2023-2024學(xué)年遼寧省高二年級(jí)下冊期中考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年遼寧省高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.數(shù)列一1,4,—9,16,—25,…的一^↑*通項(xiàng)公式為()

22+,22

A.an=MB.a,,=(-?y-nC.all=(-l)"-nD.a,l=(-1)"-(n+1)

【正確答案】B

【分析】奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，則符號(hào)為(-1)",結(jié)合具體數(shù)值可辨析.

【詳解】奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)，則符號(hào)為(-1)",

每項(xiàng)都為平方數(shù),故α,,=(-l)"?",

故選：B.

37

2.已知P(AlB)=1,P(B)=則P(AB)=()

34Cl27

A.—B.-C.—D.—

77349

【正確答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用條件概率公式計(jì)算作答.

37371

【詳解】因?yàn)镻(AIB)=亍，P(B)=§，所以P(AB)=P(A∣3)P(B)=I=1

故選：C

3.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九

日共行一千二百六十里，問日增幾何？”，該問題中，善走男第5日所走的路程里數(shù)是().

A.IlOB.120C.130D.140

【正確答案】D

【分析】由題意可得此人所走的里數(shù)為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算可得答案.

【詳解】解：由題意設(shè)此人第一天走《里，第二天走的里，L,第"天走。"里，｛4｝是等差數(shù)列，

首項(xiàng)是q=100,

因?yàn)镾,=嗎④=上∣%=9%=126O,所以G=140.故選：D.

4.在等比數(shù)列｛%｝中，《=；,公比g=2,則%與〃5的等比中項(xiàng)是()

A.2B.4C.±2D.±4

【正確答案】D

【分析】先通過等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算為生，進(jìn)而可得其等比中項(xiàng).

【詳解】解：因?yàn)榈模?"；=（%q3）=（；義2]=16，

所以內(nèi)與%的等比中項(xiàng)是±4,

故選：D.

5.已知數(shù)列｛4,,｝滿足4,+∣=2α,,+l,其中%=1，則％=（）

A.2B.4C.9D.15

【正確答案】D

【分析】利用構(gòu)造法證明數(shù)列｛α,,+l｝為等比數(shù)列，即可求解.

【詳解】因?yàn)?=20,,+l,所以4m+1=2（%+1）,即號(hào)*=2,

所以數(shù)列｛%+1｝是公比為2的等比數(shù)列，

所以若=21所以/+l=16,則%=15,

故選:D.

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明l+；+g++∕zj<M"eN*,”>l）時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式（）

A.1+—<2B.1H----1—<2

223

C.1+?1<3D.l+1+W3

23234

【正確答案】B

【分析】取〃=2即可得到第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式.

【詳解】由題意得，當(dāng)〃=2時(shí)，不等式為l+g+g<2.

故選：B.

1?

7.某同學(xué)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，在甲、乙、丙三個(gè)不同的位置投中的概率分別p,?,p該同學(xué)站在這

三個(gè)不同的位置各投籃一次，恰好投中兩次的概率為]，則P的值為（）

O

1123

A.-B.-C.-D.-

4334

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件概率的乘法公式求恰好投中兩次的概率，列方程求解即可得結(jié)果.

【詳解】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A,B,C,則P（A）=P,P（0=M（C）=；,

可知恰好投中兩次為事件ABGA與CZBC,

Ir2、（1?21211

故恰好投中兩次的概率P=PX彳χ∣I-T∣+pχ∣1--×7+（1-p）×-×τ=τ+7P=,解得P=I

Z\5J、Z）5z??θ

故選：A.

8.設(shè)等比數(shù)列｛，，〃｝的前”項(xiàng)和為S"，若率=；，則*=（）

??s???

7321

A.-B.—C.—D.一

9433

【正確答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前八項(xiàng)和公式，列式求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為q,公比為4,由條件生=J可知，4≠ι,

1O

?+95=??解得：q5=--

(j5)(]+q5+qio)

5io1247

=11+(7+q=1-----1—=—

"q5399

故選：A

二、多選題

9.（多選）已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為則下列是該數(shù)列中的項(xiàng)的是（)

A.18B.12C.25D.30

【正確答案】BD

=20,iz=30,

【分析】由于”為正整數(shù)，且〃越大，對越大，求得=3無整數(shù)解，且為=12,445

%=42,判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)?=/+",所以"越大，越大.

2

當(dāng)〃=3時(shí)，α3=3+3=12；

當(dāng)〃=4時(shí)，％=42+4=20;

當(dāng)”=5時(shí)，=52+5=30；

當(dāng)〃=6時(shí)，?=62+6=42.

故選：BD.

10.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為:

X01234

Pq0.40.10.20.2

若離散型隨機(jī)變量y滿足y=2x-ι,則下列結(jié)果正確的有()

A.E(X)=2B.O(X)=I.8C.E(Y)=5D.D(Y)=3.6

【正確答案】AB

【分析】對于AB,利用數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算公式求解即可判斷；對于CD,利用數(shù)學(xué)期望與方差

的性質(zhì)求得新的數(shù)學(xué)期望與方差即可判斷.

【詳解】對于A,由4+04+0.1+0.2+0.2=1,則q=0.1,

所以E(X)=lx().4+2x().l+3x().2+4x().2=2,故A正確；

對于B,D(X)=0.1×(0-2)2+0.4X(1-2)2+0.1×(2-2)2+0.2×(3-2)2+0.2×(4-2)2=1.8,故B正確;

對于C,因?yàn)閥=2X—1,所以E(Y)=2E(X)-1=3,故C錯(cuò)誤；

對于D,D(X)=4D(X)=4×1.8=7.2,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.設(shè)等差數(shù)列｛α,J的前〃項(xiàng)和為S.，q>0,公差為d,?+?>0,%<0,則下列結(jié)論正確的是

()

A.d<0

B.當(dāng)”=8(1寸，S“取得最大值

C.ai+a5+α∣8<0

D.使得S,,>0成立的最大自然數(shù)”是15

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)已知可判斷%>0,%<0,然后可判斷AB；利用通項(xiàng)公式將見+%+頷轉(zhuǎn)化為佝可

判斷C；利用下標(biāo)和性質(zhì)表示出S-力可判斷D.

【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛風(fēng)｝中，4ti+%>0,4,<0,

所以4>0,%<0,d=a9-a3<0,A正確;

當(dāng)〃=8時(shí)，Sn取得最大值，B正確;

a4+a5+fz18=3q+24d=3(q+8d)=3%<0,C正確；

1a

兒=8(4+46)=8(%+%)>0，St7=-('^-^=Πav<0,

故S,,>0成立的最大自然數(shù)〃=16,D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.下列說法正確的的有()

A.已知一組數(shù)據(jù)陽，巧，，XK)的方差為3,則gx∣+2,?,+2,,g.%+2的方差也為

3

B.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量X,y,其線性回歸方程為y=0.3x-帆，若樣本點(diǎn)的中心為(列2?8),

則實(shí)數(shù)m的值是-4

C.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布"(〃,4)，?P(X>-∣)+P(X>5)=1,則〃=2

D.己知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布若E(3X+1)=7,貝ij〃=6

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)方差的定義可判斷A；根據(jù)樣本點(diǎn)在回歸直線上求得〃?的值可判斷B；根據(jù)

P(X>T)+P(X≥5)=1可得P(X≥5)=P(X≤-1),由對稱性求出對稱軸可得“的值可判斷C；根

據(jù)二項(xiàng)分布方差的公式以及方差的性質(zhì)可判斷D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】對于A：設(shè)西,々,0,々的平均數(shù)為"方差為S?,

則2222

5=*+?),.V=-^[(XI-X)+(X2-X)++(XI0-X)=3,

1111-

所以§芭+2,-X2+2,,]%。+2的平均數(shù)為gx+2,

所以方差為4I；%+2—3》—？)+(；“2+2_；X-2)+.+(；XIo+2_gx-2)

2故選項(xiàng)不正確；

=∣×^(ΛI(xiàn)-X)^+(X2-Λ)^+?+(XI0-Λ)^^=→=∣,A

對于B：因?yàn)榫€性回歸直線過樣本點(diǎn)中心，所以2.8=0.3機(jī)-6，可得機(jī)=-4,

故選項(xiàng)B正確；

對于C：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),所以對稱軸為X=〃，又P(X>T)+P(X≥5)=1,

而P(X>T)+P(X≤-1)=1,所以P(XN5)=P(X≤-1),

則〃=O2=2,故選項(xiàng)C正確；

對于D：因?yàn)閄服從二項(xiàng)分布所以E(X)=/,

所以E(3X+l)=3E(X)+l=3x]+l=7,則”=6,故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD

三、填空題

13.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示:

XO12

P0.36?-2qq

則常數(shù)4的值為.

9

【正確答案】0.36/—

【分析】直接根據(jù)概率和為1列方程計(jì)算即可.

【詳解】由已知得0.36+l-2q+q=l,解得q=0.36.

故答案為.0?36

14.隨著人們對環(huán)境關(guān)注度的提高，綠色低碳出行越來越受市民重視，小李早上上班的時(shí)候，可以

騎電動(dòng)車，也可以騎自行車，已知小李騎電動(dòng)車的概率為0?6,騎自行車的概率為0.4,而且在騎電

動(dòng)車與騎自行車條件下，小李準(zhǔn)時(shí)到單位的概率分別為0.9與0.8,則小李準(zhǔn)時(shí)到單位的概率是

【正確答案】0.86/—

【分析】根據(jù)概率的加法公式可分別計(jì)算出騎電動(dòng)車與騎自行車準(zhǔn)時(shí)到單位的概率，再相加即可.

【詳解】由題意可得，小李騎電動(dòng)車準(zhǔn)時(shí)到單位的概率為＜=0?6x0?9=0.54；

騎自行車準(zhǔn)時(shí)到單位的概率為P2=0.4×0.8=0.32；

則小李準(zhǔn)時(shí)到單位的概率是P=A+￡=0.86.

故086

15.在各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝中，%,1七，4成等差數(shù)列，則生詈的值是______.

2Cl5+Cl6

【正確答案】或土！

2

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛a,,｝的公比為q(q>0),利用生，可成等差數(shù)列求出<?的值，化簡”生

并代入求值即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為"(4>0)

由%=%+4,得/-q-l=0,解得q=笥叵(負(fù)值舍)

則4+%69+必4P]+&

、a5+aβa5+ab2

故回

2

本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，得出要求的比值為q是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.

16.已知數(shù)列｛αr,｝,4=1,且而匕j，?eN\求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式_______；

【正確答案】a=-.

lln

1111

【分析】由〃向=〃「—m得〃“+「4=一二一n=―?一一，利用累加法求｛凡｝即可.

∏(n+l)∕I(H÷1)〃+1n

1111

【詳解】因?yàn)??！?1=〃〃_,n,所以4+1-一一/C=FT—一，

zι(n+l)n÷1n

W…1111II…311”

當(dāng)"≥2時(shí)，a^-a=--7?π—ɑ?————>.......，凡-41=-----------?相加倚?！ㄒ?=—二,所

x21'332nn-?n1

以4=L

n

當(dāng)〃=1時(shí)，4=1也符合上式，所以數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式

故答案為.q=工

n

四、解答題

17.近年來，新能源產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，已成為一大支柱產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計(jì)，某市一家新能源企業(yè)近5個(gè)月的

產(chǎn)值如下表，由散點(diǎn)圖知，該企業(yè)產(chǎn)值y(億元)與月份代碼X線性相關(guān).

月份6月7月8月9月10月

月份代碼X12345

產(chǎn)值y(億元)1620273037

(I)求出y關(guān)于X的線性回歸方程；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果，預(yù)測明年2月份該企業(yè)的產(chǎn)值.

Yιxiyi-nxy

參考公式.A=W-------------,a=y-bx

Sx；-nx2

/=I

55

參考數(shù)據(jù).2茗》二442,?；=55,9=26

/=I?=1

【正確答案】(l)g=5.2x+10?4

(2)57.2億元.

【分析】(1)由已知數(shù)據(jù)結(jié)合回歸方程公式計(jì)算y關(guān)于X的線性回歸方程;

(2)將x=9代入回歸方程即可求出明年2月份該企業(yè)的產(chǎn)值.

【詳解】(1)因?yàn)門=g(l+2+3+4+5)=3,所以?=44jJTj26=52,

?????V

所以2=5-宸=26-5.2x3=10.4,

所以了關(guān)于X的線性回歸方程為9=5.2X+10.4,

(2)明年2月份的月份代碼為9,

當(dāng)x=9時(shí)，3=5.2x9+10.4=57.2,

所以明年2月份該企業(yè)的產(chǎn)值約為57.2億元.

18.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列,且4=5,SK)=Ioo.求:

(1)數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)6=唯2〃，求數(shù)列｛￡｝前5項(xiàng)和為i

【正確答案】(l)aπ=2n-l

(2)682

【分析】(1)根據(jù)題意列出方程組，求得首項(xiàng)和公差，可得答案;

(2)由(1)的結(jié)論可得"的表達(dá)式，根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和，即可求得答案.

【詳解】(1)等差數(shù)列｛"”｝中，設(shè)公差為d,

ai=at+2d=5

由%=5,S10=IOO,可得<

S10=1Oal+2<7=IOO

解得："∣=l,d=2,

所以=4+("T)"=2"-l；

(2)由(1)知a.=2,-l,

由/=Iog?2,可得H=??”=2/"',

則數(shù)列e,｝是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列,

2×(l-45)

所以4=-=682.

ι-q-1≡4

19.一個(gè)袋中裝有大小相同的8個(gè)小球，其中5個(gè)紅球，3個(gè)黑球，現(xiàn)從中隨機(jī)摸出3個(gè)球.

（1）求至少摸到1個(gè)紅球的概率；

（2）求摸到紅球的個(gè)數(shù)4的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

【正確答案】（l）∣j?

56

⑵分布列見解析，f（?）=v?

O

【分析】（I）根據(jù)對立事件的概率公式可求出結(jié)果：

（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式求出概率后，可得分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可求出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】（1）設(shè)至少摸到1個(gè)紅球?yàn)槭录?

C355

則P（A）=I=??.

C856

（2）J服從超幾何分布，P∕=k）=(々=0,1,2,3),

Pe=O)=等=2，Pe=I)=等啜,

?θ30

產(chǎn)(。=2)=萼=￡=Pe=3)=C；-C1,1105

?O/5C；56-28

所以摸到紅球的個(gè)數(shù)J的概率分布列為

0123

115155

P

56562828

Ec)=OXLlx"+2x"+3xW="

565628288

20.某市銷售商為了解A、B兩款手機(jī)的款式與購買者性別之間的是否有關(guān)系，對一些購買者做了問

卷調(diào)查，得到2x2列聯(lián)表如下表所示:

購買A款購買B款總計(jì)

女25

男40

總計(jì)100

已知所調(diào)查的IOO人中，A款手機(jī)的購買者比8款手機(jī)的購買者少20人.

⑴將上面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；

(2)是否有99%的把握認(rèn)為購買手機(jī)款式與性別之間有關(guān)，請說明理由；

(3)用樣本估計(jì)總體，從所有購買兩款手機(jī)的人中，選出4人作為幸運(yùn)顧客，求4人中購買A款手機(jī)

的人數(shù)不超過1人的概率.

附:

p(*叫0.10.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

n(aJ-?c,)^

參考公式：Z2=n=a+b+c+d.

(α+6)(c+d)(α+c)(6+d)

【正確答案】(1)列聯(lián)表見解析:

⑵有,理由見解析;

297

(3)-----.

625

【分析】(1)由題目條件可將列聯(lián)表補(bǔ)充完整:

(2)利用公式算得力,后比較其與6.635大小可得結(jié)果；

402

(3)由題目條件可得每次選出購買A款手機(jī)的人的概率均為商=g,設(shè)X為4人中選出購買A款

手機(jī)的人數(shù)，則X得P(X≤1)=P(X=O)+P(X=I).

【詳解】(1)由題可得列聯(lián)表如下：

購買A款購買B款總計(jì)

女252045

男154055

總計(jì)4060IOO

(2)由題有：JIOO(25x4075x20)2

/V.cUUΛf?χz?

因?yàn)?.249>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為購買手機(jī)款式與性別之間有關(guān)；

(3)從所有購買兩款手機(jī)的人中，選出4人可以看成做了4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次選出購買A款手

機(jī)的人的概率均為40器=(2,

設(shè)X為4人中選出購買A款手機(jī)的人數(shù)，X8(4,|),

所以P(X=HlJ嘿J(X=I)=Mfl[=患

P(X≤1)=P｛X=O)+P(X=1)=-^-+-=—.

'''''7625625625

21.已知各項(xiàng)均不為O的數(shù)列｛《,｝滿足4=1,a,,-a,,+l=α,,αn+∣.

⑴求證：數(shù)歹小,[為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)為數(shù)列｛/4”｝的前〃項(xiàng)和，求證.Sn<1

【正確答案】(1)證明見解析，a=-?

nn

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用給定的遞推公式，變形推理即可，再求出通項(xiàng)公式作答.

(2)由(1)結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可作答.

【詳解】(1)因?yàn)閿?shù)列｛%｝的各項(xiàng)均不為0,則對,A*0,

將4-%=α,4*∣兩邊同時(shí)除以44+1，得;;--~=1>又;=1,

an+