協(xié)變類比思想在高三復(fù)習(xí)中的應(yīng)用

協(xié)變類比思想在高三復(fù)習(xí)中的應(yīng)用摘要：高中物理涵蓋的思想方法很多，協(xié)變類比是一種創(chuàng)造性的平行思維方法，也是研究物理問題常用的方法之一，對(duì)解決一些教學(xué)難點(diǎn)有至關(guān)重要的作用，本文用協(xié)變類比對(duì)力學(xué)、電磁學(xué)中有相同函數(shù)關(guān)系的物理過程做探究，旨在通過分析做出歸納，體現(xiàn)邏輯，強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，給學(xué)生提供解題思路，最終達(dá)到提高解題能力的目的．關(guān)鍵詞：協(xié)變類比；電磁振蕩；電磁感應(yīng)；雨滴下落1問題提出高中物理涉及的思想方法很多，有整體與隔離、分割與積累、類比、降維、等效、極限、對(duì)稱、圖示與圖像、守恒、猜想與假設(shè)、數(shù)學(xué)物理方法，其中類比法也叫“比較類推法”、“類比推理法”，是一種創(chuàng)造性的平行思維方法，也是研究物理問題常用的方法之一，對(duì)解決一些教學(xué)難點(diǎn)有至關(guān)重要的作用．類比是指由兩類事物的部分特征相似，推出兩事物其他方面的特征也可能相似．類比對(duì)象間共有的屬性越多，則類比結(jié)論的可靠性越大，類比能夠使主體對(duì)已知事物的判斷直接過渡到對(duì)未知事物的判斷，其結(jié)論的正確性必須由實(shí)驗(yàn)來檢驗(yàn)．而協(xié)變類比是對(duì)象的屬性之間可能具有某種確定的函數(shù)關(guān)系而進(jìn)行的推理，高三復(fù)習(xí)過程中，有很多不同版塊知識(shí)之間的內(nèi)容有思維的共通性，完全可以用類比思維來解決難點(diǎn)，從而打破板塊之間的思維壁壘，使思想方法在這里融會(huì)貫通．本文以力學(xué)和電磁學(xué)中的協(xié)變類比做探究．2協(xié)變類比2.1函數(shù)關(guān)系為：（A、B、C為常數(shù)）模型雨滴下落運(yùn)動(dòng)恒力作用下的導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)恒壓源下的導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)恒壓源下的線圈充電過程情景質(zhì)量為m的物體從靜止開始下落，除受到重力作用外，還受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向相反的空氣阻力（k為常量）的作用在垂直于導(dǎo)軌向下上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，固定水平軌道光滑，導(dǎo)體桿cd質(zhì)量為m，電阻不計(jì)，兩導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，固定電阻為R，桿在恒定拉力F的作用下開始運(yùn)動(dòng)電源電動(dòng)勢(shì)為E，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，電路中的總電阻為R，整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，間距為L(zhǎng)的水平導(dǎo)軌光滑且足夠長(zhǎng)．閉合開關(guān)S電源電動(dòng)勢(shì)為E，線圈自感系數(shù)為L(zhǎng)，電路中的總電阻為R．閉合開關(guān)S示意圖圖1圖1mgf圖2圖2圖3圖3圖4圖4函數(shù)關(guān)系方程求解累積公式穩(wěn)定值函數(shù)圖像圖5圖5圖6圖6能量轉(zhuǎn)化重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能外力做的功轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能電能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能電能轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)和內(nèi)能表一2.2函數(shù)關(guān)系為：（A、B為常數(shù)）表一模型彈簧振子單擺電磁振蕩情景將一彈簧振子放置在光滑的水平面上，以彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)物塊所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O、水平向右為正方向建立x軸，將物塊從O點(diǎn)右側(cè)某一位置由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)單擺的擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺球質(zhì)量為m，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、水平向左為正方向建立x軸，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至B點(diǎn)（很?。尫艛[球并開始計(jì)時(shí)LC振蕩電路，回路中電感線圈的自感系數(shù)為L(zhǎng)，電容器的電容為C．時(shí)閉合開關(guān)，此時(shí)電容器兩極板帶電量分別為、．忽略電磁輻射與回路電阻的熱損耗，此后LC電路自由振蕩示意圖圖7O圖7Okmx圖8圖8圖9E圖9ECLS12力電規(guī)律函數(shù)關(guān)系方程求解周期性函數(shù)圖像圖10圖10圖11圖11能量轉(zhuǎn)化與守恒振子動(dòng)能和彈簧彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能守恒擺球動(dòng)能和重力勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，總機(jī)械能守恒電容器的電場(chǎng)能和電感的磁場(chǎng)能相互轉(zhuǎn)化，總能量守恒表二3應(yīng)用舉例表二例1類比是研究問題常用的方法．（1）情境1：物體從靜止開始下落，除受到重力作用外，還受到一個(gè)與運(yùn)動(dòng)方向相反的空氣阻力（k為常量）的作用．其速率v隨時(shí)間t的變化規(guī)律可用方程（Ⅰ）描述，其中m為物體質(zhì)量，G為其重力．求物體下落的最大速率．（2）情境2：如圖3所示，電源電動(dòng)勢(shì)為E，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，定值電阻的阻值為R，忽略電源內(nèi)阻及導(dǎo)體棒、軌道的電阻，整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，間距為L(zhǎng)的水平導(dǎo)軌光滑且足夠長(zhǎng)．閉合開關(guān)S，導(dǎo)體棒開始加速運(yùn)動(dòng)，閉合開關(guān)瞬間開始計(jì)時(shí)．圖12a．求時(shí)導(dǎo)體棒的加速度；圖12b．推導(dǎo)導(dǎo)體棒的速度v和速度的變化率滿足的方程（Ⅱ）．（3）情境3：如圖4所示，電源電動(dòng)勢(shì)為E，線圈自感系數(shù)為L(zhǎng)，電路中的總電阻為R．閉合開關(guān)S，發(fā)現(xiàn)電路中電流I隨時(shí)間t的變化規(guī)律與情境1中物體速率v隨時(shí)間t的變化規(guī)律類似．類比（Ⅰ）式，寫出電流I隨時(shí)間t變化的方程（Ⅲ），并在圖12中定性畫出圖線．（4）比較方程（Ⅰ）、方程（Ⅱ）和方程（Ⅲ），發(fā)現(xiàn)情境2中導(dǎo)體棒的速度變化規(guī)律、情境3中電流I隨時(shí)間t的變化規(guī)律與情境1中物體的速度變化規(guī)律完全一致．已知情境1中物體速度v隨時(shí)間t變化的表達(dá)式為，通過類比寫出情境2中導(dǎo)體棒的速度v隨時(shí)間t、情境3中電流I隨時(shí)間t變化的函數(shù)表達(dá)式．（5）類比情境1、情境2和情境3中的能量轉(zhuǎn)化情況，完成下表．情境1情境2情境3物體重力勢(shì)能的減少量物體動(dòng)能的增加量電阻R上消耗的電能解析（1）當(dāng)物體下落速度達(dá)到最大速度時(shí)，加速度為零，即，得．（2）a．時(shí)，由閉合電路歐姆定律，由牛頓第二定律，又，解得：，水平向右．b．導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由閉合電路歐姆定律，對(duì)導(dǎo)體棒受力分析，由牛頓第二定律，而，解得：．（3）由閉合電路歐姆定律．由自感規(guī)律，線圈產(chǎn)生的自感電動(dòng)勢(shì)阻礙電流，使得電流逐漸的增大，電路穩(wěn)定后自感現(xiàn)象消失，圖線如圖6所示．（4）類比，用類比，類比，解得；用類比，用類比，類比，類比，解得．（5）由能量的轉(zhuǎn)化與守恒定律得：情境1情境2情境3電源提供的電能電源提供的電能線圈磁場(chǎng)能的增加量線圈磁場(chǎng)能的增加量克服阻力做功消耗的機(jī)械能電阻R上消耗的電能點(diǎn)評(píng)本題考查協(xié)變類比思想的具體應(yīng)用，對(duì)于電磁感應(yīng)中速度隨時(shí)間、自感現(xiàn)象中電流隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系，對(duì)高中生來說較難，通過與雨滴下落類比，找到她們所滿足的方程的共同點(diǎn)，應(yīng)用協(xié)變類比，使問題得以解決．教學(xué)中對(duì)一些難點(diǎn)的突破，對(duì)復(fù)雜問題的簡(jiǎn)單處理，對(duì)物理規(guī)律的遷移，類比法都是很好的選擇．例2類比是研究問題的常用方法．（1）情境1：如圖13所示光滑水平面上的彈簧振子，鋼球質(zhì)量為m、彈簧勁度系數(shù)為k，建立如圖13中所示的坐標(biāo)軸．時(shí)，將鋼球拉至處由靜止釋放，小鋼球只在彈力作用下往復(fù)運(yùn)動(dòng)，此過程中彈性勢(shì)能與鋼球動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化．求：圖13①時(shí)刻小鋼球的加速度a；圖13②小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)過程中位置隨時(shí)間t周期性變化，由速度和加速度的定義和Oxt圖14，可得加速度．設(shè)任意時(shí)刻鋼球的位置坐標(biāo)為x時(shí)，由牛頓第二定律，將加速度代入化簡(jiǎn)可得(Ⅰ)，結(jié)合小球初始位置為A，可得鋼球隨時(shí)間變化的函數(shù)表達(dá)式：，在圖14所示的坐標(biāo)系中定性畫出彈簧振子的位移x隨時(shí)間t變化的圖像．Oxt圖14（2）情境2：如圖15所示為L(zhǎng)C振蕩電路，回路中電感線圈的自感系數(shù)為L(zhǎng)，電容器的電容為C．如圖15所示，時(shí)閉合開關(guān)，此時(shí)電容器兩極板帶電量分別為、．忽略電磁輻射與回路電阻的熱損耗，此后LC電路自由振蕩．求：時(shí)刻電容器兩極板間的電勢(shì)差U．（3）發(fā)現(xiàn)情境2中電容器極板的電荷量q隨時(shí)間t的變化規(guī)律與情境1中振子位移x隨時(shí)間t的變化規(guī)律類似．①類比(Ⅰ)式，寫出電荷量q隨時(shí)間t的變化方程(Ⅱ)和對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．②從開關(guān)S接2瞬間開始計(jì)時(shí)，在圖14所示的坐標(biāo)系中定性畫出電容器上極板的電荷量q隨時(shí)間t變化的圖像，并求出LC振蕩電路的振蕩頻率f．圖15（4）質(zhì)量是物體做機(jī)械運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性大小的量度，在電磁現(xiàn)象中也存在“慣性”．在情境2中，哪個(gè)物理量可用來度量電磁“慣性”的大?。畧D15解析（1）彈簧振子的位移x隨時(shí)間t變化的圖像如圖10所示．（2）彈簧彈力提供小球加速度，由牛頓第二定律可得，解得，時(shí)閉合開關(guān)，此時(shí)電容器兩極板帶電量分別為、，由電容器的電容定義式，解得時(shí)刻電容器兩極板間的電勢(shì)差為．（3）①自感線圈兩端電壓，電容器兩端電壓，在回路中有，其中，，可得，又，解得：．類比彈簧振子鋼球位置x隨時(shí)間變化的函數(shù)表達(dá)式，可得電容器左極板電荷隨時(shí)間t變化的函數(shù)表達(dá)式．②電容器上極板的電荷量q隨時(shí)間t變化的圖像如圖11所示，由函數(shù)知識(shí)，振蕩周期為，振蕩頻率為．（4）在電磁現(xiàn)象中，物理量自感系數(shù)L可用來度量電磁“慣性”的大?。c(diǎn)評(píng)電磁振蕩中電容器所帶電量、電容器極板電壓、線圈中的感應(yīng)電流隨時(shí)間的函數(shù)關(guān)系、振蕩頻率都是高中不要求推導(dǎo)的，也是較難掌握的知識(shí)，用協(xié)變類比，可以大大降低思維難度，簡(jiǎn)化思維過程，使學(xué)生達(dá)到“舉一反三”、“觸類旁通”、“活學(xué)活用”的目的．3結(jié)語類比法是一種重要的科學(xué)研究方法，也是提出科學(xué)假設(shè)和探索新理論的重要途徑，它對(duì)物理學(xué)的發(fā)展做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)．對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)物理來說也發(fā)揮著的作用，既能啟迪學(xué)生的智慧，拓展學(xué)生的思維，開闊學(xué)生的視野，又能提供解決問題的線索．正如前蘇聯(lián)教育家瓦赫羅夫所說：“類比思維像閃電一樣，可以照亮學(xué)生所學(xué)學(xué)科的黑暗角落．”德國(guó)哲學(xué)家康德也說：“每當(dāng)理智缺乏可靠的論證思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn)．”參考文獻(xiàn)：[1]姜水根，陳青華學(xué)．科學(xué)規(guī)律的形式(連載九)[J]．中學(xué)物理教學(xué)參考，2004(10)：50-52.[2]張?jiān)片?，姜葛，牛曉娜．通過力電類比培養(yǎng)科學(xué)思維——由2021年北京等級(jí)考物理第19題談備考策略[J]．理科考試研究，2022，29(01)：38-40．[3]陳文敏．由一道電磁感應(yīng)題目引發(fā)的思考[J]．?dāng)?shù)理化解題研究，2022(13)：105-107．4小試牛刀圖4圖41．運(yùn)動(dòng)的合成與分解是我們研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí)常用的方法．（1）如圖1所示，一高度為h、內(nèi)壁光滑的圓筒豎直放置，將一個(gè)小滑塊在圓筒上端O點(diǎn)以水平初速度v0沿圓筒內(nèi)壁切線方向拋出，小滑塊沿圓筒內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)了一周后恰好從O'點(diǎn)離開圓筒．已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．a(chǎn).求小滑塊從拋出到離開圓筒所用的時(shí)間t．b.如果沿虛線OO'將圓筒展開，以小滑塊初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，初速度v0方向?yàn)閤軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立直角坐標(biāo)系xOy．請(qǐng)?jiān)趫D2中定性畫出小滑塊在圓筒內(nèi)表面的運(yùn)動(dòng)軌跡．（2）如圖3所示，在真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)．將一個(gè)質(zhì)量為m、帶正電的小球從電場(chǎng)中某點(diǎn)以初速度v0豎直向上拋出．已知小球所受電場(chǎng)力與重力之比為．求小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)電勢(shì)能的變化量．（3）如圖4所示，在真空中存在空間范圍足夠大的、水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．電子槍（圖中未畫出）發(fā)射出質(zhì)量為m、電荷量為e的電子，經(jīng)加速后以初速度v0射入磁場(chǎng)中，初速度方向與磁場(chǎng)方向夾角為θ．不計(jì)電子所受重力．a(chǎn).電子在沿磁感線和垂直磁感線方向上分別做什么運(yùn)動(dòng)？b.求電子在垂直磁感線方向上運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，沿磁感線方向上運(yùn)動(dòng)的距離x．解析（1）a.由小球在豎直方向上只受重力可知，在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律有：，解得：．b.小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程為平拋運(yùn)動(dòng)，小滑塊在圓筒內(nèi)表面的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖1所示：（2）帶電小球在重力和電場(chǎng)力作用下，在豎直方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：豎直方向：；對(duì)水平方向：，，

由做功，聯(lián)立解得：，因電場(chǎng)力做正功，則電勢(shì)能減小了．（3）a.把初速度v0分解為沿磁感線方向和垂直與磁感線方向，沿磁感線方向速度不受洛倫茲力，則做勻速直線運(yùn)動(dòng)，垂直磁感線方向速度垂直于洛倫茲力，則做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；b.由運(yùn)動(dòng)分解，沿磁感線方向速度：，由圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式：，

則沿磁感線方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)有：．2.人們通常利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解，把比較復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動(dòng)等效分解為兩個(gè)或多個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)械運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究．下列情境中物體的運(yùn)動(dòng)軌跡都形似彈簧，其運(yùn)動(dòng)可分解為沿軸線的勻速直線運(yùn)動(dòng)和垂直軸線的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．（1）情境1：在圖1甲所示的三維坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)1沿方向以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)2在平面內(nèi)以角速度做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．質(zhì)點(diǎn)3同時(shí)參與質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2的運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡形似彈簧，如乙圖所示．質(zhì)點(diǎn)3在完成一個(gè)圓運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，沿方向運(yùn)動(dòng)的距離稱為一個(gè)螺距，求質(zhì)點(diǎn)3軌跡的“螺距”；（2）情境2：如圖2所示為某磁聚焦原理的示意圖，沿方向存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，一質(zhì)量為m、電荷量為q、初速度為的帶正電的粒子，沿與夾角為的方向入射，不計(jì)帶電粒子的重力．a(chǎn)．請(qǐng)描述帶電粒子在方向和垂直方向的平面內(nèi)分別做什么運(yùn)動(dòng)；b．求帶電粒子軌跡的“螺距”．（3）情境3：2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月壤回到地球．登月前，嫦娥五號(hào)在距離月球表面高為h處繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，嫦娥五號(hào)繞月的圓平面與月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的平面可看作垂直，如圖3所示．已知月球的軌道半徑為，月球半徑為，且，地球質(zhì)量為，月球質(zhì)量為，嫦娥五號(hào)質(zhì)量為，引力常量為．求嫦娥五號(hào)軌跡的“螺距”．解析（1）質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一圈所用的時(shí)間為，質(zhì)點(diǎn)3軌跡的“螺距”為，解得（2）a．將帶電粒子的運(yùn)動(dòng)速度沿磁場(chǎng)方向和垂直于磁場(chǎng)方向分解，，由洛倫茲力的特點(diǎn)，垂直于磁場(chǎng)方向的分運(yùn)動(dòng)使粒子在垂直于磁場(chǎng)方向上做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，，解得，，所以帶電粒子在Ox方向上做速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直于Ox方向上做半徑為、周期的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．b．求帶電粒子軌跡的“螺距”．（3）在地球上看來，嫦娥五號(hào)的軌跡為半徑很大的圓形彈簧，其螺距等于月球繞地球運(yùn)動(dòng)的線速度與嫦娥五號(hào)繞月球的周期相乘．地月間的引力提供月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的向心力，月球與嫦娥五號(hào)的引力提供嫦娥五號(hào)繞月球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，軌跡的“螺距”，聯(lián)立解得．AB圖1v03.電子在電場(chǎng)中會(huì)受到電場(chǎng)力，電場(chǎng)力會(huì)改變電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，電場(chǎng)力做功也對(duì)應(yīng)著能量的轉(zhuǎn)化．已知電子的質(zhì)量為AB圖1v0（1）空間中存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，一電子由A點(diǎn)以初速度沿水平方向射入電場(chǎng)，軌跡如圖1中虛線所示，B點(diǎn)為其軌跡上的一點(diǎn)．已知電場(chǎng)中A點(diǎn)的電勢(shì)為，B點(diǎn)的電勢(shì)為，求：①電子在由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中，電場(chǎng)力做的功；薄層φ1φ2法線θ1薄層φ1φ2法線θ1圖2v1θ2（2）電子槍是示波器、電子顯微鏡等設(shè)備的基本組成部分，除了加速電子外，同時(shí)對(duì)電子束起到會(huì)聚的作用．圖3z1234圖4z1234EF①電子束會(huì)聚的原理如圖2所示，假設(shè)某一厚度極小的薄層左側(cè)空間中各處電勢(shì)均為，右側(cè)各處電勢(shì)均為（圖3z1234圖4z1234EF②電子槍中某部分靜電場(chǎng)的分布如圖3所示，圖中虛線1、2、3、4表示該電場(chǎng)在某平面內(nèi)的一簇等勢(shì)線，等勢(shì)線形狀相對(duì)于z軸對(duì)稱．請(qǐng)判斷等勢(shì)面1和等勢(shì)面4哪個(gè)電勢(shì)高？對(duì)一束平行于z軸入射的電子，請(qǐng)結(jié)合能量守恒的觀點(diǎn)、力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系簡(jiǎn)要分析說明該電場(chǎng)如何起到加速的作用？如何起到會(huì)聚的作用？解析（1）①在電子由A運(yùn)動(dòng)到B的過程中電場(chǎng)力做的功．②設(shè)電子在B點(diǎn)處的速度大小為v，由動(dòng)能定理，由于，可得．（2）①設(shè)電子穿過薄層后的速度為，由于電子只受法線方向的作用力，其沿薄層方向速度不變，有：，電子穿過薄層的過程中，由能量守恒有：，解得：．②等勢(shì)面4電勢(shì)高，電子運(yùn)動(dòng)過程中，電勢(shì)升高，電勢(shì)能減小，由能量守恒的觀點(diǎn)，電子的動(dòng)能增加，實(shí)現(xiàn)加速．由等勢(shì)面的分布，可以畫出電場(chǎng)線的分布如圖4中實(shí)線所示，可以看出，電子在電場(chǎng)力的作用下，向z軸偏轉(zhuǎn)，說明電場(chǎng)對(duì)電子起到會(huì)聚的作用．點(diǎn)評(píng)本題以示波器、電子光學(xué)聚焦系統(tǒng)的基本原理為情景，考查光的折射定律、能量守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律、類平拋運(yùn)動(dòng)的處理等知識(shí)和方法，要求學(xué)生客觀全面的獲取相關(guān)信息，構(gòu)建物理模型，遷移已有知識(shí)，進(jìn)行推理論證，解決物理問題，對(duì)學(xué)生要求較高．4.利用電場(chǎng)來控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，在現(xiàn)代科學(xué)實(shí)驗(yàn)和技術(shù)設(shè)備中有廣泛的應(yīng)用．如圖5所示為電子槍的結(jié)構(gòu)示意圖，電子從熾熱的金屬絲中發(fā)射出來，在金屬絲和金屬板之間加一電壓，發(fā)射出的電子在真空中加速后，沿電場(chǎng)方向從金屬板的小孔穿出做直線運(yùn)動(dòng)．已知電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，不計(jì)電子重力及電子間的相互作用力．設(shè)電子剛剛離開金屬絲時(shí)的速度為零．圖6（1）求電子從金屬板小孔穿出時(shí)的速度v0的大小;圖6（2）示波器中的示波管是利用電場(chǎng)來控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)．如圖6所示，Y和Y'為間距為d的兩個(gè)偏轉(zhuǎn)電極，兩板長(zhǎng)度均為L(zhǎng)，極板右側(cè)邊緣與屏相距x，OO'為兩極板間的中線并與屏垂直，O點(diǎn)為電場(chǎng)區(qū)域的中心點(diǎn)．接（1），從金屬板小孔穿出的電子束沿OO'射入電場(chǎng)中，若兩板間不加電場(chǎng)，電子打在屏上的O'點(diǎn)．為了使電子打在屏上的P點(diǎn)，P與O'相距h，已知電子離開電場(chǎng)時(shí)速度方向的反向延長(zhǎng)線過O點(diǎn)．則需要在兩極板間加多大的電壓U；界面φ1φ2法線θ1圖7v1z法線O（3）某電子槍除了加速電子外，同時(shí)對(duì)電子束還有會(huì)聚作用，其原理可簡(jiǎn)化為圖7所示．一球形界面外部空間中各處電勢(shì)均為，內(nèi)部各處電勢(shì)均為（），球心位于z軸上O界面φ1φ2法線θ1圖7v1z法線O①試推導(dǎo)給出電子進(jìn)入球形界面后速度大小；②類比光從空氣斜射入水中，水相對(duì)于空氣的折射率計(jì)算方法，若把上述球形裝置稱為電子光學(xué)聚焦系統(tǒng)，試求該系統(tǒng)球形界面內(nèi)部相對(duì)于外部的折射率．解析（1）電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理有：，解得電子穿出小孔時(shí)的速度．（2）電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在初速度方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：，沿電場(chǎng)力方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．由勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：，由牛頓第二定律有：由幾何關(guān)系：，聯(lián)立解得：．?（3）設(shè)電子穿過薄層后的速度為，電子穿過薄層的過程滿足能量守恒，有：，解得： ，由于電子只受沿法線方向的作用力，其沿薄層方向速度不變，有：，球形內(nèi)部相對(duì)于外部的折射率．總結(jié)電子光學(xué)聚焦系統(tǒng)的原理是高中不要求的內(nèi)容，但通過信息題的方式，將該原理用光的折射知識(shí)類比，簡(jiǎn)化模型，用以考查學(xué)生的閱讀加工處理信息的能力，大多數(shù)信息題的特點(diǎn)是“起點(diǎn)高、落點(diǎn)低”，電子光學(xué)聚焦系統(tǒng)也呈現(xiàn)這樣的特征．只要學(xué)生建立了正確的物理模型，用科學(xué)的思維，可以大大降低試題難度，簡(jiǎn)化解題過程，達(dá)到“舉一反三”、“觸類旁通”、“活學(xué)活用”的目的．5．微元思想是中學(xué)物理中的重要思想。所謂微元思想，是將研究對(duì)象或者物理過程分割成無限多個(gè)無限小的部分，先取出其中任意部分進(jìn)行研究，再?gòu)木植康秸w綜合起來加以考慮的科學(xué)思維方法。（1）如圖甲所示，兩根平行的金屬導(dǎo)軌MN和PQ放在水平面上，左端連接阻值為R的電阻。導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，電阻不計(jì)。導(dǎo)軌處在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。一根質(zhì)量為m、阻值為r的金屬棒放置在水平導(dǎo)軌上?，F(xiàn)給金屬棒一個(gè)瞬時(shí)沖量，使其獲得一個(gè)水平向右的初速度v0后沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。設(shè)金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，不計(jì)一切摩擦。a.金屬棒的速度為v時(shí)受到的安培力是多大？b.金屬棒向右運(yùn)動(dòng)的最大距離是多少？（2）若規(guī)定無限遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零，真空中正點(diǎn)電荷周圍某點(diǎn)的電勢(shì)φ可表示為，其中k為靜電力常量，Q為點(diǎn)電荷的電荷量，r為該點(diǎn)到點(diǎn)電荷的距離。如果場(chǎng)源是多個(gè)點(diǎn)電荷，電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)為各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)在該點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)的代數(shù)和。如圖乙所示，一個(gè)半徑為R、電荷量為+Q的均勻帶電細(xì)圓環(huán)固定在真空中，環(huán)面水平。一質(zhì)量為m的帶正電小球，從環(huán)心O的正上方D點(diǎn)由靜止開始下落，小球到達(dá)O點(diǎn)時(shí)的速度為v。已知D、O間的距離為，靜電力常量為k，重力加速度為g。則小球所帶的電荷量是多少？【詳解】（1）a金屬棒在磁場(chǎng)中的速度為v時(shí)，電路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv電路中的電流，金屬棒所受的安培力F安=BIL，得b金屬棒從速度為v0至停下來的過程中，由動(dòng)量定理I安=0-mv0，將整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程劃分成很多小段，可認(rèn)為每個(gè)小段中的速度幾乎不變，設(shè)每小段的時(shí)間為Δt，則安培力的沖量I安，=v1·Δt+v2·Δt+v3·Δt+…，I安=（v1·Δt+v2·Δt+v3·Δt+…），I安=x，解得（2）把圓環(huán)分成很多等份，每一份都可視為點(diǎn)電荷，設(shè)每一份的電荷量為，研究其中任意一份它與D點(diǎn)的距離，它在D產(chǎn)生的電勢(shì)由對(duì)稱性和疊加原理可知，圓環(huán)在D點(diǎn)的電勢(shì)，同理可求得，圓環(huán)在O點(diǎn)的電勢(shì)，所以D、O兩點(diǎn)間的電勢(shì)差，小球從D到O的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理有，解得??6．在分析和解決物理問題時(shí)，有時(shí)可以通過合理、恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，進(jìn)行分割或填補(bǔ)，使研究對(duì)象或研究過程對(duì)稱，從而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。（1）如圖1所示，一小球從A點(diǎn)水平拋出，它在B點(diǎn)與豎直墻壁發(fā)生一次彈性碰撞后，以同樣大小的速率反彈，最終落在C點(diǎn)。假設(shè)小球沒有被墻壁阻擋，經(jīng)過B點(diǎn)后會(huì)繼續(xù)沿著拋物線運(yùn)動(dòng)，直至落在點(diǎn)，小球由B到C的運(yùn)動(dòng)軌跡與BC′曲線關(guān)于豎直墻壁對(duì)稱。已知拋出點(diǎn)A離水平地面的高度為h，與墻壁的水平距離為s，落地點(diǎn)距墻壁的水平距離為2s，重力加速度為g。不計(jì)空氣阻力。求小球拋出時(shí)的初速度。（2）點(diǎn)電荷與無限大金屬平板M之間的電場(chǎng)線分布如圖2所示，金屬板M接地，它表面處的電場(chǎng)線均與其表面垂直。A點(diǎn)在點(diǎn)電荷到金屬板的垂線上，且靠近M板。已知點(diǎn)電荷與金屬板間的距離為d。求A點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E。（3）對(duì)磁現(xiàn)象的成功解釋最早是由安培提出的。如圖3所示，V形長(zhǎng)直導(dǎo)線中通過穩(wěn)恒電流I，圖中角平分線上的P點(diǎn)距V形頂點(diǎn)的距離為d。按照安培的計(jì)算，P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大?。ㄊ街衚為比例系數(shù)，且k和已知）。按照現(xiàn)在的電磁理論，無限長(zhǎng)直導(dǎo)線通過電流為I時(shí)，距直導(dǎo)線為r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小（其中為已知常數(shù)）。圖中點(diǎn)與P相對(duì)于V形導(dǎo)線頂點(diǎn)對(duì)稱，位于角平分線上。求點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小?！驹斀狻浚?）由對(duì)稱性可知，小球的運(yùn)動(dòng)可看做是沿軌跡ABC′的平拋運(yùn)動(dòng)，則，，解得（2）因金屬板放在了正點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，則金屬板處于靜電平衡狀態(tài)，金屬板是等勢(shì)面，則電場(chǎng)線與金屬板表面垂直，則該電場(chǎng)相當(dāng)于等量異種點(diǎn)電荷電場(chǎng)，則A點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為（3）假設(shè)，則V形導(dǎo)線變成直導(dǎo)線，則，即，假設(shè)兩個(gè)電流為無限長(zhǎng)的直導(dǎo)線，如圖，則點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小滿足，其中，解得7．電量均為+Q的兩電荷固定在相距為2d的AB兩點(diǎn)，O為AB連線中點(diǎn)，AB連線中垂線上有一點(diǎn)M，到O的距離為A，已知靜電力常量k。（1）求M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。（2）將一質(zhì)量為m，帶電量為-q的粒子從M點(diǎn)由靜止釋放，不考慮粒子的重力。a.若A遠(yuǎn)小于d，可略去項(xiàng)的貢獻(xiàn)，試證明粒子的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；b.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可視為某一勻速圓周運(yùn)動(dòng)沿直徑方向上的投影運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)描述與該粒子所做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)相對(duì)應(yīng)的圓運(yùn)動(dòng)，并求該粒子做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期及動(dòng)能的最大值?！驹斀狻浚?）兩個(gè)等量正電荷在M處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度并合成如圖所示，M點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為，方向?yàn)镺指向M。（2）a.粒子運(yùn)動(dòng)過程中，O點(diǎn)為平衡位置，可知當(dāng)發(fā)生位移x時(shí)，粒子受到的電場(chǎng)力為，即粒子的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。b．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可視為某一勻速圓周運(yùn)動(dòng)沿直徑方向上的投影運(yùn)動(dòng)，二者周期相同，此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)以O(shè)點(diǎn)為圓心，圓面與紙面垂直，由牛頓第二定律可得解得，又，其中聯(lián)立，可得8．從分解的角度研究某一運(yùn)動(dòng)是物理學(xué)分析問題的基本方法，其中即可以沿著固定的方向進(jìn)行分解（固定不動(dòng)的直角坐標(biāo)系），也可以始終沿著平行速度與垂直速度方向進(jìn)行分解（自然坐標(biāo)系）。（1）如圖1，將一物體以速度水平拋出，若重力加速度為g，且不計(jì)空氣阻力。那么當(dāng)物體的速度方向與水平方向夾角為60°時(shí)，求：a．此時(shí)物體速率的大小；b．此時(shí)物體運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的曲率半徑的大?。ㄌ崾荆貉芯壳€運(yùn)動(dòng)時(shí)，盡管曲線各個(gè)位置的彎曲程度不一樣，但在研究時(shí)，可以把這條曲線分割為許多很短的小段，質(zhì)點(diǎn)在每小段的運(yùn)動(dòng)都可以看作圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，如圖所示）。（2）如圖2所示，把一個(gè)有孔的小球A裝在輕質(zhì)彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球穿在沿水平x軸的光滑桿上，能夠在桿上自由振動(dòng)。另一小球B在豎直平面內(nèi)以為圓心，在電動(dòng)機(jī)的帶動(dòng)下，沿順時(shí)針方向做半為徑R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。用豎直向下的平行光照射小球B，然后調(diào)節(jié)B球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，可以實(shí)現(xiàn)小球B在x方向上的“影子”和小球A在x軸上的位置時(shí)時(shí)重合。已知彈簧勁度系數(shù)為k，小球A的質(zhì)量為m，小球B的角速度為。a．要實(shí)現(xiàn)這一現(xiàn)象，請(qǐng)推導(dǎo)角速度與勁度系數(shù)k必須滿足的關(guān)系；b．結(jié)合a的結(jié)論，請(qǐng)論證彈簧振子的運(yùn)動(dòng)周期與其振幅無關(guān)?！驹斀狻浚?）a．依題意，當(dāng)物體的速度方向與水平方向夾角為60°時(shí)，此時(shí)物體速率為b．由牛頓第二定律，依題意有，則此時(shí)的曲率半徑為（2）a．小球B在x方向上的“影子”和小球A在x軸上的位置時(shí)時(shí)重合，可知小球A的運(yùn)動(dòng)為小球B在水平方向上的分運(yùn)動(dòng)，小球A在O點(diǎn)的時(shí)瞬時(shí)速度即為小球B勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大??；以小球A為研究對(duì)象，設(shè)它經(jīng)過平衡位置O時(shí)的速度為v，當(dāng)它從最大位移處運(yùn)動(dòng)到O，根據(jù)機(jī)械能守恒有，解得，則角速度與勁度系數(shù)k必須滿足的關(guān)系為b．小球A振動(dòng)的周期與小球B做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相等。根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)周期公式，小球B的運(yùn)動(dòng)周期，所以小球A的振動(dòng)周期為，可知彈簧振子的運(yùn)動(dòng)周期與其振幅無關(guān)。9.類比法、等效法等都是研究和學(xué)習(xí)物理過程中常用的重要方法。（1）簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)中最簡(jiǎn)單的一種理想化的運(yùn)動(dòng)模型。它具有如下特點(diǎn)：①簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體受到的回復(fù)力，大小與物體偏離平衡位置的位移x成正比，方向與x方向相反；②簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有周期性。通過研究發(fā)現(xiàn)：如圖甲，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)、擺球質(zhì)量為m的單擺，在重力場(chǎng)中做小角度擺動(dòng)時(shí)可以看作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為，g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?；現(xiàn)將該單擺的擺球帶上正電，電量為+q。分別置于豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E（圖乙）、和垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B（圖丙）中，并均做小角度的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。已知細(xì)線是絕緣的，類比重力場(chǎng)中的單擺周期公式，分析求出該單擺在乙、丙兩圖中振動(dòng)的周期。解析(1)圖乙中，擺球受到重力G、電場(chǎng)力F電和擺線拉力T，與重力場(chǎng)中的單擺類比，等效的“重力”，帶入單擺周期公式得，圖丙中，擺球受到重力G、洛倫茲力F洛和擺線拉力T，與重力場(chǎng)中的單擺類比，洛倫茲力始終沿?cái)[線方向，不產(chǎn)生回復(fù)力的效果，單擺周期與重力場(chǎng)中相同10．物理中存在“通量”這個(gè)物理量，“通量”的定義要用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)．在高中階段，對(duì)“通量”的定義采用的是簡(jiǎn)單化處理方法并輔以形象化物理模型進(jìn)行理解．（1）“磁通量”就是一種常見的“通量”．在高中階段我們是這樣來定義“磁通量”的：設(shè)在磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有一個(gè)與磁場(chǎng)方向垂直的平面，面積為，我們把與的乘積叫做穿過這個(gè)面積的磁通量（圖1），簡(jiǎn)稱磁通．用字母表示，則．磁通量可以形象地理解為穿過某一面積的磁感線條數(shù)的多少．如圖2所示，空間存在水平向右的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為．一個(gè)面積為的矩形線圈與豎直面間的夾角為，試求穿過該矩形線圈的磁通量．（2）“電通量”也是一種常見的“通量”．在定義“電通量”時(shí)只需要把“磁通量”中的磁感應(yīng)強(qiáng)度替換為電場(chǎng)強(qiáng)度即可．請(qǐng)同學(xué)們充分運(yùn)用類比的方法解決以下問題．已知靜電力常量為．a(chǎn)．如圖3所示，空間存在正點(diǎn)電荷，以點(diǎn)電荷為球心作半徑為的球面，試求通過該球面的電通量．b．上述情況映射的是靜電場(chǎng)中“高斯定理”，“高斯定理”可以從庫(kù)侖定律出發(fā)得到嚴(yán)格證明．“高斯定理”可表述為：通過靜電場(chǎng)中任一閉合曲面的電通量等于閉合曲面內(nèi)所含電荷量與的乘積，即,其中為靜電力常量．試根據(jù)“高斯定理”證明：一個(gè)半徑為的均勻帶電球體（或球殼）在外部產(chǎn)生的電場(chǎng)，與一個(gè)位于球心的．電荷量相等的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)相同，球外各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度也是，式中是球心到該點(diǎn)的距離，為整個(gè)球體所帶的電荷量．【詳解】（1）．（2）a．根據(jù)點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式，求得球面上各處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為，由于球面上各處電場(chǎng)強(qiáng)度方向都與球面垂直，故通過球面的電通量為，，b．證明：過距離球心距離的點(diǎn)作一球面，根據(jù)對(duì)稱性可知該球面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向處處球面垂直．設(shè)該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為，通過該球面的電通量為，則，由高斯定理知，，所以有，化簡(jiǎn)得，這就是球心處的點(diǎn)電荷在處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，證明完畢．11.已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式為，期中m為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體質(zhì)量，k為回復(fù)力與位移的比值。（1）小球在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在水平地面上形成投影的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，這是可以證明的結(jié)論。設(shè)小球的質(zhì)量為m，角速度為ω，半徑為A，從小球在圓軌道最高點(diǎn)開始計(jì)時(shí)經(jīng)時(shí)間t小球位置如圖所示。a．取過圓心O水平向右為x軸正方向，則小球在x方向上投影運(yùn)動(dòng)的位移隨時(shí)間t的變化函數(shù)表達(dá)式可表示為x=Asinωt。請(qǐng)寫出小球在x軸方向的合外力Fx隨時(shí)間t的變化關(guān)系b．我們知道，物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，回復(fù)力大小與位移大小成正比，方向相反，即F回=－kx。試求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T=？（2）以下三問選做一題（注：證明過程中要用到的物理量及符號(hào)要做必要說明）a.生活中我們見過這樣的情景，一質(zhì)量分布均勻的圓柱狀木棒在液體中，靜止時(shí)豎直直立液體中。當(dāng)用豎直向下的外力將木棒向下壓下一小段距離然后釋放，我們發(fā)現(xiàn)該木棒將在豎直方向做往復(fù)運(yùn)動(dòng)。試證明該運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并說明其振動(dòng)周期T與哪些因數(shù)有關(guān)？Ok1k2xb.將兩個(gè)勁度系數(shù)分別為k1和k2Ok1k2xc.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)也具有一些其他特征，如簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v與其偏離平衡位置的位移x之間的關(guān)系就都可以表示為v2=v02-ax2，其中v0為振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)通過平衡位置時(shí)的瞬時(shí)速度，a為由系統(tǒng)本身和初始條件所決定的不變的常數(shù)。如圖，一個(gè)勁度系數(shù)為k的輕彈簧下懸掛一個(gè)質(zhì)量為m的小球，將小球下拉一段距離后松手，不計(jì)空氣阻力，請(qǐng)你證明，小球此后的運(yùn)動(dòng)也滿足上述關(guān)系，并說明其關(guān)系式中的a與哪些物理量有關(guān)。已知彈簧的彈性勢(shì)能可以表達(dá)為kx2/2，其中k是彈簧的勁度系數(shù)，x是彈簧的形變量。（3）理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量均勻分布的球殼與放在球殼內(nèi)的其他物體間的萬有引力為零?，F(xiàn)將地球看成一個(gè)質(zhì)量均勻分布的實(shí)心球體，密度為ρ，半徑為R。有人在赤道平面內(nèi)，沿某條直徑AB挖了一條很窄的隧道（假設(shè)隧道不影響地球的質(zhì)量分布，且隧道是光滑的），如圖所示。O1為地球球心，引力常量為G。a.若在球心O1處有一質(zhì)量為m的物體P（可看成質(zhì)點(diǎn)），因受到小擾動(dòng)而獲得沿O1B方向的速度，試通過定量計(jì)算，說明物體的運(yùn)動(dòng)情況；b.Q為地球的一顆近地衛(wèi)星，其軌道半徑可近似為地球半徑R，且在赤道平面內(nèi)運(yùn)行（圖中未畫出）。若Q經(jīng)過B點(diǎn)的同時(shí)，將物體P從隧道內(nèi)的B點(diǎn)由靜止釋放，試通過計(jì)算說明P和Q是否會(huì)在A點(diǎn)再次相遇。解析（1）a.,由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可知：b．=-，所以xOF1F2k1k2xxC（2）a.液體密度為，木棒的密度為，木棒的總長(zhǎng)度為，木棒的橫截面積為S，木棒靜止在液體中時(shí)，木棒在液體中的深度為。木棒靜止在液體中時(shí)：,木棒從平衡位置向下運(yùn)動(dòng)距離為時(shí)，回復(fù)力為：，即回復(fù)力與位移成正比，又因?yàn)榛貜?fù)力與位移方向相反，所以，即木棒的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。其中，將k的值代入簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式得到：，由此可見，木棒振動(dòng)周期與液體密度、木棒密度、木棒總長(zhǎng)度以及當(dāng)?shù)刂亓铀俣萭有關(guān)。xOF1F2k1k2xxCb.當(dāng)小球向右運(yùn)動(dòng)到任意位置C，離開O的位移為x，此時(shí)小球受到兩個(gè)彈力F1、F2，方向沿x軸負(fù)方向，如圖所示。兩個(gè)力的合力即為小球的回復(fù)力，即F=-（F1+F2）=-（k1x+k2x）=-（k1+k2）x,其中k1+k2為常數(shù)，所以F與x成正比?；貜?fù)力F沿x軸負(fù)方向，位移x沿x軸正方向，F(xiàn)與x方向相反。由此證明小球所做的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。，c.設(shè)小球位于平衡位置時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量為x0,則：mg=kx0,以平衡位置為重力勢(shì)能的0勢(shì)能面，在任意相對(duì)平衡位置位移為x的位置，小球速度為v，由機(jī)能守恒：,整理后得,其中常數(shù)，與彈簧的勁度系數(shù)和小球的質(zhì)量有關(guān)。(3)a．物體P獲得速度后，當(dāng)偏移O1的距離為x的時(shí)候，受到地球?qū)λ牧Υ笮镕，可算得，大小正比于x，且為吸引力，即F的方向指向O1，故物體P將以O(shè)1為平衡位置做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，b．根據(jù)以上的計(jì)算，，故P的運(yùn)動(dòng)周期為,近地衛(wèi)星Q繞地球的運(yùn)行速度為第一宇宙速度v1，由，得，其中M為地球質(zhì)量。所以Q繞地球的運(yùn)行周期為,可見，且P、Q從B到A的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為半個(gè)周期，故P、Q恰能同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)。12.物體沿著圓周的運(yùn)動(dòng)是一種常見的運(yùn)動(dòng)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)是當(dāng)中最簡(jiǎn)單也是較基本的一種，由于做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度方向時(shí)刻在變化，因而勻速周運(yùn)動(dòng)仍舊是一種變速運(yùn)動(dòng)，具有加速度。

(1)可按如下模型來研究做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的加速度：設(shè)質(zhì)點(diǎn)沿半徑為r、圓心為O的圓周以恒定大小的速度v運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于位置A。經(jīng)極短時(shí)間后運(yùn)動(dòng)到位置B，如圖所示，試根據(jù)加速度的定義，推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)在位置A時(shí)的加速度的大??；

(2)在研究勻變速直線運(yùn)動(dòng)的“位移”時(shí)，我們常舊“以恒代變"的思想；在研究曲線運(yùn)動(dòng)的“瞬時(shí)速度”時(shí)，又常用“化曲為直”的思想，而在研究一般的曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)我們用的更多的是一種”化曲為圓”的思想，即對(duì)于般的曲線運(yùn)動(dòng)，盡管曲線各個(gè)位置的彎曲程度不詳，但在研究時(shí)，可以將曲線分割為許多很短的小段，質(zhì)點(diǎn)在每小段的運(yùn)動(dòng)都可以看做半徑為某個(gè)合適值的圓周運(yùn)動(dòng)的部分，進(jìn)而采用圓周運(yùn)動(dòng)的分析方法來進(jìn)行研究，叫做曲率半徑，如圖所示，試據(jù)此分析圖所示的斜拋運(yùn)動(dòng)中。軌跡最高點(diǎn)處的曲率半徑；

(3)事實(shí)上，對(duì)于涉及曲線運(yùn)動(dòng)加速度問題的研究中，“化曲為圓”并不是唯的方式，我們還可以采用一種“化圓為拋物線”的思考方式，勻速圓周運(yùn)動(dòng)在短時(shí)間內(nèi)可以看成切線方向的勻速運(yùn)動(dòng)，法線方向的勻變速運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓弧半徑為R，質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小為v，據(jù)此推導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心加速度a。解析(1)當(dāng)足夠小時(shí)，、的夾角就足夠小，角所對(duì)的弦和弧的長(zhǎng)度就近似相等。因此，在時(shí)間內(nèi)，所對(duì)方向變化的角度為聯(lián)立可得代入加速度定義式，以及把代入，可得向心加速度大小的表達(dá)式為上式也可以寫為(2)在斜拋運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)的速度為可以把質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)看成是半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)只受重力，所以根據(jù)牛頓第二定律可得聯(lián)立可得(3)質(zhì)點(diǎn)在短時(shí)間內(nèi)將從A以速度v勻速運(yùn)動(dòng)到，則，由圖可知聯(lián)立解得若足夠小，即所以14．在我們解決物理問題的過程中經(jīng)常要用到“類比法”，這樣可以充分利用已有知識(shí)快速構(gòu)建物理模型、找到解決問題的途徑。(1)質(zhì)量為m、電荷量為e的電子在庫(kù)侖力的作用下以速度v繞原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，該模型。與太陽(yáng)系內(nèi)行星繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)相似，被稱為“行星模型”，如圖(1)。已知在一段時(shí)間內(nèi)，電子走過的弧長(zhǎng)為s，其速度方向改變的角度為θ（弧度）。靜電力常量為k。不考慮電子之間的相互作用，求出原子核的電荷量Q；(2)如圖(2)，用一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線懸掛一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的金屬小球，質(zhì)量為m，電荷量為-q。懸點(diǎn)下方固定一個(gè)足夠大的水平放置的均勻帶正電的介質(zhì)平板。小球在豎直平面內(nèi)做小角度振動(dòng)。已知重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力。a.已知忽略邊緣效應(yīng)的情況下，帶電平板所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線都垂直于平板，靜電場(chǎng)的電場(chǎng)力做功與路徑無關(guān)。請(qǐng)證明∶帶電平板所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)；b.在上述帶電平板附近所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)大小為E，求：金屬小球的振動(dòng)周期。【詳解】(1)根據(jù)牛頓第二定律，依據(jù)庫(kù)侖力提供向心力，則有，由幾何關(guān)系，得，解得a.反證法，如圖所示，若存在電場(chǎng)線平行但不等間距的靜電場(chǎng)，則可以引入試探電荷+q，讓+q從a點(diǎn)沿矩形路線abcda（ab與電場(chǎng)線平行，bc邊與電場(chǎng)線垂直）運(yùn)動(dòng)一周回到a點(diǎn)。設(shè)ab處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E1，cd處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E2，根據(jù)功的定義，電場(chǎng)力做的總功，其中Wab=qE1xab，Wcd=-qE2xcd=-qE2xab，bc段和da段電場(chǎng)力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，故Wbc=Wda=0，得，但根據(jù)電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)，做功與路徑無關(guān)，故Waa=0。上述假設(shè)矛盾，故不存在電場(chǎng)線平行但不等間距的靜電場(chǎng)。所以，電場(chǎng)線都垂直平板的情況下，都是平行的，必須等間距，所以該靜電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)。b.電場(chǎng)力，等效重力加速度，小球在庫(kù)侖力作用下的振動(dòng)周期15.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種最基本的振動(dòng)，它具有這樣的特征。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度v與其偏離平衡位置的位移x之間的關(guān)系可以表示為，其中為振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)通過平衡位置時(shí)的瞬時(shí)速度，a為由系統(tǒng)本身和初始條件所決定的不變的常數(shù)。圖8（1）請(qǐng)你證明，圖8中小球的運(yùn)動(dòng)也滿足上述關(guān)系，并說明其關(guān)系式中的a與哪些物理量有關(guān)。已知彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式為，其中k是彈簧的勁度系數(shù)，x是彈簧的形變量。圖8圖9（2）有些知識(shí)我們可能沒有學(xué)過，但運(yùn)用我們已有的物理思想和科學(xué)方法，通過必要的分析和推理可以解決一些新的問題?，F(xiàn)在請(qǐng)你結(jié)合簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特征，從能量的角度證明如圖9所示的LC振蕩電路中，電容器極板上的電荷量隨時(shí)間的變化滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（即電荷量與時(shí)間的關(guān)系遵從正弦函數(shù)規(guī)律）。已知電感線圈中磁場(chǎng)能的表達(dá)式為，式中L為線圈的自感系數(shù)，I為線圈中電流的大??；電容器中電場(chǎng)能的表達(dá)式為，式中C為電容器的電容，U為電容器兩端的電壓。（不計(jì)電磁波的輻射）圖9解析（1）由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過程中的機(jī)械能守恒，有，整理可得，即圖8中小球的運(yùn)動(dòng)也滿足上述關(guān)系，且常數(shù)a為：。（2）LC振蕩電路的總能量包括電容器的電場(chǎng)能和電感線圈中的磁場(chǎng)能，其總能量是守恒的，有：，其中I0為L(zhǎng)C振蕩電路中的最大電流，I和U分別為某一時(shí)刻電路中的電流和電容器極板間的電壓，整理可得，而電容器的電荷量為，代入可得，與類比可知，電荷量q類比為位移x，電流I類比為速度v，可推得電荷量隨時(shí)間的變化滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。16.建立物理模型對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，是重要的科學(xué)思維方法。（1）假設(shè)地球可視為一個(gè)質(zhì)量分布均勻且密度為ρ的球體，已知地球的半徑為R，引力常量為G，球體的體積公式為，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，試推導(dǎo)第一宇宙速度v的表達(dá)式；（2）我們已經(jīng)學(xué)過了關(guān)于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間萬有引力的大小是，但是在某些特殊情況下，非質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力的計(jì)算及其應(yīng)用，我們利用下面兩個(gè)已經(jīng)被嚴(yán)格證明是正確的結(jié)論，可以有效地解決問題。a.質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)m0放置在質(zhì)量分布均勻的大球殼M0（球殼的厚度也均勻）的空腔之內(nèi)，那么m0受到M0的引力為零。b.若質(zhì)點(diǎn)m放置在質(zhì)量分布均勻的大球體M之外（），那么它們之間的萬有引力為，式中的r為質(zhì)點(diǎn)m到球心之間的距離；為大球體的半徑。利用以上兩個(gè)結(jié)論和（1）中的已知條件，求距離地心為d（d＜R）處，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)所受引力的大小F；（3）如圖2所示，假設(shè)沿地軸的方向鑿?fù)ㄒ粭l貫穿地球南北兩極的小洞，把一個(gè)質(zhì)量為m的小球從北極的洞口由靜止?fàn)顟B(tài)釋放后，小球能夠在洞內(nèi)運(yùn)動(dòng)，假設(shè)小球只受地球引力的作用，以地心為原點(diǎn)，向北為正方向建立x軸，在圖3中畫出小球所受引力F隨x（-R≤x≤R）變化的圖像，求出小球在洞內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度vm，并說明小球做什么運(yùn)動(dòng)。【解析】（1）根據(jù)又聯(lián)立得（2）距離地心為d時(shí)又得（3）當(dāng)0＜x≤R時(shí)，引力方向指向南方，如圖，當(dāng)-R≤x＜0時(shí)，引力方向指向北方，通過F隨x的圖像可以求出引力做的功即為圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積由動(dòng)能定理得由于小球受到的引力F與位移x成正比，所以小球以球心為平衡位置，在南北方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。17．“勢(shì)阱”是量子力學(xué)中的常見概念，在經(jīng)典力學(xué)中也有體現(xiàn)。當(dāng)粒子在某力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)曲線在空間某范圍內(nèi)勢(shì)能存在最小值，形如陷阱，粒子很難跑出來。各種形式的勢(shì)能函數(shù)只要具有這種特點(diǎn)，我們都可以稱它為勢(shì)阱，比如重力勢(shì)阱、引力勢(shì)阱、彈力勢(shì)阱等。（1）如圖甲所示，光滑軌道abcd固定在豎直平面內(nèi)形成一重力勢(shì)阱，兩側(cè)高分別為kH（k＞1）和H。3個(gè)完全相同的小鋼球（1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)），質(zhì)量均為m，2號(hào)和3號(hào)小球緊挨著靜置于水平軌道的b處，1號(hào)小球從左側(cè)a處沿著軌道從靜止開始向下運(yùn)動(dòng)，在b處與其他小球發(fā)生彈性碰撞，碰撞前后都在軌道上運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度為g。①計(jì)算說明3號(hào)小球離開該勢(shì)阱在水平軌道cd運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小。②若將2號(hào)球左側(cè)涂膠（不計(jì)膠的質(zhì)量），1、2號(hào)球碰撞后粘在一起，發(fā)現(xiàn)全部3個(gè)球都能離開該勢(shì)阱，分析說明k滿足什么條件？（2）我國(guó)首個(gè)火星探測(cè)器被命名為“天問一號(hào)”。為了簡(jiǎn)化問題，可以認(rèn)為地球和火星在同一平面上繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星軌道半徑約為地球軌道半徑的1.5倍。從地球表面向火星發(fā)射火星探測(cè)器，簡(jiǎn)單又比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可簡(jiǎn)化為：先在地球表面使探測(cè)器加速并獲得足夠的動(dòng)能，從而擺脫地球引力勢(shì)阱的束縛，經(jīng)過一系列調(diào)整使探測(cè)器成為一顆沿地球公轉(zhuǎn)軌道運(yùn)行的人造行星；然后使探測(cè)器在適當(dāng)位置加速，經(jīng)橢圓軌道（霍曼轉(zhuǎn)移軌道）到達(dá)火星。①已知，取無限遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，間距為r，質(zhì)量分別為m1、m2的兩質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)具有的引力勢(shì)能可表示為：，式中G為引力常量且大小已知。假設(shè)地球是一半徑為R，質(zhì)量為M且質(zhì)量分布均勻的球體，通過理論分析可知，質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零。在如圖乙所示的坐標(biāo)系中，縱軸表示引力勢(shì)能，橫軸表示質(zhì)量為m的探測(cè)器到地心的距離r。請(qǐng)?jiān)谠撟鴺?biāo)系中定性畫出地球與探測(cè)器組成的系統(tǒng)具有的引力勢(shì)能函數(shù)曲線。并在縱坐標(biāo)上標(biāo)出探測(cè)器在地球表面時(shí)所具有的引力勢(shì)能。②由開普勒定律可知：所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。已知地球公轉(zhuǎn)周期為12個(gè)月，如圖丙所示，探測(cè)器由地球公轉(zhuǎn)軌道上的H點(diǎn)開始發(fā)射（即瞬間加速，加速時(shí)間可忽略），此后探測(cè)器僅在太陽(yáng)引力作用下，經(jīng)霍曼轉(zhuǎn)移軌道在I點(diǎn)到達(dá)火星?！疤靻栆惶?hào)”已于2020年7月23日發(fā)射升空，請(qǐng)根據(jù)上述信息推斷“天問一號(hào)”到達(dá)火星的時(shí)間？請(qǐng)查閱資料，結(jié)合“天問一號(hào)”真實(shí)到達(dá)時(shí)間，對(duì)推斷時(shí)間給出評(píng)價(jià)。（可能需要用到的數(shù)據(jù)：）【詳解】（1）①1號(hào)小球與2、3小球碰撞之前的速度為v0，則由機(jī)械能守恒定律有解得由于3個(gè)小鋼球完全相同，故由動(dòng)量守恒定律可得1號(hào)小球把它的速度傳遞給3號(hào)小球，即又由機(jī)械能守恒定律的聯(lián)立兩式解得②若將2號(hào)球左側(cè)涂膠，1、2號(hào)球碰撞后粘在一起，再與3號(hào)小球相碰，設(shè)碰后1、2號(hào)球速度為，3號(hào)小球速度為，則由動(dòng)量守恒定律可得，若要3個(gè)球碰后都能離開該勢(shì)阱，只要滿足，，即可，聯(lián)立解得：k≥36（2）①當(dāng)r≥R時(shí)，根據(jù)引力勢(shì)能公式可得；當(dāng)0≤rR時(shí)，則距離地心為r處的探測(cè)器受到地球引力作用部分的質(zhì)量為，故地球內(nèi)部萬有引力從地球外部向內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，萬有引力做正功，則有根據(jù)功能關(guān)系可得，從地球表面向內(nèi)部運(yùn)動(dòng)故地球內(nèi)部勢(shì)能的表達(dá)式為，整理即為函數(shù)曲線如圖所示②用時(shí)約為0.70倍的地球公轉(zhuǎn)周期，即8.4個(gè)月左右，因此“天問一號(hào)”將于2021年4月初到達(dá)火星?；鹦桥c地球半徑不是嚴(yán)格的1.5倍關(guān)系，火星和地球的公轉(zhuǎn)軌道實(shí)際不共面，實(shí)際火星軌道為橢圓軌道等，這些建模過程中忽略的因素都會(huì)對(duì)結(jié)果造成影響。18．壓強(qiáng)表示單位面積上壓力的大小，是物理學(xué)中的重要概念。（1）請(qǐng)導(dǎo)出壓強(qiáng)的單位Pa（帕）與基本單位m（米）、kg（千克）和s（秒）之間的關(guān)系。（2）單個(gè)粒子碰撞在某一平面上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)短暫的作用力，而大量粒子持續(xù)碰撞會(huì)產(chǎn)生一個(gè)持續(xù)的作用力。一束均勻粒子流持續(xù)碰撞一平面，設(shè)該束粒子流中每個(gè)粒子的質(zhì)量均為m、速度大小均為v，方向都與該平面垂直，單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為n，粒子與該平面碰撞后均不反彈，忽略空氣阻力，不考慮粒子所受重力以及粒子間的相互作用。求粒子流對(duì)該平面所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p。（3）理論上可以證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬有引力為零。利用該規(guī)律可給出一種計(jì)算恒星中心壓強(qiáng)的模型：恒星內(nèi)部的熱核反應(yīng)會(huì)向外輻射大量的電磁波，當(dāng)輻射所產(chǎn)生的擴(kuò)張壓力與萬有引力所產(chǎn)生的收縮壓力平衡時(shí)，恒星便穩(wěn)定下來。設(shè)想處于穩(wěn)定狀態(tài)的恒星是一質(zhì)量分布均勻、密度為ρ、半徑為R的球體。選取該恒星內(nèi)部一距恒星中心為r（r≤R）、厚度為△r（△r遠(yuǎn)小于r）的小薄片A，如圖所示，已知輻射所產(chǎn)生的擴(kuò)張壓力在A的內(nèi)、外表面引起的壓強(qiáng)差的絕對(duì)值為△p，引力常量為G。忽略其它天體的影響。a.推導(dǎo)和r之間的關(guān)系式，并在圖中定性畫出隨r變化的圖像；b.若恒星表面處擴(kuò)張壓力所產(chǎn)生的壓強(qiáng)為零，求恒星中心處的壓強(qiáng)pC?！驹斀狻浚?）根據(jù)公式整理所以壓強(qiáng)用基本單位到處為（2）設(shè)粒子撞擊到面板上所用的時(shí)間為Δt，則在△t時(shí)間內(nèi)能撞擊到面板上的粒子的個(gè)數(shù)N=n?v?Δt?S因此粒子的總質(zhì)量為M=m?N=m?n?v?Δt?S由動(dòng)量定理有0-Mv=-F?Δt=-pS?Δt解得p=nmv2（3）a．取面積為?S，厚度為Δr的微元分析該球?qū)邮艿降娜f有引力在該球?qū)犹?，向外擴(kuò)張的力根據(jù)題意可知F1=F聯(lián)立解得圖像如下b．圖像中圖線與r軸所圍成的面積表示星球中心壓強(qiáng)與表面壓強(qiáng)的差值，因此有即19．利用物理模型對(duì)問題進(jìn)行分析，是重要的科學(xué)思維方法。（1）請(qǐng)證明壓強(qiáng)的單位Pa與能量密度（即單位體積內(nèi)的能量）的單位J/m3相等；（2）單個(gè)粒子碰撞在某一平面上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)短暫的作用力，而大量粒子持續(xù)碰撞會(huì)產(chǎn)生一個(gè)持續(xù)的作用力。一束均勻粒子流持續(xù)碰撞一平面，設(shè)該束粒子流中每個(gè)粒子的質(zhì)量均為m、速度大小均為v，方向都與該平面垂直，單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為n，粒子與該平面碰撞后以大小為k1v（0≤k1≤1）的速度反向彈回，忽略空氣阻力，不考慮粒子所受重力以及粒子間的相互作用。求粒子流對(duì)該平面所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p。（3）假定地球?yàn)槊芏染鶆蚍植嫉那蝮w，忽略地球的自轉(zhuǎn)，已知地球的半徑為R。理論上可證明：質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬有引力為零。求：a.地面上方高h(yuǎn)的山頂A處和地面處重力加速度大小之比gA∶g0；b.地面下方深h的礦井底B處和地面處重力加速度大小之比gB∶g0。c.若已知某單擺在地面處做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T1與在某礦井底部做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期T2之間滿足T1＝k2T2（0＜k2＜1）。求該礦井底部離地面的深度d。（用R和k2表示）【詳解】（1）壓強(qiáng)與做功公式，即，聯(lián)立得（2）設(shè)粒子撞擊面板時(shí)間為，則粒子總數(shù)粒子總質(zhì)量根據(jù)動(dòng)量定理得聯(lián)立解得（3）a．忽略地球自轉(zhuǎn)，地表則山頂h處則所以b．球殼外部分對(duì)B處物體的萬有引力為0，則其中則其中則c．根據(jù)可知，且解得20．能量守恒定律是普遍、和諧、可靠的自然規(guī)律之一。根據(jù)能量守恒定律，物理學(xué)發(fā)現(xiàn)和解釋了很多科學(xué)現(xiàn)象。（1）經(jīng)典力學(xué)中的勢(shì)阱是指物體在場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)能函數(shù)曲線在空間某一有限范圍內(nèi)勢(shì)能最小，當(dāng)物體處于勢(shì)能最小值時(shí)，就好像處在井里，很難跑出來。如圖所示，設(shè)井深為H，若質(zhì)量為m的物體要從井底至井口，已知重力加速度為g，求外力做功的最小值W。（2）金屬內(nèi)部的電子處于比其在外部時(shí)更低的能級(jí)，電勢(shì)能變化也存在勢(shì)阱，勢(shì)阱內(nèi)的電子處于不同能級(jí)，最高能級(jí)的電子離開金屬所需外力做功最小，該最小值稱為金屬的逸出功。如圖所示，溫度相同的A、B兩種不同金屬逸出功存在差異，處于最高能級(jí)的電子電勢(shì)能不同，A、B金屬接觸后電子轉(zhuǎn)移，導(dǎo)致界面處積累正負(fù)電荷，穩(wěn)定后形成接觸電勢(shì)差。已知A金屬逸出功為，B金屬逸出功為，且，電子電荷量為－e。a.請(qǐng)判斷界面處A、B金屬電性正負(fù)；b.求接觸電勢(shì)差。（3）同種金屬兩端由于溫度差異也會(huì)產(chǎn)生電勢(shì)差，可認(rèn)為金屬內(nèi)部電子在高溫處動(dòng)能大，等效成電子受到非靜電力作用往低溫處擴(kuò)散。如圖有一橢球形金屬，M端溫度為，N端溫度為，沿虛線方向到M端距離為L(zhǎng)的金屬內(nèi)部單個(gè)電子所受非靜電力大小F滿足：，非靜電力F沿虛線方向，比例系數(shù)μ為常數(shù)，與垂直于溫度變化方向的金屬橫截面積大小有關(guān)，電子電荷量為－e，求金屬兩端的電勢(shì)差?！驹斀狻浚?）根據(jù)能量守恒定律可知，質(zhì)量為m的物體要從井底至井口，外力做功最小值為mgH。（2）a.界面處A金屬電子處于比B金屬電子更高的能級(jí)，電子從A側(cè)向B側(cè)轉(zhuǎn)移，A金屬側(cè)帶正電，B金屬側(cè)帶負(fù)電。b.金屬兩側(cè)正負(fù)電荷在界面處激發(fā)的電場(chǎng)阻礙電子繼續(xù)從A向B側(cè)移動(dòng)，最終達(dá)到平衡。設(shè)無窮遠(yuǎn)處電子電勢(shì)能為0，則初狀態(tài)A側(cè)電子能量為，B側(cè)為，末狀態(tài)A側(cè)界面電勢(shì)為，B側(cè)界面電勢(shì)為，界面兩側(cè)A、B電子能量相等，有聯(lián)立可得A、B間電勢(shì)差為（3）由于與垂直于溫度變化方向的金屬橫截面積大小相關(guān)，在沿虛線方向取極短距離△L，則非靜電力做功為，累加后可得根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義式，可得為非靜電力做功。斷路狀態(tài)下MN兩端電勢(shì)差大小數(shù)值上等于電動(dòng)勢(shì)。聯(lián)立以上兩式，可得金屬兩端電勢(shì)差為21．利用物理模型對(duì)問題進(jìn)行分析，是重要的科學(xué)思維方法。如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)桿的一端固定一個(gè)小球，另一端可繞垂直于桿的光滑水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。已知小球質(zhì)量為m1，桿的質(zhì)量為m2。小球可視為質(zhì)點(diǎn)。（1）若桿的質(zhì)量與小球質(zhì)量相比可以忽略。把桿拉到水平位置后，將小球無初速度釋放。a．當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)至與水平方向成角時(shí)（），求小球的角速度ω。b．若只增加桿的長(zhǎng)度，小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中，所用時(shí)間是變長(zhǎng)還是變短，通過分析定性說明。（2）若桿的質(zhì)量與小球質(zhì)量相比不能忽略。已知桿在繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其動(dòng)能的表達(dá)式為。a．請(qǐng)你利用單位制的知識(shí)，判斷α、β、γ的數(shù)值。b．把桿拉到水平位置后，將小球無初速度釋放，當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)至與水平方向成θ角時(shí)（），求小球的角速度ω'?！驹斀狻浚?）a．設(shè)當(dāng)桿由水平位置轉(zhuǎn)動(dòng)至與水平方向成角時(shí)（）由線速度與角速度的關(guān)系公式和動(dòng)能定理可得解得小球的角速度b．變長(zhǎng)。若只增加桿的長(zhǎng)度，當(dāng)桿轉(zhuǎn)動(dòng)至與水平方向成角時(shí)，由a中結(jié)論可知，小球的角速度變小，由于可為的任意值，所以運(yùn)動(dòng)到各處的角速度都變小，所以桿轉(zhuǎn)動(dòng)所用時(shí)間變長(zhǎng)。（2）a．桿的動(dòng)能的表達(dá)式為，由動(dòng)能的計(jì)算公式和線速度與角速度的關(guān)系公式可知，、、。b．由線速度與角速度的關(guān)系公式和動(dòng)能定理可得解得22．在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中放置一個(gè)截面為矩形的通電導(dǎo)體或半導(dǎo)體薄片，當(dāng)磁場(chǎng)方向與電流方向垂直時(shí)，在與磁場(chǎng)、電流方向都垂直的方向上出現(xiàn)電勢(shì)差，這個(gè)現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)，產(chǎn)生的電勢(shì)差稱為霍爾電勢(shì)差或霍爾電壓。霍爾電壓與電流之比稱為霍爾電阻。（1）圖甲所示的半導(dǎo)體薄片的厚度為d，薄片中自由電荷的電荷量為q，單位體積內(nèi)的自由電荷數(shù)為n。磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。請(qǐng)你推導(dǎo)霍爾電阻的表達(dá)式。（2）在發(fā)現(xiàn)霍爾效應(yīng)約100年后，科學(xué)家又發(fā)現(xiàn)某些半導(dǎo)體材料的霍爾電阻，在低溫和強(qiáng)磁場(chǎng)下，與外加磁場(chǎng)的關(guān)系出現(xiàn)一個(gè)個(gè)的“平臺(tái)”，在平臺(tái)處霍爾電阻嚴(yán)格等于一個(gè)常數(shù)除以正整數(shù)，即，其中h為普朗克常數(shù)，e為電子電荷量，i為正整數(shù)，這個(gè)現(xiàn)象被稱為整數(shù)量子霍爾效應(yīng)。在環(huán)境溫度小于4K時(shí)，霍爾電阻與外加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系圖像如圖乙所示。由于量子霍爾電阻只與基本物理常數(shù)有關(guān)，國(guó)際計(jì)量委員會(huì)推薦在世界范圍內(nèi)用量子電阻標(biāo)準(zhǔn)替代實(shí)物電阻標(biāo)準(zhǔn)，以避免實(shí)物電阻阻值因環(huán)境影響而變化。由于霍爾電阻與實(shí)物電阻的定義并不相同，因此需要利用一些方法才可以將量子霍爾電阻標(biāo)準(zhǔn)電阻值“傳遞”給實(shí)物電阻?！皞鬟f”的一種方法叫“電位差計(jì)比較法”，其原理可簡(jiǎn)化為圖丙所示電路，把可調(diào)實(shí)物電阻與量子霍爾電阻串聯(lián)，用同一個(gè)電源供電，以保證通過兩個(gè)電阻的電流相等。通過比較霍爾電勢(shì)差與實(shí)物電阻兩端的電勢(shì)差，即可達(dá)到比較霍爾電阻與實(shí)物電阻阻值的目的。a．某次實(shí)驗(yàn)時(shí)，霍爾元件所處環(huán)境溫度為1.5K，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8T，此時(shí)a、b兩點(diǎn)間的霍爾電勢(shì)差與c、d兩點(diǎn)間的電勢(shì)差相等。若，。通過分析，計(jì)算該實(shí)物電阻的阻值（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）。b．如果要通過量子霍爾效應(yīng)“傳遞”出一個(gè)阻值為的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物電阻，請(qǐng)你說明操作思路?！驹斀狻浚?）當(dāng)半導(dǎo)體兩端的霍爾電壓穩(wěn)定時(shí)，對(duì)于半導(dǎo)體內(nèi)部電荷來說其所受電場(chǎng)力與洛倫茲力的合力為零，有半導(dǎo)體內(nèi)的電流為I，有設(shè)半導(dǎo)體的長(zhǎng)為a，寬為b，半導(dǎo)體的通電流方向的橫截面積為其半導(dǎo)體兩端的霍爾電壓為整理有根據(jù)霍爾電阻定義有解得（2）a．根據(jù)題意此時(shí)的霍爾電阻為環(huán)境溫度為1.5K，磁感應(yīng)強(qiáng)度為8T，結(jié)合題意，帶入數(shù)據(jù)有因?yàn)橥ㄟ^霍爾元件的電流與通過實(shí)物電阻的電流相等，霍爾電勢(shì)差與實(shí)物電阻兩端的電勢(shì)差相同，所以實(shí)物電阻的電阻等于此時(shí)霍爾元件的霍爾電阻，所以有b．實(shí)驗(yàn)時(shí)，利用圖丙所示電路，把可調(diào)實(shí)物電阻與量子霍爾電阻串聯(lián)，用同一個(gè)電源供電，以保證通過兩個(gè)電阻的電流相等。讓霍爾元件所處環(huán)境溫度低于4K，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為5T，調(diào)節(jié)a、b兩點(diǎn)間的霍爾電勢(shì)差與c、d兩點(diǎn)間的電勢(shì)差相等，則此時(shí)通過量子效應(yīng)“傳遞”出的即為阻值的標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物電阻。23．電磁場(chǎng)，是一種特殊的物質(zhì)。（1）電場(chǎng)具有能量。如圖所示，原子核始終靜止不動(dòng)，α粒子先、后通過A、B兩點(diǎn)，設(shè)α粒子的質(zhì)量為m、電荷量為q，其通過A、B兩點(diǎn)的速度大小分別為vA和vB，求α粒子從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過程中電勢(shì)能的變化量ΔEp。（2）變化的磁場(chǎng)會(huì)在空間中激發(fā)感生電場(chǎng)。如圖所示，空間中有圓心在O點(diǎn)、垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，當(dāng)空間中各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻增加時(shí)，請(qǐng)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、電動(dòng)勢(shì)的定義等，證明磁場(chǎng)內(nèi)，距離磁場(chǎng)中心O點(diǎn)為r處的感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與r成正比。（提示：電荷量為q的電荷所受感生電場(chǎng)力F=qE）（3）電磁場(chǎng)不僅具有能量，還具有動(dòng)量。如圖所示，兩極板相距為L(zhǎng)的平行板電容器，處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。磁場(chǎng)方向垂直紙面向里。將一長(zhǎng)度為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒ab垂直放在充好電的電容器兩極板之間（其中上極板帶正電），并與導(dǎo)體板良好接觸。上述導(dǎo)體棒ab、平行板電容器以及極板間的電磁場(chǎng)（即勻強(qiáng)磁場(chǎng)、電容器所激發(fā)的電場(chǎng)）組成一個(gè)孤立系統(tǒng)，不計(jì)一切摩擦。求當(dāng)電容器通過導(dǎo)體棒ab釋放電荷量為q的過程中，該系統(tǒng)中電磁場(chǎng)動(dòng)量變化量的大小Δp和方向?！驹斀狻浚?）由能量守恒可得（2）假設(shè)磁場(chǎng)中有以O(shè)為圓心半徑為r的圓形閉合回路。磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻增加則回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為帶電量為q的粒子在回路中運(yùn)動(dòng)一圈有解得距離磁場(chǎng)中心O點(diǎn)為r處的感生電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E與r成正比。（3）對(duì)導(dǎo)體棒ab由動(dòng)量定理可得得即導(dǎo)體棒ab動(dòng)量變化量大小為BLq，方向水平向右。系統(tǒng)動(dòng)量守恒，所以即電磁場(chǎng)動(dòng)量變化量的大小為，方向水平向左。24．?dāng)[，是物理學(xué)中重要的模型之一。如圖1所示，一根不可伸長(zhǎng)的輕軟細(xì)繩的上端固定在天花板上的O點(diǎn)，下端系一個(gè)擺球（可看作質(zhì)點(diǎn)）。將其拉至A點(diǎn)后靜止釋放，擺球?qū)⒃谪Q直面內(nèi)的A、C之間來回?cái)[動(dòng)，其中B點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)中的最低點(diǎn)。忽略空氣阻力。（1）圖2所示為繩中拉力F隨時(shí)間t變化的圖線，求：a．?dāng)[的振動(dòng)周期T。b．?dāng)[的最大擺角θm。（2）擺角θ很小時(shí)，擺球的運(yùn)動(dòng)可看作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。某同學(xué)發(fā)現(xiàn)他家中擺長(zhǎng)為0.993m的單擺在小角度擺動(dòng)時(shí)，周期為2s。他又查閱資料發(fā)現(xiàn)，早期的國(guó)際計(jì)量單位都是基于實(shí)物或物質(zhì)的特性來定義的，稱為實(shí)物基準(zhǔn)，例如質(zhì)量是以一塊1kg的鉑銥合金圓柱體為實(shí)物基準(zhǔn)。于是他想到可以利用上述擺長(zhǎng)為0.993m的單擺建立“1s”的實(shí)物基準(zhǔn)。請(qǐng)判斷該同學(xué)的想法是否合理，并說明理由。（3）小擺角單擺是較為精確的機(jī)械計(jì)時(shí)裝置，常用來制作擺鐘。擺鐘在工作過程中由于與空氣摩擦而帶上一定的負(fù)電荷，而地表附近又存在著豎直向下的大氣電場(chǎng)（可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)），導(dǎo)致擺鐘走時(shí)不準(zhǔn)。某同學(xué)由此想到可以利用小擺角單擺估測(cè)大氣電場(chǎng)強(qiáng)度：他用質(zhì)量為m的金屬小球和長(zhǎng)為L(zhǎng)（遠(yuǎn)大于小球半徑）的輕質(zhì)絕緣細(xì)線制成一個(gè)單擺。他設(shè)法使小球帶電荷量為-q并做小角度振動(dòng)，再用手機(jī)秒表計(jì)時(shí)功能測(cè)量其振動(dòng)周期T，已知重力加速度g，不考慮地磁場(chǎng)的影響。a．推導(dǎo)大氣電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E的表達(dá)式。b．實(shí)際上，擺球所帶電荷量為10-7C量級(jí)，大氣電場(chǎng)強(qiáng)度為102N/C量級(jí)，擺球質(zhì)量為10-1kg量級(jí)，手機(jī)秒表計(jì)時(shí)的精度為10-2s量級(jí)。分析判斷該同學(xué)上述測(cè)量方案是否可行。（提示：當(dāng)時(shí)，有）【詳解】（1）a.小球在A點(diǎn)與C點(diǎn)細(xì)繩的拉力最小且大小相等，小球從A到C再回到A是一個(gè)周期，故周期為b.小球在A點(diǎn)與C點(diǎn)時(shí)，細(xì)繩的拉力最小小球在A點(diǎn)與C點(diǎn)時(shí)，重力沿繩方向的分力大小等于細(xì)繩的拉力，則小球在最低點(diǎn)B，細(xì)繩的拉力最大，由圖可知由牛頓第二定律可得小球從A點(diǎn)到B點(diǎn)，由動(dòng)能定理得解得（2）不合理，因?yàn)閱螖[的周期公式為，不同地區(qū)的緯度、海拔高度不同，g值不同，所以不可以利用上述擺長(zhǎng)為0.993m的單擺建立“1s”的實(shí)物基準(zhǔn)。（3）a.重力場(chǎng)與電場(chǎng)疊加為等效重力場(chǎng)，則單擺的周期公式則為解得大氣電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E的表達(dá)式為b.不可行，因?yàn)閷?shí)際上達(dá)到的數(shù)量級(jí)是，與大氣電場(chǎng)強(qiáng)度102N/C量級(jí)相差太大，也就是擺球所帶電荷量太小，達(dá)不到實(shí)驗(yàn)需求。25．無處不在的引力場(chǎng)，構(gòu)建出一幅和諧而神秘的宇宙圖景。（1）地球附近的物體處在地球產(chǎn)生的引力場(chǎng)中。地球可視為質(zhì)量分布均勻的球體。已知地球的質(zhì)量為M，引力常量為G。請(qǐng)類比電場(chǎng)強(qiáng)度的定義，寫出距地心r處的引力場(chǎng)強(qiáng)度g的表達(dá)式。（已知r大于地球半徑，結(jié)果用M、G和r表示）（2）物體處于引力場(chǎng)中，就像電荷在電場(chǎng)中具有電勢(shì)能一樣，具有引力勢(shì)能。中國(guó)科學(xué)院南極天文中心的巡天望遠(yuǎn)鏡追蹤到由孤立的雙中子星合并時(shí)產(chǎn)生的引力波。已知該雙中子星的質(zhì)量分別為、，且保持不變。在短時(shí)間內(nèi)，可認(rèn)為雙中子星繞二者連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)分析說明在合并過程中，該雙中子星系統(tǒng)的引力勢(shì)能、運(yùn)動(dòng)的周期T如何變化。（3）我們可以在無法獲知銀河系總質(zhì)量的情況下，研究太陽(yáng)在銀河系中所具有的引力勢(shì)能。通過天文觀測(cè)距銀心（即銀河系的中心）為r處的物質(zhì)繞銀心的旋轉(zhuǎn)速度為v，根據(jù)，可得到銀河系在該處的引力場(chǎng)強(qiáng)度g的數(shù)值，并作出圖像，如圖所示。已知太陽(yáng)的質(zhì)量，太陽(yáng)距離銀心。a．某同學(xué)根據(jù)表達(dá)式認(rèn)為：引力場(chǎng)強(qiáng)度g的大小與物質(zhì)繞銀心的旋轉(zhuǎn)速度成正比，與到銀心的距離r成反比。請(qǐng)定性分析說明該同學(xué)的觀點(diǎn)是否正確。b．將物質(zhì)距銀心無窮遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能規(guī)定為零，請(qǐng)利用題中信息估算太陽(yáng)所具有的引力勢(shì)能?！驹斀狻浚?）根據(jù)類比，有（2）在電場(chǎng)中，在只有電場(chǎng)力做功時(shí)，當(dāng)電場(chǎng)力做正功，電荷的電勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，二者之和保持不變；當(dāng)電場(chǎng)力做負(fù)功，電荷的電勢(shì)能增加，動(dòng)能減小，二者之和保持不變。類比可知，在合并過程中，中子星受到的引力做了正功，則該中子星系統(tǒng)的引力勢(shì)能將減小，由于引力勢(shì)能和動(dòng)能之和保持不變，則中子星的動(dòng)能將增加，線速度將增大，同時(shí)由于運(yùn)動(dòng)半徑的減小，所以運(yùn)動(dòng)的周期T將減小。（3）a．根據(jù)引力場(chǎng)強(qiáng)度的定義及萬有引力提供向心力可得整理得由上式可知，引力場(chǎng)強(qiáng)度g的大小與銀心質(zhì)量成正比，與到銀心的距離平方成反比。表達(dá)式只能作為一個(gè)替換的計(jì)算式使用，不能用于定性分析引力場(chǎng)強(qiáng)度g的變化性質(zhì)，因?yàn)樗鼪]有表達(dá)出引力場(chǎng)強(qiáng)度g的產(chǎn)生原因。b．根據(jù)引力勢(shì)能與動(dòng)能之和保持不變可知，如果將物質(zhì)距銀心無窮遠(yuǎn)處的引力勢(shì)能規(guī)定為零，則太陽(yáng)在當(dāng)前位置所具有的動(dòng)能，就等于太陽(yáng)在銀河系中所具有的引力勢(shì)能。由公式可得太陽(yáng)的速度平方為由圖可知，在時(shí)，，所以太陽(yáng)的引力勢(shì)能為26．物理源自生活，生活中處處有物理。清洗玻璃杯外表面時(shí)，水流與玻璃杯表面的粘滯力會(huì)影響水流下落的速度，并使水流沿著玻璃杯的外表面流動(dòng)，如圖所示。已知該水龍頭水流的流量為Q（單位時(shí)間內(nèi)流出水的體積），水龍頭內(nèi)徑為D。（1）求水流出水龍頭的速度；（2）現(xiàn)用該水龍頭清洗水平放置的圓柱形玻璃杯，柱狀水流離開水龍頭，下落高度為h，與玻璃杯橫截面圓心O處于同一水平面時(shí)，開始貼著玻璃杯外表面流動(dòng)，經(jīng)過一段時(shí)間后達(dá)到如圖所示的穩(wěn)定狀態(tài)。水流經(jīng)過玻璃杯的最低點(diǎn)A時(shí)，垂直于速度方向的橫截面可認(rèn)為是寬度為d的矩形。水流在A點(diǎn)沿水平方向離開玻璃杯，落至水池底部B點(diǎn)，落點(diǎn)B到A點(diǎn)正下方C點(diǎn)的距離為x，AC豎直高度為H（H遠(yuǎn)大于玻璃杯表面水流厚度）。已知水池底面為水平面，不考慮空氣阻力的影響，且認(rèn)為下落過程水不散開，水的密度為，玻璃杯的外半徑為R，重力加速度為g，求：a.水流在A點(diǎn)還未離開玻璃杯時(shí)，豎直方向上單位面積受到的合力大小F；b.達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，t時(shí)間內(nèi)玻璃杯對(duì)水流的作用力所做的功W?！驹斀狻浚?）極短的時(shí)間內(nèi)水龍頭流出水的體積解得（2）a.以極短的時(shí)間內(nèi)水龍頭流出水為研究對(duì)象，水的質(zhì)量為，該部分水在A點(diǎn)與玻璃杯底部接觸面積為，水流在A點(diǎn)速度大小為v，則有，水流離開玻璃杯后在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，則有，該部分水在A點(diǎn)，在豎直方向受到的合力提供向心力，則有解得b.設(shè)t時(shí)間內(nèi)從水龍頭流出的水質(zhì)量為m，則有在水從水龍頭出水口運(yùn)動(dòng)至玻璃杯最低點(diǎn)A的過程中，由動(dòng)能定理得解得27．麥克斯韋的電磁場(chǎng)理論告訴我們：變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生感生電場(chǎng)，該感生電場(chǎng)是渦旋電場(chǎng)；變化的電場(chǎng)也可以產(chǎn)生感生磁場(chǎng)，該感生磁場(chǎng)是渦旋磁場(chǎng)．（1）如圖所示，在半徑為r的虛線邊界內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為B=kt（k>0且為常量）．將一半徑也為r的細(xì)金屬圓環(huán)（圖中未畫出）與虛線邊界同心放置．①求金屬圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)的大?。谧兓拇艌?chǎng)產(chǎn)生的渦旋電場(chǎng)存在于磁場(chǎng)內(nèi)外的廣闊空間中，在與磁場(chǎng)垂直的平面內(nèi)其電場(chǎng)線是一系列同心圓，如圖中的實(shí)線所示，圓心與磁場(chǎng)區(qū)域的中心重合．在同一圓周上，渦旋電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小處處相等．使得金屬圓環(huán)內(nèi)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力是渦旋電場(chǎng)對(duì)自由電荷的作用力，這個(gè)力稱為渦旋電場(chǎng)力，其與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系和靜電力與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系相同．請(qǐng)推導(dǎo)金屬圓環(huán)位置的渦旋電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小E感．（2）如圖所示，在半徑為r的虛線邊界內(nèi)有一垂直于紙面向里的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間的變化關(guān)系為E=ρt（ρ>0且為常量）．①我們把穿過某個(gè)面的磁感線條數(shù)稱為穿過此面的磁通量，同樣地，我們可以把穿過某個(gè)面的電場(chǎng)線條數(shù)稱為穿過此面的電通量．電場(chǎng)強(qiáng)度發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)面積內(nèi)的電通量也會(huì)發(fā)生變化，該變化的電場(chǎng)必然會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)．小明同學(xué)猜想求解該磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B感的方法可以類比（1）中求解E感的方法．若小明同學(xué)的猜想成立，請(qǐng)推導(dǎo)B感在距離電場(chǎng)中心為a（a<r）處的表達(dá)式，并求出在距離電場(chǎng)中心和2r處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的比值B感1：B感2．②小紅同學(xué)對(duì)上問通過類比得到的B感的表達(dá)式提出質(zhì)疑，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)判斷B感的表達(dá)式是否正確，并給出合理的理由．【詳解】（1）①根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得

②在金屬圓環(huán)內(nèi)，非靜電力對(duì)帶電量為-q的自由電荷所做的功W非=qE感·2πr，根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義解得感生電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大?。?）①類比（1）中求解E感的過程，在半徑為R處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為在R=a時(shí)，，解得在R=時(shí)，，解得將R=2r時(shí)，，解得所以②上問中通過類比得到的B感的表達(dá)式不正確；

因?yàn)橥ㄟ^量綱分析我們知道：用基本物理量的國(guó)際單位表示的導(dǎo)出單位為

；又因?yàn)椋没疚锢砹康膰?guó)際單位表示的導(dǎo)出單位為．可見，通過類比得到的B感的單位是不正確的，所以的表達(dá)式不正確．28．電容器作為儲(chǔ)能器件，在生產(chǎn)生活中有廣泛的應(yīng)用。實(shí)際中的電容器在外形結(jié)構(gòu)上有多種不同的形式，但均可以用電容描述它的特性。（1）在兩個(gè)相距很近的平行金屬板中間夾上一層絕緣物質(zhì)就組成一個(gè)最簡(jiǎn)單的電容器，叫做平行板電容器。圖1為一平行板電容器的充電電路，在充電過程中兩極板間電勢(shì)差u隨電荷量q的變化圖像如圖2所示。類比直線運(yùn)動(dòng)中由圖像求位移的方法，在圖中畫網(wǎng)格線表示當(dāng)電荷量由增加到的過程中電容器增加的電勢(shì)能。（2）同平行板電容器一樣，一個(gè)金屬球和一個(gè)與它同心的金屬球殼也可以組成一個(gè)電容器，叫做球形電容器。如圖3所示，兩極間為真空的球形電容器，其內(nèi)球半徑為，外球內(nèi)半徑為，電容為，其中k為靜電力常量。請(qǐng)結(jié)合（1）中的方法推導(dǎo)該球形電容器充電后電荷量達(dá)到Q時(shí)所具有的電勢(shì)能的表達(dá)式。（3）孤立導(dǎo)體也能儲(chǔ)存電荷，也具有電容。a．導(dǎo)體球看作另一極在無窮遠(yuǎn)的球形電容器，根據(jù)球形電容器電容的表達(dá)式推導(dǎo)半徑為R的孤立導(dǎo)體球的電容的表達(dá)式。b．金屬小球用導(dǎo)線與大地相連，我們就會(huì)認(rèn)為小球的電荷量減小為0。請(qǐng)結(jié)合題目信息及所學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象。c．我們知道，金屬導(dǎo)體帶電后，尖端特別容易放電，其原因是導(dǎo)體表面突出部分越尖銳的地方電荷的密度（即單位面積的電荷量）越大。請(qǐng)結(jié)合（b）問中的結(jié)論，分析為何在尖端部分電荷密度較大？以下公式可能會(huì)用到：球體表面積公式為?！驹斀狻浚?）圖像面積表示位移，電荷量由增加到的過程中電容器增加的電勢(shì)能可以用圖像與坐標(biāo)軸圍成的面積表示，如圖（2）因?yàn)殡娙萜鞒潆娺^程中兩極板間電勢(shì)差u隨電荷量q的變化圖像所示所以當(dāng)電荷量達(dá)到Q時(shí)所具有的電勢(shì)能可以用圖線軸圍成的面積表示，即根據(jù)電容的定義式可得帶入可得（3）a．半徑為R的孤立導(dǎo)體球可作另一極在無窮遠(yuǎn)的球形電容器，，，帶入球形電容器電容表達(dá)式可得b．地球也可以看成一個(gè)球形電容器，且半徑越大，電容越大，地球半徑遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于金屬小球半徑，所以地球的電容遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于金屬小球的電容，用導(dǎo)線將兩者連接后電勢(shì)相同，根據(jù)可知，地球的帶電量遠(yuǎn)大于小球的帶電量，而總的電荷量不變，所以可以認(rèn)為小球的電荷量減小為0。c．半徑為R的帶點(diǎn)球體電容為設(shè)電壓為U，則所帶電量單位面積的電荷量為，則從上式可知，金屬導(dǎo)體帶電后，表面電勢(shì)相等，越突出的地方，曲率半徑越小，單位面積的電荷量越大，所以表面突出部分越尖銳的地方電荷的密度越大。29．電源是通過非靜電力做功把其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能的裝置，不同的電源非靜電力做功的本領(lǐng)有所不同，物理學(xué)中用電動(dòng)勢(shì)來描述電源的這種特性。（1）如圖甲所示，固定于水平面的U形金屬框架處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，金屬框兩平行導(dǎo)軌間距為l。金屬棒MN在外力的作用下，沿框架以速度v向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中金屬棒始終垂直于兩平行導(dǎo)軌并接觸良好。已知電子的電荷量大小為e，金屬棒MN電阻為R，其他電阻均忽略不計(jì)。a.在金屬棒產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)的過程中，請(qǐng)說明是什么力充當(dāng)非靜電力，并根據(jù)電動(dòng)勢(shì)的定義求金屬棒MN切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；b.經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為，金屬的電阻源于定向運(yùn)動(dòng)的自由電子和金屬離子（即金屬原子失去電子后的剩余部分）的碰撞。在此基礎(chǔ)上，求出金屬棒MN中金屬離子對(duì)一個(gè)自由電子沿導(dǎo)線長(zhǎng)度方向的平均作用力f的表達(dá)式。（2）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)導(dǎo)體兩端的溫度差也能產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)，這種電動(dòng)勢(shì)稱為溫差電動(dòng)勢(shì)，我們用圖乙所示的簡(jiǎn)化模型來分析，一段長(zhǎng)度為L(zhǎng)的直導(dǎo)線AB沿Ox軸放置，A端位于坐標(biāo)原點(diǎn)處。與恒溫?zé)嵩唇佑|后，A端溫度恒為，B端溫度恒為（）。假定導(dǎo)線上相同位置處的溫度相同，不同位置處的溫度沿x方向均勻變化，導(dǎo)線形狀隨溫度的變化忽略不計(jì)。a.若溫差電動(dòng)勢(shì)的大小與導(dǎo)線兩端的溫度差成正比，比