八年級數(shù)學(xué)上冊講義（人教版）：三角形全等的判定2（SAS）（學(xué)生版）

專題12.2.2三角形全等的判定2（SAS）目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，掌握和會用“SAS”條件判定兩個三角形全等；2.使學(xué)生經(jīng)歷探索三角形全等的過程，體驗(yàn)操作、歸納得出數(shù)學(xué)結(jié)論的方法.3.通過探究三角形全等的條件的活動，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析圖形的能力及運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生樂于探索的良好品質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題的能力.知識精講知識精講知識點(diǎn)01三角形全等的判定2：（SAS）知識點(diǎn)三角形全等的判定2：邊角邊（SAS）文字：在兩個三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；圖形：符號：在與中，【微點(diǎn)撥】“SAS”判定方法證明兩個三角形全等及進(jìn)行簡單的應(yīng)用．1.證明線段相等或者角相等時，常常通過證明它們是全等三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角來解決.2判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．解題時要根據(jù)已知條件的位置來考慮，只具備SSA時是不能判定三角形全等的．【知識拓展1】邊角邊判定三角形全等的條件例1．（2022·山東濟(jì)南·七年級期中）如圖，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠1＝∠2，若用“SAS”說明△ABC≌△BAD，則還需添加的一個條件是（

）A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AO＝BO D．AC＝BD【即學(xué)即練】1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）如圖，在和中，，補(bǔ)充一個條件后，能直接應(yīng)用“SAS”判定的是（

）A． B． C． D．【知識拓展2】利用SAS判定三角形全等（實(shí)際應(yīng)用）例2．（2022·遼寧丹東·七年級期末）如圖，桌面上放置一個等腰直角△ABC，直角頂點(diǎn)C頂著桌面，若另外兩個頂點(diǎn)與桌面的距離分別為和，過另外兩個頂點(diǎn)向桌面作垂線，則兩個垂足之間的距離DE的長度為______．【即學(xué)即練】2.（2022·河南鄭州·七年級期末）在學(xué)習(xí)“利用三角形全等測距離”之后，七一班數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中，張老師讓同學(xué)們測量池塘A，B之間的距離（無法直接測量）小穎設(shè)計(jì)的方案是：先過點(diǎn)A作的垂線，在上順次截取，使，然后過點(diǎn)D作，連接并延長交于點(diǎn)E，則的長度即為的長度．(1)小穎的作法你同意嗎？并說明理由；(2)如果利用全等三角形去解決這個問題，請你設(shè)計(jì)一個與小穎全等依據(jù)不同的方案，并畫出圖形．【知識拓展3】利用SAS證明三角形全等（求線段的長度）例3．（2021?洪山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，在AB上截取AE＝AC，則△BDE的周長為（）A．8 B．7 C．6 D．5即學(xué)即練3】3．（2022·浙江臺州·八年級期末）已知：如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB＝DE．BC＝EF；(1)求證：△ABC≌△DEF；(2)若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，EC＝6，求線段BF的長度．【知識拓展4】利用SAS證明三角形全等（求角的度數(shù)）例4．（2022·山東煙臺·七年級期末）如圖，已知三個內(nèi)角的角平分線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，且，連接，若，則的度數(shù)為______．【即學(xué)即練4】4．（2022·山東濟(jì)南·七年級期中）如圖，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線上，點(diǎn)A、D在BC的異側(cè)，AB＝CD，BF＝CE，∠B＝∠C．(1)△ABE和△DCF全等嗎？請說明理由；(2)若∠A+∠D＝144°，∠C＝30°，求∠CFD的度數(shù)．【知識拓展5】利用SAS證明三角形全等（證明類）例5．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，BD、CE分別是△ABC的邊AC和AB上的高，點(diǎn)P在BD的延長線上，BP＝AC，點(diǎn)Q在CE上，CQ＝AB．求證：(1)AP＝AQ；(2)AP⊥AQ．【即學(xué)即練5】5．（2021?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，過B點(diǎn)作BD⊥AC于D，E在CD上，且DE＝AB，過點(diǎn)D作DF∥BC，使得DF＝BD，連接EF．求證：（1）∠ABD＝∠C；（2）DF⊥EF．能力拓展能力拓展考法01利用SAS證明三角形全等（探究類）【典例1】（2021·河南平頂山市·八年級期中）在中，，點(diǎn)在平面內(nèi)，連接并將線段繞點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)與相等的角度，得到線段，連接．（1）如圖1，如果點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，線段和線段的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，如果點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．請僅以圖2所示的位置關(guān)系加以證明（或說明）．

變式1．（2021·安徽宿州市·七年級期末）如圖，在和中，，為銳角，，，連接、，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）與全等嗎？為什么？（2）與有何特殊的位置關(guān)系，并說明理由．變式2（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖①，和是等腰三角形，且，，，，以為頂點(diǎn)作一個角，角的兩邊分別交邊，于點(diǎn)、，連接．（1）探究、、之間的關(guān)系，并說明理由；（2）若點(diǎn)、分別在、CA延長線上，其他條件不變，如圖②所示，則、、之間存在什么樣的關(guān)系？并說明理由．考法02動態(tài)問題【典例2】（2022·遼寧沈陽·七年級期末）如圖（1），AB=10，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=7，點(diǎn)P在線段AB上以每秒3個單位長度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動，它們運(yùn)動的時間為t秒．(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)t=1秒時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由；(2)在（1）的前提條件下，判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，并說明理由；(3)如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=70°”，其他條件不變，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為x個單位長度/秒，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，直接寫出相應(yīng)的x的值；若不存在，請說明理由．變式1．（2021·廣東·肇慶市頌德學(xué)校八年級期中）如圖，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，如果點(diǎn)P在線段BC上以每秒2厘米的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上以每秒a厘米的速度由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（秒）（0≤t＜3）．(1)用含t的代數(shù)式表示PC的長度．(2)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；(3)若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度a為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）下列選項(xiàng)可用SAS證明△ABC≌△A′B′C′的是（

）A．AB＝A′B′，∠B＝∠B′，AC＝A′C′ B．AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠A＝∠A′C．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠C＝∠C′ D．AC＝A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′2.（2022?欒城區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，D，E是BC邊上的兩點(diǎn)，AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝110°，∠BAE＝60°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．40° D．20°3．（2022·廣東深圳·七年級期末）如圖所示，為了測量出A，B兩點(diǎn)之間的距離，在地面上找到一點(diǎn)C，連接BC，AC，使，然后在BC的延長線上確定D，使，那么只要測量出AD的長度也就得到了A，B兩點(diǎn)之間的距離，這樣測量的依據(jù)是（

）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS4．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是邊BC的中線，那么AD的取值范圍是（）A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜65．（2022·全國·八年級單元測試）如圖，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BE＝CF，若∠A＝50°，則∠DEF的度數(shù)是（

）A．60° B．65° C．70° D．75°6．（2021·上海市松江區(qū)九亭中學(xué)初一期中）如圖，在與中，有以下四個等式①；②；③；④，請以其中三個等式作條件，余下一個作結(jié)論，寫出所有的正確判斷___________________________（用形式表示）7．（2021?溫嶺市八年級期中）某中學(xué)計(jì)劃為新生配備如圖1所示的折疊凳，圖2是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計(jì)），其中凳腿AB和CD的長度相等，O是它們的中點(diǎn)，為了使折疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊凳寬度AD設(shè)計(jì)為35cm，由以上信息能求出CB的長度嗎？如果能，請求出CB的長度；如果不能，請說明理由．．（2022·福建·廈門五緣實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期末）命題：如圖，已知，共線，（1），那么．(1)從①和②兩個條件中，選擇一個填入橫線，使得上述命題為真命題，你選擇的條件為_______（填序號）；(2)根據(jù)你選擇的條件，判定的方法是________；(3)根據(jù)你選擇的條件，完成的證明．9．（2022?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，已知AB＝CD，AB∥CD，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AF＝CE，連接BC，求證：∠ABE＝∠D．10．（2021·北京房山·九年級期中）已知：如圖，△ABC中，∠ABC＝70°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，BD＝BC，連接BE，將線段BE繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)70°得到線段BF，連接DF．求證：△BCE≌△BDF．題組B能力提升練1.（2022?弋江區(qū)八年級期末）如圖，點(diǎn)P是∠BAC平分線AD上的一點(diǎn)，AC＝9，AB＝5，PB＝3，則PC的長可能是（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，在△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于點(diǎn)D，連接EB．下列結(jié)論：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2021·山東德州·八年級期中）如圖所示，，，，，，則（

）A． B． C． D．無法計(jì)算4．（2022·重慶一中七年級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝110°，延長BC至點(diǎn)D使CD＝AB，過點(diǎn)C作CE∥AB且使CE＝BC，連接DE并延長DE交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)H．若∠D＝20°，則∠CFE的度數(shù)為______度．5．（2022·安徽池州·八年級期末）如圖，與中，，，，交于D．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是__________（填寫所有正確結(jié)論的序號）．6．（2022·全國·八年級單元測試）添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情．如圖1，在Rt中，，是高，是外一點(diǎn)，，，若，，，求的面積．同學(xué)們可以先思考一下……，小穎思考后認(rèn)為可以這樣添加輔助線：在上截取，（如圖2）．同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得的面積為______．7．（2022·江蘇泰州·七年級期末）如圖，，，，．(1)求證：．(2)圖中、有怎樣的關(guān)系？試證明你的結(jié)論．8．（2021·湖北宜昌·八年級期中）在“教、學(xué)、練、評一體化”學(xué)習(xí)活動手冊中，全等三角形專題復(fù)習(xí)課，學(xué)習(xí)過七種作輔助線的方法，其中有“截長補(bǔ)短”作輔助線的方法．截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延長較短線段和較長線段相等．這兩種方法統(tǒng)稱截長補(bǔ)短法．請用這兩種方法分別解決下列問題：已知，如圖，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P為AD上任一點(diǎn)，求證：AB－AC＞PB－PC9.（2022?大連月考）為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在八年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計(jì)方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)出了如下兩種方案：甲：如圖1，先在平地上取一個可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長到點(diǎn)C，連接BO并延長到點(diǎn)D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可；乙：如圖2，先確定直線AB，過點(diǎn)B作直線BE⊥AB，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測量BC的長即可．甲、乙兩個同學(xué)的方案是否可行？請說明理由．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·重慶·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校七年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，點(diǎn)D為AC上的點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)E在△ABC外，連接AE，BE，使得CD＝BE，∠ABE＝∠C，過點(diǎn)B作BF⊥AC交AC點(diǎn)F，若∠BAE＝21°，∠C＝28°，則∠FBD＝（

）A．49° B．59° C．41° D．51°2．（2022·黑龍江·集賢縣八年級期中）如圖，是的中線，E，F(xiàn)分別是和延長線上的點(diǎn)，且，連接．下列說法：①；②和面積相等；③；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022·重慶·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝NBC＝∠90°，連接MN，已知MN＝4，則BD＝_________．4．（2022·山東濟(jì)南·七年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，∠EDF＝45°，當(dāng)AE＝a，CF＝b時，EF＝_______（用含a、b的式子表示）．5．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．求證：CF＝FG+CE．6．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）已知△ABC，分別以AB、AC為邊作△ABD和△ACE，且AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE，連接DC與BE，G、F分別是DC與BE的中點(diǎn)．(1)如圖1，若∠DAB＝60°，則∠AFG＝；(2)如圖2，若∠DAB＝90°，則∠AFG＝；(3)如圖3，若∠DAB＝，試探究∠AFG與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．7．（2022·遼寧丹東·七年級期末）如圖在△ABC