九年級上學期期中【夯實基礎60題練習】九年級數(shù)學上學期期中期末知識點串講（人教版）（解析版）

九年級上學期期中【夯實基礎60題考點

專練】

一.一元二次方程的定義（共2小題）

1.（2022春?蘇州期中）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）

A.x2+3y=lB.X2+3X=1C.ax2+bx+c-2D.

X2X

【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.一

元二次方程有三個特點：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）是整

式方程.據(jù)此解答即可.

【解答】解：A.該選項的方程為二元二次方程，故該選項不符合題意；

B.該選項的方程只含有一個未知數(shù)且最高次數(shù)為2,所以是一元二次方程，故該選項符

合題；

C.該選項的方程中?？赡艿扔?,所以可能不是一元二次方程，故該選項不符合題意；

D.該選的方程是分式方程，故該選項不符合題意.

故選:B.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，

先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理.如果能整理為一+6r÷c=0（αW0）的

形式，則這個方程就為一元二次方程.

2.（2021秋?建昌縣期中）如果關于X的方程（/M-3）El-3x+l=0是一元二次方程，則

m=-1

【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得：|〃L1|=2,且〃L3W0,再解即可.

【解答】解：由題意得：I機-1|=2,月.用?3W0,

解得：W=-1,

故答案為：-1.

【點評】此題主要考查了一元二次方程定義，關鍵是掌握只含有一個未知數(shù)，并且未知

數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

二.一元二次方程的一般形式（共2小題）

3.（2021秋?東光縣期中）下列方程，是一元二次方程一般形式的是（）

A.2X2-3x=0B.X2=1C.2x2-3x=-1D.2x2=-3x

【分析】一元二次方程α?+以+c=0（α,b,C是常數(shù)且αW0）中〃、氏C分別是二次項

系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項.

【解答】解：A.2√-3x=0,符合一般形式，故本選項符合題意；

B.不符合一般形式，故本選項不符合題意；

C.不符合一般形式，故本選項不符合題意；

D.不符合一般形式，故本選項不符合題意；

故選：A.

【點評】此題主要考查了一元二次方程的一般式，關鍵是掌握任何一個關于X的一元二

次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（α≠0）.這種形式叫一元二次方程的

一般形式.其中S2叫做二次項，。叫做二次項系數(shù)；版叫做一次項；C叫做常數(shù)項.

4.（2021秋?霞浦縣期中）將一元二次方程（χ-2）（2x+l）=X2-4化為一般形式是x2-

3x+2=0.

【分析】先根據(jù)多項式乘多項式的運算法則計算，再根據(jù)一元二次方程的一般形式解答

即可.

【解答】解：（χ-2）（2Λ-+1）=X2-4,

則2√-4x+x-2=--4,

整理得：X2-3X+2=0,

故答案為：X2-3x+2=0.

【點評】本題考查的是一元二次方程的一般形式，任何一個關于X的一元二次方程經(jīng)過

整理，都能化成如下形式αχ2+?x+c=o（fl≠0）.這種形式叫一元二次方程的一般形式.

三.一元二次方程的解（共3小題）

5.（2021秋?延平區(qū)校級期中）若x=l是關于X的一元二次方程χ2-w7χ+3=O的一個解，

則m的值是（）

A.6B.5C.4D.3

【分析】利用一元二次方程的解的定義得到1-m+3=0,然后解關于加的方程即可.

【解答】解：?."=1是關于X的一元二次方程χ2-mx+3=0的一個解，

Λl-w+3=0,

解得m—4.

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

6.（2021秋?青羊區(qū)校級期中）關于X的一元二次方程x2+χ-α=0的一個根是2,則a=

6_.

【分析】把x=2代入方程W+χ-α=O得：22+2-α=0,然后解關于〃的方程即可.

【解答】解：把x=2代入方程/+χ-α=0,得22+2-α=0,

解得4=6.

故答案為：6.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值

是一元二次方程的解.

πt-2

7.（2021秋?法庫縣期中）先化簡，再求值：ζ÷（加+3+上），其中皿是方程χ2-

2m2-6mm~3

2x-1=0的根.

【分析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，利用因式分解法解出方程，根據(jù)分式有

意義的條件得到用的值，把〃，的值代入計算，得到答案.

m+2

【解答】解：÷（w+3+-i-）

2ι∏2-6mIR-3

=m+2二IR2-9+5

2m(m-3)m-3

m+2.m-3

2m(m-3)(m+2)(m-2)

1

2m(m-2)

解方程χ2-2X-I=O得，XI=Λ∕2+1>X2=-V2+l>

所以m("7-2)=(√2+l)(√2+l-2)=(√2+l)(√2-1)=1.

或W(w-2)=(-√2+l)(-V2+l-2)=(√2+l)(√2-?)=1.

所以原式=工.

2

【點評】本題考查的是分式的化簡求值、一元二次方程的解法，掌握分式的混合運算法

則、因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵.

四.解一元二次方程-公式法(共1小題)

8.(2021秋?西城區(qū)校級期中)解方程：

(1)%2-3x+l=0;

(2)(x+3)(X-I)=5.

【分析】(1)利用公式法解一元二次方程即可；

(2)利用因式分解法解一元二次方程即可.

【解答】解：(l)f-3x+1=0,

VΔ=?2-4ac=9-4=5,

.__~b±yb^-4ac

??X,

2a

≈3±√5

一,

2

>v,^3+√5：3-√5.

22

(2)(x+3)(X-I)=5,

方程整理得，X2+2X-8=0,

(X-2)(x+4)=0,

X-2—0或x+4=0,

解得Xl=2,X2—-4.

【點評】本題考查了解一元二次方程-公式法，因式分解法，解決本題的關鍵是掌握公

式法，因式分解法解一元二次方程.

五.解一元二次方程-因式分解法(共2小題)

9.(2021秋?連江縣期中)解方程：X2-6x+5=0(兩種方法).

【分析】利用因式分解法和配方法解方程.

【解答】解：方法一：(X-5)(x-1)=0,

X-5=或X-1=0,

所以Xl=5,X2=l;

方法二：X2-6X=-5,

X2-6x+9=4,

(X-3)2=4,

X-3=±2,

所以Xl=5,X2=l.

【點評】本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出

方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了配方

法.

10.(2021秋?連南縣期中)解方程：X(X-3)+χ-3=0.

【分析】方程利用因式分解法求出解即可.

【解答】解：分解因式得：(χ-3)(x+l)=0,

可得x-3=0或x+l=0,

解得:XI=3,X2=-1.

【點評】此題考查/解一元二次方程-因式分解法，熟練掌握因式分解的方法是解本題

的關鍵.

六.根的判別式(共7小題)

11.(2021秋?枝江市期中)關于X的一元二次方程??+(2k-1)x+%=0有兩個實數(shù)根，則

在的取值范圍是()

A.?≤AB.人≤上且左六0C.左W4且左≠0D.左》工

444

【分析】由二次項系數(shù)非零及根的判別式△》()，即可得出關于A的不等式組，解之即可

得出k的取值范圍.

【解答】解：Y關于X的一元二次方程序+(2k-1)x+Ar=O有兩個實數(shù)根，

.(k≠0

l?=(2k-l)2-4×k×k≥0

解得：/W上且A=O.

4

故選：B.

【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，利用二次項系數(shù)非零及根的

判別式△n0,找出關于k的不等式組是解題的關鍵.

12.(2021秋?西城區(qū)校級期中)若一元二次方程f-2x-30=0無實根，則“取值范圍是

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式△<0,即可得出關于α的一元一次不等式，解

之即可得出4的取值范圍.

【解答】解：：一元二次方程7-2χ-34=0無實根，

,A=(-2)2-4×l×(-3a)<0,

故答案為：α<-?.

3

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△VO時，方程無實數(shù)根”是解題的關鍵.

13.(2021秋?灤陽市期中)已知關于X的方程必7-2(%+l)x+l=0有兩個實數(shù)根.

(1)求％的取值范圍；

(2)若A為符合條件的最小整數(shù)，求此方程的根.

【分析】(1)根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到A2WO且△=4(Rl)2

-4?2≥O,然后解兩個不等式，求出它們的公共部分即可；

(2)直接得出發(fā)的值，進而解方程得出答案.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得FrO且△=4(Rl)2-4必=弘+420,

解得：且《六0；

2

(2)工且斤/0,人為符合條件的最小整數(shù)，

2

:?k=1,

?fcx2-4x+l=0,

則X2-4x+4=-1+4,

故(X-2)2=3,

則工-2=±代，

解得：xι=2+√3,X2=2-√3?

【點評】本題主要考查根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：(1)Δ>

0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)Δ<0,方

程沒有實數(shù)根.

14.(2021秋哂城區(qū)校級期中)已知關于X的一元二次方程7-mx+s-1=0.

(?)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程有一個根為負數(shù)，求機的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)根的判別式即可求出答案.

(2)根據(jù)因式分解法求出兩根，然后列出不等式即可求出答案.

【解答】解：(1)由題意可知：A=(-，”)2-4("?-1)=("i-2)2

?.?(m-2)2川，

.?.方程總有兩個實數(shù)根.

(2)由題意可知：x="Ll或x=l

???方程有一個根為負數(shù)，

：.m-KO.

Λw<l.

【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬

于基礎題型.

15.(2021秋?漢川市期中)關于X的一元二次方程f+2χ+后+1=0的實數(shù)根是Xi和X2

(1)求女的取值范圍；

(2)如果X1+?X2-X1X2<-1,且人為整數(shù)，求上的值.

【分析】(1)由方程有兩個實數(shù)根，則其判別式大于或等于OUJ■得到關于人的不等式，

可求得力的取值范圍；

(2)利用根與系數(shù)的關系表示出題目中的條件，結合(1)可求得人的取值范圍，可求得

左的值.

【解答】解：(1)?；方程有兩個實數(shù)根，

：.b2-40c=22-4(Hl)20,

解得?≤0;

(2)由根與系數(shù)的關系可知：XI+X2=-2,XiX2=KI,

Vxi+%2-XlX2V^1，

?*?~2^(Λ+l)V-L

：.k>-2,

由(1)知A<0,

.??-2<A≤0,

,?N是整數(shù)，

ΛA=-1或0.

【點評】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程

有兩個不相等的實數(shù)根=?>0、有兩個相等的實數(shù)根Q?=0和無實數(shù)根QΔ<0是解

題的關鍵.

16.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)己知關于X的方程x2+∕nx+,"-2=0,求證：無論加取何值

時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式△=P-4m,可得出△=(用-2)2+4,由偶次

方的非負性可得出(m-2)2^O,進而可得出(切-2)2+4>0,即△>(),再利用“當△

>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”即可證出：無論，”取何值時，方程總有兩個不相

等的實數(shù)根.

【解答】證明：?.'α=I,b=m,C=An-2,

?=h2-4ac=m2-4×1×(.m-2)=m2-4∕w+8=(加-2)2+4.

?.,(∕n-2)2≥0,

：.(w-2)2+4>0,即△>(),

無論m取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△>()時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解

題的關鍵.

17.(2021秋?南安市期中)已知關于X的一元二次方程x2-s+m-1=0有兩個相等的實數(shù)

根，求m的值.

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式△=b2-4ac=Q,即可得出關于/?的一元二次

方程，解之即可得出的值.

【解答】解：???關于X的?元二次方程X2-加葉機-1=0有兩個相等的實數(shù)根，

ΛΔ=/-4ac

=(-m)2-4×1×(W?-1)

=m2-4m+4

=(w-2)2=0,

m1=T∏2=2.

【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當A=O時，方程有兩個相等的實數(shù)根”是解題

的關鍵.

七.根與系數(shù)的關系(共2小題)

18.(2021秋?惠城區(qū)校級期中)若關于X的方程f-H-12=0的一個根為3,則另一個根

為-4.

【分析】利用兩根之積等于q,可求出方程的另一個根為-4.

a

【解答】解：方程的另一個根是-12÷3=-4.

故答案為：-4.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記兩根之積等于￡■是解題的關鍵.

a

19.(2021秋?天門期中)已知關于X的一元二次方程X2+(ffl+3)x+m+2=0.

(1)求證：無論用取何值，原方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若Xi,X2是原方程的兩根，且XE+X22=2,求〃?的值.

【分析】(1)根據(jù)根的判別式即可求出答案.

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關系以及配方法即可求出答案.

【解答】解：(1)證明：'：X=(5+3)2-4(ZM+2)

=(m+l)2,

?.?無論/M取何值,(w+1)2≥0,

，原方程總有兩個實數(shù)根.

(2)Vχι,X2是原方程的兩根，

.?.χι+x2=-(∕n+3)>x?xι-m+2,

'."x?2+xii=2,

?,.(xι+x2)2^2X]X2=2,

，代入化簡可得：m2+4m+3=0,

解得：，”="3或"?="?

【點評】本題考查根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數(shù)的關系，本題屬于

基礎題型.

八.由實際問題抽象出一元二次方程(共3小題)

20.(2021秋?北流市期中)一個長方形的長比寬多2,若把它的長、寬分別增加2后，面積

增加了24,求原來長方形的長與寬，若設原長方形的寬為X,可列方程為()

A.X(x+2)=24B.(x+4)(x+2)=24

C.(X+4)(X+2)-X(x+2)=24D.X(x+4)=24

【分析】設原長方形的寬為X,則原長方形的長為x+2,增加長、寬后的長方形的長為x+4,

寬為x+2,根據(jù)長方形的面積增加了24,即可得出關于X的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：設原長方形的寬為X,則原長方形的長為x+2,增加長、寬后的長方形的長

為x+2+2=x+4,寬為x+2,

依題意得：(x+4)(x+2)-X(x+2)=24.

故選：C.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二

次方程是解題的關鍵.

21.（2021秋?永春縣期中）如圖，用一段籬笆靠墻圍成一個大長方形花圃（靠墻處不用籬

笆），中間用籬笆隔開分成兩個小長方形區(qū)域，分別種植兩種花草，籬笆總長為19米（恰

好用完），圍成的大長方形花圃的面積為24平方米，設垂直于墻的一段籬笆長為X米，

可列出方程為X（19-3x）=24.

X

【分析】若設垂直于墻的一段籬笆長為X米，則平行于墻的一段籬笆長為（19-3x）米，

根據(jù)圍成的大長方形花圃的面積為24平方米，即可得出關于X的一元二次方程，此題得

解.

【解答】解：若設垂直于墻的一段籬笆長為X米，則平行于墻的一段籬笆長為（19-3x）

米，

依題意得:%（19-3x）=24.

故答案為：X（19-3x）=24.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二

次方程是解題的關鍵.

22.（2021秋?連江縣期中）某校圖書館利用節(jié)假日面向社會開放.據(jù)統(tǒng)計，第一個月進館

500人次，進館人次逐月增加，第三個月進館720人次，設該圖書館第二個月、第三個月

進館人次的平均增長率為X,則可列方程為500（l+x）2=720.

【分析】利用第三個月進館人次=第一個月進館人次X（1+平均增長率）2,即可得出關

于X的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得：500（l+x）2=720.

故答案為：500（l+x）2=720.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二

次方程是解題的關鍵.

九.一元二次方程的應用（共4小題）

23.（2021秋?龍巖校級期中）有一人患了新型冠狀病毒肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有100人

患了新型冠狀病毒肺炎，那么每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為（)

A.8人B.9人C.C人D.11人

【分析】設每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為X人，則第一輪傳染了X人，第二輪傳

染了x（l+x）人，根據(jù)經(jīng)過兩輪傳染后共有IOO人患了新型冠狀病毒肺炎，即可得出關

于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論.

【解答】解：設每輪傳染中平均一個人傳染的人數(shù)為X人，則第一輪傳染了X人，第二

輪傳染了X（l+x）人，

依題意得：1+x+x（l+x）=100,

整理得：X2+2X-99=0,

解得：x?-9,X2=-1∣（不合題意，舍去）.

故選：B.

【點評】本題考查J'一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解

題的關鍵.

24.（2021秋?婁底期中）2019年某縣投入100萬元用于農(nóng)村“扶貧工程”，計劃以后每年以

相同的增長率投入，2021年該縣計劃投入“扶貧工程”144萬元.

（1）求該縣投入“扶貧工程”的年平均增長率；

（2）若2022年保持從2019年到2021年的年平均增長率不變，求2022年該縣將投入

“扶貧工程”多少萬元？

【分析】（1）設該縣投入“扶貧工程”的年平均增長率為X,利用2021年該縣計劃投入

“扶貧工程”的資金=2019年該縣投入“扶貧工程”的資金X（1+增長率）2,即可得出

關于X的一元二次方程，解之取其正值即可得出該縣投入“扶貧工程”的年平均增長率；

（2）利用2022年該縣將投入“扶貧工程”的資金=2021年該縣投入“扶貧工程”的資

金X（1+增長率），即可求出2022年該縣將投入“扶貧工程”的資金.

【解答】解：（1）設該縣投入“扶貧工程”的年平均增長率為X,

依題意得：100（l+x）2=144,

解得：Xl=O.2=20%,X2=-2.2（不合題意，舍去）.

答：該縣投入“扶貧工程”的年平均增長率為20%.

（2）144×（1+20%）=144×1.2=172.8（萬元）.

答:預計2022年該縣將投入“扶貧工程”172.8萬元.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解

題的關鍵.

25.（2021秋?北京期中）如圖，在一塊長為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣

寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，要使

草坪面積為300平方米，道路寬應為多少米？

【分析】設道路寬為X米，則剩余部分可合成長（22-x）米，寬（17-χ）米的矩形，根

據(jù)草坪面積為300平方米，即可得出關于X的一元二次方程，解之即可得出X的值，再

結合17-χ>0,即可得出道路寬應為2米.

【解答】解：設道路寬為X米，則剩余部分可合成長（22-x）米，寬（17-x）米的矩形，

依題意得：（22-χ）（17-χ）=300,

整理得：X2-39x+74=0,

解得：xι=2,X2=37.

又?.'17-χ>0,

Λx<17,

?*?x=2.

答：道路寬應為2米.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解

題的關鍵.

26.（2021秋?寬城區(qū)校級期中）恒利商廈九月份的銷售額為150萬元，商廈從十月份起加

強管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十一月份的銷售額達到了216萬元，求這兩個

月的平均增長率?

【分析】設這兩個月的平均增長率為X,利用十一月份的銷售額=九月份的銷售額X（1+

平均增長率）2,解之取其正值即可得出結論.

【解答】解：設這兩個月的平均增長率為X,

依題意得：150（l+x）2=216,

解得：Xl=O.2=20%,Xi--2.2（不合題意，舍去）.

答：這兩個月的平均增長率為20%.

【點評】本題考查了一元：次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解

題的關鍵.

一十.二次函數(shù)的定義（共1小題）

27.（2021秋?金安區(qū)期中）若y=（/+〃）χa2-a是二次函數(shù)，求α的值.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出方程求解則可.

【解答】解：根據(jù)題意得：J-。=2且J+q≠o

解得α=2.

【點評】此題考查的是二次函數(shù)的定義，根據(jù)題意列出方程和不等式是解決此題關鍵.

一十一.二次函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）

28.（2021秋?西城區(qū)期中）已知二次函數(shù)y=αd+4x+2的圖象經(jīng)過點/（3,-4）.

（1）求“的值；

（2）求此拋物線的對稱軸；

（3）直接寫出函數(shù)），隨自變量的增大而減小的X的取值范圍.

【分析】（1）把/點坐標代入拋物線解析式可得到關于α的方程，可求得α的值；

（2）把二次函數(shù)解析式化為頂點式可求得其及對稱軸；

（3）利用二次函數(shù)的開口方向、增減性可求得答案.

【解答】解：(1)???二次函數(shù)y=αχ2+4χ+2的圖象經(jīng)過點4(3,-4),

-4=9α+12+2,

解得：a=-2,

的值為-2；

(2)由(1)可知拋物線解析式為y=-2√+4x+2=-2(X-I)2+4,

二拋物線對稱軸為直線x=l;

(3)；拋物線開口向下，對稱軸為x=l,

二當x與l時，y隨X的增大而減小.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式求得

α的值是解題的關鍵.

29.(2021秋?宣城期中)已知二次函數(shù)y=∕-2χ-1,在平面直角坐標系中畫出它的圖象，

并寫出它的頂點坐標.

【分析】利用五點法畫出函數(shù)圖象即可，根據(jù)圖象即可求得頂點坐標.

【解答】解：找出函數(shù)圖象上部分點的坐標，列表：

X…-10123

y…2-1-2-12

描點、連線，畫出函數(shù)圖象如圖所示.

拋物線y=x2-2χ-1的頂點坐標為（1,-2）.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的圖象，熟練掌握五點畫圖法是解題的關鍵.

一十二.二次函數(shù)圖象與幾何變換（共1小題）

30.（2021秋?下城區(qū)期中）將拋物線y=∕-4χ-5向右平移1個單位，再向上平移3個單

位，求得到的新拋物線解析式.

【分析】根據(jù)向右平移橫坐標加，向上平移縱坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，

然后利用頂點式解析式寫出即可.

【解答】解：：拋物線y=∕-4χ-5=（X-2）2-9,

,該拋物線的頂點坐標是（2,-9）.

：拋物線=（x-2）2-9向右平移1個單位，向上平移3個單位，

平移后的拋物線的頂點坐標為（3,-6）,

新的拋物線解析式是y=（χ-3）2-6.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下

減并確定出平移后的拋物線的頂點坐標是解題的關鍵.

一十三.二次函數(shù)的最值(共2小題)

31.(2022春?涪陵區(qū)校級期中)已知，如圖，矩形ZBCD中，NO=6,DC=I,菱形EFGH

的三個頂點E,G,，分別在矩形/1BCD的邊/B,CD,DA±,AH=2,連接CE

(1)若DG=2,求證四邊形WG”為正方形；

(2)若DG=6,求AFCG的面積；

(3)當。G為何值時，^FCG的面積最小.

DGC

;

AEB

【分析】(1)由于四邊形/8。為矩形，四邊形，EFG為菱形，那么NO=N/=90°,

HG=HE,而4H=DG=2,易證AAHE注ADGH,從而有/DHG=NHEA,等量代換可

得N∕“E+NZ)"G=90°,易證四邊形，￡FG為正方形；

(2)過尸作交。C延長線于連接GE,由于48〃C0,可得//EG=N

MGE,同理有?NHEG=N尸GR利用等式性質(zhì)有N∕E∕7=NMG凡再結合N4=NΛ∕=90°,

HE=FG,可證EgZXMFG,從而有EW=H4=2(即無論菱形EFG//如何變化，點

產(chǎn)到直線CD的距離始終為定值2),進而可求三角形面積；

(3)先設。G=x,由笫(2)小題得，SMCG=I-X,在E中，AEWAB=7,利用勾

股定理可得〃￡2W53,在Rt△/)〃G中，再利用勾股定理可得X2+16W53,進而可求XW

√37,從而可得當x=√而時，Z?GCF的面積最小.

【解答】解：(1)?.?四邊形/8C。為矩形，四邊形HEfG為菱形，

.?.∕D=∕∕=90°,HG=HE,又AH=DG=2,

...RtZkZHEgRtZXOGH(HL),

：./DHG=NHEA,

VZAHE+ZHEA=90°,

ΛZAHE+ZDHG=90o,

；?NEHG=90°,

???四邊形"EFG為正方形；

(2)過/作FM_LZ)C,交Z)C延長線于連接GE,

*CAB∕∕CD,

???ZAEG=NMGE,

'JHE//GF,

：.ZHEG=ZFGE9

：.NAEH=NMGF,

在aZHE和aMFG中，ZA=ZM=90o,HE=FG,

：.4AHEQAMFG,

：.FM=HA=2,即無論菱形EFG，如何變化，點尸到直線。的距離始終為定值2,

因此SMCG=∕FM?GC=∣?X2X(7-6)=1；

(3)設。G=x,則由第(2)小題得，SAFCG=I-X,在E中，AEWAB=7,

.?HE2^53,

ΛX2+16≤53,

Λx≤√37,

.?.SAFCG的最小值為折，此時Z)G=√^7,

二當。G=√方時，AFCG的面積最小為(7-√3).

【點評】本題考查了矩形、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.解題的關

鍵是作輔助線：過尸作?￡>C,交OC延長線于連接GE,構造全等三角形和內(nèi)錯

角.

32.（2021秋?蓮池區(qū)期中）如圖，在矩形NBCQ中，AB=?,BC=3.

（1）在圖①中，P是8C上一點，E尸垂直平分/P,分別交BC邊于點、E、F,求

證：四邊形ZIFPE是菱形；

（2）若菱形ZbE的四個頂點都在矩形/8。的邊上，當菱形的面積最大時，菱形的邊

長是?.

-3-

【分析】（1）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形證明即可.

（2）連接4C,作線段NC的垂直平分線交BC于尸，交力。于E,此時菱形XEPE的面

積最大.

【解答】（I）證明：如圖1中，

圖①

?.?四邊形/8C。是矩形,

.'.AD//BC,

：.NAPB=NEAP,

；E尸垂直平分力尸，

：.AF=PF,AE=PE,

：.ZEAP=ZR4F,

：.NAPB=ZPAF=ZPAF=NPAE,

'：PA=AP,

：.∕?EAP^FPA（.ASA）,

：.AE=AF,

：.AF=PF=AE=PE,

??.四邊形力尸/石是菱形.

（2）如圖2中，當尸與C重合時，菱形ZFPE面積最大.

圖②

設//=C尸=X,

在RtZSJB6中，AB2+BF2^AF2,

12+(3-x)2=x2.

：.AF=CF=-.

3

故答案為：?.

3

【點評】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識，解

題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

一十四.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共1小題）

33.（2021秋?西城區(qū)校級期中）拋物線的頂點坐標為（2,-1）,且過（3,0）,求出這個二

次函數(shù)的解析式.

【分析】設拋物線頂點式y(tǒng)=”（x-2）2-1,將（3,0）代入解析式求解.

【解答】解：設y="（χ-2）2-1,將（3,0）代入y=α（χ-2）2-1得0=α-1,

解得α=l,

"?y=（X-2）2-1.

【點評】本題考查求函數(shù)解析式，解題關鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握二次

函數(shù)的一般式，頂點式與交點式.

一十五.拋物線與X軸的交點（共4小題）

34.（2021秋?臺江區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y=27+2x+左-2的圖象與X軸有兩個交點，

求實數(shù)k的取值范圍.

【分析】由拋物線與X軸的交點個數(shù)轉化為對應的一元二次方程解的個數(shù)，得到A>0,

解之即可.

【解答】解：拋物線馬X軸有兩個交點，

.?.方程2x2+2x+k-2=0有兩個不同的實數(shù)根，

.?.Δ=22-4（2?-4）=-8?+20>0,

解得,k<2.5.

【點評】本題考查了拋物線與X軸的交點，把求二次函數(shù)y=αχ2+fcr?（α,h,C是常數(shù)，

α≠0）與X軸的交點問題轉化為解關于X的一元二次方程問題，△=*-4〃,決定拋物線

與X軸的交點個數(shù)：A=廿-40c>0時，拋物線與X軸有2個交點；A=∕-4qC=O時，

拋物線與X軸有1個交點；4=62-4"C<0時，拋物線與X軸沒有交點.

35.（2021秋?龍口市期中）已知二次函數(shù)y=-2?+4X.

（1）用配方法求這個二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸；

（2）畫出這個函數(shù)的大致圖象（草圖），指出函數(shù)值不小于0時，X的取值范圍.

【分析】（1）通過配方法把函數(shù)解析式轉化為頂點式，可直接得出函數(shù)的頂點坐標及對

稱軸.

(2)根據(jù)頂點及對稱軸的位置可畫出草圖；結合函數(shù)圖象，可得出結論.

【解答】解：(1)y=-2X2+4X=-2(x2-2x+↑)+2=-2(x-1)2+2,

這個二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(1,2),

對稱軸為直線x=l.

(2)圖象如下圖所示，

由圖象可知，函數(shù)值不小于O時，0WxW2.

【點評】此題考查了拋物線與X軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的三種形式，

熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關鍵.

36.(2021秋?鼓樓區(qū)校級期中)已知二次函數(shù)y=∕-2x+機-2的圖象與X軸有交點，求非

負整數(shù)機的值.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=x2-2x+m-2的圖象與X軸有交點，根據(jù)?列出m的不等

式,求出用的取值范圍即可.

【解答】解：；二次函數(shù)y=x2-2x+m-2的圖象與X軸有交點，

Δ=4-4(.m-2)NO,

.*?w≤3τ

???加為非負整數(shù)，

Λm=0或1或2或3.

【點評】本題主要考查了拋物線與X軸交點的知識，解答本題的關鍵是根據(jù)二次函數(shù)y=

X2-2x+m-2的圖象與X軸有交點列出m的不等式，此題難度不大.

37.(2020秋?建昌縣期中)如圖是二次函數(shù)y=α(x+l)?+4的圖象的一部分，根據(jù)圖象回

答下列問題：

(1)a(x+l)2+4=0的解是XI=-4,應=2；

(2)確定α的值；

(3)設拋物線的頂點是P,與X軸的另一個交點是8,試求的面積.

【分析】(1)由二次函數(shù)的圖象可以得到該拋物線的對稱軸和拋物線與X軸的交點力的

坐標，再根據(jù)拋物線的對稱性求出拋物線與X軸的另一個交點的坐標，即得到一元二次

方程α(Λ+1)2+4=0的兩個解；

(2)將點Z的坐標代入y=α(x+l)?+4列方程求出a的值即可；

(3)先求出拋物線的頂點坐標，再根據(jù)點4點8的坐標求出△刃2的面積即可.

【解答】解：(1)由二次函數(shù)y=α(升1)2+4的圖象可知，該拋物線的對稱軸為直線X

=-1,/4(-4,0),

設該拋物線與X軸的另一個交點為B,

二點8與點X(-4,0)關于直線X=-1對稱，

：.B(2,0),

二當y=0時，一元二次方程α(x+l)2+4=0的兩個解為Xl=-4,位=2,

故答案為：Xi=-4,X2—2.

(2)；點力(-4,0)在拋物線y=α(x+l)2+4±,

.?.(-4+1)2α+4=0,

.?.解得α=W?

9

(3)由(2)得a—)■,

9

該二次函數(shù)為y=-魚(x+l)2+4,

該拋物線的頂點為尸(-1,4),

又，：A(-4,0),B(2,0),

.?.N8=2+4=6,

?**SA/MB=—?×6X4=12>

2

Λ/XPAB的面積是12.

【點評】此題重點考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與X軸的交點坐標、二

次函數(shù)圖象的頂點坐標以及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識與方法，解題的關

鍵是結合函數(shù)的圖象確定拋物線上的特殊點的坐標.

一十六.圖象法求一元二次方程的近似根（共1小題）

38.（2021秋?藜江區(qū)校級期中）借鑒我們已有研究函數(shù)的經(jīng)驗，探索函數(shù)y=∣r2-2χ-3∣-

2的圖象與性質(zhì)，研究過程如下，請補充完整.

（1）自變量X的取值范圍是全體實數(shù)，X與y的幾組對應值列表如下:

X???-3-2-1012345???

y???10m-21n1-2310???

其中，m=3,n=2；

(2)根據(jù)如表數(shù)據(jù)，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出函數(shù)圖象;

(3)觀察函數(shù)圖象：

①寫出函數(shù)的一條圖象性質(zhì)：圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=l;

②當方程廿-2x-3?=h+2有且僅有兩個不相等的實數(shù)根，根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出b的取

值范圍為6=-2或6>2.

I------1

10

-19

I____

；8

「一->

17

6

5

4

I____

1

O

j-?

【分析】(1)把X=-2和x=l分別代入-2x-3|-2,即可求得;

(2)描點、連線畫出圖形;

(3)①根據(jù)圖象即可求得；

②根據(jù)圖象即可求得.

【解答】解：(1)把X=-2代入y=p-2x-3|-2,得y=3,

??加=3,

把X=I代入y=∣χ2-2χ-3|-2,得y=2,

??/?―2,

故答案為：3,2；

(2)如圖所示：

Tm-T-r

4

I

T

I

T

1

—

X

I

+

I

T

(3)①函數(shù)的性質(zhì)：圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=l；

故答案為圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=l：

②由圖象可知，當b=-2或b>2時，函數(shù)V=N-2x-3|-2圖象與直線y=b有兩個交

點，

,/當方程*-2x-3∣=?+2有且僅有兩個不相等的實數(shù)根時，b=-2或b>2,

故答案為b=-2或6>2.

【點評】本題考查了二次函數(shù)與X軸的交點問題和一元二次方程的根的情況，注意利用

數(shù)形結合的思想，理解一元二次方程與拋物線的關系是解此題的關鍵.

一十七.根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式(共2小題)

39.(2019秋?東城區(qū)校級期中)美國圣路易斯市有一座巨大的拱門，這座拱高和底寬都是

192,”的不銹鋼拱門是美國開發(fā)西部的標志性建筑.如果把拱門看作一條拋物線，試建立

恰當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并寫出與該拋物線相應的函數(shù)表達式.

【分析】以拱門底部中點為原點，水平面為X軸，豎直方向為尸軸建立坐標系，設拋物

線相應的函數(shù)表達式：y=ax2+?92,代入點的坐標，即可得到結論.

【解答】解：如圖，以拱門底部中點為原點，水平面為X軸，豎直方向為y軸建立坐標

系，

設拋物線相應的函數(shù)表達式：y=α∕+192,

；該拋物線過點8（96,0）,

Λ0=962α+192解得α=-2,

48

【點評】此題考查二次函數(shù)的實際運用，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，建立函數(shù)與方

程之間的聯(lián)系是解決問題的關鍵.

40.（2019秋?寧明縣期中）在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角

（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園/88（籬笆只圍/8,BC兩邊）,

設力8=xm,花園的面積為S.求S與X之間的函數(shù)表達式，并求自變量X的取值范圍.

【分析】直接利用表示出力8,BC的長進而得出關系式，進而得出X的取值范圍.

【解答】解:：4B=Xm,；.BC=（28-χ）m,

S=AB*BC=x（28-χ）=-χ2+28x,

籬笆的長為28"i,二0VXV28,

即S=-x2+28X（0<x<28）.

【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題抽象出二次函數(shù)關系式，正確表示出各邊長是解

題關鍵.

一十八.二次函數(shù)的應用（共1小題）

41.（2021秋?越城區(qū)期中）（1）某農(nóng)場擬建一間矩形間養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一而靠現(xiàn)有墻（墻足

夠長），已知計劃中的建筑材料可建圍墻的總長為50m.如圖1,問飼養(yǎng)室長為多少時，

占地面積最大.

（2）解決（1）后，我們反思：如果要求在圖示位置留2團寬的門（如圖2）,且仍使飼養(yǎng)

室占地面積最大，這時小敏回答，只要飼養(yǎng)室長比（I）的長多就行，請你通過計算，

判斷小敏的回答是否正確.

（3）對于（1）、（2）,進一步反思：如果要求在圖中所示位置留2機寬的門（如圖3）,這

時小敏回答，只要飼養(yǎng)室長比（1）的長多2,“就行，請你通過計算，判斷小敏的回答是

否正確.

【分析】（1）設飼養(yǎng)室的面積為沖上根據(jù)矩形的面積公式寫出y與X的函數(shù)關系式，根

據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；

（2）根據(jù)（1）中方法求出面積取最大值時X的值與（1）中X的值比較即可;

（3）根據(jù)（1）中方法求出面積取最大值時X的值與（1）中X的值比較即可.

【解答】解：（1）設飼養(yǎng)室的面積為山》2,根據(jù)題意得：

V=X-A（X-25）

222

：-工<0,

2

,當x=25時，占地面積最大，

工飼養(yǎng)室長X為25m時;占地面積y最大；

（2）由題意得：y=χ??^二區(qū)NL=-A（X-26）2+338,

22

?.?-A<o,

2

,當x=26時，占地面積最大，

即飼養(yǎng)室長X為26m時,占地面積V最大，

V26-25=1（5?），

，小敏的說法正確；

（3）由題意得：y=x?5。-（X-2-2）=-JL（X-27）2+上空，

222

?.?-A<o,

2

二當x=27時，占地面積最大，

即飼養(yǎng)室長X為26,"時，占地面枳y最大，

V27-25=2（cm）,

.?.小敏的說法正確.