2022-2023學(xué)年江西省重點(diǎn)高中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年江西省重點(diǎn)高中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知（1-i）z=2,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知角ɑ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（l,m）（m<0）,則下列各式一定為正的是（）

A.sιnaB.tanaC.cosaD.-t-ana

3.在AABC中，已知角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,a=l,b=yΓz,C=45°,則

邊C等于（）

A.1B.yJ~2C.√-3D.2

4.設(shè)擊，杳是兩個(gè)不共線的向量，若向量記=-各+/^2（16用與向量五=杳-&共線,

k∕

?l

AOBC1D2

若COS

(θ-√32

5425

BCD

A.-9-9-3-9-

6.從長度分別為1,2,3,4,5的5根細(xì)木棒中選擇三根圍成一個(gè)三角形，則最大內(nèi)角（）

A.可能是銳角B.一定是直角C.可能大于咨D.一定小于生

?O

7.已知平面向量S=（1,4）,K=（-2,1），則下列說法正確的是（）

A.若;I=0,則I方+石I=2

B.若五//e,則A=-2

C.若W與石的夾角為鈍角，貝IJA<2

D.若;1=一1,則弓在石上的投影向量為一IE

8.己知函數(shù)/（x）=√^Zs?ι2x-cos2x,若函數(shù)/（x+α）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則Ial的最小值

為（）

A.?B.IC.ID.?

6?oIZ

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列四個(gè)式子中，計(jì)算正確的是（）

A.CoSG+1)=S出1B.Sin(Tr+2)=-sin2

-tan85o-tan25or~^r?√-2

C.—~?-~-r?=y∏3D.sin640cosl90-COS64°Sinl9°=—

l+tan85tan252

10.下列關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，其中正確的是（）

A.復(fù)數(shù)Z=a+bi（a,b∈R）是實(shí)數(shù)的充要條件是b=0

B.復(fù)數(shù)Z=α+bi（a,b∈R）是純虛數(shù)的充要條件是b≠0

C.若Zi，Z2互為共規(guī)復(fù)數(shù)，則Z]Z2是實(shí)數(shù)

D.若zi，Z2互為共轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱

11.將函數(shù)/Q）=sin（2x-今的圖象向左平移>0）個(gè)單位長度后，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，則伊的值可以是（）

A.?B.IC.yD.工

12.在銳角AABC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,（sinA+sinB）2=（2sinB+

SinQsinC,且SizM>浮，則下列結(jié)論正確的是（）

A.c—a=acosCB.a>cC.c>aD.C>

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足zi+l=z,貝匹=.

14.己知函數(shù)y=2si∏3x（3>0）在區(qū)間[冶幣上的最大值為2,則實(shí)數(shù)3的取值范圍為

15.正五角星是一個(gè)有趣的圖形，如圖，順次連接正五角星各頂點(diǎn)，可得到X∕↑?

一個(gè)正五邊形，正五角星各邊又圍成一個(gè)小的正五邊形，則大五邊形與小五??√

邊形的邊長之比為.VXV

（參考數(shù)據(jù)：Sinl8°=",b

16.已知I耐∣=6,I癥|=3,若對(duì)Vt6R,恒有I耐T小I≥I荏且點(diǎn)M滿足麗=

∣OE+∣O?,N為04的中點(diǎn)，貝力而I=.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知虛數(shù)Z滿足IZl=√-5?

(1)求證：Z+子在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=X上;

(2)若Z是方程2/+4x+k=O(fceR)的一個(gè)根，求Zc與z.

18.(本小題12.0分)

已知同=2,?b?=4,且刈+I∣=2√^3.

(1)求方與方的夾角；

(2)若(2蒼一石)10+kB)，求實(shí)數(shù)k的值.

19.(本小題12.0分)

1-SirIal-cos2a+sin2a

(1)已知一5<α<0,化簡:------rt

-l+r-s.ιnal+cos2α+siτι2α'

(2)已知Sin號(hào)也=亨,tan∣=∣,a,βe(O,π),求α+與的值.

20.(本小題12.0分)

己知△4BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為α,b,c,向量沅=(b-2c,a),亢=(COS4cosB),

且記1n.

(1)求角4

(2)若AABC的周長為3，3，且AABC外接圓的半徑為1,判斷△4BC的形狀，并求△ABC的

面積.

21.(本小題12.0分)

如圖，某運(yùn)動(dòng)員從4市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)15kτn的速度向東進(jìn)行長跑練，長

跑開始時(shí)，在A市南偏東方向距4市75kτn的B處有一艘小艇，小艇與海岸距離45kτn,若小艇

與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā)，要追上這位運(yùn)動(dòng)員.

(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員？

(2)求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB的夾角.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(cosx)=1—cos2x—2cosx.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若關(guān)于％的方程/(s譏x)+2(SLΠX+CoSX)=2α(α∈R)在(看兀)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根打,

X2?求證：%ι+X2<y?

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：T(I-i)z=2,

,22(l+i).,.

1-1(l-ι)(l+i)

二復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(1,1)位于第一象限.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法原則和復(fù)數(shù)的幾何含義，即可求解.

本題考查了復(fù)數(shù)的幾何含義，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)

題.

2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)榻铅两K邊經(jīng)過點(diǎn)P(l,m)(m<0),所以α在第四象限，

所以Sina<°，cosa>0,tana<0,黑<0,故C正確.

故選：C.

依題意可得α在第四象限，根據(jù)各象限三角函數(shù)值的正負(fù)情況判斷即可.

本題主要考查了三角函數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：由余弦定理得，c=√a2+b2-2abcosC=Jl+2-2×1×/7×?=1-

故選：A.

由已知結(jié)合余弦定理即可直接求解.

本題主要考查了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：由共線向量定理可知存在實(shí)數(shù)九使沅=λn,即—&+ke2=λ(e2-e1)=λe2-Ae1,

又備與各是不共線向量，所以12；一乙解得｛：：；?

故選：C.

由題意，利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，共線向量定理，計(jì)算求得A的值.

本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，共線向量定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閏os(。一》=?，

所以COSG-9)=￥，

所以sin26>=CoSe-20)=COS[2?-0)]=2cos2ζ-O)-I=2x∣—I=J

故選：A.

根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式可求出結(jié)果.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式及二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：從長度分別為1，2,3,4,5的5根細(xì)木棒中選擇三根有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),

(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10種取法，

其中能夠圍成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)三種，

若三邊為2,3,4,設(shè)最大角為0,

則CoSg=2凌■2=故9eg,登

若三邊為2,4,5,設(shè)最大角為。，

則c。So=袈3=-?>-∣,此時(shí)8e(消)；

若三邊為3,4,5,故最大角為直角，

綜上所述，。選項(xiàng)正確，

故選：D.

首先列出所有能夠圍成三角形的三邊組合，再分類討論利用余弦定理計(jì)算即可.

本題考查了三角形三邊關(guān)系，余弦定理判斷最大角，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：平面向量蒼=(1,4),b=(-2,1)，

對(duì)于4,當(dāng)，=O時(shí)，a+b=(-1,1)?因此I五+B∣=J(-1產(chǎn)+#=√^N,A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,a∕∕b,則有-24=1,解得4=一右8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,五與方的夾角為鈍角，

則方不<O且3與3不共線，

當(dāng)五不<0時(shí)，l×(-2)+λ×l<0,解得A<2,

由B選項(xiàng)知，當(dāng);I片一T時(shí)，W與方不共線，因此4<2且；I片一：，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)4=—1時(shí)，a-b=-3>而Ibl=J(-21+/=

因此為在方上的投影向量為藍(lán)?V=—：方，。正確.

?b?∣?∣5

故選：D.

由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷4;由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷B；由向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷C；

計(jì)算出五不，商|,再計(jì)算五在至上的投影向量可判斷D.

本題考查向量數(shù)量積的基本運(yùn)算，向量共線定理的應(yīng)用，投影向量的概念，屬中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：/(x)=2(?sinlx—?cos2x)=2sin(2x—

則/(%+ɑ)=2sin[2(x+ɑ)-^]=2sin(2x+2Q-看)，

???/(x+a)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

,2α—g5+∕c7τ,k￡Z,則α=J+”,Z∈Z,

當(dāng)k=-l時(shí)，|可取得最小值也

故選：C.

用輔助角公式化簡函數(shù)解析式，再由函數(shù)f(x+α)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱求出ɑ的值，最后判斷Ial的

最小值.

本題主要考查了輔助角公式，正弦函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于4cosG+l)=-sinl,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于3:sin(ττ+2)=-sin2,故B正確；

對(duì)于C：=tan(85。-25。)=tαn60°=√^3,故C正確；

l+tαn85tan25kJ

對(duì)于。：Sin64。COSl9。-COS64。Sinl9。=sin(64。-19。)=Sin45。=?，故O正確.

故選：BCD.

利用誘導(dǎo)公式判斷4、B,利用差角公式判斷C、D.

本題主要考查了和差角公式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析[解：對(duì)于選項(xiàng)人復(fù)數(shù)2=&+69/6/?)是實(shí)數(shù)的充要條件是/)=0,所以選項(xiàng)4正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：復(fù)數(shù)z=ɑ+bi(ɑ,beR)是純虛數(shù)的充要條件是ɑ=O且b≠O,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：若Z],Z2互為共軌復(fù)數(shù)，不妨設(shè)Zl=a+bi(aER,b&R),則z?=a-bi,所以z/2=

(α+hi)(α-bi)=a2+b2e.R,所以選項(xiàng)C正確；

對(duì)于選項(xiàng)/)：若Zi，Z2互為共枕復(fù)數(shù)，不妨設(shè)Zi=α+bi(αeR,b∈R),則Z2=α-bi,則它們在

復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(α,b)和(a,-b),關(guān)于X軸對(duì)稱，所以選項(xiàng)。錯(cuò)誤，

故選：AC.

利用實(shí)數(shù)和純虛數(shù)的概念即可判定選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)8錯(cuò)誤，再利用共甑復(fù)數(shù)的定義即可判定選

項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念以及共朝復(fù)數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】AD

【解析】解:將函數(shù)/(x)=sin(2x-弓)的圖象向左平移9個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=sin(2x+2@—領(lǐng)勺

圖象，

該圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以2。Y=keZ,

即9=費(fèi)+芻kez,所以8的值可以是工，

故選：AD.

根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換求出變換后的解析式，再根據(jù)所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可求出答

案.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】ACD

【解析】解：由正弦邊角關(guān)系知：(Q+b^2=(2b+c)c,則小+2ab+62=2bc+c2,

所以M+62一￠2=2b(C-Q),而COSC=吐也二＞0，則C-Q=QCosC,A正確；

2ab

由上知：寸＞0，即C＞α,B錯(cuò)誤，C正確：

Cr

SinC2si∏χcos^C√-3

由C—a=acosC矢口：SinC—sinA=sinAcosC貝ItJS譏4=--------τ=------?→=tan-＞

91+cosC2cos27^23

又0＜C＜^故0＜］＜%貝哈＜苧＜［,即為＜c＜aD正確.

224624?2

故選：ACD.

利用正弦邊角關(guān)系可得。2+力2—￠2=2b(c-α),結(jié)合余弦定理及銳角三角形知c-α=acosC.

籍＞0,判斷4、B、C正誤；再由正弦邊角關(guān)系，倍角公式判斷O正誤.

本題考查正余弦定理，三角函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題.

13.【答案】?-?i

【解析】解：???zi+1=z,

則Z=口=H=(IT)(I+(=2+2K

故W=A吳

故答案為：?—?i.

根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算可求得Z=i÷ii,進(jìn)而可求共軌復(fù)數(shù)以及模長.

本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】［2,+8)

【解析】解：3＞0,當(dāng)X∈［-≡,≡L有"∈［-?,?］.函數(shù)y=2sinωx(ω＞0)在區(qū)間［一級(jí)］上

的最大值為2,

則有等得3≥2,所以實(shí)數(shù)3的取值范圍為［2,+8).

故答案為：［2,+8).

先根據(jù)X的范圍求出3X的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)/Q)在區(qū)間［-輔］上的最大值求出3的范圍.

本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】岑?

【解析】解：設(shè)大正五邊形的邊長為α,小正五邊形的邊長為b,

由正五邊形的每個(gè)內(nèi)角相等，且為（5-2）：180。=108。,

可得NFEA=180°-108°=72°,4DEF=108°-72°=36°,

乙DGE=72°,4EDG=72°,

則AEDG為等腰三角形，且DE=GE=EF+FG,

可得EF=EG-FG=a—b,

由NDFE=Io8。，乙DEF=乙EDF,可得EF=DF=a-b,

EFDE

?E?DEFφ,

SinzFDFSinzfFD,

即為a—b_a

sin36°―SinlOS0

a-b_sin360_sin36o_1__11_C-I

2

口PaSiTllO8°sin7202cos36°2(1—2sin18°)2[l-2x(苧)2]2

可得S=3-尸,肥=3+5

故答案為：手

求得正五邊形的內(nèi)角，運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理和正弦定理，結(jié)合二倍角公式，化簡整理，可得

所求值.

本題考查正五邊形的性質(zhì)，以及三角形的正弦定理，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】C

[解析]解：因?yàn)門灰I=J刃2_2￡一.反+12屁2=

J?OA?2-2tOA-OE+t2?OE?2

=√36-2tOA-OE+9t2'

?AE?=?OE-OA?=JOA-2OA-OE+OE2=J?OA?2-2OAOE+?OE?2

=√36-2O??OF+9'

因?yàn)閷?duì)VteR,恒有I市一t屁I≥I而

所以J36-2t0X?δ^+9t2≥√36-2^?而+9對(duì)VteR恒成立，

即(一2t+2)瓦？?蘇+9/一9≥0對(duì)Vt∈R恒成立，

^9t2-2tOA-OE+20A-OE-9≥0對(duì)Vt∈R恒成立，

所以/=(-2O2?OF)2-4×9(2Λ4?OF-9)≤0.

即(就?而一9)2≤0,所以耐.赤=9，

又麗=麗一兩=465_4灰+:麗)=：,萌

ΛΛ??O?

所以I而I=后函一IOFI=J(那一|兩2=J±OA2-^OA-OE+Of2=

J?∣OΛ∣2-∣OΛ?OE+1∣OE∣2=√^.

故答案為：√3.

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到J36-2tE?^+9t2≥√36-2以赤+9對(duì)VteR恒成立，即可

得到弼一21瓦？?U^+2瓦5?癥-9≥0對(duì)VteR恒成立，根據(jù)4≤0求出示?布，再根據(jù)而=

?-,而及數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算可得.

O?

本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

17.【答案】證明：(1)設(shè)Z=Q+bi(α,b∈R,bHO),由憶|=仁，則Z2=5,

所以Z+y=z+zi=α+6i+(α-bi)i=(α÷6)÷(α+b)i,

所以z+費(fèi)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(α+b,α+fo),在直線y=X上.

(2)解：同(1)設(shè)復(fù)數(shù)Z=α+bi(α,b∈RbW0),因?yàn)閆是方程2/+4%+k=0(k∈R)的一個(gè)根,

所以2(α+bi)2+4(α+hi)+fc=0,即2小-262÷4α÷k÷(4ab+4b)i=0,

所以2小—2b2+4α+fc=0且4αb+4b=0,得Q=-1,

因?yàn)樾　耑J2=5,所以b=+2,

把Q=-1,b=±2代入2M-2b2+4Q+/c=0得：k=10,

所以Zc=10,z=—1+2i.

【解析】(1)由題設(shè)可得z+費(fèi)=Z+"，應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算化簡并確定點(diǎn)坐標(biāo)，即可證結(jié)論；

(2)將復(fù)數(shù)Z=α+從代入方程求參數(shù)即可

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)因?yàn)镮五∣=2,∣b∣=4,且I五+b∣=2√-3，

所以I4+方『=a2+2a-b+b∣2=4+2×2×4×cos<ɑ,e>+16=12>

解得COS<a,b>=-?,

又<區(qū)另>∈[0o,180o]>

則五與了的夾角為120。；

(2)由⑴可知，α?h=2×4×(-∣)=-4,

因?yàn)?2H—E)1(a+kb)，

所以(2日一石)?m+k3)=2五2+(2k-1評(píng)不一々片=0，

即2X22-4(2∕c-1)-16k=0,解得k=?

【解析】⑴將I&+BI=215平方后，可得COS<方,b>=—上，進(jìn)而得解；

(2)易知心加=一4，再根據(jù)(2五一及1C+kE>可建立關(guān)于可得方程，解出即可.

本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)因?yàn)橐籡<α<0,則COSa>0,sina<0,1-sina>0,

所以IIsina+l-cos2a+sin2a_(1—sina)2+2sinza+2sinacosa

y∣1+sinal+cos2a+sin2al-sin2a2cos2a+2sinacosa

_?lsina?2sina(sina+cosa)1-sina,sina1

∣cosa∣÷2cosa(cosa÷sina)COSaH--c-o--s-a-=cosa

(2)因?yàn)閍,06(0,兀)，即有0<字<兀，而SinE等=COS孚=修

乙ΔZ?

因此0<手<Sm岑=J1-32岑=2,tan亨=篝=等.

..02tan^^-2×∣41

于^an(a+S)=H=5,

77,

tan(a+/?)—tang^-?

則tan(a+∣)=tan[(a+0)—芻=4—S/—?

l+tan(α+B)tan4l+*x；

而0<字<90<7<即有0<α+g<7T,

LLLLN

所以α+3=%

【解析】(1)根據(jù)給定條件，利用平方關(guān)系及二倍角的正余弦公式化簡作答.

(2)利用同角公式求出tan竽，利用二倍角的正切求出tan(α+夕)，再利用差角的正切求解作答.

本題主要考查了同角基本關(guān)系，二倍角公式，和差角公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)因?yàn)槎鴂L五，所以(b-2c)cosA+acosB=0,

即2ccos4=acosB+bcosA.

由正弦定理得2sinCcosA=SinAcosB+SinBcosA,

因?yàn)镾mACoSB+SinBcosA=Sinol+8)=sinC,所以2sinCcos/=sinC.

因?yàn)镃∈(O,τr),所以SinC≠0,所以CoSA=?

因?yàn)?6(0,τr),所以4=皋

(2)設(shè)A48C外接圓的半徑為R,則R=L

由正弦定理，得α=2RsinA=√-3.

因?yàn)锳ABC的周長為3√^5,所以b+c=2√^豆.

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos^=(b+c)2-3bc,

即3=12—3bc,所以be=3.

則［b+c=2Λ∕~3=匕=?=Λ∕-3

所以△ABC為等邊三角形,△4BC的面積S=^bcsinA=?×3×=與?

2224

【解析】(I)由記-L元,可得2ccos4=αcosB+bcos4,后由正弦定理結(jié)合Sin(4+B)=SinC即可

得答案；

(2)由(1),AABC的周長為3門，且AZBC外接圓的半徑為1,可得b+c=2，？，

后由余弦定理可得be=3,解出b,C即可得答案.

本題主要考查三角形中的幾何計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)如圖所示，設(shè)劃艇以必m"的

速度從B處出發(fā)，沿BC方向行駛，比后與這位運(yùn)動(dòng)

員在C處相遇，

在^ABC<V,AB=75,AC=15t,BC=vt,B。為4C邊上的高，BD=45,

設(shè)NBAC-a.)則Sina=—=—>cosa=Jl-(ξ)2——(，

由余弦定理，得BC2=AC2+AB2-2AB-ACcosa,

則后嚴(yán)=Q5t)2+752—2X75X15tX

整理得”2=等一竿+225=5625號(hào)-?+(?)2]+81=5625(,-?)2+81,

當(dāng)H親即t=瓢"，*E=81，vmin=9,

即劃艇至少以9km"的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員.

(2)當(dāng)V=9∕σn∕∕ι時(shí)，在△力BC中，AB=75,AC=15×^=93.75,FC=9×?=56.25,

由余弦定理，得COS乙4BC="此攜':尹:=0.

2ABBC

則乙ABC=90°,

故劃艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB所成的角為90。.

【解析】(1)設(shè)劃艇以迎巾/九的速度從B處出發(fā)，沿BC方向行駛，t∕ι后與這位運(yùn)動(dòng)員在C處相遇.在

ΛABCdp,AB=75,AC=15t,BC=vt,BD為A