人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè) 橢圓同步練習(xí)（含解析）

人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)3.1橢圓同步練習(xí)

一、單選題

1.已知耳,馬分別為橢圓m+?=1的左，右焦點(diǎn)，A為上頂點(diǎn)，則/耳心的面積為

169

()

A.6B.15C.6√7D.3√7

2.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢

圓的面積除以圓周率乃等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓C的中心為原

點(diǎn)，焦點(diǎn)5、尸2在y軸上，橢圓C的面積為2√Lr,且離心率為則C的標(biāo)準(zhǔn)方程

為()

?Y2y2

A.—+—=1

43

-L+∑i=ι的離心率為且，則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()

3.已知橢圓C：

m+4m3

A.2√3B.4C.4√3D.8

4?橢圓十的焦點(diǎn)為％G點(diǎn)尸為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)若4明為鈍角，點(diǎn)尸的橫坐

標(biāo)的取值范圍為()

22

5.橢圓會(huì)+三=1上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)G的距離為2,N是MG的中點(diǎn)，則IoNl等于

()

A.2B.4C.8D.?

2

22

6.已知橢圓C:「+馬=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是《，F(xiàn)2,直線y=履與橢圓C

ab

交于A,B兩點(diǎn)，|/閻=3忸用，且NKAg=60。，則橢圓C的離心率是()

A7r√7c93

A.—D.C.—D.—

164164

7.已知耳,鳥是橢圓±+±=1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則鳥

43

的內(nèi)切圓的半徑的最大值是()

A.1B.?C.-D.3?

233

22

8.已知橢圓二+4=1(α>%>0)的離心率為;，則

礦Zrz

A.a2-2b2B.3a2^4b2C.a-2bD.3a=4b

9.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,頂點(diǎn)分別是4,4,%與，焦點(diǎn)分別為耳鳥，延長(zhǎng)

片鳥與&與交于P點(diǎn)，若N8∕A2為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為()

22

10.已知月，心是橢圓C:?→5=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，則∣M∕訃IM用的最

大值為()

A.13B.12C.9D.6

22

11.設(shè)6，鳥是橢圓￡+￡=1(〃>6>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)尸，使

(OP+OF2)-PF2=O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，S.2?PFl?=3?PF2?,則橢圓的離心率為()

A.IB.巫C.叵D.i

35257

92

12.已知橢圓C:與+與=l(α>b>O)的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為斗與，若橢圓C上存

a~b

在一點(diǎn)A,滿足/64鳥=60。，則橢圓C的離心率的取值范圍是()

[f?]

A.B.C.P1D.°7

o2

13.已知橢圓M:￡+￡=l(α”>0),過M的右焦點(diǎn)尸(3,0)作直線交橢圓于A,B

兩點(diǎn)，若AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1),則橢圓M的方程為()

222

AX-y2

A.—+—=1B.—+j2=1c1D.三+匯=1

964??4=189

)2

14.已知橢圓［+當(dāng)=Ig>?>0)的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)F(c,O)(b>c)和點(diǎn)A,

ab

直線L6x-5y-28=0交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，若『恰好為^APQ的重心，則橢圓的離心率

為()

15.已知點(diǎn)P是橢圓三+二=I(XyHO)上的動(dòng)點(diǎn)，入、K為橢圓的左、右焦點(diǎn)，。為

1612

坐標(biāo)原點(diǎn)，若〃是NGP6的角平分線上的一點(diǎn)，且6Λ∕?VP=0,則|。例I的取值范

圍是()

A.(0,2)B.((),√3)C.(0,4)D.(2,2√3)

二、填空題

16.已知橢圓C：《+片=1的右焦點(diǎn)為/，直線/經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F,交橢圓C于

43

p,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在第二象限).若點(diǎn)。關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q',且滿足PQLFQ',

則直線/的方程是.

22

17.設(shè)橢圓*?+%?=M">6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為6,乙，A是橢圓上一點(diǎn)，

AFΛFtF2,若原點(diǎn)。到直線M的距離為用，則該橢圓的離心率為一.

18.已知橢圓;+V=],過點(diǎn)作直線/交橢圓C于A,8兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是AB

的中點(diǎn)，則直線/的方程是.

三、解答題

19.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-4。)和(4,0),且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(5,0)；

(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；

(3)經(jīng)過點(diǎn)A(√5,-2)和點(diǎn)B(-2√J,1).

20.已知橢圓C：=+2=l(α>8>0)的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為2&，且經(jīng)

a~bl

過點(diǎn)(1,1).過橢圓右焦點(diǎn)尸作直線/與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若。4_LO8,求直線/的方程.

’/?、22

21.己知點(diǎn)M?,?-在橢圓C：二+二=1(4>b>0)上，且點(diǎn)M到C的左、

I?J)ab

右焦點(diǎn)的距離之和為20.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若C的弦AB的中點(diǎn)在線段QM(不含端點(diǎn)O,M)上，求

O4?0B的取值范圍.

22

22.如圖，已知橢圓「:二+上=1,矩形ABCQ的頂點(diǎn)A,8在X軸上，C,。在橢圓

42

「上，點(diǎn)。在第一象限.CB的延長(zhǎng)線交橢圓「于點(diǎn)E,直線AE與橢圓「、)，軸分別交于

點(diǎn)尺G,直線CG交橢圓「于點(diǎn)H,D4的延長(zhǎng)線交切于點(diǎn)M.

(1)設(shè)直線4瓦CG的斜率分別為勺、右,求證：3為定值;

(2)求直線用的斜率左的最小值；

(3)證明：動(dòng)點(diǎn)M在一個(gè)定曲線上運(yùn)動(dòng).

參考答案:

1.D

根據(jù)橢圓方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形的面積.

【詳解】

由橢圓方程1+片=1得A(0,3),耳(-√7,θ),用(",0卜忸閭=2√7.

-???=∣∣^^∣?∣^H∣×2√7×3=3√7.

故選：D.

2.C

根據(jù)“逼近法”求橢圓的面積公式，及離心率為3，即可求得”,6的值，進(jìn)而由焦點(diǎn)在y軸上

可得C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】

由題意可知，橢圓。的面積為乃必=2岳，且。、b、C均為正數(shù)，

cιb=2√32

Cl一乙

即￡=:，解得6=6,

a2

a2=b2+c2卜一］

因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)在y軸上，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+E=L

34

故選：C.

3.C

根據(jù)條件先計(jì)算出C的值，再根據(jù)離心率求解出加的值，最后根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2赤百計(jì)算出

長(zhǎng)軸長(zhǎng).

【詳解】

由題意知，=m+4-m=4,所以c=2,

答案第1頁，共17頁

又因?yàn)槎　?=3，所以加=8,

+43

所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2√W+4=4√L

故選：C.

4.B

根據(jù)橢圓方程，得到丹卜6,0),∕s(√3,θ),設(shè)尸(與,%)，根據(jù)NKP心為鈍角，推出

PFi-PF2<0,再由集合橢圓的方程，即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)镵，尸2為橢圓?+丁=1的兩焦點(diǎn)，則川-"0),今(瘋0),

設(shè)。(XO，兒)，則P吊=h√5-Λ0,-%),PF2=(√3-?,-y0),

因?yàn)镹/PG為鈍角，

2

所以Pa?=(-√3-x0)(√3-x0)+√=XO+√-3<O,

又；/+%2=1，；?PFLP尸2=x02-3+l-至=江一2<0，

4°044

.2√62√6

??--------<X<------?

3n°3

故選：B.

本題主要考查求橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，涉及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于?？碱}型.

5.B

先利用橢圓定義得至“叫|=8,再利用中位線定理得IoNl即可.

【詳解】

由橢圓方程｛+上=1,得。=5

259

由橢圓定義得|用制+IMKl=2α=2x5=10

答案第2頁，共17頁

又∣g∣=2,.?.∣MΛ∣=10-2=8

QN為的中點(diǎn)，。為的中點(diǎn)，

.?.線段QV為耳K中位線，有IONI=JgI=gχ8=4.

故選：B

6.B

根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，∣A閭=IB制,設(shè)IA閭=〃?，由IAH=3忸耳|以及橢圓定義可得

∣A∕<∣=y,?AF2?=^,在AAGg中再根據(jù)余弦定理即可得到4,2=子，從而可求出橢圓

C的離心率.

【詳解】

由橢圓的對(duì)稱性，得IA周=怛用.設(shè)IA閭="，則∣"J=3m.由橢圓的定義，知

?AI↑?+?AF2?=2a,即％+3∕n=2a,解得m=?∣,故IM=￥，∣A^∣=∣.

在AAfJG中，由余弦定理，得怩瑪「=IA耳f+∣A用2-2∣A用IA用cos/4A居，即

2212

.29aa3aa?Iali1l∣2c1+,"

4c^=H2×——×-×-=,則e2=r=—>故e="-.

442224cr164

故選：B.

7.D

利用橢圓的定義即可求解.

【詳解】

設(shè)aAR鳥的內(nèi)切圓的半徑為r,

答案第3頁，共17頁

由F^z^-=1>則α=2,h=?/?，c—?/ɑ2-b2=1

43

所以IA用+1伍∣=2α=4,|￡勾=2c=2,

由;閨閭r+?∣AK∣r+jA用r=；忸段也|，

即全(忸用+∣AE∣+∣A國(guó))=gx2∣%∣,

即3r=∣%∣,若4A6鳥的內(nèi)切圓的半徑最大，

即IyAl最大，又

所以J=本

故選：D

8.B

由題意利用離心率的定義和α,b,c的關(guān)系可得滿足題意的等式.

【詳解】

C1

橢圓的離心率e=-=^-,c2=a2-b2,化簡(jiǎn)得3/=4/r,

a2

故選B.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查.

9.D

由題意，N瓦時(shí)就是與4與月4的夾角，所以B24與64的夾角為鈍角，從而有

B2A2-F2Bt<0,結(jié)合從=/一?2即可求橢圓離心率的取值范圍.

【詳解】

解：由題意，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為。，b,c,則與&=3,-勿,

F2B1=(-c,-b),

答案第4頁，共17頁

因?yàn)閆B1PA2就是B2A2與F2Bx的夾角,所以員&與F2B1的夾角為鈍角，

所以為4，鳥4<0,EP-ac+b2<0,又/=Y-C2,

所以"—ac—/V0,兩邊同時(shí)除以/,得1—e—『〈o,gp+e-?>0,

解得e<T-6或e>一"",又0<e<1,

22

所以二!上叵<e<l,

2

（布_1）

所以橢圓離心率的取值范圍為?-,?,

\/

故選：D.

10.C

本題通過利用橢圓定義得到I崢∣+∣g∣=2θ=6,借助基本不等式

IMGHMKI≤IM即可得到答案.

【詳解】

由題，/=9,/=4,則IM用+∣Λ∕g∣=2α=6,

所以IMKHM圖≤（W娟；W0j=9（當(dāng)且僅當(dāng)IM耳I=IM閭=3時(shí)，等號(hào)成立）.

、2,

故選：C.

11.B

由向量的關(guān)系可得P6J?Pξ;,由橢圓的定義及2|PAI=3∣p∕",可得IP且I,∣P"I的值，在

直角三角形PKK中，由勾股定理可得“，C的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率.

【詳解】

解：設(shè)P尸2的中點(diǎn)為Q，由（OP+OFz）?P6=0,E∣J2OQ-PF2=O,所以。。_LP用，

答案第5頁，共17頁

連接PK可得。。/"耳，所以PE■!尸鳥,

可得IPBl=2α-∣W∣,

又因?yàn)?|下凡|=3|?思

所以I%l=gα,IMI=M

在RrZXPEK中,|尸耳『+|明『=|661,

即嚶+噤=—可得：13Ω2=25?,

解得"￡二巫，

a5

故選：B.

12.C

根據(jù)題意可知當(dāng)A為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，即可滿足橢圓C上存在一點(diǎn)A,使得

NMAA=60。，由此可得5=tanNOAQ≥tan30°,解此不等式可得答案.

b

【詳解】

由橢圓的對(duì)稱性可知，當(dāng)4為橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，^AF2最大，

故只需NEAK≥60'即可滿足題意，

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則只需NoAE≥30",即有W=tanNOA居2tan30°=更，

b'3

答案第6頁，共17頁

13.D

設(shè)AB以及AB中點(diǎn)P坐標(biāo)，利用“點(diǎn)差法”得到k%B,kpo之間的關(guān)系,從而得到之間的

關(guān)系，結(jié)合尸(3,0)即可求解出橢圓的方程.

【詳解】

設(shè)A(XI,X),6(Λ2,%),A8的中點(diǎn)P(2,l),所以L=L=I=

所以即皿.但=4

又FvWT)=(ML4),

x1-x2X1+x2a

而出Jι+y..2x11?21

2r所以又C=3,

x1+x22x2

/=18即橢圓方程為:—+^=1.

?2=9189

故選：D.

本題考查了已知焦點(diǎn)、弦中點(diǎn)求橢圓方程，應(yīng)用了韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.C

由題設(shè)F(GO),A(0,b),利用產(chǎn)為」APQ的重心，求出線段PQ的中點(diǎn)為七將B

代入直線方程得9c+號(hào)-28=0,再利用點(diǎn)差法可得2/=5歷，結(jié)合/=從+。2,可求出

a,b,c,進(jìn)而求出離心率.

答案第7頁，共17頁

【詳解】

由題設(shè)尸(c,0),A(OM,P&,y),Q(Λ?,%),則線段PQ的中點(diǎn)為β(?,%)，

h

由三角形重心的性質(zhì)知AF=2尸8，即(G-b)=2(x0-c,%),解得：Xo=M,%=-不

即當(dāng),一?)代入直線/:6x-5y-28=0,得9c+自-28=0①.

又B為線段PQ的中點(diǎn)，則xl+x2=3c,yl+y2=-b,

又只。為橢圓上兩點(diǎn)，,1+二=1,學(xué)+4=1，

a-Zra2b-

以上兩式相減得(士+,)Ur)+()”型)=0,

ab"

LL八I,y∣-y?b1x∣+XIy3c6?Q

所以ZPQ=-----------2--------=7—2X~T=7，化z間ι得2々2=5bc?

x1-X2ayl+y2a-b?

Λ=2√5

由①②及"5,+C*,解得：匕=4,即離心率e=@.

C5

故選：C.

方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難

點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出”,J從而求出e；②構(gòu)造a，。的齊次式，

求出Q③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求

解.

15.A

延長(zhǎng)PH與6加交于點(diǎn)G,由條件判斷APRG為等腰三角形，OM為AKgG的中位線，故

OM^^F2G=^?PFl-PF2?=^?2a-2PF2?,再根據(jù)尸工的值域，求得IoM的最值，從而得到

結(jié)果.

【詳解】

如圖，

答案第8頁，共17頁

延長(zhǎng)尸耳與耳M交于點(diǎn)G,則PM是NKP用的角平分線，

由耳M?MP=O可得F1M與PM垂直,

可得APFQ為等腰三角形，故"為耳G的中點(diǎn)，

由于。為耳K的中點(diǎn)，

則OM為△耳gG的中位線，故OM=gKG,

由于PK=PG,所以6G=尸片一Pg,

所以O(shè)M=g∣P6-PK∣=j2α-2PE∣,

問題轉(zhuǎn)化為求?用的最值，

而尸心的最小值為α-JP名的最大值為α+c,即2乙的值域?yàn)镾-cM+c],

故當(dāng)”="+c或PE="-c時(shí)，|。M取得最大值為

22

OM=^?2a-2PF2?=^?2a-2(a-c)?=c=√α-?=√16-12=2,

當(dāng)尸片=4時(shí)，P在y軸上，此時(shí)M與。重合，

IoMl取得最小值為0,又由題意，最值取不到，

所以IoMl的取值范圍是(0,2),

故選：A.

該題考查的是與橢圓相關(guān)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓的定義，橢圓的性質(zhì)，角分線的

性質(zhì)，屬于較難題目.

16.x+y-l=0

答案第9頁，共17頁

由點(diǎn)Q關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為。'，且滿足PQ,FQ',由直線/的斜率為T求解.

【詳解】

如圖所示：

由點(diǎn)。關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)為。'，且滿足FQ',

所以=45,則k@F=1,kl=-i,

所以直線/的方程是y=—(x-1),

即x+y-l=O.

故答案為：x+y-l=O.

17.受

2

由4鳥，耳心，求得MEl=過。作。ELAG,根據(jù)題意得到|0同=3。/，根據(jù)

a3

OEFlAF2Fi,得到微=陶=大，整理得到&c2+αc-dz2=o,結(jié)合離心率的

定義，即可求解.

【詳解】

因?yàn)锳5_1_耳巴，不妨設(shè)點(diǎn)A(c,y1),其中心＞(),

答案第10頁，共17頁

代入橢圓方程E+W?=l(a>b>O),可得:+4=1,解得#=〃(>r')=

a"b"a"ba

所以以=耳，即MF)I=Q,

a~a

過。作OE,4%因?yàn)樵c(diǎn)O到直線A耳的距離為50周，即IoEl=J。用，

國(guó)=座i

由-。環(huán)AFF即"=萬=1

21忻國(guó)環(huán)2√2'

I2c2ac2Λ∕2

又由〃="2一/,整理得夜/+αc—應(yīng)/=0,即√Σ∕+e—夜=0,

因?yàn)閑>0,解得e=也，即橢圓的離心率為立.

22

故答案為：YZ.

設(shè)A(x,,乂)，BU2,%),利用“點(diǎn)差法”、線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式即可得出.

【詳解】

解：設(shè)A5,y∣),β(x2,>?2),

則x；+4y；=4,x；+4貨=4,

,?.(x1+x2)(xl-x2)+4(yl+y2)(yl-y2)=0.

P(l,g)恰為線段AB的中點(diǎn)，即有玉+超=2,y+%=i,

-Λ2)+2(y1-y2)=0,

???直線AB的斜率為Z=>二也=-；,

x1-X22

*'?直線AB的方程為了-5=-5(工一1)，

答案第11頁，共17頁

即x+2y-2=0.

由于尸在橢圓內(nèi)，故成立.

故答案為：x+2y-2=0.

(1)根據(jù)題意，分析可得要求橢圓中c?、〃的值，計(jì)算可得人的值，將。、6的值代入橢圓

的方程即可得答案；

(2)根據(jù)題意，由橢圓經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)可得橢圓中“、人的值，將“、6的值代入橢圓的方程

即可得答案；

(3)根據(jù)題意，設(shè)要求橢圓的方程為∕w√+")∕=I,將點(diǎn)R。的坐標(biāo)代入計(jì)算可得機(jī)、〃

的值，即可得答案.

【詳解】

(1)由于橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，

22

，設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為［+馬=l(α>b>O),

aZr

?\α=5,c=4,

.?.bI2=?2-C2=25-16=9，

故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+f=1；

259

(2)由于橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，

22

二設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為與+==l(a>b>O)?

a-b-

.?.α=2,6=1,故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡+爐=1；

4

⑶設(shè)橢圓方程為62=l("7>0,n>0S.m≠n)t

1

m=—

3m+4n=115

則⑵,+自得

I，

n--

5

22

???所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+??l.

155

2

20.(1)y+√=l;(2)y=±√2(X-I).

答案第12頁，共17頁

(I)根據(jù)題目所給四邊形的面積得到必=2及，結(jié)合點(diǎn)(1,注)在橢圓上列方程，由此求

得標(biāo),/,從而求得橢圓C的方程.

(2)當(dāng)直線/無斜率時(shí)，求得A,8的坐標(biāo)，判斷出OAJ_OB不成立.當(dāng)直線/有斜率時(shí)，設(shè)

直線/的方程為y=%(χτ),將直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立并寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合

04OB=O列方程，解方程求得火的值，由此求得直線/的方程.

【詳解】

Q)四邊形的面積為gx24*2Z>=2夜，：."=五,

又點(diǎn)(1,也0在C：=+27=1上，則-r+37Tτ=l,

2a~b-a2h

2

Λa2=2,Xi,.?.橢圓的方程為r工+V=1;

2

(2)由ɑ)可知橢圓C的右焦點(diǎn)F(LO),

①當(dāng)直線/無斜率時(shí)，直線/的方程為x=l,

則A(l,注)、B(L--),OA-LOB不成立，舍，

22

②當(dāng)直線/有斜率時(shí)，設(shè)直線方程為將y=Mχ-i),

代入橢圓方程，整理得(l+2k2)χ2-4公χ+2(%2-i)=o,F在橢圓內(nèi)，A>0恒成立,

設(shè)A(X凹)、B(X2,%),則差+%=4",,xx?x1=—~l?

,k1

又X.>2=A2[西?3Txl+々)+1]=_]+2/'

OA?OBnOA?OB=OnXl毛+%%二°，

∏∏2(?2-l)獷k1-2

=O,解得k=±V∑，

l+2k2?+2k21+4A:2

則直線/的方程為：y=±√2(x-l).

答案第13頁，共17頁

求解有關(guān)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的問題，根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

21.⑴與+)』；⑵［翡)

(1)本小題根據(jù)已知條件直接求出〃=b=?,再求出橢圓方程即可.

(2)本小題先設(shè)A、B兩點(diǎn),再將OA?08轉(zhuǎn)化為只含"，的表達(dá)式，最后根據(jù)，”的范圍確

定0408的范圍，即可解題.

【詳解】

'2/?/?A22

解：⑴???點(diǎn)M平,一在橢圓C：^+4=1(0>?>0)上，

(3ab"

41

'彳十9j又???2a=2叵，

??a=?b=1.

橢圓C的方程：y+y2=l

(2)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(4M),B(x2,y2),則43中點(diǎn)(土產(chǎn),入產(chǎn))在線段QM

上，且40M=g,則玉+超=2(%+必)，

又1+y"l,Aw=L兩式相減得宜二誓3+(yf)(y+%)=0,

V,-y9X1+X9,

易知芭一々R0，X+%W0,所以；.=-2()，+%)=_'則L=T

2

2

設(shè)AB方程為y=~x+t代入q~+y=?并整理得3χ2—4Tnr+2〃——2=0.

由A=8(3—"?2)>o解得<3,又由.；"=胃?θ[ɑj?]，則0<m<G?

2(w2-l)

由韋達(dá)定理得X+W=-^-

故。403

=XX2+My2

=xlx2+(-X1+m)(-x2+ΛH)

=2xix2-m[x]+x2)+nr

答案第14頁，共17頁

4(加2-1)4m22

=------------------+trr

33

24

=m——

3

又T.0<∕n<√3

?,?OA-OB的取值范圍是[-*∣J.

本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，相交弦的中點(diǎn)等問題，是偏難題.

22.(1)證明見解析；(2)手；(3)M在曲線5+2丁=1上運(yùn)動(dòng)，證明見解析.

(1)由對(duì)稱性，設(shè)出AB,E,C點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線AE,CG的斜率即可求證；

(2)由直線CG的方程與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理可求出點(diǎn)H坐標(biāo)，直線AE的方程與

橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理可求出點(diǎn)尸坐標(biāo)，即可表示出直線FH的斜率,利用基本不等式

即可求最值；

(3)求出直線切的方程，令X=X°,可得點(diǎn)M縱坐標(biāo)用為表示，利用點(diǎn)(Xo,%)在橢圓

上，相關(guān)點(diǎn)法可求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，即可求證.

【詳解】

(1)由對(duì)稱性，設(shè)A(XO,0),B(-x0,O),E(-?,-y0),C(-?,y0)

則AE:y吟(x-Λ0),得G(O，V),

故K=K,^=--,則&=一1，

μ?λ,4?人γ,2〃,γ人人」I“x-fJa

(2)由CG:y=匕x-&,

'^2

聯(lián)立,)-&x一萬=>(1+26)/-2&4=0,

√+2∕-4=02

3,oΛ?^2>—4

由根與系數(shù)的關(guān)系可得rr-2,所以X=_2_______

~XO'XH-T^Hf([+2硝

答案第15頁，共17頁

?

武一4公|九-4

S可得”≡????4

所以％=

-?(1+2^)

又AE:y=Kx-*,聯(lián)立■)'="逮一寸n(l+2k)/-2KyoX+4-4=0,