新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第八章8.28.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最玄乘估計第2課時對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析及非線性回歸模型課件新人教A版選擇性必修第三冊

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計第2課時對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析及非線性回歸模型學(xué)習(xí)目標(biāo)素養(yǎng)要求1.會通過分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果數(shù)據(jù)分析2.會將非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型求解回歸方程數(shù)據(jù)分析自學(xué)導(dǎo)引殘差的概念觀測值預(yù)測值殘差殘差分析【預(yù)習(xí)自測】提示：不一定；越小越好．(1)殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以_______________的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，那么說明經(jīng)驗回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關(guān)系．(2)殘差平方和法橫軸為對稱軸刻畫回歸效果的方式越小越大越大越小【預(yù)習(xí)自測】思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)殘差平方和越小，線性回歸模型的擬合效果越好． (

)(2)在畫殘差圖時，橫坐標(biāo)為殘差，縱坐標(biāo)可以選為樣本編號． (

)(3)R2越小，線性回歸模型的擬合效果越好． (

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×課堂互動為研究重量x(單位：克)對彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對不同重量的6個物體進行測量，數(shù)據(jù)如下表所示：題型1線性回歸分析x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖并求經(jīng)驗回歸方程；(2)求出R2；(3)進行殘差分析．解：(1)散點圖如圖所示：(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較均勻地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與拉力成線性相關(guān)關(guān)系．

刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，則說明選用的模型比較合適．1．已知某種商品的價格x(單位：元/件)與需求量y(單位：件)之間的關(guān)系有如下一組數(shù)據(jù)：x1416182022y1210753求y對x的經(jīng)驗回歸直線方程，并借助殘差平方和與R2說明回歸模型擬合效果的好壞．列出殘差表：下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：題型2非線性回歸x21232527293235y711212466115325(1)作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關(guān)系；(2)建立x與y的關(guān)系，預(yù)報回歸模型并計算殘差；(3)利用所得模型，預(yù)報x＝40時y的值．解：(1)作出散點圖如下圖，從散點圖可以看出x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù)．(2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則有變換后的樣本點應(yīng)分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性經(jīng)驗回歸方程了，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)化為x21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784殘差表如下：(3)當(dāng)x＝40時，y＝e0.273x-3.876≈1146.非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象如圖所示：②處理方法：兩邊取對數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象如圖所示：②處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.2．為了研究某種病毒隨時間x變化的繁殖個數(shù)y，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)x123456繁殖個數(shù)y612254995190求y對x的非線性經(jīng)驗回歸方程．解：作出散點圖如圖1所示．由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)型曲線y＝cebx的周圍，則lny＝bx＋lnc.令z＝lny，a＝lnc，則z＝bx＋a.x123456z1.792.483.223.894.555.25在一次抽樣檢查中，抽得5個樣本點，相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示．易錯警示忽視線性相關(guān)性的分析致誤x0.250.5124y1612521試建立y關(guān)于x的回歸方程．易錯防范：本題直接取已知數(shù)據(jù)求經(jīng)驗回歸方程，沒有畫出散點圖或?qū)颖鞠嚓P(guān)系數(shù)r進行相關(guān)性檢驗，而本題的兩個變量恰好不具有線性相關(guān)關(guān)系．正解：作出散點圖，如圖1所示．作出散點圖，如圖2所示，可以看出，變換后的樣本點分布在一條直線的附近，因此可以用經(jīng)驗回歸方程擬合．u4210.50.25y1612521素養(yǎng)達成1．檢驗回歸模型的擬合效果一般有三種方法：(1)殘差分析：通過殘差分析發(fā)現(xiàn)原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)，判斷所建立模型的擬合效果．其步驟是：計算殘差、畫殘差圖、在殘差圖中分析殘差特性．1．(題型1)如果兩個變量之間的線性相關(guān)程度很高，那么其R2的值應(yīng)接近于

(

)A．0.5 B．2C．0 D．1【答案】D【解析】R2越接近于1，相關(guān)程度越高．故選D．2．(題型1)(多選)關(guān)于殘差圖的描述正確的是 (

)A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號B．殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或響應(yīng)變量C．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，R2越小D．殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，殘差平方和越小【答案】ABD【解析】殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時R2的值越大，C錯誤，A，B，D正確．3．(題型2)兩個變量的散點圖如圖所示，可考慮用如下函數(shù)進行擬合比較合理的是 (

)【答案】B【解析】由散點圖可知，此曲線類似對數(shù)型函數(shù)曲線，因此可用函數(shù)y＝a＋blnx模型進行擬合．5．(題型1)在一段時間內(nèi)，某網(wǎng)店一種商品的銷售價格x(元)和日銷售量y