（）A．12 B．24 C．123 D．163【變式2-3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF，則CF的長為（）A．95 B．125 C．165【變式2-4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折疊，使點D與點B重合，點C落在點E處，則折痕FG的長為．【變式2-5】(2023春?莆田期中）如圖所示，把矩形紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B，C兩點恰好落在AD邊的P點處，若∠FPH的度數(shù)恰好為90°，PF＝4，PH＝3，則矩形ABCD的邊BC的長為（）A．10 B．11 C．12 D．15【變式2-6】(2023春?大觀區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，點E為射線DC上的一個動點，將△ADE沿AE折疊得到△AD′E，連接D′B，當△AD′B為直角三角形時，DE的長為（）A．1或4 B．43或9 C．1或9 D．4【變式2-7】如圖，在矩形ABCD中，沿EF將矩形折疊，使A、C重合，AC與EF交于點H．（1）求證：AE＝AF；（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面積．【變式2-8】如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．（1）求證：GF＝GC；（2）若AB＝3，AD＝4，求線段GC的長．題型三菱形中的折疊問題題型三菱形中的折疊問題【例題3】如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE．則∠BEC'的大小為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【變式3-1】如圖，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，將菱形ABCD折疊，使得點B與點A重合，折痕與AB交于點E，與CD交于點F，則EF的長為（）A．125 B．245 C．365【變式3-2】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC＝16，BD＝12，E是邊AD上一點，直線OE交BC于點F，將菱形沿直線EF折疊，點A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′，若AE＝4，則B′F的長為．【變式3-3】如圖，已知四邊形ABCD是邊長為6的菱形，且∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，將菱形沿EF折疊，點B正好落在AD邊的點G處．若EG⊥AC，則FG的長為（）A．3 B．6 C．33 D．32【變式3-4】如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC＝4，BD＝43，將菱形按如圖所示的方式折疊，使點B與O重合，折痕為EF．則五邊形AEFCD的周長是（）A．14 B．16 C．4+43 D．8+83【變式3-5】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若BC＝4，BG＝3，則GE的長為．【變式3-6】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點A落在對角線BD上的點G處（不與點B，D重合），折痕為EF，若DG＝2，BG＝6，則△BEG的面積為（）A．2235 B．2135 C．題型四正方形中的折疊問題題型四正方形中的折疊問題【例題4】(2023春?永嘉縣校級期末）如圖，將邊長為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【變式4-1】如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在AB邊中點E處，點C落在點Q處，折痕為FH，則線段AF的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【變式4-2】如圖，正方形ABCD的邊長為4，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH，若BE：EC＝3：1，則線段CH的長是（）A．3 B．158 C．1 【變式4-3】如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的點B'處，點A的對應(yīng)點為點A'，且B'C＝3，求AM的長．【變式4-4】已知正方形ABCD中，AB＝6，點E在AB上，且BE＝2AE，將△ADE沿DE對折至△DEF，延長EF交BC于H，連接DH，BF．（1）求證：CH＝FH；（2）求BH的長；（3）求△FBH的面積．【變式4-5】如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE．若AB的長為2，求：（1）FN的長；（2）EN的長．（結(jié)果保留根號）【變式4-6】如圖，點F在正方形ABCD的AD邊上，連接BF．把△ABF沿BF折疊，與△GBF重合．連接AG并延長交CD于點E，交BF于點H．（1）證明：BF＝AE；（2）若AB＝15，EC＝7，求GE的長．【變式4-7】如圖，將對角線BD長為162的正方形ABCD折疊，使點B落在DC邊的中點Q處，點A落在P處，折痕為EF．（1）求線段AB和線段CF的長；（2）連接EQ，求EQ的長．【變式4-8】通過折紙活動，可以探索圖形的性質(zhì)，也可以得到一些特殊的圖形．如圖，取一張正方形紙片ABCD，第一次先將其對折，展開后進行第二次折疊，使正方形右下角的頂點C落在第一次的折痕EF上點G處，折痕為BH試探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三個角之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．八年級下冊數(shù)學《第十八章平行四邊形》專題與平行四邊形有關(guān)的折疊問題題型一平行四邊形中的折疊問題題型一平行四邊形中的折疊問題【例題1】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝120°，點E、F分別在邊AD與BC上，將四邊形EFCD沿EF進行折疊，使點D落在AB邊上的點P處，點C落在點Q處，若∠APE＝36°．則∠BFQ等于（）A．36° B．32° C．24° D．18°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠D＝60°，∠C＝120°，由折疊性質(zhì)可得∠EPQ＝∠D＝60°，∠PQF＝∠C＝120°，從而可得∠BPQ＝84°，由三角形內(nèi)角和定理可得∠BPQ+∠B＝∠PQF+∠BFQ即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠A＝120°，∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠A＝120°，由折疊性質(zhì)可得：∠EPQ＝∠D＝60°，∠PQF＝∠C＝120°，∵∠APE＝36°，∴∠BPQ＝180°﹣∠APE﹣∠EPQ＝84°，∵∠BPQ+∠B＝∠PQF+∠BFQ，∴∠BFQ＝∠BPQ+∠B﹣∠PQF＝84°+60°﹣120°＝24°，故選：C．【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是明確折疊前后對應(yīng)圖形的角度相等．【變式1-1】如圖，先將一平行四邊形紙片ABCD沿AE，EF折疊，使點E，B′，C′在同一直線上，再將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，則∠AEG＝度．【分析】利用翻折和平角定義易得組成∠AEF的兩個角的和等于平角的一半，得出∠AEF＝90°，再利用將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，得出∠AEG＝∠GEA′進而得出答案．【解答】解：根據(jù)沿直線折疊的特點，△ABE≌△AB′E，△CEF≌△C′EF，∴∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEB′+∠C′EF＝90°，∵點E，B′，C′在同一直線上，∴∠AEF＝90°，∵將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，∴∠AEG＝∠GEA′=12∠故答案為：45．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)，利用折疊的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等得出對應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式1-2】有一張平行四邊形紙片ABCD，已知∠B＝75°，按如圖所示的方法折疊兩次，則∠BCF的度數(shù)等于（）A．60° B．55° C．50° D．45°【分析】由折疊可得∠CED＝90°＝∠BCE，即可得到∠DCE＝15°，由折疊可得∠DCF＝2×15°＝30°，即可得到∠BCF＝60°．【解答】解：由折疊可得，∠CED＝90°＝∠BCE，又∵∠D＝∠B＝75°，∴∠DCE＝15°，由折疊可得，∠DCF＝2×15°＝30°，∴∠BCF＝60°，故選：A．【點評】本題主要考查了折疊問題以及平行四邊形的性質(zhì)的運用，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．【變式1-3】如圖，平行四邊形ABCD中，點E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE折疊，使點A恰好落在CD上的點F，若△BCF的周長為14，CF的長為3，則△DEF的周長為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】由折疊的性質(zhì)得出BF＝AB，EF＝AE，由△BCF的周長得出BC+DC＝11，即可求出△DEF的周長．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：△FBE≌△ABE，∴BF＝AB，EF＝AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AD＝BC，∵△BCF的周長為14，∴BC+BF+CF＝14，∴BC+DC＝14﹣3＝11，∴△DEF的周長＝DE+EF+DF＝DE+AE+DC﹣CF＝AD+DC﹣CF＝11﹣3＝8；故選：A．【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形周長的計算；熟練掌握翻折變換和平行四邊形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．【變式1-4】如圖，E、F分別是?ABCD的邊AD、BC上的點，EF＝8，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于點G，則△GEF的高是（）A．4 B．43 C．8 D．82【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠GEF＝∠DEF＝60°，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到∠GFE＝∠DEF＝60°，則可判斷△GEF為等邊三角形，作EH⊥GF于H，如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計算出EH即可．【解答】解：∵四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，∴∠GEF＝∠DEF＝60°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠DEF＝60°，∴△GEF為等邊三角形，作EH⊥GF于H，如圖，在Rt△EFH中，HF=12EH=3HF＝43即△GEF的高是43．故選：B．【點評】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．【變式1-5】在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，點E、F分別為AD、BC的中點，沿EF折疊平行四邊形，使線段CD落在直線AB上，點C的對應(yīng)點為C1，點D的對應(yīng)點為D1，若BD1＝2，則AD的長為．【分析】分兩種情況討論：①當點D在線段AB上時，②當點D在線段AB延長線上時，再根據(jù)30度角直角三角形的性質(zhì)求出AD長．【解答】解：①當點D在線段AB上時，∵BD1＝2，∴AD1＝4﹣2＝2，∵∠A＝60°，∴∠ADD1＝30°，∴AD＝2AD1＝2×2＝4；②當點D在線段AB延長線上時，∵BD1＝2，∴AD1＝4+2＝6，∵∠A＝60°，∴∠ADD1＝30°，∴AD＝2AD1＝2×6＝12；故答案為4或12．【點評】本題考查了軸對稱，熟練運用30度角直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】如圖，將平行四邊形紙片ABCD折疊，使得點D落在AB邊上的D'處，折痕為AE．再將△AD'E翻折，點A恰好落在BC的中點A'處，連接AA'，若AD＝2，則線段AA'的長為．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出AD'＝DE，而AD'∥DE，進而得到四邊形ADED'是平行四邊形，由折疊可得，D'E垂直平分AA'，即可得出△AA'B是直角三角形，再根據(jù)∠B＝∠D'A'B，得到D'A'＝D'B＝2，即AB＝2+2＝4，最后在Rt△AA'B中，運用勾股定理進行計算即可得到AA'的長．【解答】解：由折疊可得，∠DAE＝∠D'AE，AD＝AD'＝2，∵AB∥CD，∴∠DEA＝∠D'AE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝2，∴AD'＝DE，而AD'∥DE，∴四邊形ADED'是平行四邊形，∴AD∥D'E，由折疊可得，D'E垂直平分AA'，∴AA'⊥AD，又∵AD∥BC，∴AA'⊥BC，∴△AA'B是直角三角形，∵AD'＝A'D'＝2，∴∠D'AA'＝∠D'A'A，又∵∠D'AA'+∠B＝90°，∠D'A'A+∠D'A'B＝90°，∴∠B＝∠D'A'B，∴D'A'＝D'B＝2，∴AB＝2+2＝4，又∵A'是BC的中點，BC＝AD＝2，∴A'B＝1，∴AA'=A故答案為：15．【點評】本題主要考查了折疊問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等角對等邊以及勾股定理的運用，解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．【變式1-7】如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點C與點A重合，點D落在點G處，（1）求證：AE＝AF；（2）求證：△ABE≌△AGF．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠CEF＝∠AEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CEF＝∠EFA，根據(jù)等量關(guān)系可得∠AEF＝∠EFA，根據(jù)等角對等邊即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，所以AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，由等量代換可得∠BAE＝∠GAF，得到AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，得到∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，AAS可證△ABE≌△AGF．【解答】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得∠CEF＝∠AEF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CEF＝∠EFA，∴∠AEF＝∠EFA，∴AE＝AF；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，又根據(jù)題意得：AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠GAF，又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，在△ABE與△AGF中，∠BEA=∠GFA∠BAE=∠GAF∴△ABE≌△AGF（AAS）．【點評】此題是折疊問題，是中考中的常見題目．解此題首先要注意折疊前后的部分全等，即對應(yīng)角與對應(yīng)邊都相等．解此題還要注意平行四邊形的性質(zhì)的求解方法．【變式1-8】如圖，將?ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D到AB邊上的點D'處，折痕交CD邊于點E，連接BE．（1）求證：四邊形BCED'是平行四邊形；（2）若BE平分∠ABC，求證：AE2+BE2＝AB2．【分析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，進而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DAD′E是平行四邊形，進而求出四邊形BCED′是平行四邊形；（2）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】證明：（1）∵將?ABCD沿過點A的直線l折疊，使點D落到AB邊上的點D′處，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴四邊形DAD′E是平行四邊形，∴DE＝AD′，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB平行且等于DC，∴CE平行且等于D′B，∴四邊形BCED′是平行四邊形；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝AB2．【點評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，得出四邊形DAD′E是平行四邊形是解題關(guān)鍵．題型二矩形中的折疊問題題型二矩形中的折疊問題【例題2】(2023春?武城縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】∵△AD′C≌△CBA，∴△AD′F≌△CBF，得△AD′F與△CBF面積相等，設(shè)BF＝x，列出關(guān)于x的關(guān)系式，解得x的值即可解題．【解答】解：∵△AD′C≌△CBA，∴△AD′F≌△CBF，∴△AD′F與△CBF面積相等，設(shè)BF＝x，則（8﹣x）2＝x2+42，64﹣16x+x2＝x2+16，16x＝48，解得x＝3，∴△AFC的面積=12×故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，矩形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，本題中正確計算BF的值是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF．若AD=3，則菱形AECFA．23 B．33 C．4【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，再根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得∠OAF＝∠OAE，然后求出∠OAE＝30°，再利用勾股定理求出OE，可得AE，再根據(jù)菱形的面積公式列式計算即可得解．【解答】解：由翻折的性質(zhì)得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD=3在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE，∴∠OAE=1∴AE＝2OE，在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2+OE2＝AE2，∴3+OE2＝4OE2，∴OE＝1或OE＝﹣1（舍去），∴AE＝2OE＝2，∴菱形AECF的面積＝AE?AD=23故選：A．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)并求出∠OAE＝30°是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】(2023春?越秀區(qū)校級期中）如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，則矩形ABCD的面積是（）A．12 B．24 C．123 D．163【分析】在矩形ABCD中根據(jù)AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由折疊的性質(zhì)可得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝60°．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出A′B′＝AB＝23，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠B′EF＝∠EFB＝60°，由折疊的性質(zhì)得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°．在Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，∴B′E＝4，∴A′B′＝23，即AB＝23，∵AE＝2，DE＝6，∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，∴矩形ABCD的面積＝AB?AD＝23×8＝163故選：D．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF，則CF的長為（）A．95 B．125 C．165【分析】連接BF，根據(jù)三角形的面積公式求出BH，得到BF，根據(jù)直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根據(jù)勾股定理求出答案．【解答】解：連接BF，∵BC＝6，點E為BC的中點，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE=A由折疊知，BF⊥AE（對應(yīng)點的連線必垂直于對稱軸）∴BH=AB×BE則BF=24∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，∴CF=6故選：D．【點評】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折疊，使點D與點B重合，點C落在點E處，則折痕FG的長為．【分析】連接BD，在Rt△ABD中，求得BD的長，在Rt△ADF中運用勾股定理求得DF的長，即可得到DF長，最后在Rt△DOF中求得FO的長，即可得到答案．【解答】解：如圖，連接BD，交FG于O，則由軸對稱的性質(zhì)可知，F(xiàn)G垂直平分BD，Rt△ABD中，BD=A由折疊可得DO=12BD＝310，∠BFO＝∠由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO，∴∠DFO＝∠BGO，∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，∴BD平分FG，∴OF＝OG，由折疊知，BF＝DF，設(shè)BF＝DF＝x，則AF＝18﹣x，在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2，解得x＝10，即DF＝10，∴Rt△DOF中，OF=D∴FG＝2FO＝210．故答案為：210．【點評】本題是折疊問題，主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理以及矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列方程求解．【變式2-5】(2023春?莆田期中）如圖所示，把矩形紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B，C兩點恰好落在AD邊的P點處，若∠FPH的度數(shù)恰好為90°，PF＝4，PH＝3，則矩形ABCD的邊BC的長為（）A．10 B．11 C．12 D．15【分析】利用折疊的性質(zhì)得到BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，再利用勾股定理得到FH＝5，即可求解BC．【解答】解：∵矩形紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B，C兩點恰好落在AD邊的P點處，∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，∵∠FPH＝90°，∴FH=P∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12，故選：C．【點評】本題考查折疊的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理和折疊的性質(zhì)求出FH，BF，CH．【變式2-6】(2023春?大觀區(qū)校級期中）如圖，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，點E為射線DC上的一個動點，將△ADE沿AE折疊得到△AD′E，連接D′B，當△AD′B為直角三角形時，DE的長為（）A．1或4 B．43或9 C．1或9 D．4【分析】注意題目表述為射線DC，所以分為兩種情況，一種是點E在線段DC上，另一種是點E在DC的延長線上，利用勾股定理分別求解即可．【解答】解：①如圖1，當點E在線段DC上時，∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°，∴B，D′，E三點共線，∵S△ABE=12×AB×AD=1∴BE＝AB＝5，∵BD′=A∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1；②如圖2，當點E在DC的延長線上時，∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴BD′＝4，設(shè)CE＝x，則：D′E＝DE＝x+5，∴BE＝D′E﹣BD′＝x+1，∵CE2+BC2＝BE2，∴x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴DE＝CD+DE＝5+4＝9，綜上，DE的值為1或9．故選：C．【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分兩種情況討論，特別時第二種比較容易遺漏．【變式2-7】如圖，在矩形ABCD中，沿EF將矩形折疊，使A、C重合，AC與EF交于點H．（1）求證：AE＝AF；（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面積．【分析】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，即可得到∠AFE＝∠AEF，進而得出AE＝AF．（2）設(shè)BE＝x，則AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得方程，即可得到BE的長，再根據(jù)三角形面積計算公式求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，由折疊的性質(zhì)得：∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE＝EC，設(shè)BE＝x，則AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得：AB2+BE2＝AE2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BE＝3，∴S△ABE=12AB?BE【點評】本題主要考查了折疊問題以及矩形的性質(zhì)的運用，解題的方法是設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．【變式2-8】如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點F在矩形ABCD內(nèi)部，延長AF交CD于點G．（1）求證：GF＝GC；（2）若AB＝3，AD＝4，求線段GC的長．【分析】（1）連接GE，根據(jù)點E是BC的中點以及翻折的性質(zhì)可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（2）設(shè)GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式進行計算即可得解；【解答】解：（1）連接GE，∵E是BC的中點，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C＝90°，∴∠EFG＝90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，EG=EGEF=EC∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF＝GC；（2）設(shè)GC＝x＝FG，則DG＝3﹣x，∵AF＝AB＝3，∴AG＝3+x，在Rt△ADG中，由勾股定理得，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得x=4即線段GC的長為43【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)以及中點四邊形的綜合應(yīng)用，找出三角形全等的條件EF＝EC是解題的關(guān)鍵．解題時注意：對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形是矩形，以及對角線相等的四邊形的中點四邊形是菱形．題型三菱形中的折疊問題題型三菱形中的折疊問題【例題3】如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP（P為AB中點）所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE．則∠BEC'的大小為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A＝60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，進而求出∠PDC＝90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P為AB的中點，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，∠DEC＝∠DEC′，在△DEC中，∠DEC＝∠DEC′＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°，∴∠BEC'＝180°﹣∠DEC﹣∠DEC′＝30°，故選：C．【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式3-1】如圖，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，將菱形ABCD折疊，使得點B與點A重合，折痕與AB交于點E，與CD交于點F，則EF的長為（）A．125 B．245 C．365【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可求出BD，再根據(jù)菱形的面積可求出答案．【解答】解：如圖，連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6，OB＝在Rt△AOD中，由勾股定理得，OD=A∴BD＝2OD＝16，∴S菱形ABCD=12AC?BD＝AB?即12×12×16＝10∴EF=48故選：D．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)，翻折變換，求出菱形的對角線BD的長是解決問題的前提，掌握菱形的面積的計算方法是得出答案的關(guān)鍵．【變式3-2】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AC＝16，BD＝12，E是邊AD上一點，直線OE交BC于點F，將菱形沿直線EF折疊，點A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′，若AE＝4，則B′F的長為．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，由AC＝16，BD＝12，即可計算出BC的長，易證△AOE≌△COF，可得AE＝CF＝4，再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：∵AC＝16，BD＝12，∴BO=12BD=1∴BC＝10，∵四邊形ABCD是菱形，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF＝4，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，B′F＝BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．故答案為：6．【點評】本題主要考查了翻折變換（折疊問題）及菱形的性質(zhì)，熟練掌握翻折變換（折疊問題）及菱形的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-3】如圖，已知四邊形ABCD是邊長為6的菱形，且∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，將菱形沿EF折疊，點B正好落在AD邊的點G處．若EG⊥AC，則FG的長為（）A．3 B．6 C．33 D．32【分析】如圖，設(shè)AC與EG交于點O，F(xiàn)G交AC于H．只要證明FG⊥AD，即可FG是菱形的高，求出FG即可解決問題．【解答】解：如圖，設(shè)AC與EG交于點O，F(xiàn)G交AC于H．∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠B＝∠D＝60°，∴△ABC、△ACD是等邊三角形，∴∠CAD＝∠B＝60°，∵EG⊥AC，∴∠GOH＝90°，∵∠EGF＝∠B＝60°，∴∠OHG＝30°，∴∠AGH＝90°，∴FG⊥AD，∴FG是菱形的高，即等邊△ABC的高=32×故選：C．【點評】本題考查翻折變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明線段FG是菱形的高，記住等邊三角形的高=32a（【變式3-4】如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，AC＝4，BD＝43，將菱形按如圖所示的方式折疊，使點B與O重合，折痕為EF．則五邊形AEFCD的周長是（）A．14 B．16 C．4+43 D．8+83【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝23，由勾股定理可求AB＝4，由折疊的性質(zhì)可求OF＝CF＝BF＝2，由三角形中位線定理可求EF＝2，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝23，∴AB=A∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∵折疊，∴BF＝OF，∴∠FOB＝∠FBO，∴∠FCO＝∠FOC，∴OF＝CF，∴OF＝CF＝BF＝2，同理可得BE＝OE＝AE＝2，∴EF=12∴五邊形AEFCD的周長＝4+4+2+2+2＝14，故選：A．【點評】本題考查了翻折變換，菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若BC＝4，BG＝3，則GE的長為．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，以及∠ABC＝120°，可以得到△ABD△BCD都是等邊三角形，通過作高，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝4，即△ABD是等邊三角形，過點E作EH⊥BD，垂足為H，設(shè)BE＝x，則EH=32x，BH=在Rt△EHG中，EG＝EA＝4﹣x，GH＝3?12x，EH=由勾股定理得，EG2＝GH2+EH2，即（4﹣x）2＝（3?12x）2+（32x解得x=7∴EG＝4?7故答案為：135【點評】考查菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)折疊和菱形等邊三角形的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化直角三角形的勾股定理求解，是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-6】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點A落在對角線BD上的點G處（不與點B，D重合），折痕為EF，若DG＝2，BG＝6，則△BEG的面積為（）A．2235 B．2135 C．【分析】作EH⊥BD于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EG＝EA，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△ABD為等邊三角形，得到AB＝BD，設(shè)BE＝x根據(jù)勾股定理列出方程，即可解決問題．【解答】解：作EH⊥BD于H，由折疊的性質(zhì)可知，EG＝EA，由題意得，BD＝DG+BG＝8，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD=12∠∴△ABD為等邊三角形，∴AB＝BD＝8，設(shè)BE＝x，則EG＝AE＝8﹣x，在Rt△EHB中，BH=12x，EH=在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（8﹣x）2＝（32x）2+（6?12x解得，x=145，即BE∴EH=3∴△BEG的面積為12故選：B．【點評】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．題型四正方形中的折疊問題題型四正方形中的折疊問題【例題4】(2023春?永嘉縣校級期末）如圖，將邊長為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN＝x，則DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長．【解答】解：由題意設(shè)CN＝xcm，則EN＝（8﹣x）cm，又∵CE=12DC＝4∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，即CN＝3cm．故選：D．【點評】本題考查翻折變換的問題，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在AB邊中點E處，點C落在點Q處，折痕為FH，則線段AF的長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根據(jù)△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可．【解答】解：由折疊可得DF＝EF，設(shè)AF＝x，則EF＝8﹣x，∵AF2+AE2＝EF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．故選：A．【點評】本題考查折疊問題；找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-2】如圖，正方形ABCD的邊長為4，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH，若BE：EC＝3：1，則線段CH的長是（）A．3 B．158 C．1 【分析】由折疊的性質(zhì)得DH＝EH，設(shè)CH＝x，則DH＝EH＝4﹣x，再由BE：EC＝3：1得CE＝2，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，BC＝CD＝4，由折疊的性質(zhì)得：EH＝DH，設(shè)CH＝x，則DH＝EH＝4﹣x，∵BE：EC＝3：1，∴CE=14在Rt△ECH中，由勾股定理得：EH2＝EC2+CH2，即（4﹣x）2＝12+x2，解得：x=15即CH=15故選：B．【點評】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的點B'處，點A的對應(yīng)點為點A'，且B'C＝3，求AM的長．【分析】設(shè)AM＝x，連接BM，MB′，求出DB′＝6，然后在Rt△ABM和Rt△MDB′中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)AM＝x，連接MB，MB'，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝9，∵B'C＝3，∴DB'＝6，在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，在Rt△MDB'中，MD2+DB'2＝B'M2，由折疊的性質(zhì)得：MB＝MB'，∴AB2+AM2＝BM2＝B'M2＝MD2+DB'2，即92+x2＝（9﹣x）2+62，解得：x＝2，即AM＝2．【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】已知正方形ABCD中，AB＝6，點E在AB上，且BE＝2AE，將△ADE沿DE對折至△DEF，延長EF交BC于H，連接DH，BF．（1）求證：CH＝FH；（2）求BH的長；（3）求△FBH的面積．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AD＝DF＝DC，∠DAE＝∠EFD＝90°＝∠DCB，由“HL”可證Rt△DCH≌Rt△DFH，可得CH＝FH；（2）由勾股定理可求BH的長；（3）由三角形的面積關(guān)系可求解．【解答】證明：（1）∵將△ADE沿DE對折至△DEF，∴AD＝DF，∠DAE＝∠EFD＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝AD，∠DCB＝90°∴DF＝DC，且DH＝DH，∴Rt△DCH≌Rt△DFH（HL）∴CH＝FH；（2）∵AB＝6，BE＝2AE，∴AE＝2，BE＝4，∵EH2＝BE2+BH2，∴（CH+2）2＝16+（6﹣CH）2，∴CH＝3，∴BH＝3；（3）∵S△BEH=12BE×BH＝6，且EF＝2，∴△FBH的面積=65×【點評】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，證明Rt△DCH≌Rt△DFH是本題的關(guān)鍵．【變式4-5】如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN，再過點B折疊紙片，使點A落在MN上的點F處，折痕為BE．若AB的長為2，求：（1）FN的長；（2）EN的長．（結(jié)果保留根號）【分析】（1）根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出BM、BF，根據(jù)勾股定理計算即可；（2）由折疊可得，AE＝FE，在Rt△NEF中，運用勾股定理列方程求解，即可得到EN的長．【解答】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，BM=12BC＝1，BF＝BA＝2，