線性代數(shù)課件

§2.2n元排列2.2.3小結(jié)2.2.1排列與逆序2.2.2排列的奇偶性2.2.1排列與逆序定義2-1由自然數(shù)1，2，······，n

組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n

元排列.例如：1，2，3，4，55，1，2，3，45，3，2，1，4都是數(shù)1，2，3，4，5的一個(gè)排列.

問(wèn)題：n個(gè)數(shù)的不同排列有個(gè).n!自然排列.按數(shù)的大小次序，由小到大的排列稱為定義2-2n階排列1234…n稱為n階自然序排列.在一個(gè)排列中，若某個(gè)較大的數(shù)排在某個(gè)較小的數(shù)前面，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中出現(xiàn)的逆序的總數(shù)注意n元排列中，自然排列只有一種，除此之外，任一n元排列都一定出現(xiàn)較大數(shù)碼排在較小數(shù)碼之前的情況.定義2-3稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，計(jì)算排列的逆序數(shù)的方法：方法1：n個(gè)數(shù)的任一n元排列，先看數(shù)1，看有多少個(gè)比1大的數(shù)排在1前面，記為再看有多少個(gè)比2大的數(shù)排在2前面，記為繼續(xù)下去，最后至數(shù)n，前面比n大的數(shù)顯然沒(méi)有，則此排列的逆序數(shù)為方法2：n元排列的逆序數(shù)方法3：求排列3，2，5，1，4的逆序數(shù).解（法1）（法2）（法3）例2求排列4，5，3，1，6，2的逆序數(shù).例1解逆序數(shù)為奇數(shù)的排列奇排列.逆序數(shù)為偶數(shù)的排列偶排列.定義2-4例如所以32514是奇排列.所以123···n是偶排列.n(n-1)···321是偶排列.n(n-1)···321是奇排列.考慮，在1，2，3的全排列中有個(gè)偶排列：有個(gè)奇排列：123，231，312132，213，32133一般說(shuō)來(lái)，在n個(gè)數(shù)碼的全排列中，奇偶排列各占一半.定義2-5把一個(gè)排列中的任意兩個(gè)數(shù)交換位置，其余數(shù)碼不動(dòng)，叫做對(duì)該排列作一次對(duì)換，簡(jiǎn)稱對(duì)換.將相鄰的兩個(gè)數(shù)對(duì)換，稱為相鄰對(duì)換.例如2.2.2排列的奇偶性定理2-1一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．證明設(shè)排列為對(duì)換與除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.的逆序數(shù)不變;經(jīng)對(duì)換后的逆序數(shù)增加1,當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，經(jīng)對(duì)換后的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)減少1.因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為現(xiàn)來(lái)對(duì)換與次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.定理2-2時(shí)，n個(gè)數(shù)的所有排列中，奇偶排列各占一半，各為個(gè).證明設(shè)n個(gè)數(shù)的排列中，奇排列有p

個(gè)，偶排列有q

個(gè)，則p＋q＝n！對(duì)p

個(gè)奇排列，施行同一對(duì)換，則由定理1得到p

個(gè)偶排列.（而且是p個(gè)不同的偶排列）因?yàn)榭偣灿衠

個(gè)偶排列，所以,同理所以定理2-3任意一個(gè)n階排列都可以經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換變成自然序排列，并且所作對(duì)換的次數(shù)與該排列有相同的奇偶性.證明用數(shù)學(xué)歸納證明當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)n-1階排列成立,現(xiàn)證對(duì)n階排列也成立.由假設(shè)知，可經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換變成自然序排列，從而可經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換變成自然序排列.這就歸結(jié)為上面的情形，結(jié)論成立.所以任意一個(gè)n階排列都可以經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換變成自然序排列.由于自然序排列是偶排列，由定理2-1，對(duì)換一個(gè)改變排列奇偶性，所以將一奇排列變成自然序排列推論2-1需要作奇數(shù)次對(duì)換，而將一偶排列變成自然序排列則需要作偶數(shù)次對(duì)換,證畢.任意兩個(gè)n階排列都可以經(jīng)過(guò)一系列對(duì)換互變，而且若這兩個(gè)排列的奇偶性相同，則所作的則所作的對(duì)換次數(shù)是奇數(shù).對(duì)換次數(shù)是偶數(shù)；若這兩個(gè)排列的奇偶性相反，2.一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性．2.2.3小結(jié)1.排列,逆序數(shù)，奇排列,偶排列,對(duì)換的定義.思考題證明在全部階排列中,奇偶排列各占一半.思考題解答證

設(shè)在全部階排列中有個(gè)奇排列,個(gè)偶排列,現(xiàn)來(lái)證.

將個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)對(duì)換,則這個(gè)奇排列全變成偶排列,并且它們彼此不同,所以若將個(gè)偶排列的前兩個(gè)數(shù)對(duì)換,則這個(gè)偶排列全變成奇排列,并且它們彼此不同,于是有故必有§2.3n

階行列式2.3.3小結(jié)2.3.1n階行列式的定義2.3.2n階行列式的計(jì)算(1)1.概念的引入三階行列式說(shuō)明（1）三階行列式共有項(xiàng)，即項(xiàng)．（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．2.3.1n階行列式的定義（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列．例如列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列2.n階行列式的定義定義說(shuō)明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;3、階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列個(gè)元素的乘積;4、一階行列式不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;5、的符號(hào)為2、階行列式是項(xiàng)的代數(shù)和,其中正負(fù)項(xiàng)各占一半，行列式是一個(gè)數(shù);6、上式稱為n階行列式的完全展開(kāi)式.定理2-4令是n階行列式中的任一項(xiàng)，則項(xiàng)的符號(hào)等于證明由行列式定義可知，確定項(xiàng)的符號(hào)，需要把各元素的次序進(jìn)行調(diào)動(dòng)，使其行標(biāo)成自然排列.為此，我們先來(lái)研究若交換項(xiàng)（1）中某兩個(gè)元素的位置時(shí)，其行標(biāo)和列標(biāo)排列的奇偶性如何變化.對(duì)換任意兩元素，相當(dāng)于項(xiàng)（1）的元素行標(biāo)排列及列標(biāo)排列同時(shí)經(jīng)過(guò)一次對(duì)換.設(shè)對(duì)換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為s，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為t.設(shè)經(jīng)過(guò)一次對(duì)換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為由定理，對(duì)換改變排列的奇偶性所以，是奇數(shù)也是奇數(shù)所以是偶數(shù)，即是偶數(shù)，所以與同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù).即，交換項(xiàng)（1）中任意兩個(gè)元素的位置后，其行標(biāo)和列標(biāo)所構(gòu)成的排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變.另一方面，經(jīng)過(guò)若干次對(duì)換項(xiàng)（1）中元素的次序，總可以把項(xiàng)（1）變?yōu)樗缘米C.由此，得行列式的等價(jià)定義(特別地）例1

在6階行列式中，下列項(xiàng)應(yīng)帶什么符號(hào).解431265的逆序數(shù)為所以前邊應(yīng)帶正號(hào).342165的逆序數(shù)為所以前邊應(yīng)帶正號(hào).行標(biāo)排列234516的逆序數(shù)為列標(biāo)排列312645的逆序數(shù)為所以前邊應(yīng)帶正號(hào).2.3.2n階行列式的計(jì)算(1)--------利用定義計(jì)算例2計(jì)算對(duì)角行列式分析展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是從而這個(gè)項(xiàng)為零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不為零的項(xiàng)為例3

計(jì)算上三角行列式分析展開(kāi)式中項(xiàng)的一般形式是所以不為零的項(xiàng)只有解例4同理可得下三角行列式例5

證明對(duì)角行列式證明第一式是顯然的,下面證第二式.若記則依行列式定義證畢1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.2、階行列式共有項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列的個(gè)元素的乘積,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.2.3.3小結(jié)3、行列式的三種表示方法其中是兩個(gè)n級(jí)排列，為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.思考題已知思考題解答解含的項(xiàng)有兩項(xiàng),即對(duì)應(yīng)于§2.4n

階行列式的性質(zhì)2.4.3小結(jié)2.4.1行列式的性質(zhì)2.4.2行列式計(jì)算(2)2.4.1行列式的性質(zhì)性質(zhì)2-1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記證明按定義性質(zhì)2-2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).說(shuō)明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.例如記法行列式的第s行：,交換s、t兩行：行列式的第s列：交換s、t兩列：推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有性質(zhì)2-3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．記法第s行乘以k：第s列乘以k:性質(zhì)2-４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明性質(zhì)2-5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如性質(zhì)2-6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如記法數(shù)k乘第t行加到第s行上：例１2.4.2行列式計(jì)算(2)計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．解例2

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得例3計(jì)算例4計(jì)算注意：上述各例都用到把幾個(gè)運(yùn)算寫在一起的省略寫法，要注意各個(gè)運(yùn)算次序一般不能顛倒，因?yàn)楹笠淮芜\(yùn)算是作用在前一次運(yùn)算結(jié)果上.例如：課堂練習(xí)：1.計(jì)算行列式2.一個(gè)n階行列式，它的元素滿足證明:當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，此行列式為零.＝4＝1例5證明證明(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立).

計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．2.4.3小結(jié)行列式的6個(gè)性質(zhì)思考題解§2.5行列式按一行(列)展開(kāi)2.5.3小結(jié)2.5.1展開(kāi)公式2.5.2行列式的計(jì)算(3)容易驗(yàn)證：可見(jiàn)一個(gè)三階行列式可以轉(zhuǎn)化成三個(gè)二階行列式的計(jì)算.問(wèn)題：一個(gè)n

階行列式是否可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)n-1階行列式來(lái)計(jì)算？1.余子式與代數(shù)余子式2.5.1展開(kāi)公式定義2-7在n

階行列式中，把元素所在的第

i

行和第

j

列劃去后，余下的

n－1階行列式叫做元素的余子式.記為稱為元素的代數(shù)余子式.例如：注意：行列式的每個(gè)元素都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和一個(gè)代數(shù)余子式.行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即定理2-5證明（先特殊，再一般）分三種情況討論，我們只對(duì)行來(lái)證明此定理.(1)假定行列式D的第一行除外都是0.2.行列式按一行（列）展開(kāi)法則由行列式定義，D

中僅含下面形式的項(xiàng)其中恰是的一般項(xiàng).所以(2)設(shè)D

的第

i

行除了外都是0.把D轉(zhuǎn)化為(1)的情形把D

的第行依次與第行，第行，······，第2行，第1行交換；再將第列依次與第列，第列，······，第2列，第1列交換，這樣共經(jīng)過(guò)次交換行與交換列的步驟.由性質(zhì)2-2，行列式互換兩行（列）行列式變號(hào)，得(3)一般情形例如，行列式按第一行展開(kāi)，得證畢.行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即定理2-6證明由定理2-5，行列式等于某一行的元素分別與它們代數(shù)余子式的乘積之和.在中，如果令第

i行的元素等于另外一行，譬如第

k

行的元素則第i行右端的行列式含有兩個(gè)相同的行，值為0.綜上，得公式簡(jiǎn)記為稱為克羅內(nèi)克符號(hào).利用按行按列展開(kāi)定理，并結(jié)合性質(zhì)，可簡(jiǎn)化行列式計(jì)算：計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為僅含1個(gè)非零元素，再按此行（列）展開(kāi),變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去，直到化為三階或二階行列式.在計(jì)算數(shù)字行列式時(shí)，直接應(yīng)用行列式展開(kāi)公式并不一定簡(jiǎn)化計(jì)算，因?yàn)榘岩粋€(gè)n階行列式換成n個(gè)（n－1）階行列式的計(jì)算并不減少計(jì)算量，只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時(shí)，應(yīng)用展開(kāi)定理才有意義.但展開(kāi)定理在理論上是重要的.例1

計(jì)算行列式解按第一行展開(kāi)，得2.5.2行列式的計(jì)算(3)例2

計(jì)算行列式解例3

計(jì)算行列式例4證明范德蒙德(Vandermonde)行列式

證明用數(shù)學(xué)歸納法(1)當(dāng)n=2時(shí),結(jié)論成立.(2)設(shè)n－1階范德蒙德行列式成立，往證n階也成立.

n-1階范德蒙德行列式證畢.學(xué)生練習(xí)：用降階法（按行按列展開(kāi)）計(jì)算行列式的值.=57例5按第二列展開(kāi)按第二行展開(kāi)計(jì)算方法:(1)化上(下)三角形法;(2)降階法.例6例7箭形行列式目標(biāo)：把第一列化為成上三角形行列式例8例9（可以化為箭形行列式）例10計(jì)算解(化上三角形法)例11證明證明1左邊=右邊左邊證明2=右邊(按列拆開(kāi))證明3左邊=右邊.2024/3/19例12計(jì)算特點(diǎn):“0”多方法:降階找遞推公式.2024/3/19解按第1行展開(kāi),有2024/3/19遞推公式例13解(1)(2)(n-1)關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)1.行列式按行（列）展開(kāi)法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具.

2.4.3小結(jié)思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和思考題解答解第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成復(fù)習(xí)n階行列式的性質(zhì)DD則§2.7Cramer法則一、Cramer法則二、小結(jié)引入行列式概念時(shí)，求解二、三元線性方程組，當(dāng)系數(shù)行列式時(shí)，方程組有惟一解，含有n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程的線性方程組，與二、三元線性方程組類似，它的解也可以用n階行列式表示.一、Cramer法則定理2-8（Cramer法則）如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中是把系數(shù)行列式中第列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的階行列式，即則線性方程組(1)有惟一解，證明再把方程依次相加，得于是當(dāng)時(shí),方程組(2)有惟一的一個(gè)解由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,上式中除了的系數(shù)等于D,其余的系數(shù)均等于0，而等式右端為由于方程組(2)與方程組(1)等價(jià),所以也是(1)的解.例1

用Cramer法則解線性方程組.解注意:Cramer法則僅適用于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相等的情形.理論意義：給出了解與系數(shù)的明顯關(guān)系.

但用此法則求解線性方程組計(jì)算量大，不可取.3.撇開(kāi)求解公式Cramer法則可敘述為下面定理：定理2-9如果線性方程組(1)無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零.線性方程組則稱此方程組為非齊次線性方程組.此時(shí)稱方程組為齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的定義:齊次線性方程組易知，一定是(3)的解，稱為零解.若有一組不全為零的數(shù)是(3)的解，稱為非零解.有非零解.定理2-10定理2-11若系數(shù)行列式如果齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為0.如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式則齊次線性方程組沒(méi)有非零解.例2

問(wèn)取何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解？解由于齊次方程組有非零解，則所以或時(shí)齊次方程組有非零解.對(duì)于n元齊次線性方程組的Cramer法則的推論，常被用來(lái)解決解析幾何的問(wèn)題.例3求空間的四個(gè)平面相交于一點(diǎn)的條件.解四個(gè)平面相交于一點(diǎn)，即線性方程組有唯一解.從另一角度看，形式上可以把看作是四元線性方程組的一組非零解.因?yàn)辇R次線性方程組有非零解的充要條件是所以，四平面相交于一點(diǎn)的條件為例4已知三次曲線在四個(gè)點(diǎn)處的值為試求系數(shù)解若用Cramer法則求此方程組的解，有（考慮范德蒙德行列式）解有非零解的充分必要條件例5問(wèn)取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解?由得例6在同一直線上的三點(diǎn)，求過(guò)解設(shè)通過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為考慮齊次線性方程組（4）這是一組非零解，所以方程組（4）的系數(shù)行列式等于0,即（5）所以它們對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不成比例，另外，式（5）中沒(méi)有xy項(xiàng)，因此，式（5）就是所求的圓的方程.1.用克拉默法則解方程組的兩個(gè)條件(1)方程個(gè)數(shù)等于未知量個(gè)數(shù);(2)系數(shù)行列式不等于零.2.克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo).二、小結(jié)思考題:當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時(shí),能否用克拉默法則解方程組?為什么?此時(shí)方程組的解為何?解答:不能,此時(shí)方程組的解為無(wú)解或有無(wú)窮多解.

矩陣3.1高斯消元法及矩陣表示3.1.1高斯消元法及矩陣表示3.1.2矩陣表示3.1.3一般情形引例3.1.1高斯消元法求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過(guò)程．解用“回代”的方法求出解：于是解得小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把方程組看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）稱以上三種變換為線性方程組的初等變換線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)3.1.2矩陣表示稱為上述方程組的系數(shù)矩陣稱為上述方程組的增廣矩陣方程組與其增廣矩陣一一對(duì)應(yīng)定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:用矩陣的初等行變換解方程組（1）：方程組的解為：

高斯消元法解方程組的過(guò)程就是對(duì)其增廣矩陣做初等行變換的過(guò)程，目標(biāo)是將增廣矩陣化為行階梯矩陣。（1）元素全為0的行全在下方；（2）對(duì)于非零行，第i+1行的第一個(gè)非0元素的列標(biāo)大于第i行的第一個(gè)非0元素的列標(biāo)都是行階梯矩陣（1）是行階梯矩陣；不是簡(jiǎn)化行階梯矩陣（2）每一非0行的第一個(gè)元素為1；（3）每一非0行的第一個(gè)元素1所在的列的其余元素均為0；是簡(jiǎn)化行階梯矩陣線性方程組3.1.3一般情形

對(duì)其增廣矩陣作初等行變換，總可以化為如下形式的簡(jiǎn)化行階梯矩陣（必要時(shí)交換未知量的下標(biāo)）：這個(gè)方程組與原方程組同解，所以當(dāng)方程為齊次方程組時(shí)，齊次方程組至少有一組零解

特別地，方程個(gè)數(shù)少于未知量個(gè)數(shù)的齊次方程組一定有非零解例1

求解齊次線性方程組解即得與原方程組同解的方程組由此即得例２求解非齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無(wú)解．例３求解非齊次方程組的通解解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換故方程組有解，且有例４

解證對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，方程組的增廣矩陣為對(duì)應(yīng)的方程組由此得通解：例５設(shè)有線性方程組解其通解為這時(shí)又分兩種情形：（1）線性方程組的增廣矩陣；小結(jié)（2）利用矩陣的初等行變換解線性方程組。目標(biāo)為化方程組的增廣矩陣為簡(jiǎn)化行階梯矩陣，從而判斷方程組是否有解，有解時(shí)有唯一解還是無(wú)窮多解。3.2矩陣及其初等變換3.2.1矩陣的概念3.2.2矩陣應(yīng)用實(shí)例3.2.3矩陣的初等變換

由個(gè)數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣.記作3.2.1矩陣的概念簡(jiǎn)記為元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.例如是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣,是一個(gè)矩陣.(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).（3）只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).

（1）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.幾種特殊矩陣?yán)缡且粋€(gè)3階方陣.(4)行數(shù)與列數(shù)都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作一般的n階方陣：稱為上三角矩陣.（5）形如的方陣,稱為下三角矩陣.（6）形如的方陣,

稱為對(duì)角矩陣(或?qū)顷嚕?（7）形如的方陣,不全為0記作全相等（8）形如的方陣,

稱為數(shù)量矩陣.記作(9)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1例1.某航空公司在A,B,C,D四城市之間開(kāi)辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B.3.2.2矩陣應(yīng)用實(shí)例；四城市間的航班圖情況常用表格來(lái)表示:發(fā)站到站其中表示有航班.為了便于計(jì)算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一個(gè)數(shù)表:這個(gè)數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.例2(價(jià)格矩陣)四種食品(Food)在三家商店(Shop)中,單位量的售價(jià)(以某種貨幣單位計(jì))可用以下矩陣給出例3間的關(guān)系式線性變換.系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.若線性變換為稱之為恒等變換.對(duì)應(yīng)

單位陣.線性變換對(duì)應(yīng)這是一個(gè)以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換.定義下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:3.2.3矩陣的初等變換

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：定義矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換．r}m-r}r}n-r}證明略

稱為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形例：將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形（1）矩陣及幾類特殊矩陣；小結(jié)（2）矩陣的初等變換；（3）初等變換化矩陣為其等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。3.3矩陣的運(yùn)算3.3.1矩陣的加法3.3.2矩陣的數(shù)乘3.3.3矩陣的乘法3.3.4矩陣的轉(zhuǎn)置3.3.5矩陣的共軛設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣

=的和記作，規(guī)定為3.3.1矩陣的加法注：行數(shù)，列數(shù)相同的矩陣才能相加。這樣的矩陣稱為同型矩陣。例如為同型矩陣.性質(zhì)：

兩個(gè)矩陣為同型矩陣,并且對(duì)應(yīng)元素相等,即則稱矩陣相等,記作3.3.2矩陣的數(shù)乘性質(zhì)：并把此乘積記作設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個(gè)矩陣，其中3.3.3矩陣的乘法注：當(dāng)A的列數(shù)＝B的行數(shù)時(shí)，才有AB，且乘積C=AB的行數(shù)為A的行數(shù)，列數(shù)為B的列數(shù)注意

1.矩陣乘法不滿足交換律，即：2.兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣?yán)?/p>

設(shè)則特別的，當(dāng)AB=BA時(shí)，則稱A與B可交換。例

設(shè)則3.矩陣乘法不滿足消去律，性質(zhì)：結(jié)論：n階數(shù)量矩陣與任意n階矩陣可交換定義n階方陣的k次冪為：k個(gè)A顯然：成立的充要條件是什么?例：解：故成立的充要條件為定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例１、轉(zhuǎn)置矩陣3.3.4矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)例5已知解法1解法22、對(duì)稱陣定義設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對(duì)稱陣.對(duì)稱陣的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等.說(shuō)明例6設(shè)列矩陣滿足證明例7

證明任一階矩陣都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和.證明

所以C為對(duì)稱矩陣.

所以B為反對(duì)稱矩陣.命題得證.3.3.5矩陣的共軛對(duì)矩陣：稱為A的共軛矩陣.對(duì)復(fù)數(shù)：稱為z的共軛復(fù)數(shù).性質(zhì)：小結(jié)矩陣運(yùn)算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣共軛矩陣

（2）只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.

（1）只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.注意

（3）矩陣的數(shù)乘運(yùn)算與行列式的數(shù)乘運(yùn)算不同.3.4方陣的逆矩陣3.4.1方陣的行列式3.4.2可逆矩陣及其性質(zhì)3.4.3矩陣可逆的條件定義

由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣的行列式，記作或運(yùn)算性質(zhì)3.4.1方的行列式證明:定義行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣的伴隨矩陣.例：則矩陣稱為的可逆矩陣或逆陣.在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，有其中為的倒數(shù)，

（或稱的逆）；

在矩陣的運(yùn)算中，單位陣相當(dāng)于數(shù)的乘法運(yùn)算中

的1，那么，對(duì)于矩陣，如果存在一個(gè)矩陣,使得3.4.2可逆矩陣及其性質(zhì)

定義

對(duì)于階矩陣，如果有一個(gè)階矩陣

則說(shuō)矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.,使得例設(shè)說(shuō)明

若是可逆矩陣，則的逆矩陣是唯一的.若設(shè)和是的可逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的,即例設(shè)解設(shè)是的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法又因?yàn)樗宰C明逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)證明定理1

矩陣可逆的充要條件是，且

證明若可逆，3.4.3矩陣可逆的條件按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣的定義推論證明例1求方陣的逆矩陣.解同理可得故解例2例3設(shè)解于是例4解

例5解例6思考題思考題解答答小結(jié)方陣的行列式逆矩陣的計(jì)算方法逆矩陣存在逆矩陣的概念及運(yùn)算性質(zhì).3.5分塊矩陣3.5.1分塊矩陣的概念3.5.2分塊矩陣的運(yùn)算3.5.3分塊矩陣的逆矩陣

對(duì)于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運(yùn)算化成小矩陣的運(yùn)算.具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.3.5.1分塊矩陣的概念例即即（按列分塊）（按行分塊）3.5.2分塊矩陣的運(yùn)算分塊對(duì)角矩陣的行列式具有下述性質(zhì):例1設(shè)解則又于是例2其中其中3.5.3分塊矩陣的逆矩陣證例3設(shè)解三、小結(jié)

在矩陣?yán)碚摰难芯恐?矩陣的分塊是一種最基本,最重要的計(jì)算技巧與方法.(1)加法(2)數(shù)乘(3)乘法

分塊矩陣之間的運(yùn)算分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運(yùn)算性質(zhì)類似(4)轉(zhuǎn)置(5)分塊對(duì)角陣的行列式與逆陣3.6初等變換與初等矩陣3.6.1初等矩陣3.6.2利用初等變換求逆矩陣矩陣的初等變換:3.6.1初等矩陣定義由單位矩陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.

矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運(yùn)算，應(yīng)用廣泛.初等倍乘矩陣第列初等倍加矩陣第列第列初等對(duì)換矩陣第列第列一般結(jié)論:

或：設(shè)A是m

n矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘一個(gè)n階相應(yīng)的階初等矩陣初等矩陣是可逆的定理:m

n矩陣可以經(jīng)過(guò)若干次初等變換化為如下形式的矩陣：定理：設(shè)A為可逆方陣，則A經(jīng)有限次初等變換可化為單位矩陣，且A可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。證因A為可逆方陣，所以所以，A經(jīng)有限次初等變換可化為單位矩陣3.6.2利用初等變換求逆矩陣

解例１解例3例4：解可以看成是由3階單位矩陣經(jīng)4次初等變換,而得.而這4次初等變換所對(duì)應(yīng)的初等方陣為:由初等方陣的性質(zhì)得三、小結(jié)1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用初等變換求逆陣的步驟是:300第四章向量空間4.2線性相關(guān)性4.3向量組的秩

4.4

矩陣的秩4.5齊次線性方程組4.6非齊次線性方程組301定義4-1：數(shù)域P上的n個(gè)有次序的數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為數(shù)域P上的一個(gè)n維向量（vector),其中稱為第i個(gè)分量(component)

以后我們用小寫希臘字母來(lái)代表向量。而用小寫拉丁字母來(lái)代表數(shù)。302分量全為零的向量稱為零向量。303例3044.1.2向量的運(yùn)算及性質(zhì)定義4-2向量相等：如果和

是數(shù)域P上的兩個(gè)n維向量，如果他們的對(duì)應(yīng)分量都相等，即則稱向量定義4-3向量的和：如果和

是數(shù)域P上的兩個(gè)n維向量305負(fù)向量：向量稱為向量的負(fù)向量向量的差加法運(yùn)算滿足性質(zhì)注：零向量和負(fù)向量是唯一的加法的逆運(yùn)算是減法。306數(shù)乘運(yùn)算：設(shè)為數(shù)域中的數(shù)，向量稱為向量與數(shù)的數(shù)量乘積。記為數(shù)乘運(yùn)算滿足下列四條規(guī)則：307線性運(yùn)算：上述向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算注：滿足上述的運(yùn)算稱為線性運(yùn)算。

3084.1.3n維向量空間

定義4-5：設(shè)數(shù)域上所有維向量組成的集合，連同在其上定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算，稱為數(shù)域上的維向量空間（vectorspace),記作：注：維向量對(duì)加法與數(shù)乘運(yùn)算是封閉。

定義4-6：設(shè)為數(shù)域上的維向量的非空集合，如果對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，那么就稱集合為上的向量空間．說(shuō)明:集合對(duì)于加法及數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉指309注：中的加法與數(shù)乘運(yùn)算滿足上述性質(zhì)兩個(gè)特殊的子向量空間稱為平凡子空間例1：3維向量的全體是一個(gè)向量空間。例2：的一個(gè)子向量空間。310解：所以，是向量空間。(2)不是向量空間。例3:判別下列集合是否為向量空間.311解：所以V是一個(gè)向量空間。例4：設(shè)a，b為兩個(gè)已知的n維向量，判斷集合是否為向量空間.（這個(gè)向量空間成為由向量a，b生成的向量空間）一般地，由向量組所生成的向量空間為3124.1.4線性組合與線性表示一般的：給定向量組和向量如果存在一組實(shí)數(shù)使得則稱向量是向量組A的線性組合，或稱向量能由向量組A線性表示。對(duì)P中的任何一組數(shù)向量定義4-7：設(shè)是數(shù)域P上的n維向量組，

稱為向量組A的一個(gè)線性組合，若記作：則稱向量是向量組A的線性組合稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。313例如：有所以，稱是的線性組合，或可以由線性表示。314問(wèn)題：1零向量是任何向量的線性組合，為什么？2任何向量都可由它本身所在的向量組線性表示么？判斷向量可否由向量組線性表示的定理。315316定理4-1

向量可由向量組線性表示的充分必要條件是：以為系數(shù)列向量，以為常數(shù)項(xiàng)列向量的線性方程組有解，且一個(gè)解就是線性表示的一組系數(shù)。317小結(jié)１．維向量的概念２．向量的表示方法：行向量與列向量；３．向量空間：解析幾何與線性代數(shù)中向量的聯(lián)系與區(qū)別、向量空間的概念；318若一個(gè)本科學(xué)生大學(xué)階段共修36門課程,成績(jī)描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把他的學(xué)業(yè)水平用一個(gè)向量來(lái)表示，這個(gè)向量是幾維的？請(qǐng)大家再多舉幾例,說(shuō)明向量的實(shí)際應(yīng)用．思考題319如果我們還需要考察其它指標(biāo)，比如平均成績(jī)、總學(xué)分等，維數(shù)還將增加．思考題解答答:

36維的．4.2線性相關(guān)性定義4：注幾何意義：(1)兩向量線性相關(guān)：兩向量共線.(2)三向量線性相關(guān)：三向量共面.4.2.1線性相關(guān),線性無(wú)關(guān)(2)自己證明：三向量線性相關(guān)：三向量共面.例1：用定義判斷線性相關(guān)性。(1)向量線性______關(guān)。(2)向量線性______關(guān)。相相結(jié)論無(wú)關(guān)。4.2.1線性相關(guān)性的刻畫(huà)

至少有一個(gè)向量可由其余m-1個(gè)向量線性表示

向量組線性相關(guān)定理4-2

于是向量線性相關(guān)推論：

向量組線性無(wú)關(guān)任一個(gè)向量都不能由其余m-1個(gè)向量線性表示

至少有一個(gè)向量可由其前面的向量線性表示例2:

向量組線性相關(guān)

則向量必能由向量組A線性表示，且表示式唯一.定理4-3：向量組線性無(wú)關(guān),而向量組線性相關(guān),4.2.3線性相關(guān)性的判斷.有非零解，且它的一個(gè)非零解就是線性表示的一組不全為零的系數(shù)。線性方程組的向量表示有非零解，且它的一個(gè)非零解就是線性表示的一組不全為零的系數(shù)。注利用此定理判別向量組的線性相關(guān)性等價(jià)的說(shuō)法(2)n維向量組線性相關(guān)定理:推論：n維向量組線性無(wú)關(guān)例3:證明n維基本向量組線性無(wú)關(guān).解:例4判斷向量組由克萊姆法則，上述方程（4-5）只有零解解：設(shè)數(shù)使得成立。即未知量為系數(shù)行列式齊次線性方程組有非零解，所以向量線性相關(guān)。向量對(duì)應(yīng)分量不成比例，所以線性無(wú)關(guān)。例5:試討論向量組及向量組的線性相關(guān)性.例6向量組線性無(wú)關(guān),證明:用定義設(shè)只有零解.所以,推論4-2n個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它們構(gòu)成的方陣的行列式不等于零推論4-3

任何n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)。一般的當(dāng)m>n時(shí)，m個(gè)n維向量一定線性相關(guān)推論4-4

數(shù)域P上的n維向量空間中，任何一組線性無(wú)關(guān)的向量的個(gè)數(shù)最多為n個(gè)。推論4-5如果在數(shù)域P上的n維向量空間中，有n個(gè)向量線性無(wú)關(guān)，則中的任一向量都可由線性表示，且表法惟一。

２.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念；線性相關(guān)性在線性方程組中有重要的應(yīng)用；（重點(diǎn)）

３.線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判定方法：定義，兩個(gè)定理．（難點(diǎn)）小結(jié)思考題證明（１）、（２）略．（３）充分性必要性4.3向量組的秩4.3.1向量組的等價(jià)都可以由向量組定義4-9：如果向量組中的每一個(gè)向量

線性表示，那么就稱向量組A可以由向量組B線性表示。若同時(shí)向量組B也可以由向量組A線性表示，就稱向量組A與向量組B等價(jià)。注意：等價(jià)是一種等價(jià)關(guān)系：即滿足自反的，對(duì)稱的和傳遞的關(guān)系）定理4-5設(shè)與是兩個(gè)向量組，如果(2)則向量組必線性相關(guān)。(1)向量組線性表示；可以由向量組由向量組線性表示；可以由向量組所以向量組必線性相關(guān)。推論4-9設(shè)與是兩個(gè)向量組，如果(1)向量組線性表示；可以由向量組(2)且向量組線性無(wú)關(guān)例任意n+1個(gè)n維向量一定線性無(wú)關(guān)；任意多于n個(gè)n維向量一定線性無(wú)關(guān)；推論4-10證明:設(shè)與是兩個(gè)等價(jià)的向量組，且都線性無(wú)關(guān),由推論4-94.3.2.極大線性無(wú)關(guān)組（1）只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組.簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組。(maximalindependentsystem)對(duì)向量組A，如果在A中有r個(gè)向量滿足：（2）任意r＋1個(gè)向量都線性相關(guān)。（如果有的話）線性無(wú)關(guān)。（1）那么稱部分組為向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。（2）一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身。（3）一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組線性表示注:（1）只含零向量的向量組沒(méi)有極大無(wú)關(guān)組.（2）一個(gè)線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身。（3）一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組線性表示一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是,它的極大線性無(wú)關(guān)組就是其本身。定理4-6定理4-7一個(gè)向量組的任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組線性表示,且表示方法唯一證明分析（1）由極大無(wú)關(guān)組的定義知任一向量都能由它的極大無(wú)關(guān)組線性表示(2)用反證法證明表示是唯一的.例如：在向量組中，首先線性無(wú)關(guān)，又線性相關(guān)，所以組成的部分組是極大無(wú)關(guān)組。還可以驗(yàn)證也是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。注：一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組一般不是唯一的。定理4-8

向量組的任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。向量組的極大無(wú)關(guān)組不唯一，但每一個(gè)極大無(wú)關(guān)組都與向量組等價(jià)，所以：證明:設(shè)與可以相互表示。故向量組的任意一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組都與向量組本身等價(jià)。向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組都是等價(jià)的。由等價(jià)的線性無(wú)關(guān)的向量組必包含相同個(gè)數(shù)的向量，可得一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，且所含向量的個(gè)數(shù)相同。定理：4.4.3向量組的秩,維數(shù)和基定義2：向量組的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩,記作例如：向量組的秩為2。（4）等價(jià)的向量組必有相同的秩。關(guān)于向量組的秩的結(jié)論：書(shū)（定理4-10，定理4-11，定理4-12）（1）零向量組的秩為0。（2）向量組線性無(wú)關(guān)向量組線性相關(guān)（3）如果向量組可以由向量組線性表示，則注：兩個(gè)有相同的秩的向量組不一定等價(jià)。

兩個(gè)向量組有相同的秩，并且其中一個(gè)可以被另一個(gè)線性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià)。定理4-13定義4-12.向量空間的基與維數(shù)設(shè)V是向量空間，如果r個(gè)向量且滿足線性無(wú)關(guān)。（1）（2）V中任一向量都可由線性表示，那么，就稱向量組是向量空間V的一個(gè)基，r稱為向量空間V的維數(shù)，記作dimV＝r并稱V是r維向量空間。注：（1）只含有零向量的向量空間沒(méi)有基，規(guī)定其維數(shù)為0。（2）如果把向量空間看作向量組，可知，V的基就是向量組的極大無(wú)關(guān)組，V的維數(shù)就是向量組的秩。（3）向量空間的基不唯一。１．最大線性無(wú)關(guān)向量組的概念：

最大性、線性無(wú)關(guān)性．２．矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系：

矩陣的秩＝矩陣列向量組的秩＝矩陣行向量組的秩３．關(guān)于向量組秩的一些結(jié)論：

４．求向量組的秩以及最大無(wú)關(guān)組的方法：將向量組中的向量作為列向量構(gòu)成一個(gè)矩陣，然后進(jìn)行初等行變換．小結(jié)

總結(jié)證明向量組等價(jià)的方法思考題

證法一根據(jù)向量組等價(jià)的定義，尋找兩向量組相互線性表示的系數(shù)矩陣；思考題解答

證法二利用“經(jīng)初等列變換，矩陣的列向量組等價(jià)，經(jīng)初等行變換，矩陣的行向量組等價(jià)”這一特性，驗(yàn)證是否有相同的行最簡(jiǎn)形矩陣；

證法三直接計(jì)算向量組的秩，利用了向量組的最大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)這一結(jié)論．4.4矩陣的秩4.4.1.行秩、列秩、矩陣的秩把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些行向量組成（行向量組），把矩陣的每一列看成一個(gè)向量，則矩陣可被認(rèn)為由這些列向量組成（列向量組）。例如：矩陣的行向量組是定義4-13：矩陣的行向量組的秩，就稱為矩陣的行秩(rowrank);

矩陣的列向量組的秩，就稱為矩陣的列秩(columnrank)?？梢宰C明，是A的行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，因?yàn)?，由即可知即線性無(wú)關(guān)；而為零向量，包含零向量的向量組線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)。所以向量組的秩為3，所以矩陣A的行秩為3。矩陣A的列向量組是可以驗(yàn)證線性無(wú)關(guān)，而所以向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組是所以向量組的秩是3，所以矩陣A的列秩是3。問(wèn)題：矩陣的行秩＝矩陣的列秩定理4-14：矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩。（列）（列）證：把按行分塊，設(shè)（1）對(duì)換矩陣A的兩行A的行向量組所含向量未變，所以向量組的秩不變，所以矩陣A的行秩不變。（2）用非零常數(shù)k乘以A的第i行顯然，向量組可以由向量組線性表示；而向量組也可以由向量組線性表示。所以矩陣的行向量組與的行向量組等價(jià)，又等價(jià)的向量組有相同的秩，的行秩＝的行秩，即A的行秩不變。（3）非零常數(shù)k乘以第i行后加到第j行上顯然，中的行向量組可以由的行向量組線性表示而的行向量組可以由中的行向量組線性表示。所以兩個(gè)向量組等價(jià)，所以行向量組的秩不變，所以矩陣的行秩不變。定理4-15：矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。（列）（行）證：設(shè)矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)锽，即存在有限個(gè)初等矩陣使得令則把按列分塊，設(shè)不妨設(shè)A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組為（可交換列的次序把它們換到前r列，矩陣的秩不變）則下面證明A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組經(jīng)過(guò)初等行變換變?yōu)槭蔷仃嘊的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。設(shè)數(shù)使得成立因?yàn)镻為初等矩陣的乘積，所以P可逆。又線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)。（1）先證線性無(wú)關(guān)。可由向量組線性表示。是A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組所以對(duì)于A中任一列向量都存在數(shù)使得等號(hào)兩邊左乘P有由(1)(2)可知是B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。所以，B的列秩＝r＝A的列秩（2）再證B的列向量組中任一向量推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的行秩與列秩。定理4-16：矩陣的行秩＝矩陣的列秩證：任何矩陣A都可經(jīng)過(guò)初等變換變?yōu)樾问?，而它的行秩為r，列秩也為r。又，初等變換不改變矩陣的行秩與列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定義2：矩陣的行秩＝矩陣的列秩，統(tǒng)稱為矩陣的秩。記為r(A),或rankA，或秩A。推論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。4.4.2秩的性質(zhì)及求法.例1求下列矩陣的秩解:經(jīng)過(guò)初等變換注：對(duì)于任何矩陣，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換把它變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形式

矩陣秩的更一般的求法.行階梯形矩陣：例如：特點(diǎn)：(1)可劃出一條階梯線，線的下方全為零；(2)每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．行最簡(jiǎn)形矩陣：在行階梯形矩陣的基礎(chǔ)上，還要求非零行的第一個(gè)非零元為數(shù)1，且這些1所在的列的其他元素全都為零。例如：注：對(duì)于任何矩陣，總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡(jiǎn)形矩陣。例2：對(duì)矩陣作行初等變換,使成為行階梯矩陣.解:求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣，則行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是原來(lái)矩陣的秩。例3:求A的秩。由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知（1）向量組作列向量構(gòu)成矩陣A。（2）初等行變換（行最簡(jiǎn)形矩陣或行階梯型矩陣）r(A)=B的非零行的行數(shù)（3）求出B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組（4）A中與B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng)部分的列向量組即為A的極大無(wú)關(guān)組。求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組的方法：

例4：向量組求向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。解：又因?yàn)锽的1，2，5列是B的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組所以，是的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。考慮：是否還有其他的極大無(wú)關(guān)組？與例5：求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。解：設(shè)則B的1，2列為極大無(wú)關(guān)組，且所以為所求的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，且矩陣秩的性質(zhì)推論4-13等價(jià)的矩陣，秩相同。推論4-14任意矩陣有推論4-15任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩不變?？赡妫卸ɡ?-18矩陣的秩滿足當(dāng)AB=0時(shí)，有4.4.3矩陣的秩與行列式的關(guān)系定理4-19:n階方陣A，即A為可逆矩陣（也稱為滿秩矩陣）A的n個(gè)行（列）向量線性無(wú)關(guān)推論4-16:推論4-17:A的n個(gè)行（列）向量線性相關(guān)推論4-18:例6解例7：解：例3解計(jì)算A的3階子式，另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡(jiǎn)單！小結(jié)(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));思考題思考題解答答相等.由此可知4.5齊次線性方程組齊次線性方程組（1）4.5.1齊次線性方程組有非零解的條件則上述方程組（1）可寫成向量方程若為方程的解，則

稱為方程組(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．定理4-21：齊次線性方程組有非零解等價(jià)的：齊次線性方程組只有零解

推論：齊次線性方程組只有零解即即系數(shù)矩陣A可逆。4.5.2齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理4-22若為的解，則

也是的解.證明由以上兩個(gè)性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的集合，對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個(gè)向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間．注意：本性質(zhì)對(duì)有限多個(gè)解也成立定義4-16：基礎(chǔ)解系的定義基礎(chǔ)解系又稱為解空間的基證：設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為，于是由初等行變換化為現(xiàn)對(duì)取下列組數(shù)：依次得從而求得原方程組的個(gè)解：下面證明是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基．由于個(gè)維向量線性無(wú)關(guān)，所以個(gè)維向量亦線性無(wú)關(guān).由于是的解故也是的解.

所以是齊次線性方程組解空間的一個(gè)基.說(shuō)明１．解空間的基不是唯一的．

2．若是的基礎(chǔ)解系，則其通解為

例1

求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解.解對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，變?yōu)樾凶詈?jiǎn)矩陣，有例2

解線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換即方程組有無(wú)窮多解，

其基礎(chǔ)解系中有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.所以原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為故原方程組的通解為例3證小結(jié)１．齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法２．齊線性方程組解的情況

4.6非齊次線性方程組證明１．非齊次線性方程組解的性質(zhì)4.6.1非齊次線性方程組有解的條件證明4.6.2非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)證明證畢．其中為對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解，為非齊次線性方程組的任意一個(gè)特解.非齊次線性方程組的通解定理4-26如果非齊次線性方程組Ax=b有解,則其通解為

與方程組有解等價(jià)的命題線性方程組有解例1

求解方程組解解例2

求下述方程組的解所以方程組有無(wú)窮多解.且原方程組等價(jià)于方程組求基礎(chǔ)解系

令依次得求特解所以方程組的通解為故得基礎(chǔ)解系另一種解法則原方程組等價(jià)于方程組所以方程組的通解為小結(jié)非齊次線性方程組解的情況()()nBRAR==()()nBRAR<=思考題思考題解答5.1線性空間及其性質(zhì)第5章線性空間與線性變換二、線性空間的性質(zhì)三、線性子空間一、線性空間的定義線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一個(gè)抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問(wèn)題看作向量空間，進(jìn)而通過(guò)研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．一、線性空間的定義

若對(duì)于任一數(shù)與任一元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱為與的積，記作定義１

設(shè)是一個(gè)非空集合，是一數(shù)域．如果對(duì)于任意兩個(gè)元素，總有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，稱為與的和，記作如果上述的兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么就稱為數(shù)域上的線性空間．

2．線性空間中的元素均稱之為向量．

3．判別線性空間的方法：一個(gè)集合，對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性質(zhì)的任一條，則此集合就不能構(gòu)成線性空間．說(shuō)明

1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及乘數(shù)運(yùn)算，稱為線性運(yùn)算．線性空間的元素統(tǒng)稱為“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩陣、多項(xiàng)式、函數(shù)等.線性空間是一個(gè)集合對(duì)所定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉所定義的加法及數(shù)乘符合線性運(yùn)算線性空間是二維、三維幾何空間及維向量空間的推廣，它在理論上具有高度的概括性.（１）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性．例１

實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作．線性空間的判定方法通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算滿足線性運(yùn)算規(guī)律．例４

正弦函數(shù)的集合對(duì)于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間．是一個(gè)線性空間.例５

在區(qū)間上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間．一般地例６

正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間．（２）一個(gè)集合，如果定義的加法和乘數(shù)運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律．證明所以對(duì)定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉．下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．不構(gòu)成線性空間．對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法例７

個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體1．零元素是唯一的．證明

假設(shè)是線性空間V中的兩個(gè)零元素，由于所以則對(duì)任何，有二、線性空間的性質(zhì)2．負(fù)元素是唯一的．證明假設(shè)有兩個(gè)負(fù)元素與，那么則有向量的負(fù)元素記為證明4．如果，則或

.證明假設(shè)那么又同理可證：若則有三、線性子空間定義2設(shè)是一個(gè)線性空間，是的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于中所定義的加法和乘數(shù)兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱為的子空間．定理線性空間的非空子集構(gòu)成子空間的充分必要條件是：對(duì)于中的線性運(yùn)算封閉．例8除此之外的子空間稱為V的非平凡子空間.解(1)不構(gòu)成子空間.因?yàn)閷?duì)例9有即對(duì)矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.對(duì)任意有于是滿足且定義3設(shè)V是數(shù)域P上的一個(gè)線性空間，是V的線性子空間.思考題思考題解答5.2基、維數(shù)和坐標(biāo)二、基變換與坐標(biāo)變換一、線性空間的基、維數(shù)和坐標(biāo)一、線性空間的基、維數(shù)和坐標(biāo)定義１

在數(shù)域P上的線性空間V中，考慮向量組若存在不全為0的數(shù)則稱向量組滿足：線性相關(guān)；否則稱為線性無(wú)關(guān).向量空間中關(guān)于向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的有關(guān)結(jié)論,在線性空間也成立.例如

已知：在中，線性無(wú)關(guān)的向量組最多由個(gè)向量組成，而任意個(gè)向量都是線性相關(guān)的．

問(wèn)題：線性空間的一個(gè)重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無(wú)關(guān)的向量？定義2

在線性空間中，如果存在個(gè)向量滿足：注零空間沒(méi)有基,規(guī)定其維數(shù)為0.當(dāng)一個(gè)線性空間中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量時(shí)，就稱是無(wú)限維的．定義3注意線性空間的任一元素在不同的基下所對(duì)的坐標(biāo)一般不同，一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．例5所有二階實(shí)矩陣組成的集合，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性空間．對(duì)于中的矩陣生成的子空間的基與維數(shù).思考題思考題解答二、基變換與坐標(biāo)變換那么，同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？換句話說(shuō)，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？

問(wèn)題：在維線性空間中，任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可以作為的一組基．對(duì)于不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不同的．稱此公式為基變換公式．由于基變換公式矩陣稱為由基到基的過(guò)渡矩陣．注意過(guò)渡矩陣是可逆的．若兩個(gè)基滿足關(guān)系式則有坐標(biāo)變換公式或證明例9設(shè)為R3的一組基,證明也是R3的一組基,的過(guò)渡矩陣.并求由到解:由題意得:過(guò)渡矩陣為即線性無(wú)關(guān),也是R3的一組基.例7.3.3.設(shè)和是R3的兩組基，求α在下的坐標(biāo).的坐標(biāo)分別為和關(guān)于基和基解:設(shè)由題意得的過(guò)渡矩陣為由到=(1,2,-1)所以,課堂練習(xí)1.設(shè)(1)證明和是R3的兩組基，的過(guò)渡矩陣.(2)求由到(3)求α關(guān)于這兩組基的坐標(biāo).2.設(shè)是R3的一組基,(1)證明和是R3的兩組基，(2)求由到的過(guò)渡矩陣.(3)求由到的坐標(biāo)變換公式.思考題