廈門大學(xué)第十二屆“景潤杯”數(shù)學(xué)競賽試卷（理工類）參考答案

廈門大學(xué)第十二屆“景潤杯”數(shù)學(xué)競賽試卷（理工類）參考答案一、求下列各題極限（每小題4分，共8分）求極限.解一：…………..1分…………..2分……………….1分……..1分解二：………..1分……2分…………….1分…………………..1分其中在之間.(2)設(shè)，求極限.解一：由題設(shè)條件知，對，，且，即嚴(yán)格單增，所以,，，即有，故…….3分所以，，……….1分由得………..1分解二：用歸納法證明：，事實上，當(dāng)時，結(jié)論成立。假設(shè)結(jié)論對時成立.則當(dāng)時，……….3分因此，……….1分由得.……….1分二、（8分）設(shè)可微函數(shù)滿足，求.解：……….2分……….2分……….2分……….1分……….1分三、（8分）設(shè)函數(shù)滿足()，其中都是非零常數(shù)，且，求的導(dǎo)數(shù).解：由已知條件，當(dāng)時，,.…………….1分，得，即,,……………….2分則,..…………….1分令，則.……….2分，且.……….….2分四、（8分）設(shè)函數(shù)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，證明至少存在一點，使得.證明：構(gòu)造輔助函數(shù)，……….2分則在上連續(xù)可導(dǎo)，且，….1分若對，則有下面兩種情況對，此時單調(diào)增加，，，從而，這與矛盾，……….2分對，此時單調(diào)減少，，，從而，這與矛盾。………2分從而至少存在一點，使得.……….1分五、（8分）證明不等式.證明：設(shè),…….1分則，……….1分令解得駐點為….1分在區(qū)間上，僅有唯一的一個零點，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.又,因此在上，，從而在上，單調(diào)增加，且.………2分類似地，在區(qū)間上，僅有唯一的一個零點，且當(dāng)時，，當(dāng)時，.又，因此在上，，從而在上單調(diào)減少，且.………2分綜上所述，在區(qū)間上恒大于零，即在上的最小值為，即，從而不等式成立?！?分六、（10分）設(shè)冪級數(shù)的系數(shù)滿足，求此冪級數(shù)的收斂半徑及和函數(shù).解：首先用數(shù)學(xué)歸納法證明對，即數(shù)列有下界1.當(dāng)k=1時，，假設(shè)k=n-1時，，當(dāng)k=n時，，故，由歸納法假設(shè)，數(shù)列有下界1.又，即，數(shù)列是單調(diào)降的，故有.………2分且，，所以冪級數(shù)的收斂半徑.………1分設(shè)，則，由條件，當(dāng)時，有…2分………1分解此一階線性微分方程，得.………3分由，得，故，.………1分七、（10分）設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，且對有（稱具有反序性）（1）證明：（2）利用（1）的結(jié)論，證明：若是上的連續(xù)函數(shù)，且對有，則.證：（1）由得……1分不等式兩端在D上求二重積分，其中，即……2分即.………2分另解：做輔助函數(shù).……1分.………1分………2分故，即……………….………1分（2）由于對有，即與在上[0,1]具有反序性，……………….………2分則由(1)，……………….………2分因為，所以.……………….………1分八、（10分）已知曲線，在縱坐標(biāo)為的點處的切線為，是通過且與曲面相切的平面，求的方程.解：若以為參數(shù)，曲線C的參數(shù)方程為，在對應(yīng)點處的切向量為，……………….………1分所以在點處的切線的方程為，或者……………….………1分過的平面束方程為，即（1）…………….………2分記，設(shè)與曲面的切點為，則曲面在點處的法向量為，由于所求的平面與相切，因此應(yīng)滿足，由此可得，.………….………3分因為在上，則,……………….………1分又因為也應(yīng)在上，將其代入（1）得，即，解得，……………….………1分因而得到所求的的平面方程為或.……………….………1分九、（10分）設(shè)分別是函數(shù)在上的最大值和最小值，是連接原點與點的位于第一象限內(nèi)的光滑曲線，并且與線段圍成的閉區(qū)域的面積為1，求關(guān)于坐標(biāo)的曲線積分.（其中為逆時針方向）解：先確定，再計算.由的積分表達(dá)式，于是的根為..……………….………2分.，所以，.……………….………3分（由格林公式）.……………….………2分..……………….………3分十、（12分）設(shè)是過原點，方向為（其中）的直線，均勻橢球（其中，密度為1）繞旋轉(zhuǎn)（1）求其轉(zhuǎn)動慣量；（2）其轉(zhuǎn)動慣量關(guān)于方向的最大值和最小值.解：（1）設(shè)旋轉(zhuǎn)軸的方向向量為，橢球內(nèi)任意一點到旋轉(zhuǎn)軸的距離的平方為.…………….………2分由積分區(qū)域的對稱性，，.……………….………1分其中，而.同理..……….………2分所求的轉(zhuǎn)動慣量為……………1分（2）設(shè)考慮目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的條件極值.設(shè)拉格朗日函數(shù)為.………….………1分令.求得極值點為，，.……………….………3分通過比較可知，當(dāng)時，即繞旋轉(zhuǎn)軸軸轉(zhuǎn)動慣量最大，即，.……………….………1分當(dāng)時，即繞旋轉(zhuǎn)軸軸轉(zhuǎn)動慣量最小，即..……………….………1分zy?oA十一、（8分）zy?oA，試求當(dāng)陀螺停止轉(zhuǎn)動后，在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下它的中心軸與水平地面的夾角.如圖（軸截面）(其中A為陀螺停止轉(zhuǎn)動后，在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下與地平面的接觸點).解：首先求陀螺的質(zhì)心坐標(biāo).由于陀螺材質(zhì)均勻的旋轉(zhuǎn)體，所以它的質(zhì)心就是幾何體的形心，根據(jù)對稱性可知，必有.由于，.所以，即陀螺的質(zhì)心坐標(biāo)為..……………….………2分當(dāng)陀螺停止轉(zhuǎn)動后，在穩(wěn)定平衡狀態(tài)下時，它的質(zhì)心到水平