數(shù)學(xué)培優(yōu)競(jìng)賽新方法(九年級(jí))-第5講-明快簡(jiǎn)捷-構(gòu)造方程的妙用

第五講明快簡(jiǎn)捷—構(gòu)造方程的妙用知識(shí)縱橫有些數(shù)學(xué)問題雖然外表與一元二次方程無關(guān)，但是如果我們能構(gòu)造一元二次方程，那么就能運(yùn)用一元二次方程豐富的知識(shí)與方法輔助解題，構(gòu)造一元二次方程的常用方法是：1．利用根的定義構(gòu)造當(dāng)?shù)仁骄哂邢嗤慕Y(jié)構(gòu)，就可把某兩個(gè)變?cè)闯墒顷P(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程的兩根．2．利用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造假設(shè)問題中有形如，的關(guān)系式時(shí)，那么、可看作方程的兩實(shí)根．3．確定主元構(gòu)造對(duì)于含有多個(gè)變?cè)牡仁剑梢詫⒌仁秸頌殛P(guān)于某個(gè)字母的一元二次方程．成功的構(gòu)造是建立在敏銳的觀察、恰當(dāng)?shù)淖冃巍V泛的聯(lián)想的根底之上的；成功的構(gòu)造能收到明快簡(jiǎn)捷、出奇制勝的效果．注：許多數(shù)學(xué)問題外表上看難以求解，但如果我們創(chuàng)造性地運(yùn)用條件，以條件為素材，以所求結(jié)論為方向，有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，構(gòu)造出一種輔助問題及其數(shù)學(xué)形式，就能使問題在新的形式下獲得簡(jiǎn)解，這就是解題中的“構(gòu)造”策略，構(gòu)造圖形，構(gòu)造方程、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造反例是常用構(gòu)造方法．例題求解【例1】假設(shè)實(shí)數(shù)x滿足〔全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題〕思路點(diǎn)撥直接解方程組難度較大，變更主元，將看做某一個(gè)一元二次方程的兩根，構(gòu)造方程解。【例2】設(shè)的值為〔〕A．5B．7C．9D．11〔全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題〕思路點(diǎn)撥這兩個(gè)方程具有相同的結(jié)構(gòu)，從利用構(gòu)造方程入手?！纠?】實(shí)數(shù)、滿足，且，求的取值范圍．〔“TI杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕思路點(diǎn)撥由兩個(gè)等式可求出、的表達(dá)式，這樣既可以從配方法入手，又能從構(gòu)造方程的角度去探索，有較大的思維空間．【例4】實(shí)數(shù)、、滿足，．(1)求、、中最大者的最小值；(2)求的最小值．〔“TRULY信利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕思路點(diǎn)撥不妨設(shè)a≥b，a≥c，由條件得，．構(gòu)造以b、c為實(shí)根的一元二次方程，通過△≥0探求的取值范圍，并以此為根底去解(2)．【例5】求方程的非負(fù)整數(shù)解〔江蘇省競(jìng)賽題〕分析把原方程化為關(guān)于x的一元二次方程，從判別式入手。三角形內(nèi)接平行四邊形【例6】如圖，某人用一張面積為S的三角形紙片ABC，剪出一個(gè)平行四邊形DEFG，求證：S□DEFG。學(xué)歷訓(xùn)練1．設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，且，那么k的值是。2．在Rt△ABC中，斜邊AB＝5，BC、AC是一元二次方程的兩個(gè)根，那么m的值是．〔四川省競(jìng)賽題〕3．、滿足是非負(fù)實(shí)數(shù)，且，，那么的值為．4．假設(shè)實(shí)數(shù)a、b滿足等式，那么代數(shù)式的值為〔〕A．B．C．D．〔廣東省競(jìng)賽題〕5．梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，假設(shè)S△AOB＝4，S△COD＝9，那么四邊形ABCD的面積S的最小值為()A．21B．25C．26〔天津市中考題〕6．設(shè)，那么代數(shù)式的值為〔 〕A．B．C．D．〔2011年“《數(shù)學(xué)周報(bào)》”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕7．〔1〕對(duì)于任意給定的一個(gè)矩形C，是否存在另一個(gè)矩形，使得它的周長(zhǎng)和面積都是矩形C的2倍？說明你的理由?！?〕當(dāng)實(shí)數(shù)m是什么值時(shí)，對(duì)于任何一個(gè)矩形C都存在另一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積都是矩形的m倍？證明你的結(jié)論?！才_(tái)州市中考題〕8．和是正整數(shù)，并且滿足條件，，求的值．〔第14屆江蘇省競(jìng)賽題〕能力拓展9．，，其中m、n為實(shí)數(shù)，那么＝．〔第15屆江蘇省競(jìng)賽題〕10．a(chǎn)為實(shí)數(shù)，且使關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，那么x所能取到的最大值是?！采綎|省競(jìng)賽題〕11．，那么=，=．12．實(shí)數(shù)，且滿足，那么的值為?！踩珖?guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕13．、、均為實(shí)數(shù)，且，，求的最小值．14．為實(shí)數(shù)，且，假設(shè)的最大值時(shí)m，最小值是n，求m+n的值?！蔡旖蚴懈?jìng)賽題〕綜合創(chuàng)新15．如圖