人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題專題利用勾股定理解決折疊問題(原卷版+解析)

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》專題利用勾股定理解決折疊問題題型一利用勾股定理解決三角形中的折疊問題題型一利用勾股定理解決三角形中的折疊問題【例題1】(2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長(zhǎng)為（）A．8 B．6 C．4 D．10【變式1-1】如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，若沿將△ACD翻折，點(diǎn)C剛好落在邊上點(diǎn)E處，則BD等于（）A．2 B．52 C．3 D．【變式1-2】如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CE的長(zhǎng)為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【變式1-3】(2023?鞍山一模）如圖的三角形紙片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長(zhǎng)是（）A．7 B．8 C．11 D．14【變式1-4】(2023秋?高郵市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上．現(xiàn)將△DCE沿DE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)H處．連接AH，則AH長(zhǎng)度的最小值為（）A．0 B．2 C．4 D．6【變式1-5】(2023秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處．若BC＝12，BE＝2，則AB2﹣AC2的值為（）A．20 B．22 C．24 D．26【變式1-6】(2023?天津模擬）如圖，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，M，N分別是邊AC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將△ABC沿直線MN折疊，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊的三等分點(diǎn)處，則線段BN的長(zhǎng)為（）A．3 B．53 C．3或53 【變式1-7】(2023?平果市模擬）如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，∠C＝60°，BD＝3，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，如果將△ABD沿AD翻折后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么點(diǎn)E到直線DC的距離為（）A．332 B．4 C．32【變式1-8】（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D、E分別在AC邊和AB邊上，沿著直線DE翻折△ADE，點(diǎn)A落在BC邊上，記為點(diǎn)F，如果CF＝2，則BE的長(zhǎng)為（）A．6 B．52 C．322【變式1-9】如圖，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著AD折疊得到△AED，連接EC，若DE＝5，EC＝6，AB＝42，則線段AD的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1-10】(2023秋?南海區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝22，點(diǎn)D在AC上，將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，A'B與AC相交于點(diǎn)E，則A'E的最大值為（）A．22 B．83 C．163 【變式1-11】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，連接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC′，DC′與AB交于點(diǎn)E，連接BC′，若BD＝BC′＝2，AD＝3，則點(diǎn)D到AC′的距離（）A．332 B．3217 C．【變式1-12】(2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝6，BC＝3，將邊BC沿CE翻折，使點(diǎn)B落在AB上的點(diǎn)D處，再將邊AC沿CF翻折，使點(diǎn)A落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線段CF的長(zhǎng)為（）A．3 B．3721 C．37題型二利用勾股定理解決長(zhǎng)方形中的折疊問題題型二利用勾股定理解決長(zhǎng)方形中的折疊問題【例題2】(2023春?東昌府區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上F處，則EF的長(zhǎng)是（）A．3 B．245 C．5 D．【變式2-1】如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝12，BC＝5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處，求AE的長(zhǎng)．【變式2-3】(2023秋?錦江區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，AD＝25，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，則BE的長(zhǎng)為（）A．12 B．8 C．10 D．13【變式2-4】(2023春?欒城區(qū)期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，將矩形沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，DE與BC交于點(diǎn)F，則重疊部分△BDF的面積是（）A．20 B．16 C．12 D．10【變式2-5】(2023?斗門區(qū)一模）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF的長(zhǎng)為．【變式2-6】(2023秋?歷城區(qū)期末）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝4，BC＝6，將△CBE沿直線CE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)G，延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)F，則線段FG的長(zhǎng)為．【變式2-7】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，把矩形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，則折痕FG的長(zhǎng)為（）A．2.5 B．3 C．5 D．25【變式2-8】如圖，在矩形ABCD中，連接BD，將△ABD沿BD進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)A落到點(diǎn)M處，DM交BC于點(diǎn)N，若AB＝2，BD＝5，則MN的長(zhǎng)度為（）A．172142 B．172121 C．17【變式2-9】(2023秋?梅縣區(qū)校級(jí)期末）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E，G分別在邊BC，AB上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處；把△DAG沿直線DG折疊，使點(diǎn)A落在線段DF上的點(diǎn)H處，HF＝1，BF＝8，則矩形ABCD的面積為（）A．420 B．360 C．4202 D．【變式2-10】(2023春?柯橋區(qū)期末）在矩形ABCD中，將邊AB翻折到對(duì)角線BD上，點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將邊CD翻折到對(duì)角線BD上，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，折痕DF交BC于點(diǎn)F．AB＝5，MN＝3，則BC的長(zhǎng)（）A．5 B．12或26 C．12 D．12或13題型三利用勾股定理解決正方形中的折疊問題題型三利用勾股定理解決正方形中的折疊問題【例題3】(2023春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段CN的長(zhǎng)是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【變式3-1】(2023?寬城區(qū)一模）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，若AE＝1，∠AFE＝30°，則AB的長(zhǎng)為（）A．2 B．1+3 C．23 D．2【變式3-2】(2023春?桂林期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH，若BE：EC＝3：1，則線段CH的長(zhǎng)是（）A．3 B．158 C．1 【變式3-3】(2023春?大連月考）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，將該紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕交AD，BC邊于點(diǎn)M，N，連接ME，NE．則ME的長(zhǎng)為．【變式3-4】(2023春?荔城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在邊長(zhǎng)為7的正方形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，連接AE、EF，將△ABE沿EF折疊，使點(diǎn)A恰好落在CD邊上的A′處，若A′D＝2，則B′E的長(zhǎng)度為（）A．2714 B．137 C．25【變式3-5】如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)B落在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF．若AD＝4cm，則CF的長(zhǎng)為（）cmA．6﹣25 B．6﹣23 C．32 D．【變式3-6】(2023春?社旗縣期末）如圖，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在正方形紙片ABCD的邊CD和AD上，連接AE，BF，沿BF所在直線折疊該紙片，點(diǎn)A恰好落在線段AE上點(diǎn)G處．若正方形紙片邊長(zhǎng)12，DE＝5，則GE的長(zhǎng)為（）A．4913 B．5013 C．4【變式3-7】(2023春?長(zhǎng)清區(qū)期末）如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折痕為EF如圖2，展開后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM交AB于N，AD＝4，則CH的長(zhǎng)為（）A．52 B．65 C．34【變式3-8】(2023秋?和平區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD面積為2，將正方形ABCD沿直線EF折疊，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（）A．2 B．2 C．8 D．42【變式3-9】(2023春?滿洲里市校級(jí)期末）如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，將△AED沿著AE翻折得到△AEF，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上，連接BF．若EF＝2，則BF2＝（）A．42+4 B．6+42 C．12 D．8+4【變式3-10】如圖，正方形ABCD中，CD＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG、CF．（1）求證：△ABG≌△AFG；（2）求GC的長(zhǎng)；（3）求△FGC的面積．八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十七章勾股定理》專題利用勾股定理解決折疊問題題型一利用勾股定理解決三角形中的折疊問題題型一利用勾股定理解決三角形中的折疊問題【例題1】(2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，Rt△ABC中，AB＝18，BC＝12，∠B＝90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長(zhǎng)為（）A．8 B．6 C．4 D．10【分析】設(shè)BN＝x，則由折疊的性質(zhì)可得DN＝AN＝18﹣x，根據(jù)中點(diǎn)的定義可得BD＝6，在Rt△BND中，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：設(shè)BN＝x，由折疊的性質(zhì)可得DN＝AN＝18﹣x，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝6，在Rt△NBD中，x2+62＝（18﹣x）2，解得x＝8．即BN＝8．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問題），折疊的性質(zhì)，勾股定理，中點(diǎn)的定義以及方程思想，綜合性較強(qiáng)．【變式1-1】如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，若沿將△ACD翻折，點(diǎn)C剛好落在邊上點(diǎn)E處，則BD等于（）A．2 B．52 C．3 D．【分析】由勾股定理可知BC＝4．由折疊的性質(zhì)得：AE＝AC＝3，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90?，設(shè)BD＝x，由勾股定理可得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC=AB設(shè)BD＝x，則DC＝4﹣x，由折疊可知DE＝DC＝4﹣x，AE＝AC＝3，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝AB﹣AE＝2．在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2，∴x2＝22+（4﹣x）2，解得：x=5即BD=5故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了翻折前后的兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，將斜邊AB翻折，使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為AD，則CE的長(zhǎng)為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根據(jù)勾股定理可將斜邊AB的長(zhǎng)求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，AE＝AB，已知AC的長(zhǎng)，可將CE的長(zhǎng)求出．【解答】解：在Rt△ABC中，AB=A根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE＝AB＝10∵AC＝8∴CE＝AE﹣AC＝2即CE的長(zhǎng)為2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查翻折問題，將圖形進(jìn)行折疊后，兩個(gè)圖形全等，是解決折疊問題的突破口．【變式1-3】(2023?鞍山一模）如圖的三角形紙片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長(zhǎng)是（）A．7 B．8 C．11 D．14【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得到DC＝DE，BE＝BC，根據(jù)已知求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解答】解：由折疊的性質(zhì)可知，DC＝DE，BE＝BC＝6，∵AB＝8，∴AE＝AB﹣BE＝2，△AED的周長(zhǎng)為：AD+AE+DE＝AC+AE＝7，答：△AED的周長(zhǎng)為7．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻折變換的知識(shí)，掌握翻折變換的性質(zhì)、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】(2023秋?高郵市期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上．現(xiàn)將△DCE沿DE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)H處．連接AH，則AH長(zhǎng)度的最小值為（）A．0 B．2 C．4 D．6【分析】當(dāng)H落在AB上，點(diǎn)D與B重合時(shí)，AH長(zhǎng)度的值最小，根據(jù)勾股定理得到AB＝10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH＝BC＝6cm，于是得到結(jié)論．【解答】解：當(dāng)H落在AB上，點(diǎn)D與B重合時(shí)，AH長(zhǎng)度的值最小，∵∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝10cm，由折疊的性質(zhì)知，BH＝BC＝6cm，∴AH＝AB﹣BH＝4cm．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問題），勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】(2023秋?秦淮區(qū)校級(jí)月考）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處．若BC＝12，BE＝2，則AB2﹣AC2的值為（）A．20 B．22 C．24 D．26【分析】根據(jù)折疊，可得AC＝AE，ED＝CD，∠ADE＝90°，根據(jù)勾股定理可得AB2＝AD2+BD2，AE2＝AD2+DE2，根據(jù)AB2﹣AC2＝AB2﹣AE2＝BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BC?BE，求解即可．【解答】解：根據(jù)折疊，可得AC＝AE，ED＝CD，∠ADE＝90°，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB2＝AD2+BD2，在Rt△AED中，根據(jù)勾股定理，得AE2＝AD2+DE2，∴AB2﹣AC2＝AB2﹣AE2＝BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BC?BE，∵BC＝12，BE＝2，∴AB2﹣AC2＝12×2＝24，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊問題，勾股定理等，熟練掌握折疊變換是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】(2023?天津模擬）如圖，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，M，N分別是邊AC，AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將△ABC沿直線MN折疊，使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊的三等分點(diǎn)處，則線段BN的長(zhǎng)為（）A．3 B．53 C．3或53 【分析】由題意可知BD＝2或BD＝4，分兩種情況由勾股定理可得出答案．【解答】解：∵D為BC的三等分點(diǎn)，∴BD＝2或BD＝4，由折疊可知AN＝DN，∴AN＝8﹣BN，當(dāng)BD＝2時(shí)，在Rt△BDN中，DN2＝BD2+BN2，∴（8﹣BN）2＝4+BN2，∴BN=15當(dāng)BD＝4時(shí)，在Rt△BDN中，DN2＝BD2+BN2，∴（8﹣BN）2＝4+BN2，∴BN＝3；綜上所述：BN的長(zhǎng)為3或154故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)、靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式1-7】(2023?平果市模擬）如圖，在△ABC中，AC＝5，BC＝8，∠C＝60°，BD＝3，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，如果將△ABD沿AD翻折后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，那么點(diǎn)E到直線DC的距離為（）A．332 B．4 C．32【分析】先證△ACD是等邊三角形，可得∠ADC＝60°，由折疊的性質(zhì)可得∠ADB＝∠ADE＝120°，BD＝ED＝3，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EN⊥BC于N，∵BC＝8，BD＝3，∴CD＝5，∵AC＝5，∴AC＝DC，又∵∠ACB＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ADC＝60°，∴∠ADB＝120°，∵將△ABD沿AD翻折后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，∴∠ADB＝∠ADE＝120°，BD＝ED＝3，∴∠EDC＝60°，∵EN⊥BC，∴∠DEN＝30°，∴DN=12DE=32，NE∴點(diǎn)E到直線DC的距離為33故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式1-8】（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，點(diǎn)D、E分別在AC邊和AB邊上，沿著直線DE翻折△ADE，點(diǎn)A落在BC邊上，記為點(diǎn)F，如果CF＝2，則BE的長(zhǎng)為（）A．6 B．52 C．322【分析】過F作FG⊥AB于點(diǎn)G．先求出AB＝62，BF＝6﹣2＝4，則FG＝GB=22BF＝22，所以AG＝AB﹣BG＝62?22=42，設(shè)AE＝x，則根據(jù)折疊的性質(zhì)得出EF＝x，EG＝42?x，在Rt△EGF中，EG2+FG2＝EF2，利用勾股定理解列出（42?x）2+（22）2＝x2【解答】解：過F作FG⊥AB于點(diǎn)G，如圖，∵∠C＝90°，AC＝BC＝6，CF＝2，∴AB＝62，BF＝6﹣2＝4，∴FG＝GB=22BF＝2∴AG＝AB﹣BG＝62?22=4設(shè)AE＝x，則EF＝AE＝x，EG＝42?x在Rt△EGF中，EG2+FG2＝EF2，即（42?x）2+（22）2＝x2解得x=5∴BE＝AB﹣AE＝62?故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理，屬于中考?？碱}型．【變式1-9】如圖，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，連接AD，把△ABD沿著AD折疊得到△AED，連接EC，若DE＝5，EC＝6，AB＝42，則線段AD的長(zhǎng)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】連接BE交AD于點(diǎn)F，由折疊的性質(zhì)得出BD＝DE，AD⊥BE，求出BE的長(zhǎng)，可求出AF，DF的長(zhǎng)，則可得出答案．【解答】解：連接BE交AD于點(diǎn)F，∵把△ABD沿著AD折疊得到△AED，∴BD＝DE，AD⊥BE，∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∴BD＝CD＝DE，∴△BEC為直角三角形，∠BEC＝90°，∵CE＝6，BC＝10，∴BE=B∵∠BEC＝∠BFD＝90°，∴DF∥CE，∴BF＝EF＝4，DF=12∵AB＝42，∴AF=A∴AD＝AF+DF＝7，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了直角三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及勾股定理．熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-10】(2023秋?南海區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝22，點(diǎn)D在AC上，將△ABD沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，A'B與AC相交于點(diǎn)E，則A'E的最大值為（）A．22 B．83 C．163 【分析】首先利用勾股定理求出AC，然后確定A'E取最大值時(shí)BE最小，然后利用垂線段最短解決問題．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝22，∴AC=AB2+BC∵A'E＝A′B﹣BE，A′B＝AB＝8，∴當(dāng)BE最小時(shí)，A'E最大，當(dāng)BE⊥AC時(shí)BE最小，而S△ABC=12×AB×BC=1∴BE的最小值為83∴A'E的最大值為8?8故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，靈活運(yùn)用勾股定理及翻折不變性是解題的關(guān)鍵．【變式1-11】如圖，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，連接AD，把△ACD沿AD翻折，得到△ADC′，DC′與AB交于點(diǎn)E，連接BC′，若BD＝BC′＝2，AD＝3，則點(diǎn)D到AC′的距離（）A．332 B．3217 C．【分析】連接CC'，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥AC'于點(diǎn)H，由翻折知，△ADC≌△ADC'，AD垂直平分CC'，證△BDC'為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M=3DM=3，AM＝2，在Rt△AMC'中，利用勾股定理求出AC'的長(zhǎng)，在△ADC'中利用面積法求出【解答】解：如圖，連接CC'，交AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DH⊥AC'于點(diǎn)H，∵BD＝BC′＝2，D是AC邊上的中點(diǎn)，∵BD＝DC＝2，由翻折知，△ADC≌△ADC'，AD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，AC＝AC'，CM＝C'M，∴BD＝BC′＝DC'＝2，∴△BDC'為等邊三角形，∴∠BDC'＝∠BC'D＝∠C'BC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C=1在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M=3∴AM＝AD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△AMC'中，AC'=A∵S△ADC′=12AC'?DH=12∴7DH＝3×3∴DH=3故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等，解題關(guān)鍵是會(huì)通過面積法求線段的長(zhǎng)度．【變式1-12】(2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝6，BC＝3，將邊BC沿CE翻折，使點(diǎn)B落在AB上的點(diǎn)D處，再將邊AC沿CF翻折，使點(diǎn)A落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E、F，則線段CF的長(zhǎng)為（）A．3 B．3721 C．37【分析】過點(diǎn)A作AH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，由直角三角形的性質(zhì)可求HC=12AC＝3，AH=3HC＝33，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，由面積法可求CE的長(zhǎng)，由折疊的性質(zhì)可求∠BEC＝∠DEC＝90°，∠BCE＝∠DCE，∠ACF【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，∵∠ACB＝120°，∠ACB＝∠H+∠HAC，∴∠HAC＝30°，∴HC=12AC＝3，AH=3HC∴BH＝6，∴AB=AH2+∵S△ACB=12×BC×AH=1∴33×3＝37×∴CE=3∵將邊BC沿CE翻折，使點(diǎn)B落在AB上的點(diǎn)D處，再將邊AC沿CF翻折，∴∠BEC＝∠DEC＝90°，∠BCE＝∠DCE，∠ACF＝∠DCF，∴∠ECF=12∠∴∠CFE＝30°，∴CF＝2CE=6故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是本題的關(guān)鍵．題型二利用勾股定理解決長(zhǎng)方形中的折疊問題題型二利用勾股定理解決長(zhǎng)方形中的折疊問題【例題2】(2023春?東昌府區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上F處，則EF的長(zhǎng)是（）A．3 B．245 C．5 D．【分析】由折疊可得BF＝AB＝6，AE＝EF，可求DF＝4，根據(jù)勾股定理可求EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD＝8，∠A＝90°∵AB＝6，AD＝8∴BD=AB∵將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上F處∴AB＝BF＝6，AE＝EF，∠A＝∠BFE＝90°∴DF＝4Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2（8﹣AE）2＝AE2+16∴AE＝3即EF＝3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊問題，矩形的性質(zhì)，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵．【變式2-1】如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AB＝12，BC＝5，點(diǎn)E在AB上，將△DAE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處，求AE的長(zhǎng)．【分析】由折疊性質(zhì)得出DF＝AD＝5，EF＝EA，EF⊥BD，在Rt△BAD中，由勾股定理求出BD，求出BF，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出x即可．【解答】解：由折疊性質(zhì)可知：DF＝AD＝5，EF＝EA，EF⊥BD，在Rt△BAD中，由勾股定理得：BD=A則BF＝BD﹣DF＝13﹣5＝8，設(shè)AE＝EF＝x，則BE＝12﹣x，在Rt△BEF中，由勾股定理可知：EF2+BF2＝BE2，即x2+82＝（12﹣x）2，解得：x=10即AE=10【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)題意得出關(guān)于x的方程是解此題的關(guān)鍵．【變式2-3】(2023秋?錦江區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，AD＝25，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，折痕為EF，則BE的長(zhǎng)為（）A．12 B．8 C．10 D．13【分析】根據(jù)折疊可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理可以即可求出BE．【解答】解：將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，∴BE＝ED．∵AD＝25cm＝AE+DE＝AE+BE．∴AE＝25﹣BE，根據(jù)勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．∴52+（25﹣BE）2＝BE2，解得BE＝13，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握折疊的性質(zhì)及方程思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．【變式2-4】(2023春?欒城區(qū)期末）如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，將矩形沿BD折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，DE與BC交于點(diǎn)F，則重疊部分△BDF的面積是（）A．20 B．16 C．12 D．10【分析】由折疊可得∠ADB＝∠BDE，由題意可證∠DBC＝∠BDE，則可得∠BDE＝∠DBC即DF＝BF，在Rt△DFC中，根據(jù)勾股定理可列方程，解得DF的長(zhǎng)度，即可求△BDF的面積．【解答】解：∵折疊，∴∠ADB＝∠BDE，BE＝AB＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝8，CD＝AB＝4，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠BDE＝∠DBC，∴BF＝DF，在Rt△DFC中，DF2＝FC2+CD2，∴DF2＝（8﹣DF）2+16，∴DF＝5，∴S△BDF=12DF×故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊問題，矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出方程．【變式2-5】(2023?斗門區(qū)一模）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則AF的長(zhǎng)為．【分析】設(shè)AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，利用矩形紙片ABCD中，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，由勾股定理求AF即可．【解答】解：設(shè)AF＝xcm，則DF＝（8﹣x）cm，∵矩形紙片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，現(xiàn)將其沿EF對(duì)折，使得點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，∴DF＝D′F，在Rt△AD′F中，∵AF2＝AD′2+D′F2，∴x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5（cm）．故答案為：5cm【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變是解題關(guān)鍵．【變式2-6】(2023秋?歷城區(qū)期末）如圖，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，點(diǎn)E在邊AB上，且BE＝4，BC＝6，將△CBE沿直線CE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)G，延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)F，則線段FG的長(zhǎng)為．【分析】由折疊的性質(zhì)可得BE＝GE＝4，∠CEB＝∠CEG，BC＝CG＝6，∠B＝∠CGE＝90°，由勾股定理可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∵將△CBE沿直線CE翻折，∴BE＝GE＝4，∠CEB＝∠CEG，BC＝CG＝6，∠B＝∠CGE＝90°，∵CD∥AB，∴∠DCE＝∠CEB，∴∠DCE＝∠CEG，∴EF＝FC，∵FC2＝FG2+CG2，∴（FG+4）2＝FG2+36，∴FG=5故答案為：52【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-7】如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，把矩形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，則折痕FG的長(zhǎng)為（）A．2.5 B．3 C．5 D．25【分析】先連接BD，在Rt△ABD中，求得BD的長(zhǎng)，在Rt△ABE中運(yùn)用勾股定理求得BF的長(zhǎng)，即可得到DF長(zhǎng)，最后在Rt△DOF中求得FO的長(zhǎng)，即可得到FG的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接BD，交EF于O，則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，F(xiàn)G垂直平分BD，Rt△ABD中，BD=AD∴DO=5由折疊可得，∠BFO＝∠DFO，由AD∥BC可得，∠DFO＝∠BGO，∴∠BFO＝∠BGO，∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，∴BD平分FG，設(shè)BF＝DF＝x，則AF＝4﹣x，在Rt△ABF中，（4﹣x）2+22＝x2，解得x=52，即DF∴Rt△DOF中，OF=D∴FG＝2FO=5故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題是折疊問題，主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理以及矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列方程求解．本題也可以運(yùn)用面積法求得FO的長(zhǎng)．【變式2-8】如圖，在矩形ABCD中，連接BD，將△ABD沿BD進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)A落到點(diǎn)M處，DM交BC于點(diǎn)N，若AB＝2，BD＝5，則MN的長(zhǎng)度為（）A．172142 B．172121 C．17【分析】先根據(jù)勾股定理求得AD的長(zhǎng)，再設(shè)MN＝x，求得BN＝DN=21?x，最后在Rt△BMN中根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求得【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝2，BD＝5，∠A＝90°，∴AD=52?∴DM=21設(shè)MN＝x，則DN=21?由題得，∠ADB＝∠MDB，∠ADB＝∠DBC，∴∠MDB＝∠DBC，∴BN＝DN=21?在Rt△BMN中，BM2+MN2＝BN2∴22+x2＝（21?x）解得x=17即MN的長(zhǎng)度為1721故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題以折疊問題為背景，主要考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)直角三角形的三邊數(shù)量關(guān)系，列出關(guān)于x的方程求得線段的長(zhǎng)，這是方程思想的應(yīng)用．【變式2-9】(2023秋?梅縣區(qū)校級(jí)期末）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)E，G分別在邊BC，AB上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)F處；把△DAG沿直線DG折疊，使點(diǎn)A落在線段DF上的點(diǎn)H處，HF＝1，BF＝8，則矩形ABCD的面積為（）A．420 B．360 C．4202 D．【分析】由折疊的性質(zhì)得HD＝AD，F(xiàn)D＝CD，設(shè)AD＝x，則HD＝x，得AB＝CD＝x+1，BD＝x+9，再在Rt△ABD中，由勾股定理得出方程，解方程，即可解決問題．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝90°，由折疊的性質(zhì)得：HD＝AD，F(xiàn)D＝CD，設(shè)AD＝x，則HD＝x，∴AB＝CD＝FD＝HD+HF＝x+1，∴BD＝FD+BF＝x+9，在Rt△ABD中，由勾股定理得：x2+（x+1）2＝（x+9）2，解得：x＝20或x＝﹣4（舍去），∴AD＝20，AB＝21，BD＝x+9＝29，∴矩形ABCD的面積＝AD?AB＝20×21＝420，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式2-10】(2023春?柯橋區(qū)期末）在矩形ABCD中，將邊AB翻折到對(duì)角線BD上，點(diǎn)A落在點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將邊CD翻折到對(duì)角線BD上，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，折痕DF交BC于點(diǎn)F．AB＝5，MN＝3，則BC的長(zhǎng)（）A．5 B．12或26 C．12 D．12或13【分析】分兩種情況：點(diǎn)M在線段AN時(shí)，點(diǎn)M在線段DN上時(shí)，由折疊性質(zhì)和線段和差分別求得BD，進(jìn)而由勾股定理求得BC．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)M在線段AN上時(shí)，如下圖，由折疊性質(zhì)得AB＝BM＝BC＝DN＝5，∴BD＝BM+MN+DN＝13，∵∠C＝90°，∴BC=B當(dāng)點(diǎn)M點(diǎn)在線段DN上時(shí)，如下圖，由折疊性質(zhì)得AB＝BM＝BC＝DN＝5，∴MD＝DN﹣MN＝5﹣3＝2，∴BD＝AM+DM＝5+2＝7，∵∠C＝90°，∴BC=B綜上，BC＝12或26，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由折疊性質(zhì)求得BD的長(zhǎng)度．題型三利用勾股定理解決正方形中的折疊問題題型三利用勾股定理解決正方形中的折疊問題【例題3】(2023春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段CN的長(zhǎng)是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN＝x，則DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長(zhǎng)．【解答】解：由題意設(shè)CN＝xcm，則EN＝（8﹣x）cm，又∵CE=12DC＝4∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，即CN＝3cm．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換的問題，折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-1】(2023?寬城區(qū)一模）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，若AE＝1，∠AFE＝30°，則AB的長(zhǎng)為（）A．2 B．1+3 C．23 D．2【分析】先求出AF和EF的長(zhǎng)，再根據(jù)翻折變換的知識(shí)得到EF＝BF，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∵AE＝1，∠AFE＝30°，∴EF＝2，∴AF=3∵正方形紙片ABCD折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，∴EF＝BF，∴BF＝2，∴AB＝AF+BF＝2+3故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折變換以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換得到EF＝BF，此題難度不大．【變式3-2】(2023春?桂林期末）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH，若BE：EC＝3：1，則線段CH的長(zhǎng)是（）A．3 B．158 C．1 【分析】由折疊的性質(zhì)得DH＝EH，設(shè)CH＝x，則DH＝EH＝4﹣x，再由BE：EC＝3：1得CE＝2，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，BC＝CD＝4，由折疊的性質(zhì)得：EH＝DH，設(shè)CH＝x，則DH＝EH＝4﹣x，∵BE：EC＝3：1，∴CE=14在Rt△ECH中，由勾股定理得：EH2＝EC2+CH2，即（4﹣x）2＝12+x2，解得：x=15即CH=15故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】(2023春?大連月考）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，將該紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，折痕交AD，BC邊于點(diǎn)M，N，連接ME，NE．則ME的長(zhǎng)為．【分析】連接BM，由折疊性質(zhì)可得ME＝BE，由正方形的性質(zhì)可得∠A＝∠D＝90°，由勾股定理可得BM2＝AB2+AM2，ME2＝DE2+DM2，設(shè)AM＝x，則DM＝4﹣x，即可求解．【解答】解：如圖，連接BM，∵四邊形ABCD為正方形，AB＝4，∴∠A＝∠D＝90°，AD＝CD＝AB＝4，∵點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，∴DE＝2，在Rt△ABM和Rt△DEM中，由勾股定理可得：BM2＝AB2+AM2，ME2＝DE2+DM2，設(shè)AM＝x，則DM＝4﹣x，∴BM2＝42+x2，ME2＝22+（4﹣x）2，由折疊性質(zhì)可得ME＝BE，∴42+x2＝22+（4﹣x）2，解得：x=1∴DM＝AD﹣AM=7∴ME=D故答案為：652【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是明確折疊前后對(duì)應(yīng)圖形全等．【變式3-4】(2023春?荔城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在邊長(zhǎng)為7的正方形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，連接AE、EF，將△ABE沿EF折疊，使點(diǎn)A恰好落在CD邊上的A′處，若A′D＝2，則B′E的長(zhǎng)度為（）A．2714 B．137 C．25【分析】由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°，A'C＝CD﹣A'D＝5，AE＝AE'，BE＝B'E，由勾股定理可求B'E的長(zhǎng)度．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝7，∠B＝∠C＝90°，∴A'C＝CD﹣A'D＝5，∵△ABE沿EF折疊，使點(diǎn)A恰好落在CD邊上的A′處，∴AE＝A'E，BE＝B'E，在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，在Rt△A'CE中，A'E2＝A'C2+EC2，∴49+BE2＝25+（7﹣BE）2，∴BE=2514=B故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-5】如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)B落在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF．若AD＝4cm，則CF的長(zhǎng)為（）cmA．6﹣25 B．6﹣23 C．32 D．【分析】設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（25?4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，從而得到關(guān)于x方程，求解x，最后用4﹣x【解答】解：設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝25．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG＝AB＝4，所以GE＝25?在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（25?4）2+x2在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（25?4）2+x2＝（4﹣x）2+22解得x＝25?則FC＝4﹣x＝6﹣25．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理．折疊問題主要是抓住折疊的不變量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．【變式3-6】(2023春?社旗縣期末）如圖，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在正方形紙片ABCD的邊CD和AD上，連接AE，BF，沿BF所在直線折疊該紙片，點(diǎn)A恰好落在線段AE上點(diǎn)G處．若正方形紙片邊長(zhǎng)12，DE＝5，則GE的長(zhǎng)為（）A．4913 B．5013 C．4【分析】由折疊及軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，先證△ABF≌△DAE，推出AF的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)，最后在Rt△ABF中利用面積法可求出AH的長(zhǎng)，可進(jìn)一步求出AG的長(zhǎng)，GE的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)BF與AE的交點(diǎn)為H，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折疊及軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，∴BF=1∵S△ABF=12AB?AF=12∴12×5＝13AH，∴AH=60∴AG＝2AH=120∵AE＝BF＝13，∴GE＝AE﹣AG＝13?120故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，面積法求線段的長(zhǎng)度等，解題關(guān)鍵是能夠靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)．【變式3-7】(2023春?長(zhǎng)清區(qū)期末）如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折痕為EF如圖2，展開后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM交AB于N，AD＝4，則CH的長(zhǎng)為（）A．52 B．65 C．34【分析】設(shè)DH＝x，表示出CH，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)表示出DE、EH，然后利用勾股定理列出方程求出x，即可得出答案．【解答】解：設(shè)DH＝x，CH＝2﹣x，由翻折的