湖北省荊州市八縣市區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

荊州八縣市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題（測(cè)試時(shí)間:120分鐘卷面總分:150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線在軸上的截距為（）A.－2024 B.－1012 C.1012 D.2024【答案】A【解析】【分析】對(duì)直線方程，令，即可求得軸的截距.【詳解】對(duì)方程，令，得，故該直線在軸上的截距為.故選：A．2.天氣預(yù)報(bào)說(shuō)，在今后的三天中，每一天下雨的概率均為．我們通過(guò)設(shè)計(jì)模擬實(shí)驗(yàn)的方法求概率，利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之間的隨機(jī)數(shù)：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，則這三天中至少有兩天下雨的概率近似為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由樣本數(shù)據(jù)，利用頻率近似估計(jì)概率.【詳解】設(shè)事件“三天中至少有兩天下雨”，20個(gè)隨機(jī)數(shù)中，至少有兩天下雨有，即事件發(fā)生了13次，用頻率估計(jì)事件的概率近似為．故選：D．3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，若，則（）A.1022 B.2023 C.2024 D.20230【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】在等差數(shù)列中，.故選：B4.圓恒過(guò)的定點(diǎn)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將方程進(jìn)行變形整理，解方程組即可求得結(jié)果.【詳解】圓的方程化為，由得或，故圓恒過(guò)定點(diǎn)．故選：D．5.直線的方向向量為，，平面的法向量分別為，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.若∥，則 B.若∥β，則C.若⊥，則 D.若∥β，則【答案】B【解析】【分析】通過(guò)分析不同位置情況下的向量的乘積，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，選項(xiàng)A，若共線，，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若垂直，則，B正確；選項(xiàng)C，若共線，，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若共線，，D錯(cuò)誤．故選：B．6.拋物線：的焦點(diǎn)為，，為拋物線上的點(diǎn)，則三角形周長(zhǎng)的最小值為（）A.5 B.8 C. D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線方程，求得坐標(biāo)，結(jié)合拋物線定義，數(shù)形結(jié)合，即可求得結(jié)果.【詳解】拋物線方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線．過(guò)作準(zhǔn)線的垂線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則，過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線與準(zhǔn)線和拋物線分別交于點(diǎn)，則，設(shè)的周長(zhǎng)為，則．故選：C．7.已知曲線與y軸交于A，B兩點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的點(diǎn)，若直線AP，BP斜率之積等于，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用斜率的坐標(biāo)公式求出即可計(jì)算離心率.詳解】依題意，，設(shè)點(diǎn)，則有，即，由直線AP，BP斜率之積等于，得，即，顯然曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以C的離心率為.故選：A8.如圖，已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F?的直線與雙曲線C的左支交于點(diǎn)A，B，若則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義結(jié)合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【詳解】依題意，設(shè)，則，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，顯然，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：C【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為（即），應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記“點(diǎn)數(shù)為”，其中，1，2，3，4，5，6，“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（）A. B.，為互斥事件C. D.，為對(duì)立事件【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義，結(jié)合題意，逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)A：拋擲一枚骰子，所有基本事件為：，故，故A正確；對(duì)B：，為互斥事件，選項(xiàng)B正確；對(duì)C：，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：為對(duì)立事件，選項(xiàng)D正確．故選：ABD．10.設(shè)為空間中兩直線的夾角，則在平面直角坐標(biāo)系中方程表示的曲線可能是（）A.兩條相交直線 B.圓C.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 D.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線【答案】BC【解析】【分析】分析在不同范圍下的大小，結(jié)合圓、橢圓、雙曲線的方程，即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)闉榭臻g兩直線夾角，．若，方程為，方程表示圓，選項(xiàng)B正確；若，方程為，由于，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，選項(xiàng)C正確；若，方程為，即，方程表示兩條平行直線，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若，，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：BC．11.如圖，直四棱柱，E是棱的中點(diǎn)，，且，則（）A.平面B.平面C.直線與CE所成的角的余弦值為D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷AB；利用線線角的向量求法判斷C；利用點(diǎn)到平面距離判斷D.【詳解】對(duì)于AB，在直四棱柱中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，而，顯然，即平面，而平面，因此平面，A正確；，，則不垂直于，平面，故與平面不垂直，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，而，即直線與CE所成的角的余弦值為，C正確；對(duì)于D，又，到平面的距離，D正確．故選：ACD12.已知數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，則（）A.成等比數(shù)列B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】由已知得，然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【詳解】由，得．當(dāng)時(shí)，，故．當(dāng)時(shí)，，是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，．選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，C正確．無(wú)論取何值，,所以，．由，得，選項(xiàng)D正確．故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的關(guān)系，即可直接求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.14.如圖，三棱錐O－ABC中，M是BC的中點(diǎn)，，設(shè)用表示向量則_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】，故答案為：.15.第三屆“一帶一路”國(guó)際高峰論壇于2023年10月在北京召開．某記者與參會(huì)的3名代表起合影留念（四人站成排），則記者與代表甲相鄰的概率為______【答案】##0.5【解析】【分析】根據(jù)古典概型公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)記者為，另兩位代表記作1，2．四個(gè)人站成一排，共有24種情況，記者與甲相鄰的情況有12種：甲甲21，甲，甲甲甲1，1甲甲甲，12甲，甲，21甲所以所求概率為，故答案為：.16.九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣為流傳的一種益智玩具，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝，《紅樓夢(mèng)》中有林黛玉巧解九連環(huán)的記載．九連環(huán)一般是用金屬絲制成圓形小環(huán)九枚，九環(huán)相連，套在條形橫板或各式框架上，并貫以環(huán)柄．玩時(shí)，按照一定的程序反復(fù)操作，可使9個(gè)環(huán)分別解開，或合二為一．假設(shè)環(huán)的數(shù)量為，解開連環(huán)所需總步數(shù)為，解下每個(gè)環(huán)的步數(shù)為，則數(shù)列滿足：則______，____【答案】①21；②..【解析】【分析】根據(jù)遞推公式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，即可求得；根據(jù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化遞推公式，構(gòu)造數(shù)列，即可求得.【詳解】．當(dāng)，即．設(shè)，則，即，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，即．設(shè)，即．，，即，又，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，．．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵是把轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造等比數(shù)列求得；再次構(gòu)造數(shù)列.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知圓C:，直線．（1）求m的取值范圍；（2）當(dāng)圓C的面積最大時(shí)，求直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，滿足圓的條件即可求的取值范圍；（2）根據(jù)圓C的面積最大確定圓的方程，然后根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】圓的方程配方，得，由，得．故的取值范圍為．【小問(wèn)2詳解】，故當(dāng)時(shí)，圓的面積最大．此時(shí)，圓的方程為．圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為．故當(dāng)圓的面積最大時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．18.如圖，四棱錐中，為等腰直角三角形，四邊形為菱形，，，E，F(xiàn)分別為CD，PD的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）為的中點(diǎn)，由已知的面面垂直和底面菱形的特征特征，證明兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線線垂直；（2）求平面與平面的法向量，利用向量法求夾角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接．為等腰直角三角形，．由，得．平面平面，平面平面，平面，，則平面．為菱形，，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，則．則有，．如圖，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系．，，，，有．【小問(wèn)2詳解】．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，則，得．又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，令，則，得．則，故平面與平面夾角的余弦值為．19.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)P到的距離，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積的最小值．【答案】（1）（2）48【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義分析求解；（2）直線，根據(jù)結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而根據(jù)，結(jié)合韋達(dá)定理分析求解.【小問(wèn)1詳解】由拋物線定義可知：曲線為拋物線，且為拋物線的焦點(diǎn)，則，即，所以曲線的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，可得，則，設(shè)，則，因?yàn)?，則，即，且，可得，可知直線恒過(guò)定點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值48．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩種解法（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時(shí)需先換元后再求最值）．20.在第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)上中國(guó)女籃以74:72戰(zhàn)勝日本隊(duì)，成功衛(wèi)冕．甲、乙兩名亞運(yùn)選手賽前進(jìn)行三分球投籃訓(xùn)練，甲每次投中三分的概率為0.8，乙每次投中三分的概率為p，在每次投籃中，甲和乙互不影響．已知兩人各投籃一次至少有一人命中三分球的概率為0.94．（1）求p；（2）甲、乙兩人各投籃兩次，求兩人共投中三分球3次概率．【答案】（1）（2）0.4256．【解析】【分析】（1）利用對(duì)立事件的概率公式列等式求；（2）“兩人共投中三分球3次”即“甲中3次且乙中1次”與“甲中1次且乙中2次”的和事件，利用互斥事件的概率加法公式可得.【小問(wèn)1詳解】，解得．【小問(wèn)2詳解】設(shè)分別表示甲投籃兩次投中三分球一次、兩次的事件，設(shè)分別表示乙投籃兩次投中三分球一次、兩次的事件．則，，，．設(shè)“甲、乙兩人各投籃兩次，兩人共投中三分球3次”，則．故甲、乙兩人各投籃兩次，兩人共投中三分球3次的概率為0.4256．21.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為是公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得，再利用關(guān)系求即可；根據(jù)等比數(shù)列基本量，結(jié)合已知條件，即可求得；（2）根據(jù)（1）中所求通項(xiàng)公式，根據(jù)錯(cuò)誤相減法即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，設(shè)，即，當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．．．【小問(wèn)2詳解】，，，兩式相減得，即．22.已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，焦距為，斜率為k的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率之和為0．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在直線l，使得是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形?若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）利用橢圓上的點(diǎn)和橢圓的焦距，列方程求出，得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為，代入橢圓方程，由直線PA，PB的斜率之和為0結(jié)合韋達(dá)定理，求出斜率k，若是以P為頂點(diǎn)的等腰三角形，設(shè)的中點(diǎn)為，由，解出的值，檢驗(yàn)是否滿足過(guò)程中的條件即可.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，得解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，應(yīng)滿足．①設(shè)，由韋達(dá)定理可得