解答（A）不帶標(biāo)準(zhǔn)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁中國農(nóng)業(yè)大學(xué)2023年年~2023年年學(xué)年第二學(xué)期高等數(shù)學(xué)（A、B）課程考試試題(A卷)解答（2023年年/6）填空題（滿分15分，每小題3分，共5道小題），請將答案寫在橫線上.函數(shù)在點處沿(2,2,1)方向的方向?qū)?shù)為_____________.函數(shù)在條件下的極大值=___________.設(shè)L為圓周，取逆時針方向，則曲線積分=__________.4．設(shè)，且以為周期，則的傅里葉級數(shù)在點處收斂于_____________.5．微分方程的通解為__________________.答案：1.;2.;3.;4.;5.二、挑選題（滿分15分，每小題3分，共5道小題），請將合適選項填在括號內(nèi).1.設(shè)有直線L:和平面,則與（C）(A)垂直；(B)L在上；(C)平行；(D)斜交.2．下列命題不準(zhǔn)確的是（B）(A)在點可微，則在該點延續(xù)；(B)在點的偏導(dǎo)數(shù)存在，則在該點延續(xù)；(C)的偏導(dǎo)數(shù)在點延續(xù)，則在該點可微；(D)在點可微，則在該點的偏導(dǎo)數(shù)存在.3．設(shè)是平面被圓柱面截出的有限部分，則曲面積分的值是（B）(A)；(B)0；(C)；(D).4．設(shè)為常數(shù)，則級數(shù)（D）(A)絕對收斂；(B)條件收斂；(C)斂散性與有關(guān)；(D)發(fā)散.5．若是二階齊次線性微分方程的兩個特解，為兩個隨意常數(shù)，則（A）(A)是該方程的解；(B)是該方程的特解；(C)是該方程的通解；(D)不一定是該方程的解.答案：1.(C)2.(B)3.(B)4.(D)5.(A)三、（10分）求過點且通過直線的平面方程.解：l上的點，，直線l的方向向量平面的法向量由點法式得平面的方程為即四、（10分）設(shè)函數(shù)由方程決定，其中為可微函數(shù)，證實：.證實：對方程兩邊對求偏導(dǎo)得，即對方程兩邊對求偏導(dǎo)得，即故得證。五、（10分）計算積分：.解：由圖可知須交換積分次序，化為先對后對的積分：六、（11分）設(shè)具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，，曲線積分與路徑無關(guān)，求.解：由，收拾得滿意微分方程先求齊次微分方程的通解：特征方程，特征根，故通解；再求非齊次方程的特解：設(shè)特解，代入原方程比較系數(shù)得，即特解；故，又有，得。七、（12分）求冪級數(shù)的收斂域，并求其和函數(shù).解：先求收斂域.因為，所以收斂半徑，收斂區(qū)間為.在端點處冪級數(shù)成為，此級數(shù)為交錯級數(shù)，收斂；在端點處級數(shù)成為，由調(diào)和級數(shù)發(fā)散知此級數(shù)發(fā)散；因此原級數(shù)的收斂域為。設(shè)和函數(shù)為，即，由冪級數(shù)的分析性質(zhì)，逐項求導(dǎo)得，，上式兩邊從0到積分，得所以當(dāng)時，.而故八、（12分）計算曲面積分，其中為的上側(cè)，為大于零的常數(shù).解：原式補充平面取下側(cè)，則與構(gòu)成封閉曲面的內(nèi)側(cè)，由高斯公式，故原曲面積分.九、（5分）設(shè)函數(shù)在的某鄰域內(nèi)具有二階延續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證實級數(shù)絕對收斂.證實：由題設(shè)及知函數(shù)在處的一階泰勒公式為，其中在0到之間.于是有，其中在0到之間.