2023年高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案（三）

2023年高考文科數(shù)學(xué)模擬試卷及答案（三）

一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.每小題

給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

2+i

1.設(shè)復(fù)數(shù)z=（i+i）2（i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（）

A.-1B.1C.-iD.i

2.滿足MG{1,2,3,4,5},且MG{1,2,3}={1,3}的集合M

的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

3.宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生〃的問題：松

長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是

源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a,b分別為5,2,則輸出的

n=（）

A.2B.3C.4D.5

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的

正視圖（等腰直角三角形）和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為小則該

幾何體的俯視圖可以是（）

5.一個樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b,且a,b分別是數(shù)列｛乃個

（n￡N*）的第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，則這個樣本的方差是（）

A.3B.4C.5D.6

6.以下判斷正確的個數(shù)是（）

①相關(guān)系數(shù)r,|r|值越小，變量之間的相關(guān)性越強(qiáng).

②命題“存在x￡R,x2+x-1V0〃的否定是“不存在x￡R,x2+x-1^0,z.

③"pVq〃為真是"「P"為假的必要不充分條件.

④若回歸直線的斜率估計(jì)值是L23,樣本點(diǎn)的中心為（4,5）,則回

歸直線方程是j=1.23x+0.08.

A.4B.2C.3D.1

7.假設(shè)你家訂了一份牛奶，奶哥在早上6：00——7：00之間隨機(jī)

地把牛奶送到你家，而你在早上6：30——7：30之間隨機(jī)地離家

上學(xué)，則你在離開家前能收到牛奶的概率是（）

A.[B.AC.gD.《

00^0

8.已知正方體ABCD-AiBiJDi的棱長為LE是棱DiCi的中點(diǎn)，點(diǎn)

F在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，若EF〃平面AiBCi,則動點(diǎn)F的

軌跡所形成的區(qū)域面積是（）

A.|B.喙C.乎D.如

OZhl

9.在直角^ABC中，ZBCA=90°,CA=CB=1,P為AB邊上的點(diǎn)研=入啊

若萬?瓦2忌?誣，則人的最大值是()

A.苧B.苧C.1D.我

10.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛aj滿足ai=Lan-2an=39(n￡N*),那

么數(shù)列｛an｝的前50項(xiàng)和S50的最小值為()

A.637B.559C.481+25后D.492+24、'"；

99

11.已知函數(shù)f(x)=Inx|,若f(m)=f(n)(m>n>0),貝U京廣鬲'

=()

1

A.彳B.1C.2D.4

2

12.已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線J*=l(n>。)的兩條漸近線分別為

11,&右焦點(diǎn)為F,以O(shè)F為直徑的圓交k于異于原點(diǎn)。的點(diǎn)A,若

點(diǎn)B在12上，且當(dāng)BA=AF,則雙曲線的方程為()

2222

2y—2y—2y—2y-

A.x--1B.x--1c.x--1D.x--1

二、填空題(每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上)

13.已知角a的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(-sin25。，cos25。)，則角a的

最小正值為.

14.已知等比數(shù)列｛aj，且a6+a8=4,貝!Ja8(a4+2a6+a8)的值為.

’2XR+1〉0

15.設(shè)關(guān)于x、y的不等式組卜+Y0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,

滿足求得的取值范圍是.

yo),x0-2yo=2,m

16.已知函數(shù)f(x)=等(a￡R)的圖象與直線x-2y=0相切，當(dāng)

函數(shù)g(x)=f(f(x))-t恰有一個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

17.在4ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c,a2+b2+c2=ab+bc+ca.

(1)證明^ABC是正三角形；

(2)如圖，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且BC=2CD,AD="",求sinN

BAD的值.

18.已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平

測試，學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績抽樣調(diào)查，

先將800人按001,002,800進(jìn)行編號.

(1)如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀，請你依次寫出最先檢查

的3個人的編號；

(下面摘取了第7行到第9行)

844217533157245506887704744767217633502583

92120676

630163785916955667199810507175128673580744

39523879

33211234297864560782524207443815510013429966

027954

(2)抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚?/p>

成績分為優(yōu)秀、良好、及格三個等級；橫向，縱向分別表示地理成績

與數(shù)學(xué)成績，例如：表中數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4=42

①若在該樣本中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率是30%,求a,b的值：

人數(shù)數(shù)學(xué)

優(yōu)秀良好及格

地理優(yōu)秀7205

良好9186

及格a4b

②在地理成績及格的學(xué)生中，已知alll,b27,求數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的

人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.

19.等腰4ABC的底邊物6%，高CD=3,點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B,

D的動點(diǎn).點(diǎn)F在BC邊上，且EF_LAB.現(xiàn)沿EF將4BEF折起到4PEF

的位置，使PE_LAE.

(I)證明EF_L平面PAE；

(H)記BE=x,V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積，求V(x)的最

值.

20.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線x=4與x軸的交點(diǎn)

為P,與拋物線的交點(diǎn)為Q,且喇勺喇.

(1)求拋物線的方程；

(2)如圖所示，過F的直線I與拋物線相交于A,D兩點(diǎn)，與圓x2+

(y-1)2=1相交于B,C兩點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)相鄰)，過A,D兩點(diǎn)分別

作我校的切線，兩條切線相交于點(diǎn)M,求△ABM與ACDM的面積之

積的最小值.

21.已知函數(shù)f(x)=lnx-x.

lnx2

(1)證明：對任意的Xi，x2e(0,+8),都有|f(Xi)|>W；

(2)設(shè)比較皿喑SH電與1Y的大小，并說明理由.

m-n

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知

曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4cos&曲線M的直角坐標(biāo)方程為x-2y+2=0

(x>0)

(1)以曲線M上的點(diǎn)與點(diǎn)。連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的

參數(shù)方程；

(2)設(shè)曲線C與曲線M的兩個交點(diǎn)為A,B,求直線0A與直線0B

的斜率之和.

［選修4-5：不等式選講］

23.(1)若不等式成立的充分不必要條件為求

實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2)已知a,b是正數(shù)，且a+b=l,求證：(ax+by)(bx+ay)Nxy.

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.每小題

給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

2+i

1.設(shè)復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的虛部是（）

（1+1）

A.-1B.1C.-iD.i

【考點(diǎn)】A2：復(fù)數(shù)的基本概念.

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出.

【解答】解：復(fù)數(shù)睪=（需;）=弩嗎7,則z的虛部

是-1.

故選：A.

2.滿足MG{1,2,3,4,5},且MA{1,2,3}={1,3}的集合M

的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算.

【分析】根據(jù)Mn{l,2,3}={1,3}得到L3￡M,即可得到結(jié)論.

【解答】解：依題意集合M可能為{1,3},{1,3,4},{1,3,5）,

{1,3,4,5）.

故選：D

3.宋元時期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問題：松

長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是

源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a,b分別為5,2,則輸出的

)

［開始］

一1一

入a,

A.2B.3C.4D.5

【考點(diǎn)】EF：程序框圖.

【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)

算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的

變化情況，可得答案.

【解答】解：當(dāng)n=l時，a=號b=4,滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，

45

當(dāng)n=2時、a=石，b=8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，

當(dāng)n=3時一，a=登135，b=16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，

405

當(dāng)n=4時-，a=箸，b=32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，

故輸出的n值為4,

故選C.

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的

正視圖（等腰直角三角形）和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為去O則該

【考點(diǎn)】L7：簡單空間圖形的三視圖.

【分析】該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐P-ABCD,作出圖

形，可得結(jié)論.

【解答】解：該幾何體為正方體截去一部分后的四棱錐P-ABCD,如

圖所示，

該幾何體的俯視圖為D.

故選：D.

5.一個樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b,且a,b分別是數(shù)列{2丁2}

（n￡N*）的第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，則這個樣本的方差是（)

A.3B.4C.5D.6

【考點(diǎn)】BC：極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差.

【分析】由已知條件求出a=l,b=4,由此能求出S2.

【解答】解：???樣本a,3,5,7的平均數(shù)是b,且a,b分別是數(shù)列

{2n-2}(n￡N*)的第2項(xiàng)和第4項(xiàng)，

a=222=1,b=242=4,

.*.S2=1[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5,

故選：C.

6.以下判斷正確的個數(shù)是()

①相關(guān)系數(shù)r,|r|值越小，變量之間的相關(guān)性越強(qiáng).

②命題“存在x￡R,x2+xTVO〃的否定是“不存在x￡R,x2+x-120”.

③"pVq"為真是"「P"為假的必要不充分條件.

④若回歸直線的斜率估計(jì)值是1.23,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回

A

歸直線方程是y=1.23x+0.08.

A.4B.2C.3D.1

【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用.

【分析】①根據(jù)相關(guān)系數(shù)r的大小與相關(guān)性強(qiáng)弱的關(guān)系進(jìn)行判斷.

②特稱命題的否定是全稱命題進(jìn)行判斷

③根據(jù)復(fù)合命題與充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷，

④根據(jù)回歸方程的性質(zhì)代入進(jìn)行求解判斷.

【解答】解：①相關(guān)系數(shù)g值越小，變量之間的相關(guān)性越弱，故錯

誤.

②命題“存在xeR,x2+x-1V0"的否定是"任意XGR,x2+x-120”,

故錯誤.

③"pVq”為真時，Jp"為假不一定成立，故"pVq〃為真是Jp〃為假的

不充分條件，

"rp"為假時，"p"為真，"pVq"為真,故"pVq〃為真是Jp〃為假的必要

條件，

故"pVq”為真是Jp”為假的必要不充分條件，故正確；

④若回歸直線的斜率估計(jì)值是1.23,樣本點(diǎn)的中心為（4,5）,貝lja=5

-1.23X4=0.08,則回歸直線方程是y=1.23x+0.08,故正確；

故選：B

7.假設(shè)你家訂了一份牛奶，奶哥在早上6：00——7：00之間隨機(jī)

地把牛奶送到你家，而你在早上6：30——7：30之間隨機(jī)地離家

上學(xué)，則你在離開家前能收到牛奶的概率是（）

1517

A.京B.百C.1D.不

【考點(diǎn)】CF：幾何概型.

【分析】設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時間為x,此人離家的時間為y,以橫坐標(biāo)

表示報(bào)紙送到時間，以縱坐標(biāo)表示此人離家時間，建立平面直角坐標(biāo)

系，作圖求面積之比即可.

【解答】解：設(shè)送奶人到達(dá)的時間為x,此人離家的時間為y,

以橫坐標(biāo)表示奶送到時間，以縱坐標(biāo)表示此人離家時間，

建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）

則此人離開家前能收到牛奶的事件構(gòu)成區(qū)域如圖示

1117

工所求概率P=1-2*2*1=亙；

8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為LE是棱DiJ的中點(diǎn)，點(diǎn)

F在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，若EF〃平面AiBCi,則動點(diǎn)F的

軌跡所形成的區(qū)域面積是（）

A.|B.隼C.平D.?

【考點(diǎn)】L2：棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

【分析】分別取棱CCi、BC、AB、AAi、Ai6的中點(diǎn)M、N、G、Q、P,

推導(dǎo)出平面EMNGQP〃平面AiBCi,從而動點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域

是平面EMNGQP,由此能求出動點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域面積.

【解答】解：如圖，分別取棱CCi、BC、AB、AAi、AiDi的中點(diǎn)M、N、

G、Q、P,

則PE〃AiJ〃GN,EM〃AiB〃GQ,PQ〃BJ〃MN,

平面EMNGQP〃平面AiBCi,

?.?點(diǎn)F在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，若EF〃平面AiBCi,

，動點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域是平面EMNGQP,

,/正方體ABCD-AiBiCiDi的棱長為1,

.,.PE=EM=MN=NG=GQ=PQ岑，PN="2,

.,.E到PN的距離d=J除2_哼)2=當(dāng),

...動點(diǎn)F的軌跡所形成的區(qū)域面積：

S=2S梯形PNME=2X2*而=4.

24

故選：C.

9.在直角^ABC中，ZBCA=90°,CA=CB=1,P為AB邊上的點(diǎn)&=入研,

若而?瓦、包?麗，則人的最大值是()

A.苧B.竽C.1D.亞

【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】把三角形放入直角坐標(biāo)系中，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知

條件運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和二次不等式的解法，即可求出入

的最大值.

【解答】解：:?直角△ABC中，ZBCA=90°,CA=CB=1,

...以C為坐標(biāo)原點(diǎn)CA所在直線為x軸，

CB所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖：

C(0,0),A(1,0),B(0,1),強(qiáng)(-1,1),

由研=入那，

...入￡[0,1],即=（-入，入），

CP=（1-X,入）,PB=AB_AP=（入-1,1_入）,

若而?瓦2笆?麗，

?二入-1+入三入2-入+A2-入.

2入2-4入+1W0,

解得:1-乎WA.W1+率,

,入￡[0,1],

.,.入￡[1一堂,1].

則人的最大值是1.

故選：C.

10.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛aj滿足ai=l,an+2an=39(nGN*),那

么數(shù)列｛an｝的前50項(xiàng)和S50的最小值為()

A.637B.559C.481+25后D.492+24，"；

【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；7F：基本不等式.

【分析】由已知條件推導(dǎo)出ai=l,33=39,as=l,a7=39,...?347=39,

a49=l,a2a4=39,所以az+azi’?”,當(dāng)且僅當(dāng)a2-04-5雨時取等號，故

當(dāng)偶數(shù)項(xiàng)都是倔時，S50取最小值，由此能求出S50的最小值.

【解答】解：???各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝滿足ai=l,an+2an=39(ne

N*),

===

??311,^3=39,3s1?^7=39,???,347=39,34919

a2a4=39,...az+a產(chǎn)母當(dāng)且僅當(dāng)e4=每時取等號，

.??當(dāng)偶數(shù)項(xiàng)都是丁西時，S50取最小值，

(S5o)min=12X(1+39)+1+25伺=481+25”的.

故選：C.

92

11.已知函數(shù)f(x)=|lnx|,若f(m)=f(n)(m>n>0),貝I篇"宗"

=()

A.yB.1C.2D.4

【考點(diǎn)】4N：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【分析】由題意，函數(shù)f(x)=|lnx|,f(m)=f(n)(m>n>0),可

知m與n關(guān)于x=l對稱，即m+n=2.

22

f(m)=f(n),即lnm=-Inn,可得mn=l.即可求解則餐y+而■的值.

【解答】解：由題意，函數(shù)f(x)=lnx|,f(m)=f(n)(m>n>0),

可知：m與n關(guān)于x=l對稱，即m+n=2.

Vf(m)=f(n),(m>n>0),

可得lnm=-lnn,即lnm+lnn=O,

mn=l.

22211+2+2/22(irri-n)+42義2+4

------+.........--------------------------------------二-------------二7o

那么:m+1n+1im+m+n+l44

故選c.

12.已知0是坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的兩條漸近線分別為

11,&右焦點(diǎn)為F,以O(shè)F為直徑的圓交11于異于原點(diǎn)。的點(diǎn)A,若

點(diǎn)B在12上，且當(dāng)BA=AF,則雙曲線的方程為()

2222

2y—2y_2j___12y-

A.x--1B.X--1c.x--1D.X--1

【考點(diǎn)】KC：雙曲線的簡單性質(zhì).

x22

【分析】求出雙曲線%-%=1(a>0,b>0)的漸近線的方程和圓

aD

的方程，聯(lián)立方程求出A,B的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)B在漸近線y=-3<上,

建立方程關(guān)系求得A的坐標(biāo)，設(shè)B(m,n),運(yùn)用向量的坐標(biāo)關(guān)系，

結(jié)合B在漸近線上，可得a,c的關(guān)系，再由a=L即可得到c,b,

進(jìn)而得到所求雙曲線的方程.

22

【解答】解：雙曲線*(a>0,b>0)的漸近線方程

bb

li,y=gx,L,y=-￡x,

F(c,0),

圓的方程為(x-1c)2+y2=25_,將y=；bx代入圓.一的方程，

cb2

得(X-彳)2+(/)2=?

22

c、_a_

即=a7x2=CX,貝Ijx=0或x=~,

、［,A2b分2b口口八/分2ab、

當(dāng)x=^-,y-a,即A0,—

ccccc

設(shè)貝(

B(m,n),Jn=-Ta*m,

4J

則強(qiáng)-m,--n),*=(c-i-,當(dāng)，

cCc

1—*—*

VyBA=AF,

12ab、//世、

(--m,Vn)=(c--,

乙cJcJ

2/、ab_/ab、

則—-m=2CC--),-■-n=2?(--),

ccJJ

p3a23ab

|1nJm=^3--2c,n=^~,

cc

.3abb/q/3ab2bc

即nr——=-二?(且-2c)

cac三+七，

.6ab2bc

R即I『丁

則c2=3a2,

2

由雙曲線x2*=l（n>0）可得a=L

則雙曲線的方程為x2--2~=1.

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13.已知角a的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（-sin25。，cos25°）,則角a的

最小正值為115°.

【考點(diǎn)】G9：任意角的三角函數(shù)的定義.

【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，求得角a的最小

正值.

【解答】解：?.?角a的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(-sin25。，cos25°),為

第二象限角，

cos25。

且tana—si』。=-cot25°=-tan65°=tan=tanll5°,

則角a的最小正值為115。，

故答案為：115。.

14.已知等比數(shù)列｛aj,且a6+a8=4,則as(a4+2a6+a8)的值為16.

【考點(diǎn)】88：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【分析】將式子"a8(a4+2a6+a8)”展開，由等比數(shù)列的性質(zhì)：若m,n,

p,q￡N*,且m+n=p+q,貝！J有aman=apaq,Wa8(a4+2a6+a8)=(a6+a8)

2,將條件代入能求出結(jié)果.

【解答】解：???等比數(shù)列國｝,且a6+a8=4,

aa+2aa+a2

.?.a8(a4+2a6+a8)=84868

22

=a6+2a6a8+a8=(a6+ag)2=用

故答案為：16.

’2x-y+l>0

15.設(shè)關(guān)于x、y的不等式組卜+^0表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0,

,2

No)，滿足x0-2y0=2,求得m的取值范圍是(-8，-百).

【考點(diǎn)】7C：簡單線性規(guī)劃.

【分析】由題意作出其平面區(qū)域，則由圖可知，點(diǎn)(-m,m)在直

線x=2y+2的下方，故-m-2m>2,從而解得.

則由圖可知，點(diǎn)(-m,m)在直線x=2y+2的下方,

故-m-2m>2,

2

解得，m<-f；

,9

故答案為：(-8,-y).

16.已知函數(shù)f(x)=萼(a￡R)的圖象與直線x-2y=0相切，當(dāng)

函數(shù)g(x)=f(f(x))-t恰有一個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)t的取值范圍是{0}

【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

【分析】先利用函數(shù)f(x)=萼(aGR)的圖象與直線x-2y=0相

切，求出a,再作出f(x)的圖象，利用當(dāng)函數(shù)g(x)=f(f(x))-

t恰有一個零點(diǎn)時，即可實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【解答】解：由題意，f'(X)=鼠1一”

X

取切點(diǎn)(m,n),則廿呼1,m=2n,

a(l-lnro)1

2

ID一2'

.Ve中

??m二，a=e..-.f(x)

f(X)

X

函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，(e,+8)上單調(diào)遞減,

f(1)=0,x->+°°,f(x)玲0,

由于f(e)=1,f(1)=0,

???當(dāng)函數(shù)g(x)=f(f(x))-t恰有一個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)t的取值范圍

是⑻,

三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

17.在4ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c,a2+b2+c2=ab+bc+ca.

(1)證明^ABC是正三角形；

(2)如圖，點(diǎn)D在邊BC的延長線上，且BC=2CD,AD="Z求sinN

BAD的值.

【考點(diǎn)】HT：三角形中的幾何計(jì)算.

【分析】(1)由已知利用配方法可得(a-b)2+(b-c)2+(c-a)

2=0,從而可求a=b=c,即△ABC是正三角形.

(2)由已知可求AC=2CD,ZACD=120°,由余弦定理可解得CD=1,

又BD=3CD=3,由正弦定理可得sinZBAD

【解答】解：(1)證明：?.,a2+b2+c2=ab+ac+bc,

2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,

(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,

a=b=c

AABC為等邊三角形

(2):△ABC是等邊三角形，BC=2CD,

.,.AC=2CD,ZACD=120°,

AiSAACD中，

由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2-2AC*CDcosZACD,

可得：7=4CD2+CD2-4CD*CDcosl20°,解得CD=1,

BD^sinB

在4ABC中，BD=3CD=3,由正弦定理可得sinZBAD=AD3哼

nr--

18.已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生共有800人參加了數(shù)學(xué)與地理的水平

測試，學(xué)校決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100人進(jìn)行成績抽樣調(diào)查，

先將800人按001,002,800進(jìn)行編號.

(1)如果從第8行第7列的數(shù)開始向右讀，請你依次寫出最先檢查

的3個人的編號；

(下面摘取了第7行到第9行)

844217533157245506887704744767217633502583

92120676

630163785916955667199810507175128673580744

39523879

33211234297864560782524207443815510013429966

027954

(2)抽取的100人的數(shù)學(xué)與地理的水平測試成績?nèi)缦卤恚?/p>

成績分為優(yōu)秀、良好、及格三個等級；橫向，縱向分別表示地理成績

與數(shù)學(xué)成績，例如：表中數(shù)學(xué)成績?yōu)榱己玫墓灿?0+18+4=42

①若在該樣本中，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率是30%,求a,b的值:

人數(shù)數(shù)學(xué)

優(yōu)秀良好及格

地理優(yōu)秀7205

良好9186

及格a4b

②在地理成績及格的學(xué)生中，已知alll,b》7,求數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的

人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.

【考點(diǎn)】CC：列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【分析】(1)從第8行第7列的數(shù)開始向右讀，利用隨機(jī)數(shù)法能求出

最先檢查的3個人的編號.

(2)①由題意得喂與30%,由止匕能求出a,b的值..

②a+b=31,a^ll,b27,由此利用列舉法能求出數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人

數(shù)比及格的人數(shù)少的概率.

【解答】解：(1)從第8行第7列的數(shù)開始向右讀，最先檢查的3個

人的編號分別為：785,667,199.

(2)①喂也30%,解得a=14,

b=100-30-(20+18+4)-(5+6)=17.

②a+b=100-(7+20+5)-(9+18+6)-4=31,

Va^ll,b27,.?.基本事件(a,b)的總數(shù)n=14,分別為：

(11,20),(12,19),(13,18),(14,17),(15,16),(16,15),

(17,14),

(18,13),(19,12),(20,21),(21,10),(22,9(,(23,8),

(24,7).

設(shè)aell,b27,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少為事件A,a+5

<b.

事件A包括：(11,20),(12,19),共2個基本事件，

一91

???數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的人數(shù)比及格的人數(shù)少的概率為P(A)?多.

19.等腰4ABC的底邊的6加，高CD=3,點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B,

D的動點(diǎn).點(diǎn)F在BC邊上，且EF_LAB.現(xiàn)沿EF將4BEF折起到4PEF

的位置，使PELAE.

(I)證明EFJ_平面PAE；

(H)記BE=x,V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積，求V(x)的最

值.

【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LW：直線與平面垂直的判定.

【分析】(I)證明EF_LPE,而ABGPE=E,EF±AB,即可證明EF±

平面PAE；

(H)記BE=x,V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積，求出底面面積,

可得體積，即可求V(x)的最值.

【解答】(I)證明：VEF±AB,.,.ZBEF=ZPEF=90°,

故EF_LPE,而ABGPE=E,

所以EF_L平面PAE.

(H)解：VPE±AE,PE±EF,

平面ABC,即PE為四棱錐P-ACFE的高.

BEEF

由高線CD及EF_LAB得EF〃CD,???麗五，

由題意知索號」.EF《x

$ACFE;SAA0C-SABEF*函*3得X嚕*X2=期.

,3

而PE=EB=x,V(x)=ySACFEPE=3V6x-^|-x,(0<x<3遙)

.,.當(dāng)X=6時V(x)max=V(6)=12泥.

20.已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線x=4與x軸的交點(diǎn)

為P,與拋物線的交點(diǎn)為Q,且IQF|J|PQ|.

(1)求拋物線的方程；

(2)如圖所示，過F的直線I與拋物線相交于A,D兩點(diǎn)，與圓x2+

(y-1)2=1相交于B,C兩點(diǎn)(A,B兩點(diǎn)相鄰)，過A,D兩點(diǎn)分別

作我校的切線，兩條切線相交于點(diǎn)M,求△ABM與ACDM的面積之

積的最小值.

【考點(diǎn)】KN：直線與拋物線的位置關(guān)系.

【分析】(1)求得P和Q點(diǎn)坐標(biāo)，求得IQFI,由題意可知，號+為

4義?即可求得P的值，求得橢圓方程；

(2)設(shè)直線方程，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理XiX2=-4,求導(dǎo)，

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，聯(lián)立求得M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)

到直線距離公式，求得M至心的距離，利用三角形的面積公式，即可

求得△ABM與△CDM的面積之積的最小值.

oon

【解答】解：(1)由題意可知P(4,0),Q(4,-),|QF|=-+f,

由IQF《|PQI,解得:p=2,

拋物線x2=4y；

(2)設(shè)I：y=kx+l,A(xi,yi),B(x2,y2),

y=kx+l

22

聯(lián)立x=4y,整理得：x-4kx-4=0?

則X1X2=-4,

1Y

由y=p<2,求導(dǎo)y=y,

X1_^1_^1_X1

直線MA：y-7~=T(x-Xi),即丫="1<-才，

x2x|

同理求得MD：y=Tx--Y，

X1XX；(x=2k

尸一^一一"ly=-l

-2,解得：，則M(2k,-1),

X2XX2

―r

2k2+2Vl+k2

M至ljI的距離d=、謂=2,

.'.△ABM與△CDM的面積之積SMBM?SMDM=[IAB||CD[*d2,

=7(IAF|-1)(|DF|-1)*d2,

11x22

=4y1y2d2=4.JXd2,

=l+k2^l,

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號，

當(dāng)k=0時，△ABM與△CDM的面積之積的最小值1.

21.已知函數(shù)f(x)=lnx-x.

lnx2

(1)證明：對任意的X1，x2e(0,+8),都有|f(Xi)|>W；

(2)設(shè)m>n>0,比較f?+m：(n)+n)與1%的大小,并說明理由.

11111ID-n

【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f(x)的最大值，從而求出|f(x)

I的最小值，設(shè)G(x)=等，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可;

—ID——ID一］v一ID

(2)問題轉(zhuǎn)化為比較In”與非不的大小，令t=n(t>l),作差設(shè)G

——-F-

mn

t-1t(t-1)

2

(t)=lnt-t+l=lnt-t+l,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出G(t)>0,從

而比較其大小即可.

1-x

【解答】（）證明：因?yàn)椋ǎ?，故f（x）在（0,1）上是增

1f'X=X

加的，在（1,+8）上是減少的,

f(x)max=f(I)=lnl-1=-1,)f(x)|min=l,

、口/、Inx，/、l-lnx

設(shè)G(x)=——,則G(x)=~，

xx

故G(x)在(0,e)上是增加的，在(e,+8)上是減少的，故G

(X)max=G(e)

G(X)max<f(X)|min.

lnx2

所以If（X1）|>W對任意的X1，x2e(o,+8)恒成立;

f(m)-f(n)+m-nInm-lnn1.mml1

---------------------------------------F~7—-2------2---n------------

IDF_m-n_n_m+n_yH4JL

(2)解:--AinnJ

n

mm