數(shù)學(xué)化歸思想方法1-5

化歸思想方法(一)化歸是解決問(wèn)題的一種最根本的思想方法。數(shù)學(xué)大師波利亞說(shuō)：解決問(wèn)題需要不斷地變換，需要一再變化它，重新表達(dá)它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止，……。波利亞精辟地表達(dá)了化歸思想方法的重要性。實(shí)際上，我們常常是把將要解決的陌生問(wèn)題通過(guò)化歸，變?yōu)橐粋€(gè)比擬熟悉的問(wèn)題來(lái)解決，因?yàn)檫@樣可以充分調(diào)動(dòng)和運(yùn)用我們已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法應(yīng)用于問(wèn)題的解決，也常常將一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題化歸為一個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決，或?qū)⒊橄蟮膯?wèn)題化歸為具體的問(wèn)題來(lái)解決，等等，這就是化歸的思想方法。從這個(gè)角度上來(lái)看，我們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題所采用的各種數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)質(zhì)上都是數(shù)學(xué)模式之間化歸的一種手段，數(shù)形結(jié)合思想表達(dá)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程思想表達(dá)了函數(shù)、方程、不等式的相互轉(zhuǎn)化，分類討論那么表達(dá)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化。因此，化歸的思想方法已滲透到整個(gè)教學(xué)內(nèi)容及解題過(guò)程中，它也是歷屆高考的重點(diǎn)考查對(duì)象。對(duì)考生的要求也越來(lái)越高，理應(yīng)引起充分重視?！疽c(diǎn)回憶】1、函數(shù)與方程、不等式的化歸；2、函數(shù)與數(shù)列的化歸；3、向量、復(fù)數(shù)和三角的化歸；4、向量與幾何的化歸；5、平面與立體圖形的化歸；6、變量與常量間的化歸；7、數(shù)與形的化歸；8、實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)模型的化歸；9、命題間的化歸，如根據(jù)原命題與逆否問(wèn)題的等價(jià)性轉(zhuǎn)化；10．將復(fù)雜的問(wèn)題、陌生的問(wèn)題，通過(guò)等價(jià)變形化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題、熟悉的問(wèn)題、根本量問(wèn)題。【能力要求】1、運(yùn)算能力與等價(jià)轉(zhuǎn)化能力；2、知識(shí)間的聯(lián)想類比能力(包括結(jié)構(gòu)、關(guān)系、因果等)；3、數(shù)形結(jié)合的能力；4、能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)建模能力；5、探索能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力。一、換元法是一種常用的化歸策略1、常用換元法換元法是化歸思想方法中較為常用且很重要的解題方法，其實(shí)質(zhì)是借助數(shù)學(xué)對(duì)象的互化(主要是形態(tài)的變化)，使條件和結(jié)論的聯(lián)系由暗到明，從而到達(dá)解決問(wèn)題的目的。運(yùn)用換元法時(shí)要熟練掌握一些常用換元方式，如三角代換、根式代換、向量代換、特殊數(shù)列替換等。在換元的過(guò)程中，要時(shí)刻注意到引進(jìn)的新“元”的范圍的取定，因?yàn)閱?wèn)題的錯(cuò)誤往往就是新引進(jìn)的“元”范圍不正確而導(dǎo)致的。我們通過(guò)幾個(gè)例子加以說(shuō)明。【例1】(換元要簡(jiǎn)捷)的最大、最小值。分析：實(shí)際上上述兩次換元，可以改良為一次換元，設(shè)即可?？梢?jiàn)，怎樣換元使問(wèn)題的解決更為簡(jiǎn)捷，這就需要在換元前做一些深入的分析，即換元需要有優(yōu)化意識(shí)?！纠?】(奇妙的換元法)，且，求證：。分析：設(shè)，那么，點(diǎn)評(píng)：換元方法恰當(dāng)，能收到神奇的效果。【例3】〔換元、設(shè)待定系數(shù)證明不等式〕設(shè)非負(fù)，且，求證：。分析：〔1〕設(shè)〔是對(duì)稱地位，必有一個(gè)小于等于〕，那么，，?！?〕設(shè)，那么。化歸思想方法(二)二、有著廣泛應(yīng)用的三角換元法中學(xué)數(shù)學(xué)中，不少最值、值域問(wèn)題，不等式、方程的解，求數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和等問(wèn)題，都可以通過(guò)聯(lián)想其具有相似特征的三角公式，運(yùn)用三角換元法加以解決?！纠?】(聯(lián)想公式進(jìn)行換元)解不等式。分析：設(shè)?！纠?】給定正整數(shù)，對(duì)于滿足的所有等差數(shù)列，試求的最大值。分析：設(shè)，那么，即，時(shí)，?！纠?】設(shè)，，求證：。分析：，，且設(shè)，，，，【例4】(聯(lián)想兩角的和與差公式進(jìn)行換元)，且，求證。分析：設(shè)，那么求證的左邊【例5】(聯(lián)想半角公式進(jìn)行換元)數(shù)列滿足，求證：是單調(diào)數(shù)列。分析：，，，且，是單調(diào)數(shù)列。【例6】(聯(lián)想萬(wàn)能置換公式進(jìn)行換元)解不等式。分析：設(shè)，【例7】求的值域；分析：令【例8】(聯(lián)想公式進(jìn)行換元)數(shù)列中，，，求。分析：，。問(wèn)題2：，求證：。分析：令，那么【例9】數(shù)列滿足，求的值。分析：令，那么，又。【例10】(聯(lián)想公式進(jìn)行換元)解方程組；分析：，令，那么【例11】(波蘭數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)求的值域。分析：設(shè)。故有?！纠?2】(聯(lián)想公式進(jìn)行換元)，求的取值范圍。分析：令，?；瘹w思想方法(三)三、設(shè)對(duì)偶式，搭橋鋪路，化難為易借助對(duì)偶原理，我們首先觀察、分析式子，設(shè)出式子或命題的對(duì)偶形式，再對(duì)互為對(duì)偶的兩個(gè)式子進(jìn)行運(yùn)算，得出對(duì)解決問(wèn)題起重要作用的信息，從而到達(dá)最終解決問(wèn)題的目的?！纠?】，求證：。分析：記，，那么【例2】求的值。分析：設(shè)，，那么；；。同樣以下問(wèn)題均可以設(shè)對(duì)偶式求解(當(dāng)然也可以用計(jì)算器求解)：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕【例3】。分析：，利用平方和為1，可求出m的值?！纠?】。分析：那么M+N=…=。又N?！纠?】。分析：設(shè)利用均值不等式，有M+N?！纠?】。分析：，N=利用均值不等式，有。又N，故結(jié)論成立?！纠?】求和。分析：設(shè)，。利用組合數(shù)性質(zhì)，有M=N。又M+N=，故原式=?！纠?】求證。分析：設(shè)M=，N=。又M的對(duì)應(yīng)因數(shù)分別小于N的對(duì)應(yīng)因數(shù)，故M<N，所以，即結(jié)論成立?！纠?】求證分析：設(shè)M=，N=。由假分?jǐn)?shù)的性質(zhì)，可知，M>N>P(三者對(duì)應(yīng)項(xiàng)分別大)，且，即結(jié)論成立?；瘹w思想方法(四)四、把方程、不等式化為函數(shù)問(wèn)題，另辟蹊徑，曲徑通幽某些方程、不等式問(wèn)題，我們可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，并利用函數(shù)性質(zhì)加以解決，能收到化難為易的奇效。【例1】求方程的解。分析：記，那么有，且在上遞增。?！纠?】解不等式。分析：，令，那么在上遞增。故原不等式可化為?！纠?】求的值。分析：設(shè)，那么該函數(shù)既是奇函數(shù)，又是R上的增函數(shù)。由題知…化歸思想方法(五)五、化數(shù)為形，以形助數(shù)一些結(jié)構(gòu)看似非常復(fù)雜，或運(yùn)用代數(shù)方法化簡(jiǎn)的過(guò)程繁瑣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造幾何圖形并借助幾何意義解決，能收到事半功倍的效果。其中構(gòu)造幾何圖形的關(guān)鍵是：第一步分析代數(shù)式子的特征，聯(lián)想它與什么幾何圖形的性質(zhì)特征相似；第二步翻譯代數(shù)式子的幾何意義；第三步運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題。【例1】求的最值。分析：，那么，且。這里可看作直線在x軸上的截距，故結(jié)合幾何意義，可求出最值?！纠?】，求證：。分析：與余弦定理極為相似，故聯(lián)想余弦定理解決，并構(gòu)造如以下圖形：那么同理，