新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案5-4-2第1課時(shí)正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(zhì)（一）

5．4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)【素養(yǎng)目標(biāo)】1．理解周期函數(shù)、周期、最小正周期的定義，并會(huì)求正弦函數(shù)y＝sinx、余弦函數(shù)y＝cosx的周期．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．掌握正弦函數(shù)y＝sinx，余弦函數(shù)y＝cosx的奇偶性，會(huì)判斷簡單三角函數(shù)的奇偶性．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值與最小值，并會(huì)求簡單三角函數(shù)的值域和最值．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．掌握y＝sinx，y＝cosx的單調(diào)性，并能利用單調(diào)性比較大小，并會(huì)求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間．(數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理)5．讓學(xué)生探究學(xué)習(xí)正、余弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．(邏輯推理)【學(xué)法解讀】在本節(jié)學(xué)習(xí)中，學(xué)生從觀察正弦、余弦函數(shù)圖象，總結(jié)它們有哪些特殊性質(zhì)，從而可給出周期函數(shù)的定義，再利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行驗(yàn)證其性質(zhì)，提升學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)．第1課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(一)必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的周期(1)?。?！周期函數(shù)###：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D都有(x＋T)∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么這個(gè)函數(shù)的周期為T.(2)?。?！最小正周期###：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．思考1：是不是所有的函數(shù)都是周期函數(shù)？若一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，它的周期是否唯一？提示：并不是每一個(gè)函數(shù)都是周期函數(shù)，若函數(shù)具有周期性，則其周期也不一定唯一．知識(shí)點(diǎn)2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)y＝sinxy＝cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期2π2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)思考2：(1)正弦曲線對(duì)稱嗎？(2)余弦曲線對(duì)稱嗎？提示：(1)正弦函數(shù)y＝sinx是奇函數(shù)，正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．(2)余弦函數(shù)y＝cosx是偶函數(shù)，余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱．基礎(chǔ)自測(cè)1．下列函數(shù)中，周期為eq\f(π,2)的是(＋＋＋＋D－－－－)A．y＝sineq\f(x,2) B．y＝sin2xC．y＝coseq\f(x,4) D．y＝cos4x[解析]A項(xiàng)中，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋2π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4π,2)))＝sineq\f(x,2)，故T＝4π；B項(xiàng)中，sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x，故T＝π；C項(xiàng)中，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)＋2π))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋8π,4)))＝coseq\f(x,4)，故T＝8π；D項(xiàng)中，cos(4x＋2π)＝cos[4(x＋eq\f(π,2))]＝cos4x，故T＝eq\f(π,2)，綜上，D項(xiàng)正確．2．函數(shù)y＝eq\r(2)sin2x的奇偶性為(＋＋＋＋A－－－－)A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)3．函數(shù)y＝－sin2x，x∈R是(＋＋＋＋A－－－－)A．最小正周期為π的奇函數(shù)B．最小正周期為π的偶函數(shù)C．最小正周期為2π的奇函數(shù)D．最小正周期為2π的偶函數(shù)[解析]函數(shù)y＝－sin2x為奇函數(shù)，周期T＝eq\f(2π,2)＝π.4．若函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)－f(x)＝0，則函數(shù)f(x)是周期為?。?！3###的周期函數(shù)．5．若函數(shù)f(x)的最小正周期是4，則必有f(x＋8)＝！?。(x)###.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一三角函數(shù)的周期例1求下列函數(shù)的周期：(1)y＝sineq\f(1,2)x；(2)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))；(3)y＝|cosx|，x∈R.[分析]可以根據(jù)周期函數(shù)的定義求解，也可以用公式T＝eq\f(2π,|ω|)直接求解．[解析](1)解法1：令u＝eq\f(1,2)x，則y＝sinu是周期函數(shù)，且周期為2π.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋2π))＝sineq\f(1,2)x，即sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4π))＝sineq\f(1,2)x.∴y＝sineq\f(1,2)x的周期是4π.解法2：(公式法)∵ω＝eq\f(1,2)，∴T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π.(2)解法1：∵2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)＋2π))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))，∴2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x＋6π－\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))，∴y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－\f(π,6)))的周期是6π.解法2：∵ω＝eq\f(1,3)，∴T＝eq\f(2π,\f(1,3))＝6π.(3)y＝|cosx|的圖象如圖(實(shí)線部分)所示，由圖象可知，y＝|cosx|的周期為π.[歸納提升]求三角函數(shù)周期的方法(1)定義法：緊扣周期函數(shù)的定義，尋求對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x都滿足f(x＋T)＝f(x)的非零常數(shù)T.該方法主要適用于抽象函數(shù)．(2)公式法：對(duì)形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常數(shù)，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝eq\f(2π,|ω|)來求．(3)圖象法：可畫出函數(shù)的圖象，借助于圖象判斷函數(shù)的周期，特別是對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)一般可采用此法．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?求下列函數(shù)的最小正周期：(1)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))；(2)y＝|sinx|；(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,π)x－\f(π,4))).[解析](1)∵ω＝3，T＝eq\f(2π,3).(2)作圖如下：觀察圖象可知最小正周期為π.(3)∵ω＝eq\f(2,π)，∴T＝eq\f(2π,\f(2,π))＝π2.題型二三角函數(shù)奇偶性的判斷例2判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))；(3)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx).[分析]先求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系，最終確定奇偶性．[解析](1)函數(shù)的定義域?yàn)镽.∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．(2)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－coseq\f(3x,4)，x∈R.∵f(－x)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3x,4)))＝－coseq\f(3x,4)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函數(shù)．(3)函數(shù)應(yīng)滿足1＋sinx≠0，則函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}．顯然定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋sinx－cos2x,1＋sinx)為非奇非偶函數(shù)．[歸納提升]1.判斷函數(shù)奇偶性的常用方法：(1)定義法，即從f(－x)的解析式中拼湊出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．(2)圖象法，即作出函數(shù)的圖象，由圖象的對(duì)稱性確定其奇偶性．(3)驗(yàn)證法，即驗(yàn)證f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或eq\f(f－x,fx)＝±1)是否成立．此法通常用于函數(shù)是非奇非偶的情形．2．判斷函數(shù)奇偶性時(shí)，必須先判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．如果是，再驗(yàn)證f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，進(jìn)而再判斷函數(shù)的奇偶性；如果不是，則該函數(shù)是非奇非偶數(shù)．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝cos(eq\f(π,2)＋2x)·cos(π＋x)；(2)f(x)＝eq\r(1－cosx)＋eq\r(cosx－1).[解析](1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，由f(x)＝cos(eq\f(π,2)＋2x)·cos(π＋x)＝－sin2x·(－cosx)＝sin2x·cosxf(－x)＝sin(－2x)·cos(－x)＝－sin2x·cosx所以f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)．(2)由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，從而x＝2kπ，k∈Z，此時(shí)f(x)＝0，故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．題型三三角函數(shù)奇偶性與周期性的綜合運(yùn)用例3定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，f(x)＝sinx，求f(eq\f(5π,3))的值．[分析]利用周期性與奇偶性將eq\f(5π,3)化到[0，eq\f(π,2)]內(nèi)再求值．[解析]∵f(x)的最小正周期為π，∴f(eq\f(5π,3))＝f(eq\f(2π,3)＋π)＝f(eq\f(2π,3))＝f(π－eq\f(π,3))＝f(－eq\f(π,3))．又f(x)是偶函數(shù)．∴f(－eq\f(π,3))＝f(eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).[歸納提升]1.解答此類題目的關(guān)鍵是利用化歸的思想，借助于周期函數(shù)的定義把待求問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入求解即可．2．如果一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，若要研究該函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，結(jié)合周期函數(shù)的定義可知，完全可以只研究該函數(shù)在一個(gè)周期上的特征，加以推廣便可以得到該函數(shù)在其他區(qū)域內(nèi)的有關(guān)性質(zhì)．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?若f(x)是以eq\f(π,2)為周期的奇函數(shù)，且f(eq\f(π,3))＝1，求f(－eq\f(5π,6))的值．[解析]∵f(x)為以eq\f(π,2)為周期的奇函數(shù)，∴f(－eq\f(5,6)π)＝－f(eq\f(5,6)π)＝－f(eq\f(π,2)＋eq\f(π,3))＝－f(eq\f(π,3))＝－1.課堂檢測(cè)·固雙基1．函數(shù)f(x)＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))是(＋＋＋＋A－－－－)A．奇函數(shù) B．非奇非偶函數(shù)C．偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)[解析]函數(shù)f(x)＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝xcosx，∵f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－xcosx＝－f(x)，且定義域?yàn)镽，∴f(x)是奇函數(shù)．2．下列函數(shù)中，最小正周期為4π的是(＋＋＋＋C－－－－)A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sineq\f(x,2) D．y＝cos2x[解析]A項(xiàng)，y＝sinx的最小正周期為2π，故A項(xiàng)不符合題意；B項(xiàng)，y＝cosx的最小正周期為2π，故B項(xiàng)不符合題意；C項(xiàng)，y＝sineq\f(x,2)的最小正周期為T＝eq\f(2π,ω)＝4π，故C項(xiàng)符合題意；D項(xiàng)，y＝cos2x的最小正周期為T＝eq\f(2π,ω)＝π，故D項(xiàng)不符合題意．故選C.3．函數(shù)y＝cos2x的圖象(＋＋＋＋B－－－－)A．關(guān)于直線x＝－eq\f(π,4)對(duì)稱B．關(guān)于直線x＝－eq\f(π,2)對(duì)稱C．關(guān)于直線x＝eq\f(π,8)對(duì)稱D．關(guān)于直線x＝eq\f(5π,4)對(duì)稱[解析]函數(shù)的對(duì)稱軸滿足2x＝kπ，k∈Z.所以x＝eq\f(k,2)π，k∈Z，取k＝－1得B選項(xiàng)，選B.4．函數(shù)f