2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷

2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）入

學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

1.(5分)已知集合A={x∣y=√Σ-},B={y∣y=√∑=7},則AnB=()

A.0B.RC.(-8,2]D.[0,2]

用的實(shí)部與虛部相等，

2.（5分）若復(fù)數(shù)Z=則實(shí)數(shù)。的值為（)

A.-3B.-1C.ID.3

3.（5分）已知x>l,則2%+*y的最小值為（）

A.4B.2√2C.2√2+2D.√2+2

4.（5分）已知,,耳分別為隨機(jī)事件A,B的對(duì)立事件，P（A）>0,P（B）>0,則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.P（B∣Λ）+P（BM）=P（A）

B.若尸（A）+P（B）=1,則A,8對(duì)立

C.若A,8獨(dú)立，則戶（AlB）=P（A）

D.若A,8互斥，則P（A∣B）+P（BIA）=1

5.（5分）中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)空間站

要安排甲，乙，丙，丁4名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排2人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與

夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，則甲乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的概率為（）

夢(mèng)天

6.（5分）與圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（)

A.y=∣sinx∣B.y=sin∣x∣C.y=-∣sinx∣D.y=-sin∣x∣

7.（5分）已知正方形ABC。的對(duì)角線長(zhǎng)為2,E廠是它的內(nèi)切圓一條弦，點(diǎn)尸為正方形ABCo

四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦EF的長(zhǎng)度最大時(shí)，∕??∕?不可能為（）

112

A.0B.-C.-D.-

323

8.（5分）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、8兩點(diǎn)滿足條件：

①點(diǎn)A、B都在/（x）的圖象上；

②點(diǎn)A、8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)對(duì)（A、8）是函數(shù)的一個(gè)“兄弟點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（A、B）

與（8、A）可看作一個(gè)“兄弟點(diǎn)對(duì)”）.

cosx（x≤0）

{Znx（%>0）,則/（X）的“兄弟點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.3C.4D.5

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

（多選）9.（5分）〃，人是兩條不同的直線，α,S是空間兩個(gè)不同的平面，如下有四個(gè)命

題，其中正確的命題是（）

A.a_La,b//β,a//β=>a±?B.ɑ?fe,a_La,a//β=>b∕/β

C.alb,a//afα∕7β=>?±βD.〃_La,a//h,a∕7β=>fo±β

（多選）10.（5分）為了解目前淮安市高一學(xué)生身體素質(zhì)狀況，對(duì)某校高一學(xué)生進(jìn)行了體

能抽測(cè)，得到學(xué)生的體育成績(jī)X~N（70,100）,其中60分及以上為及格，90分及以上

為優(yōu)秀.則下列說(shuō)明正確的是（）

參考數(shù)據(jù)：隨機(jī)變量S~N（μ,a2）,則P（μ-。V;Vμ+o）=0.6826,P（μ-2σ<ξ

<μ+2σ）=0.9544,P（μ-3o<ξ<μ+3σ）=0.9974.

A.該校學(xué)生體育成績(jī)的方差為10

B.該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70

C.該校學(xué)生體育成績(jī)的及格率不到85%

D.該校學(xué)生體育成績(jī)不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)相當(dāng)

（多選）11.（5分）定義在R上的函數(shù)F（X）滿足：X為整數(shù)時(shí)，/（%）=2021；X不為整

數(shù)時(shí)，f(x)=0,則()

A.f(x)是奇函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)

C.?x∈R,/(?(x))=2021D.f(x)的最小正周期為1

(多選)12.(5分)已知函數(shù)/(x)=sin(3x+φ)(其中，ω>0.∣φ∣V*),/(―^)=0,

/(?)W∣∕(居)1恒成立，且/(x)區(qū)間(-金，給上單調(diào)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.存在φ,使得/(x)是偶函數(shù)

B./(0)=借)

C.3是奇數(shù)

D.ω的最大值為3

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

39

3=-=-

13.(5分)若等比數(shù)列｛〃”｝的前n項(xiàng)和為Sn,22貝!J公比q

14.(5分)陀螺是中國(guó)民間的娛樂(lè)工具之一，也叫作陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由

一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長(zhǎng)分別

為∕7∣,h2,廠，且加=例=廠，設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為Sl和S2,則

Si_

—?

15.(5分)設(shè)aCZ,且OWaCI3,若51202∣+°能被的整除，則α=.

16.(5分)已知曲線)，=/。與y=(X-I)?恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

四、解答題(本題共6小題，共70分.)

n

17.(10分)設(shè)數(shù)列｛〃”｝滿足m=3,an+ι-an=2*3(n∈N*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)令bn=n?atι,求數(shù)列｛加｝的前“項(xiàng)和S".

18.(12分)在4A8C中，AC=1,BC=√7.

(1)若A=150°，求CoSB；

(2)D為AB邊上一點(diǎn),且8O=2AO=2CO,求448C的面積.

19.(12分)如圖，平面ABC,NABC=90°,EC//FA,FA=3,EC=I,AB=2,AC

=4,BC_LAC交AC于點(diǎn)D

(I)證明：FDLBE；

(II)求直線BC與平面BE尸所成角的正弦值.

20.（12分）自2020年1月以來(lái)，習(xí)慣肺炎病毒肆虐全球，為嚴(yán)防新型冠狀病毒疫情擴(kuò)散,

有效切斷病毒傳播途徑，堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢(shì)頭，確保人民群眾生命安全和身體健康,

多地相繼做出了封城決定.某地在1月23日至29日累計(jì)確診人數(shù)如下表：

日期（1月）23日24日25日26日27日28日29日

人數(shù)（人）611213466101196

由上述表格得到如散點(diǎn)圖（1月23日為封城第一天）.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷），=α+?x與y=c?d'（c,d均為大于0的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為累

計(jì)確診人數(shù)），與封城后的天數(shù)X的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；并根

據(jù)上表中的數(shù)據(jù)求出回歸方程；

（2）隨著更多的醫(yī)護(hù)人員投入疫情的研究，2月20日武漢影像科醫(yī)生提出存在大量核酸

檢測(cè)呈陰性（陽(yáng)性則確診），但觀其CT肺片具有明顯病變，這一提議引起了廣泛的關(guān)注，

2月20日武漢疾控中心接收了IOOO份血液樣本,假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰

性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性樣本的概率為0.7,核酸試劑能把陽(yáng)性樣本檢測(cè)出

陽(yáng)性結(jié)果的概率是0.99（核酸檢測(cè)存在陽(yáng)性樣本檢測(cè)不出來(lái)的情況，但不會(huì)把陰性檢測(cè)

呈陽(yáng)性），求這IOOO份樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性的份數(shù)的期望.

參考數(shù)據(jù)：

yw∑LιXiyi∑7=ι%"iIO054

62.141.54253550.123.47

其中Wi=Igyt，w=3∑7=ιWi，參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(〃i,vvι),(w2,vv2),…，(UM

Wn),其回歸直線W=α+S正的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為S=

∑之1UW-TlUW

iia=w—βu.

Σ仁1uf-nu2

21.(12分)已知拋物線Cx2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為凡拋物線上一點(diǎn)4(τn,}(mVO)到

3

F點(diǎn)的距離為不

2

(1)求拋物線的方程及點(diǎn)A坐標(biāo);

(2)設(shè)斜率為G的直線/過(guò)點(diǎn)B(2,0)且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)M、N,若B^=癡/

且44),求斜率k的取值范圍.

22.(12分)已知f(x)=sinx+6υ?-x.

(1)當(dāng)a=W時(shí)，求證：函數(shù)F(X)在R上單調(diào)遞增;

(2)若/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，求α的取值范圍.

2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市雨花區(qū)雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）入

學(xué)數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

1.（5分）己知集合A={x∣y=√∑H7},B={y?y=√Γ?7},則An8=（）

A.0B.RC.（-8,2]D.[0,2]

【解答】解：由題意知，

根據(jù)函數(shù)的定義域求出集合A={XxW2},

根據(jù)函數(shù)的值域求出集合B={y∣）,20},

根據(jù)交集的定義求出ACB={x∣0≤x≤2},

故選：D.

2.（5分）若復(fù)數(shù)Z=得的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)“的值為（）

A.-3B.-1C.1D.3

【解答】解：數(shù)Z=3=融鬻=篝1+懸fi的實(shí)部與虛部相等,

2α+la—2

解得a=-3.

a2+la2+l

故選：A.

3.（5分）已知x>l,貝∣j2x+占的最小值為（）

A.4B.2√2C.2√2+2D.√2+2

【解答】解：因?yàn)閤>l,所以χ-l>0,

則2x+X_]=2（X^1）+X_]+2≥2\/2+2,

當(dāng)且僅當(dāng)2（x7）=J,即x=l+挈時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值2+2√Σ

X-1TL

故選：C.

4.（5分）已知后分別為隨機(jī)事件A,8的對(duì)立事件，P（A）>0,P（B）>0,則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.P（BM）+P由⑷=Pal）

B.若P(A)+P(B)=1,則A,B對(duì)立

C.若A,B獨(dú)立，則尸(A∣B)=P(A)

D.若A,8互斥，則P(AIB)+P(BIA)=1

【解答】解：對(duì)于A,P(B∣A)+P(B∣Λ)=豈寫票"=舐=1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,若A,B對(duì)立,則P(A)+P(B)=1,

反之不成立，例如α,b,c,d四個(gè)球，選中每個(gè)球的概率一樣.

P(A)為選中a、b兩個(gè)球的概率：0.5,P(B)為選中b,C兩個(gè)球的概率：0.5.

P(A)+P(B)=1,但A,B不是對(duì)立事件，因?yàn)楫?dāng)選中〃時(shí)，A,8均成立，故B錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,根據(jù)獨(dú)立事件定義知：若A,B獨(dú)立，則P(AIB)=P(A),故C正確；

對(duì)于。，若A,B互斥，則P(AIB)+P(B∣Λ)=0,故。錯(cuò)誤.

故選：C.

5.(5分)中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.假設(shè)空間站

要安排甲，乙，丙，丁4名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排2人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與

夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人，則甲乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的概率為()

夢(mèng)天

【解答】解：安排甲，乙，丙，丁4名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn),

共有Cj?A鄉(xiāng)=12種不同的方案，

甲乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)共有4芻=2種不同的方案，

故甲乙兩人安排在同一個(gè)艙內(nèi)的概率為-ζ?=

126

故選：A.

6.(5分)與圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是()

A.y=∣sinx∣B.y=sin∣x∣C.y=-∣sinx∣D.y=-sin∣x∣

【解答】解：由圖象可知當(dāng)X=5時(shí)，函數(shù)值y=-IVO,故排除選項(xiàng)AB,

當(dāng)X=竽時(shí)，函數(shù)值y=l>0,故排除選項(xiàng)C.

故選：D.

7.(5分)已知正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2,E尸是它的內(nèi)切圓一條弦，點(diǎn)尸為正方形ABCD

四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦E尸的長(zhǎng)度最大時(shí)，∕??而不可能為()

112

A.0B.—C.-D.—

323

【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(-皆-當(dāng),BC-,一挈)，C

(四邑、口<睚四、

(,),D(?-,)，

2222

設(shè)￡(爭(zhēng):osθ,/sinθ),由弦E尸的長(zhǎng)度最大時(shí)，弦EF為直徑，則F(—?eosθ,—?sinθ),

再設(shè)PCx,y),則PE=(?eosθ-X,?sinθ-?),PF=(—?eosθ-x,—?sinθ->,),

貝IJPE?PF=x2-^cos2θ+y2-^sin2θ=x2+y2—

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動(dòng)時(shí)，尸一孝，一乎≤x≤孕，則P??P?0,?j;

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上移動(dòng)時(shí)，X=孝，一乎≤y≤孝，則P??品40,1j；

當(dāng)點(diǎn)P在線段CO上移動(dòng)時(shí)，y=專,一孝≤x≤乎，則∕??P?0,?j;

當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上移動(dòng)時(shí)，Λ=-孕，一乎≤y≤乎，則∕??∕?0,||.

TTlTT2

綜上可知：PE-PFE[O,結(jié)合選項(xiàng)可知，PE?PF不可能為3

故選：D.

8.（5分）若直角坐標(biāo)平面內(nèi)A、8兩點(diǎn)滿足條件：

①點(diǎn)A、B都在/（x）的圖象上；

②點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)對(duì)（A、B）是函數(shù)的一個(gè)“兄弟點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（A、B）

與（B、A）可看作一個(gè)“兄弟點(diǎn)對(duì)"）.

cosx（x≤0）

,，則f（χ）的“兄弟點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)為（）

（mfx（x>0）

A.1B.3C.4D.5

【解答】解：設(shè)PG,y）GVO）,則點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（7,-y）,于是，cosx

=-//?（-x）,只需判斷方程根的個(gè)數(shù)，即y=cosx與y=-伍（-x）圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

函數(shù)圖象如下：所以/（犬）的“兄弟點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)為1個(gè).

由圖知，所以/0）的“兄弟點(diǎn)對(duì)”的個(gè)數(shù)為1個(gè).

故選：A.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

（多選）9.（5分）6Z,8是兩條不同的直線，α,β是空間兩個(gè)不同的平面，如下有四個(gè)命

題，其中正確的命題是（）

A.a.La,h∕∕β,a〃p=〃_LbB.a.Lb,a_La,a//β=>?∕7β

C.aA.b1a∕∕a,a//β=>6±βD.o_La,a//b,α∕7β=>?±β

【解答】解：對(duì)于A：由a_La、a∕∕β,可得a_LB，又方〃0，所以aJ_兒故A正確；

對(duì)于8：由a_La、a"β,可得a_L0,又a_LZ?,則匕〃β或。u0,故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C：由a〃a,a∕∕β,則a〃G或au0,又aLb,則匕〃β或Zx=B或b與B相交(不

垂直)或故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。：由〃J_a、a∕7β,可得a_L0,又OJlb、所以6J_p,故￡)正確；

故選：AD.

(多選)10.(5分)為了解目前淮安市高一學(xué)生身體素質(zhì)狀況，對(duì)某校高一學(xué)生進(jìn)行了體

能抽測(cè)，得到學(xué)生的體育成績(jī)X~N(70,100),其中60分及以上為及格，90分及以上

為優(yōu)秀.則下列說(shuō)明正確的是()

參考數(shù)據(jù)：隨機(jī)變量S~N(μ,。2),則尸⑺-。<J<μ+o)=0.6826,P(μ-2σ<ξ

<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.

A.該校學(xué)生體育成績(jī)的方差為10

B.該校學(xué)生體育成績(jī)的期望為70

C.該校學(xué)生體育成績(jī)的及格率不到85%

D.該校學(xué)生體育成績(jī)不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)相當(dāng)

【解答】解：由題意可知：XSN(70,100),

則期望μ=70,標(biāo)準(zhǔn)差。=10,方差為100,故4錯(cuò)誤，B正確，

選項(xiàng)C：P(X>70)=0.5,P(60≤X≤80)=P(μ-。<μ+o)=0.6826,

所以P(60≤X≤70)=瞪至=0.3413,

所以P(X≥60)=P(60≤X≤70)+P(X>70)=0.3413+0.5=0.8413<85%,故C正

確，

∩QCAzL

選項(xiàng)力:優(yōu)秀的概率為：P(X290)=P(X>70)-P(70≤X≤90)=0.5-?=0.0228,

不及格的概率為：P(X<60)=P(X≤70)-P(60≤X≤70)=0.5-竺產(chǎn)=0.1587,

兩者不同，故。錯(cuò)誤,

故選：BC.

(多選)11.(5分)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：X為整數(shù)時(shí)，/(x)=2021；X不為整

數(shù)時(shí)，f(x)=0,則()

A./(x)是奇函數(shù)B./(%)是偶函數(shù)

C.?Λ-ER,f(/(x))=2021D.f(?)的最小正周期為1

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,對(duì)于/(x),有/(1)=2021,/(-1)=2021,

/(-x)=-/(x)不恒成立，則/(x)不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,對(duì)于/(尤)，若X為整數(shù)，則-X也是整數(shù)，則有/(x)=/(-x)=2021,

若X不為整數(shù)，則-X也不為整數(shù)，則有/(x)=/(-x)=0,

綜合可得f(x)=/(-x),/(x)是偶函數(shù)，B正確,

對(duì)于C,若X為整數(shù)，/(Λ)=2021,X不為整數(shù)時(shí)，/(x)=0,

總之/(x)是整數(shù)，則/(/(x))=2021,C正確，

對(duì)于Q,若X為整數(shù)，貝∣Jx+l也是整數(shù)，

若X不為整數(shù)，則x+1也不為整數(shù)，總之有/(x+l)=f(x),fCx)的周期為1，

若f(0<t<l)也是/(x)的周期，

而X和x+"可能一個(gè)為整數(shù)，另一個(gè)不是整數(shù)，則有/(x)≠f(x+m),

故/(x)的最小正周期為1,。正確，

故選：BCD.

(多選)12.(5分)己知函數(shù)/(x)=sin(3x+φ)(其中，ω>0,∣φ∣<*),/(-5)=0,

/(x)W∣∕的I恒成立，且『(X)區(qū)間(-各船上單調(diào)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.存在φ,使得F(X)是偶函數(shù)

B./(0)=懵)

C.3是奇數(shù)

D.3的最大值為3

【解答】解：∕∞區(qū)間(一打今)上單調(diào)，

故Wτ-5=g≤f,解得TN親

2412824

所以O(shè)VQ)W8；

由于f(_,)=0,可得S譏(一等+9)=0,

解得φ=S<υ+kι7Γ(Λι∈Z);

十3幾

由于/(―)=±1,

-

可得+φ)=±1,可得(P=(JL)+一旦+芻(fczWZ)；

Tr

/(一百)=°,3兀ππ1k

所以3π，整理得主-C-1)=~=(.-+-)T,

崎=±188242

若3=1時(shí)，φ=與；若3=3,5時(shí)，φ無(wú)解，當(dāng)ω=7時(shí)，φ=一看，且f（%）區(qū)間（-金,

今）上不單調(diào),

所以T=雄I，3=2A+I（&6Z）,

①故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

?3TC

②由于X=等為函數(shù)的對(duì)稱軸，所以∕?（0）=/（一）故選項(xiàng)B正確.

o4

③由于ω=1+2匕故選項(xiàng)C正確.

④當(dāng)了（X）區(qū)間（一白，給上單調(diào)遞增時(shí)，0＜要居整理得3W3；

?1.乙乙rβ?*?

所以O(shè)V3W3.即最大值為3,故。正確.

故選：BCD.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

QQ1

13.（5分）若等比數(shù)列伍"｝的前〃項(xiàng)和為S”“3=*,S3=1，則公比〃=1或一,.

【解答】解：；a3=|，S3=I

9

.?.αι+α2+α3=）貝Ilαι+α2=3

33

??+—=3化簡(jiǎn)得2q2-q-1=0

2q∕2q

解得g=l或一々

故答案為：1或—：

14.（5分）陀螺是中國(guó)民間的娛樂(lè)工具之一，也叫作陀羅.陀螺的形狀結(jié)構(gòu)如圖所示，由

一個(gè)同底的圓錐體和圓柱體組合而成，若圓錐體和圓柱體的高以及底面圓的半徑長(zhǎng)分別

為hi,h2,r,且∕n=∕72=r,設(shè)圓錐體的側(cè)面積和圓柱體的側(cè)面積分別為SI和S2,則∣1=

√2

Z

【解答】解：由題意，圓錐的母線長(zhǎng)為I=√Λ[ΓT2=√2r,則圓錐的側(cè)面積為SI=πrl=

y∣2πr2,

2

根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式，可得圓柱的側(cè)面積為S2=2πrh2=2πr,

Sl√2

所以T-=T-

Sz2

故答案為：

2

15.(5分)設(shè)“eZ,且OWaVl3,若5p2∣+4能被覆整除，則a=1.

20212021202

【解答】解：5/021=(52-I)=C°02152-?2152°+…+C赧52-1,

因?yàn)?2能被為整除,

所以只需-1+。能被13整除即可，

又OWaVI3,

所以a—l.

故答案為：L

16.(5分)已知曲線y=∕+"與y=(X-I)2恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

(-8,2-2-3).

【解答】解：)=(x-I)2的導(dǎo)數(shù)<=2(X-1),y="+"的導(dǎo)數(shù)為y'=ev+",

設(shè)與曲線y=∕+α相切的切點(diǎn)為(機(jī)，〃)，γ=(x-l)2相切的切點(diǎn)為(s,力，

則有公共切線斜率為2(S-I)="+“=皆，

m+a

又f=(S-I)2,n=e,

即有2G-D=(sT)2-em+α=(ST)?-2(S-I)

s-ms-m

艮IJ為S-m=—1,

即有(s>l),

則有評(píng)+。=2(5-1),即為Q=勿2(S-I)—字(5>1),

令/(S)=Inl(S-I)-?(s>l),

當(dāng)s>3時(shí)，/(S)<0,/(S)遞減，

當(dāng)l<s<3時(shí)，f(S)>0,/(S)遞增.

即有s=3處/(S)取得極大值，也為最大值，且為2歷2-3,

由恰好存在兩條公切線，即S有兩解，

可得a的范圍是a<2ln2-3.

故答案為：(-8,2∕n2-3).

四、解答題(本題共6小題，共70分.)

n

17.(IO分)設(shè)數(shù)列｛“”｝滿足“1=3,an+ι-a∏=2?3(n∈N*).

(1)求數(shù)列｛0,,｝的通項(xiàng)公式：

(2)令bn-n?an>求數(shù)列｛仇｝的前n項(xiàng)和Sn.

nni

【解答】解：(1)'：an+i-an=2?3,：.an-an-i=2*3'(n∈N*),又αι=3,

'.an-a?+(?2-ax')+(?3^a2)+?+(α∏--1)=3+2(3+32+?+3n1)

當(dāng)”=1時(shí)，G=3滿足上式.

n

.?.數(shù)列S"｝的通項(xiàng)公式為:an=3i

(2)bn=n?3",

ΛSn=l?3+2?32+3?33+?+(n-1)?3π^l+n?3πφ

23

Λ35n=l?3+2?3+?+(M-l)?3"+n?3"+ι②

23nπ+l

①-②得：-2S,l=3+3+3+?+3-n?3

n+1

==(i-π)?3-∣,

1-322

.0_3+(2n-l)?3n+1

??3〃—4?

18.(12分)在aABC中，AC=1,BC=√7.

(1)若4=150°,求COS&

(2)。為AB邊上一點(diǎn)，且8D=2AD=2CD,求BC的面積.

ACBC

【解答】解法一：(1)在aABC中，由正弦定理及題設(shè)得一=——

SinBSinA

政----=--------，

SinBSinlSOo

解得SinB=泰，

又0°<β<30o,

GFz_3√3_3√21

所以CoSBd——]4?

(2)設(shè)AO=CD=X,則8O=2x.

在AABC中，由余弦定理得，BC1AB2+AC2-2AB?ACcosA,

即7=9X2+1-6JCCOSA.①

在等腰AACO中，有COSA=?∩-=?>②

∕1L/ΔX

聯(lián)立①②，解得X=I或X=-I(舍去)，

所以aACD為等邊三角形，

所以A=60°,

11?FS

所以SAABC=^×AB×ACsinA=∣×3×1×sin60o=?.

解法二：(1)同解法一.

(2)設(shè)AD=X,則CD=X,BD=Ix,

因?yàn)镹AOC=n-ZBDC,

所以cosZADC--cosZBDC,

由余弦定理得，

222

ya4x+x-72X-1

待~4^—=_2X2'

所以f=1,解得X=I或X=-I(舍去)，

所以aACC為等邊三角形，所以A=60°,

所以S-BC=^×AB×ACsinA=∣×3×1×sin60°=莘?

19.(12分)如圖，以，平面ABC,NA8C=90°,EC//FA,∕?=3,EC=I,A3=2,AC

=4,BO_LAe交AC于點(diǎn)D

(I)證明：FD±BEi

(II)求直線BC與平面8EF所成角的正弦值.

F

B

【解答】解：(1)證明1：在aABC中，NA8C=90°,AB=2,AC=4,BC=2√3.

因?yàn)锽OJ_AC交AC于點(diǎn)。，所以AO=1,CO=3.

因?yàn)橐?，平面ABC,EC//FA,EC=I,AC=4,

所以△必DS4DCE,所以FC"LOE.

又因?yàn)?D_LAC,平面A8C,所以BO_L平面FZ)E,BDLFD,

所以&?，平面8￡)E,所以FDI.BE.

證明2：如圖，以。為原點(diǎn)，分別以。B,DC為X,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

在aABC中，NABC=90°,AB=2,AC=4,BC=2√3.因?yàn)锽O_LAC,所以

F(0,-1,3),E(0,3,1),B(√3,0,0),

DF=(0,-1,3),BE=(-√3,3,1),

所以Z????=0,所以。匚LBE.

(II)解：由(I)可知，BC=(-√3,3,0),BE=(-√3,3,1),

BF=(-√3,-1,3).

設(shè)平面BEF的法向量為I=(x,y,z),

所以除?=0,

—√3x+3y+z=0,

令X=V3,)=I,z=所以n=(V3,3

(BF?n=0,—V3x—y+3z=0.5

I)-

TTI-----T→

設(shè)直線BC與平面BEF所成角為θ,則Sino=型瑪=縹Sino=里”:

IBCHnlZU∣BC∣?∣n∣

∣-3+5∣_5^√10

20

2√3×J（3+J+g）—2√3×J?-.

20.（12分）自2020年1月以來(lái)，習(xí)慣肺炎病毒肆虐全球，為嚴(yán)防新型冠狀病毒疫情擴(kuò)散,

有效切斷病毒傳播途徑，堅(jiān)決遏制疫情蔓延勢(shì)頭，確保人民群眾生命安全和身體健康,

多地相繼做出了封城決定.某地在1月23日至29日累計(jì)確診人數(shù)如下表：

日期（1月）23日24日25日26日27日28日29日

人數(shù)（A）611213466IOl196

由上述表格得到如散點(diǎn)圖（1月23日為封城第一天）.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷），="+bx與y=c?∕（c,d均為大于O的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為累

計(jì)確診人數(shù)y與封城后的天數(shù)X的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；并根

據(jù)上表中的數(shù)據(jù)求出回歸方程；

（2）隨著更多的醫(yī)護(hù)人員投入疫情的研究，2月20日武漢影像科醫(yī)生提出存在大量核酸

檢測(cè)呈陰性（陽(yáng)性則確診），但觀其CT肺片具有明顯病變，這一提議引起了廣泛的關(guān)注，

2月20日武漢疾控中心接收了IOOO份血液樣本,假設(shè)每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰

性都是相互獨(dú)立的，且每份樣本是陽(yáng)性樣本的概率為0.7,核酸試劑能把陽(yáng)性樣本檢測(cè)出

陽(yáng)性結(jié)果的概率是0.99（核酸檢測(cè)存在陽(yáng)性樣本檢測(cè)不出來(lái)的情況，但不會(huì)把陰性檢測(cè)

呈陽(yáng)性），求這IOOO份樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性的份數(shù)的期望.

參考數(shù)據(jù)：

054

yw∑Z=ι々%∑7=ιXtwiio-

62.141.54253550.123.47

1

其中Wi=Igyi?w=∑[-1wi,參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(wι>wι),(1/2,vv2),->(un,

Wn),其回歸直線w=α+/?正的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為0=

∑?Luw-miw

1iia=w—βu.

∑kιuf-nu2

由y=c*tΛ兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得，Igy=IgC+lgd?x,

設(shè)lgy=w,

貝IJW=∕gc+x∕g”,

計(jì)算元=4,w=1.54,27=ιxf-140,

,,∑?xw-7x-w50.12-7×4×1.547CCU

Igd=-H1----i----i-----y-=----------------2-=TR=θ?25，

∑7zl-Ix140-7×√28

IgC=w-Igd-X≈1.54-0.25X4=0.54,

故W=O.54+0.25x,

故y關(guān)于X的回歸方程為y=3.47×1OO?25Λ

(2)設(shè)這IOOo份樣本中檢測(cè)出呈陽(yáng)性的份數(shù)為X,

則每份檢測(cè)出陽(yáng)性的概率P=0.7X0.99=0.693,

由題意可知，X~B(1000,0.693),

故E(X)=1000X0.693=693(人)，

故這1000份樣本中檢測(cè)呈陽(yáng)性的份數(shù)的期望為693.

21.(12分)已知拋物線C：∕=2py(p>0)的焦點(diǎn)為凡拋物線上一點(diǎn)4(zn,}(mV0)到

3

F點(diǎn)的距離為3

(1)求拋物線的方程及點(diǎn)4坐標(biāo);

(2)設(shè)斜率為k的直線/過(guò)點(diǎn)B(2,0)且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)M、N,若BM=ABN

且26(上,4),求斜率％的取值范圍.

【解答】解：⑴由拋物線定義可知：μF∣=∣+∣=f,得尸2,.?.拋物線方程為了

將點(diǎn)4(m,3(JnVO)坐標(biāo)代入拋物線方程得：m=-√Σ.?.點(diǎn)A坐標(biāo)為(一√Σ,?),

(2)直線/的方程為y=女(x-2),設(shè)M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(Xι,yι)f(x2,").

聯(lián)立?2=?。ひ?)消去〉，整理得：/-4fcv+8k=0,