數(shù)學必修1復習綱要

數(shù)學必修一復習綱要一．集合1．集合中元素的“三性”確定性(能否構(gòu)成集合)、無序性(書寫)、☆互異性(檢驗參數(shù))2．集合的表示方法列舉法、☆描述法、圖示法、區(qū)間法3．集合的分類有限集、無限集、空集注意空集的特殊性與雙重性：對任意集合及空集，有，，，，．4．元素與集合、集合與集合的關(guān)系兩類七個符號的應用特殊地，，．5．子集假設(shè)，那么，稱(1)子集個數(shù)的求法：含有個元素的集合的子集個數(shù)是個．(2)子集問題注意不要遺漏空集．6．集合的運算(1)交集——且——且(2)并集——或或(3)補集且7．常用題型與解題方法(1)集合的描述法例：eq\o\ac(○,1)方程組的解集是eq\o\ac(○,2)用列舉法表示集合eq\o\ac(○,3)，那么eq\o\ac(○,4)，那么集合與的關(guān)系是eq\o\ac(○,5)集合，為實數(shù)，(i)假設(shè)為空集，求的取值的集合；(ii)假設(shè)為單元素集，求的取值的集合；(iii)假設(shè)中至多有一個元素，求的取值的集合。(2)元素分析法解題例：eq\o\ac(○,1)集合，求實數(shù)應滿足的條件．eq\o\ac(○,2)集合，其中，且，求和的值(用表示)。eq\o\ac(○,3)集合，假設(shè)，求。eq\o\ac(○,4)全集，假設(shè)，那么實數(shù)是否存在？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請說明理由。eq\o\ac(○,5)集合，，假設(shè)，求實數(shù)的取值組成的集合。注意驗證元素的互異性和條件，一定要寫清舍解的理由。(3)利用數(shù)軸解題例：eq\o\ac(○,1)集合，，在以下條件下，求實數(shù)的取值范圍：(1)；(2)．eq\o\ac(○,2)集合，集合，假設(shè)，求實數(shù)的取值范圍．eq\o\ac(○,3)集合，，在以下條件下，求實數(shù)的取值范圍．(1)；(2)；(3)．eq\o\ac(○,4)集合，，且，求實數(shù)的取值集合。子集問題注意不要遺漏空集．(4)利用Venn圖解題例：全集，，，求、．例：某年級先后舉行數(shù)學和物理競賽，全班共50人，其中20人參加數(shù)學競賽，25人參加物理競賽，且有6人兩項比賽都參加，那么有人兩項比賽都沒有參加。(5)集合的性質(zhì)(子、交、并、補)運算，求參數(shù)例：eq\o\ac(○,1)集合或，，，，，。eq\o\ac(○,2)集合，，且，求實數(shù)的值．8．不等式的解法(1)一元二次不等式的解法步驟：先看二次項系數(shù)，假設(shè)，那么兩邊同乘以，不等號方向改變，然后求對應方程的根，根據(jù)“大于兩根之外，小于兩根之間(當時的符號)”寫出解集。(2)絕對值不等式的解法或(3)分式不等式的解法步驟：移項通分(使不等式一邊為)—建立不等式組(大于分子分母同號，小于分子分母異號)—得到解集(注意分母不為)第2步也可轉(zhuǎn)化為分子分母的積大于(小于)的形式(特別注意分母不為)(4)恒大于(小于)的問題恒成立且且，或恒成立且且，或恒成立且且，或例：函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍二．函數(shù)概念與根本初等函數(shù)I1．映射與函數(shù)的定義(1)對應、映射、函數(shù)這三個概念既有共性又有區(qū)別，在明白它們概念的根底上，體會函數(shù)是一種特殊的映射，而映射又是一種特殊的對應(2)，中元素：任意性；中元素：存在性，唯一性即：①只能一對一或多對一；②中元素不能有剩余，中元素可以有剩余(3)函數(shù)的三要素是定義域、對應法那么、值域函數(shù)定義域的求法(整式、分式、偶次根式、對數(shù)式、多個表達式構(gòu)成、實際問題)例：求函數(shù)的定義域：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)。抽象函數(shù)的定義域：①定義域必為的取值范圍；②關(guān)鍵：求中“括號”的范圍例：函數(shù)的定義域為，那么的定義域為；假設(shè)的定義域為，那么的定義域為；的定義域為，那么函數(shù)的定義域為。函數(shù)值域(最值)的求法(直接法、配方法、換元法、轉(zhuǎn)換方程(不等式)法、局部分式法(別離常數(shù)法)，圖象法，單調(diào)性法)，特別注意二次函數(shù)問題(充分利用圖像)恒成立問題：恒成立，恒成立例：求以下函數(shù)的值域：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)；eq\o\ac(○,4)；eq\o\ac(○,5)；eq\o\ac(○,6)；eq\o\ac(○,7)。(4)同一函數(shù)：三要素完全相同例：以下各組函數(shù)中：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)，；eq\o\ac(○,4)；eq\o\ac(○,5)；eq\o\ac(○,6)，，其中表示同一函數(shù)的是。(5)函數(shù)的表示方法列表法、解析法、圖象法函數(shù)解析式的求法(應用題、配湊法、待定系數(shù)法、換元法、方程組法)注：求函數(shù)解析式時，要求寫出函數(shù)的定義域例：eq\o\ac(○,1)一次函數(shù)滿足，求。eq\o\ac(○,2)二次函數(shù)滿足，且，求。eq\o\ac(○,3)，求。eq\o\ac(○,4)滿足，求。eq\o\ac(○,5)如圖，直線軸，從原點開始向右平移直線，在處停止，它掃過所得圖形的面積為，它與軸的交點為，(i)求函數(shù)的解析式；(ii)求函數(shù)的值域；(iii)當直線在何處時，。綜合例：假設(shè)函數(shù)的定義域為，值域為，求實數(shù)的取值范圍。例：函數(shù)，求的值。例：，且，求實數(shù)的值。2．函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性(1)定義：單調(diào)性相對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言，奇偶性相對整個定義域而言本質(zhì)：單調(diào)性是指自變量的大小與對應函數(shù)值的大小關(guān)系相同或相反的問題；奇偶性是指自變量任取一組相反數(shù)時對應函數(shù)值相等或相反的問題。(2)圖象特征單調(diào)性：增—圖象上升，減—圖象下降奇偶性：奇—關(guān)于原點對稱，偶—關(guān)于軸對稱(3)常見函數(shù)的單調(diào)性(一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù))參考：筆記本(4)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法①定義法：設(shè)元—作差—判斷—定論②圖象法③直接法④復合函數(shù)單調(diào)性例：用定義證明函數(shù)在R上遞增。用定義證明函數(shù)在上遞增，在上遞減。用定義證明函數(shù)在定義域上遞增。畫函數(shù)的圖象，并寫出它的單調(diào)區(qū)間．判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并證明．判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并證明．(5)判斷函數(shù)奇偶性注意：先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱例：為定義在上的奇函數(shù)，時，，求的解析式(6)單調(diào)性與奇偶性的綜合應用奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點的對稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反例：如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且最小值為，最大值為，那么在區(qū)間上單調(diào)性如何?最大最小值分別是多少?假設(shè)是偶函數(shù)，結(jié)果又如何?例：，且，求★3．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)(1)指、對數(shù)運算公式(見附表)(2)定義：，，例：函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求的取值范圍例：冪函數(shù)，在上遞減，那么冪函數(shù)_________(3)圖象與性質(zhì)指、對數(shù)函數(shù)對底數(shù)討論()，冪函數(shù)對指數(shù)討論()例：在上的最大值與最小值的差是1，那么的值為(4)比擬大小(同底構(gòu)造函數(shù)，不同底找中間值“0”“1“四同”：同底不同指數(shù)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，同指數(shù)不同底數(shù)構(gòu)造冪函數(shù)，同底不同真數(shù)構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，同真數(shù)不同底數(shù)轉(zhuǎn)換為同底倒數(shù)。(5)解方程、不等式關(guān)鍵：化為同底指數(shù)，或同底對數(shù)，利用單調(diào)性例：不等式，(1)求不等式的解集；(2)求函數(shù)的值域。(6)綜合例：設(shè)函數(shù)，(1)求證：不管為何值，總是增函數(shù)；(2)確定的值，使為奇函數(shù)；(3)當為奇函數(shù)時，求的值域例：，(1)求的定義域；(2)討論的奇偶性；(3)判斷的單調(diào)性并證明4．二次函數(shù)與二次方程(1)零點的定義(對應方程的根，圖象與軸交點的橫坐標)(2)零點存在定理應用，根的分布問題(3)利用圖象解方程、確定方程解的個數(shù)問題方法：在同一直角坐標系中分別作出函數(shù)的圖象，那么方程的解的個數(shù)就是兩者圖象交點的個數(shù)，方程的解就是交點的橫坐標。(4)二分法求方程的近似解原理：函數(shù)，假設(shè)，那么存在，使，即方程在區(qū)