七年級數(shù)學(xué)上冊講義（人教版）：一元一次方程及其解法講練（教師版）（人教版）

專題3.1-3.3一元一次方程及其解法講練目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1.一元一次方程的概念：只含有一個未知數(shù)（元）且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程。一般形式：ax+b=0(a≠0)注意：未知數(shù)在分母中時，它的次數(shù)不能看成是1次。如，它不是一元一次方程。2.一元一次方程的解方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。3.等式的性質(zhì)：（1）等式兩邊都加上或減去同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；（2）等式兩邊都乘或除以同一個不等于0的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式。4.移項：方程中的某些項改變符號后，可以從方程的一邊移到另一邊，這樣的變形叫做移項。移項的依據(jù)：（1）移項實際上就是對方程兩邊進(jìn)行同時加減，根據(jù)是等式的性質(zhì)1；（2）系數(shù)化為1實際上就是對方程兩邊同時乘除，根據(jù)是等式的性質(zhì)2。注意：移項時要跨越“=”號，移過的項一定要變號。5.解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1。注意：去分母時不可漏乘不含分母的項。分?jǐn)?shù)線有括號的作用，去掉分母后，若分子是多項式，要加括號?？键c精講考點精講考點1：一元一次方程定義及應(yīng)用典例：若是關(guān)于的一元一次方程，則的值是______．【答案】-1【分析】根據(jù)一元一次方程的定義即可求出答案．【詳解】解：由題意得：，解得：，故答案為：-1．方法或規(guī)律點撥本題考查一元一次方程的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次方程的定義，屬于基礎(chǔ)題型．鞏固練習(xí)1．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級期末）下列各式中，是一元一次方程的是（

）A．x+2y=5 B．x2+x-1=0 C． D．3x+1=10【答案】D【分析】根據(jù)一元一次方程的定義分析即可得出結(jié)論．【詳解】解：方程x+2y=5中含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故A項錯誤；方程x2+x-1=0中未知數(shù)的最高次數(shù)為2次，不是一元一次方程，故B項錯誤；代數(shù)式不是等式，更不是一元一次方程，故C項錯誤；方程3x+1=10含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1，是一元一次方程，故D正確；故選：D．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，熟記一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）下列是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A、不是一元一次方程，故本選項錯誤；B、是一元一次方程，故本選項正確；C、不是等式，即不是一元一次方程，故本選項錯誤；D、不是整式方程，即不是一元一次方程，故本選項錯誤．故選B．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常數(shù)且a≠0）．3．（2021·山東濱州·七年級階段練習(xí)）下列方程中，是一元一次方程的是（）A．x2﹣4x＝3 B．x＝0C．x+2y＝1 D．2（x﹣3）﹣3＝2x+5【答案】B【分析】根據(jù)一元一次方程的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A．該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；B．該方程符合一元一次方程的定義，故本選項符合題意；C．該方程中含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；D．由已知方程得到：﹣6﹣3＝5，該等式既不成立也不含有未知數(shù)，不是一元一次方程，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，方程的兩邊都是整式，這樣的方程叫一元一次方程．熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．4．（2022·河南鶴壁·七年級期末）在下列方程：①，②，③，④，⑤中，一元一次方程的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由一元一次方程的概念可知：①只含有一個未知數(shù)，②未知數(shù)的次數(shù)為1，③整式方程，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在下列方程：①，②，③，④，⑤中，④，⑤是一元一次方程，共2個,故選B【點睛】本題考查了一元一次方程的概念，掌握概念是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川資陽·七年級期末）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（）A．①④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤【答案】C【分析】根據(jù)方程的定義即可一一判定．【詳解】解：含有未知數(shù)的等式叫做方程，①是方程；②，不含有未知數(shù)，故不是方程；③不是等式，故不是方程；④是方程；⑤是方程；⑥不是等式，故不是方程；故方程有：①④⑤，故選：C．【點睛】本題考查了方程的定義，熟練掌握和運用方程的定義是解決本題的關(guān)鍵．6．（2021·全國·七年級期中）①x﹣2；②0.3x＝1；③x2﹣4x＝3；④5x﹣1；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)一元一次方程的定義：只含有一個未知數(shù)（元），且未知數(shù)的次數(shù)是1，這樣的整式方程叫一元一次方程可得答案．【詳解】解：①是分式方程，故①不符合題意；②，即，符合一元一次方程的定義．故②符合題意；③的未知數(shù)的最高次數(shù)是2，它屬于一元二次方程．故③不符合題意；④，即，符合一元一次方程的定義．故③符合題意；⑤，即，符合一元一次方程的定義．故⑤符合題意；⑥中含有2個未知數(shù)，屬于二元一次方程．故⑥不符合題意．綜上所述，一元一次方程的個數(shù)是3個．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次方程的概念．熟練掌握一元一次方程的定義是關(guān)鍵．7．（2022·全國·七年級單元測試）若是關(guān)于的一元一次方程，則的值是______．【答案】±1【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，即可求解．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元一次方程，∴，即．故答案為：±1【點睛】本題主要考查了一元一次方程的定義，熟練掌握只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1的整式方程是一元一次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022·河南南陽·七年級期末）若是關(guān)于的一元一次方程，則的值可以是______寫出一個即可【答案】2（答案不唯一）【分析】只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程叫一元一次方程，利用一元一次方程的定義得出，即可得出答案．【詳解】解：是關(guān)于的一元一次方程，，解得，的值可以是．故答案為：答案不唯一．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的定義，正確掌握一元一次方程定義是解題關(guān)鍵．9．（2022·甘肅·永昌縣第六中學(xué)七年級期末）若方程（a﹣4）x|a|﹣3﹣7=0是一個一元一次方程，則a等于______．【答案】-4【分析】根據(jù)一元一次方程的定義進(jìn)行計算即可．只含有一個未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0（a，b是常數(shù)且a≠0）【詳解】解：由題意得：|a|-3=1且a-4≠0，∴a=±4且a≠4，∴a=-4，故答案為：-4．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，絕對值，熟練掌握一元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．10．（2021·四川廣元·七年級期末）若關(guān)于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解為x＝1，則a+m的值為_____．【答案】【分析】根據(jù)解一元一次方程的定義求得的值，根據(jù)方程的解滿足方程，把解代入方程，可得關(guān)于的一元一次方程，解方程可得答案．【詳解】解：∵方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4是關(guān)于x的一元一次方程，∴，解得，∵關(guān)于x的一元一次方程（a﹣3）x|a|﹣2+m＝4的解為x＝1，∴，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，一元一次方程的解，代數(shù)式求值，求得的值是解題的關(guān)鍵．考點2：一元一次方程的解典例：（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）若x＝3是關(guān)于x的一元一次方程mx﹣n＝3的解，則代數(shù)式10﹣3m＋n的值是___．【答案】7【分析】根據(jù)題意得到﹣3m+n＝﹣3，然后代入代數(shù)式10﹣3m＋n求解即可．【詳解】解：由題意得：3m﹣n＝3，∴﹣3m+n＝﹣3，∴原式＝10﹣3＝7．故答案為：7．方法或規(guī)律點撥此題考查了一元一次方程的解的含義以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程的解的含義．鞏固練習(xí)1．（2022·福建泉州·七年級期末）下列方程中，解是的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將分別代入選項，能使等式依然成立的即為正確答案．【詳解】A、，故A選項錯誤，不符合題意；B、，故B選項錯誤，不符合題意；C、，故C選項正確，符合題意；D、，故D選項錯誤，不符合題意；故選C．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，將解代入方程驗證是解題關(guān)鍵．2．（2022·福建泉州·七年級期末）若是關(guān)于的方程的解，則的值為（

）A．2 B．8 C．－3 D．－8【答案】B【分析】將x=3代入ax-b=5中得3a-b=5，將該整體代入6a-2b-2中即可得出答案．【詳解】解：將x=3代入ax-b=5中得：3a-b=5，所以6a-2b-2=2（3a-b）-2=2×5-2=8．故選：B．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，求代數(shù)式的值，熟練掌握整體法是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若是方程的解，則a的值是（

）A．1 B．1 C．2 D．—【答案】A【分析】將x＝1代入原方程即可計算出a的值．【詳解】解：將x＝1代入ax+2x＝1得：a+2＝1，解得a＝﹣1．故選：A．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖南湘西·七年級期末）是下列哪個方程的解（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把代入各個方程計算求解即可．【詳解】把代入，可得：，故A選項不符合題意；，故B選項不符合題意；，故C選項不符合題意；，故D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了方程的解的判定，準(zhǔn)確計算分析是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川成都·七年級期末）已知關(guān)于x的方程ax＝5﹣3x的解是x＝2，則a的值為（）A．1 B． C． D．﹣2【答案】B【分析】把x=2代入方程ax=5-3x得出2a=5-6，再求出方程的解即可．【詳解】解：把x=2代入方程ax=5-3x得：2a=5-6，解得：a=，故選：B．【點睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出關(guān)于a的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．6．（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）已知是方程的解，則______．【答案】5【分析】將代入方程，求出a即可．【詳解】解：把代入方程得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查方程的解的定義．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．7．（2022·新疆塔城·七年級期末）若是關(guān)于x的方程的解，則________．【答案】【分析】把代入，然后得出關(guān)于k的方程，據(jù)此進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得．故答案為：．【點睛】此題考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)概念．8．（2021·河南洛陽·七年級期末）若關(guān)于x的方程ax﹣3＝2（a+x）的解為x＝﹣2，則a的值為_____．【答案】##0.4【分析】把x＝﹣2代入方程即可求出：．【詳解】解：把x＝﹣2代入方程得：，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解一元一次方程的解的定義：使等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解9．（2022·河南南陽·七年級期中）是方程的解，那么m的值等于_____________．【答案】1【分析】根據(jù)方程解的定義可得，把x=3代入方程，即可得出答案．【詳解】把x=3代入方程得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，理解方程的解是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵．10．（2022·河南南陽·七年級期中）己知方程3x+m+4＝0的解為x＝m，則m＝______．【答案】-1【分析】根據(jù)一元一次方程的解可直接把代入方程求解m即可．【詳解】解：∵方程的解是，∴，解得：，故答案為．【點睛】本題主要考查一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解是解題的關(guān)鍵．使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值是該方程的解．23．（2022·遼寧大連·七年級期末）已知x=1是關(guān)于x的方程6-（m-x）=5x的解，則代數(shù)式m2-6m+2=___________．【答案】-6【分析】根據(jù)一元一次方程的解的定義可知m的值，然后代入求值即可．【詳解】解：把x=1代入6-（m-x）=5x，得6-（m-1）=5×1．解得m=2．所以m2-6m+2=22-6×2+2=-6．故答案為：-6．【點睛】本題主要考查了方程的解、代數(shù)式求值．解答關(guān)鍵是理解方程的解的定義：就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．考點3：等式的性質(zhì)典例：（2022·貴州銅仁·七年級期末）下列運用等式的性質(zhì)進(jìn)行的變形，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么． C．如果，那么 D．如果，那么【答案】C【分析】利用等式的性質(zhì)對每個等式進(jìn)行變形即可找出答案．【詳解】A.如果，那么，本選項錯誤，不符合題意；B.如果，那么，本選項錯誤，不符合題意；C.如果，那么，選項正確，符合題意；D.如果，那么，本選項錯誤，不符合題意；故選：C．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為0數(shù)或字母，等式仍成立．鞏固練習(xí)1．（2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級期末）下列等式變形，正確的是（

）A．若5x=7-4x，則5x-4x=7 B．若7x=2，則x=3.5C．若x-3(4x-1)=9，則x-12x-3=9 D．若，則2(3x-2)=x+2-6．【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A、若5x=7-4x，則5x+4x=7，故該選項不符合題意；B、若7x=2，則x=，故該選項不符合題意；C、若x-3（4x-1）=9，則x-12x+3=9，故該選項不符合題意；D、若，則2（3x-2）=x+2-6，故該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江大慶·期末）下列各式運用等式的性質(zhì)變形，正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項判定即可．【詳解】解：A．由，得，原式錯誤，故此選項不符合題意；B．由，得，原式錯誤，故此選項不符合題意；C．由，得，原式錯誤，故此選項不符合題意；D．若，則，正確，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河南南陽·七年級期末）下列變形正確的是（

）A．與 B．得C．得 D．得【答案】D【分析】根據(jù)等式基本性質(zhì)和去括號法則進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、變形為，故A錯誤，不符合題意；B、變形得：，故B錯誤，不符合題意；C、得：，故C錯誤，不符合題意；D、得，故D正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)和去括號法則，熟練掌握等式的基本性質(zhì)和去括號法則，是解題的關(guān)鍵．4．（2020·湖南常德·七年級期末）下列方程的變形，正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷．【詳解】A.由，得，故該選項錯誤，不符合題意；B.由，得，故該選項正確，符合題意；C.由，得，故該選項錯誤，不符合題意；D.由，得，故該選項錯誤，不符合題意．故選：B．【點睛】此題考查了等式的性質(zhì)，熟悉等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.5．（2022·山東威?！て谀┮阎仁?，則下列等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、當(dāng)時，等式無意義，故此選項符合題意；B、由可以得到，故此選項不符合題意；C、由可以得到，故此選項不符合題意；D、由可以得到，故此選項不符合題意．故選A．【點睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2021·黑龍江哈爾濱·七年級期末）下列敘述中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、若，當(dāng)時，兩邊都除以無意義，故此選項不符合題意；B、若，兩邊都乘以，得，故此選項符合題意；C、若，得或，故此選項不符合題意；D、若，兩邊都乘以，得，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查等式的基本性質(zhì)，等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），等式仍成立；等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)（或式子），等式仍成立．7（2022·內(nèi)蒙古赤峰·七年級期末）下列等式的變形中，正確的是（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．【詳解】A.如果，那么，故該選項不正確，不符合題意；

B.如果，那么，故該選項正確，符合題意；C.如果，且那么，故該選項不正確，不符合題意；D.如果，那么，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)1、等式兩邊加同一個數(shù)(或式子)結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題關(guān)鍵．8（2022·福建泉州·七年級期中）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列變形正確的是（

）A．若，則a＝b B．若，則3x＋4x＝1C．若ab＝bc，則a＝c D．若4x＝a，則x＝4a【答案】A【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．【詳解】A.若，則a＝b，故該選項正確，符合題意；

B.若，則3x＋4x＝12，故該選項不正確，不符合題意；C.若ab＝bc，當(dāng)時，a＝c，故該選項不正確，不符合題意；

D.若4x＝a，則x＝a，故該選項不正確，不符合題意；故選A【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．9（2022·河南南陽·七年級期中）下列變形正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解，等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．【詳解】A.由，得，故該選項不正確，不符合題意；

B.由，得，故該選項不正確，不符合題意；C.由，得，故該選項正確，符合題意；

D.由，得，故該選項不正確，不符合題意；故選C【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期中）下面四個等式的變形中正確的是（

）A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由4（），得【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐個進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、由方程兩邊都加即可得出，則此項錯誤，不符合題意；B、由方程兩邊都除以4即可得出，則此項正確，符合題意；C、由方程兩邊同乘以得，則此項錯誤，不符合題意；D、由去括號得，再兩邊都加上4可得，則此項錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，能靈活運用等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．11．（2021·河北承德·七年級期末）在下列式子中變形一定正確的是（

）A．如果2a=1，那么a=2B．如果a=b，那么C．如果a=b，那么a+c=b+cD．如果a－b+c=0，那么a=b+c【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.如果2a=1，那么a=，故該選項不正確，不符合題意；B.如果a=b，當(dāng)時，那么，故該選項不正確，不符合題意；C.如果a=b，那么a+c=b+c，故該選項正確，符合題意；D.如果a－b+c=0，那么a=b-c，故該選項錯誤，不符合題意；故選C【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的性質(zhì)1：等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等；等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等．12．（2022·河南南陽·七年級期中）下列變形中：①由方程2去分母，得x﹣12＝10；②由方程6x﹣4＝x+4移項、合并得5x＝0；③由方程2兩邊同乘以6，得12﹣x+5＝3x+3；④由方程兩邊同除以，得x＝1；其中錯誤變形的有（

）個．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)對每一個選項的變形進(jìn)行核查，即可得到正確解答．【詳解】解：①、由方程=2去分母，得x﹣12＝10，正確；②、由方程6x﹣4＝x+4移項、合并得5x＝8，錯誤；③、由方程兩邊同乘以6，得12﹣x+5＝3x+9，錯誤；④、由方程兩邊同除以，得x＝，錯誤；故選D．【點睛】本題考查等式的應(yīng)用，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）下列變形正確的是（）A．如果ax＝bx，那么a＝bB．如果（a+1）x＝a+1，那么x＝1C．如果x＝y(tǒng)，那么x﹣5＝5﹣yD．如果（a2+1）x＝1，那么x＝【答案】D【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A．x可能為0，等式兩邊不能同時除以0，故該選項不符合題意；B．a(chǎn)+1可能為0，等式兩邊不能同時除以0，故該選項不符合題意；C．等式的左邊減了5，右邊先乘了﹣1，又加了5，故該選項不符合題意；D．∵a2≥0，∴a2+1＞0，等式兩邊都除以一個正數(shù)，結(jié)果仍是等式，故該選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握等式兩邊都加或減去同一個數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；等式兩邊都乘同一個數(shù)或除以同一個不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題的關(guān)鍵．14．（2022·湖南岳陽·七年級期末）下列變形不一定正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：A．根據(jù)等式性質(zhì)2，若a=b，m≠0，則，結(jié)論正確，故選項A不符合題意；B．根據(jù)等式性質(zhì)2，若a=b，則a2=b2，結(jié)論正確，故選項B不符合題意；C．根據(jù)等式性質(zhì)1，若a=b，則a+2c=b+2c，結(jié)論正確，故選項C不符合題意；D．當(dāng)c=0時，若ac=bc，則a不一定等于b，故選項D符合題意．故選：D．【點睛】本題考查等式的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟知等式的性質(zhì)，并注意在等式性質(zhì)2中，同時除以的時候不能除以0．15．（2022·河北張家口·七年級期末）下列變形中，正確的是(

)A．若5x﹣6=7，則5x=7﹣6 B．若﹣3x=5，則x=C．若5x﹣3=4x+2，則5x﹣4x=2+3 D．若，則2（x﹣1）+3（x+1）=1【答案】C【分析】直接利用等式的基本性質(zhì)分別進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、若，則，故此選項錯誤，不符合題意；B、若，則，故此選項錯誤，不符合題意；C、若，則，正確，符合題意；D、若，則，故此選項錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確掌握等式的基本性質(zhì)．16．（2022·吉林長春·七年級期末）方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】移項后可直接得出答案．【詳解】解：移項得：，故選：A．【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．考點4：解一元一次方程—移項合并同類項典例：（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先合并同類項，再把系數(shù)化為1，即可求解；（2）先合并同類項，再把系數(shù)化為1，即可求解；（3）先移項并合并同類項，再把系數(shù)化為1，即可求解；（4）先移項并合并同類項，再把系數(shù)化為1，即可求解．（1）解：合并同類項，得，系數(shù)化為1，得；（2）解：合并同類項，得，系數(shù)化為1，得；（3）解：移項并合并同類項，得系數(shù)化為1，得；（4）解：移項并合并同類項，得，系數(shù)化為1，得．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2022·吉林長春·七年級期末）方程的解為（

）A．－1 B．1 C．3 D．－3【答案】B【分析】先移項，再合并同類項，最后把未知數(shù)的系數(shù)化為“1”，從而可得答案．【詳解】解：，移項得：整理得：解得：故選B.【點睛】本題考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·吉林長春·七年級期末）方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將方程兩邊系數(shù)化1，即可得到方程的解．【詳解】解：，系數(shù)化1：，故選：A．【點睛】本題考查解一元一次方程，能夠掌握解一元一次方程的步驟是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022·福建泉州·七年級期末）方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)解一元一次方程的方法，求出方程x+2=3的解即可．【詳解】解：∵x+2=3，∴x=3-2，∴x=1．故選：B．【點睛】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．4．（2022·陜西漢中·七年級期末）方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程移項合并，把系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】解：方程，移項得：，合并得：，系數(shù)化為得：．故選：C．【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．5．（2022·吉林長春·七年級期末）若是關(guān)于x的方程的解，則m的值為_________．【答案】2【分析】將x=3代入方程計算即可求出m的值．【詳解】解：將x=3代入方程得：9-2m-5=0，解得m=2．故答案為：2．【點睛】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．6．（2022·甘肅·華亭市皇甫學(xué)校七年級期末）關(guān)于的方程的解是，則________．【答案】6【分析】把x=1代入已知方程，列出關(guān)于k的新方程，通過解新方程來求k的值．【詳解】解：把x=1代入，得3×1-k+5=2，解得k=6．故答案是：6．【點睛】本題考查了一元一次方程的解的定義．把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．7．（2022·河南南陽·七年級期末）已知方程與的解相同，則k的值為______．【答案】－3【分析】先解第一個方程得到x的值，再把x的值代入到第二個方程可得k．【詳解】解：解方程5x+3=3x-1得，x=-2，把x=-2代入x-1=k中，k=-3．故答案為：-3．【點睛】本題考查同解方程，能熟練解一元一次方程是解題的關(guān)鍵．8．（2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同，求m的值．【答案】【分析】求出第二個方程的解得到x的值，代入第一個方程計算即可求出m的值即可．【詳解】解：方程3x+5＝11，解得：x＝2，把x＝2代入得：12+3m＝22，解得：m＝．【點睛】此題考查了同解方程，同解方程即為方程解相同的方程．9．（2022·吉林長春·七年級期末）解方程：．【答案】x=-1【分析】方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】解：移項得：-2x=8-6，合并得：-2x=2，系數(shù)化為1得：x=-1．【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握解方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（3）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（4）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（1）移項得：合并得：（2）移項得：合并得：（3）移項得：合并得：系數(shù)化為1得：（4）移項得：合并得：系數(shù)化為1得：．【點睛】此題考查了解一元一次方程方法，解題的關(guān)鍵是要熟練掌握步驟．考點5：解一元一次方程—去括號典例：解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【解析】（1）解：去括號，得移項，得合并，得系數(shù)化為1，得（2）解：去分母，得：去括號，得移項、合并得系數(shù)化為1，得方法或規(guī)律點撥本題主要考查解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．鞏固練習(xí)1．（2022·河南南陽·七年級期中）已知是方程的解，則的值是_________．【答案】【分析】把代入原方程，計算即可求出k的值．【詳解】解：把代入方程得：，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，熟練掌握方程的解的定義是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知代數(shù)式與的值相等，那么______．【答案】-8【分析】根據(jù)題意列方程，然后進(jìn)行解答即可得出a的值．【詳解】解：根據(jù)題意得：5a+1=3（a-5），去括號得：5a+1=3a-15，移項合并同類項得：2a=-16，解得：a=-8．故答案為：-8【點睛】本題主要考查解一元一次方程，關(guān)鍵在于根據(jù)題意列出方程．3．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學(xué)校七年級期末）解方程：3-2（x+1）=2（x-3）【答案】【分析】按照去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1的步驟解一元一次方程即可求解．【詳解】解：，，，解得．【點睛】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．4．（2022·吉林長春·七年級期末）解方程：．【答案】【分析】按照去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化1的步驟解答即可．【詳解】解：，去括號，得：，移項，得：，合并同類項，得：，系數(shù)化1，得：．【點睛】本題考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．5．（2022·湖南衡陽·七年級期末）解方程【答案】【分析】先去括號，然后再移項合并同類項，最后未知數(shù)系數(shù)化為1即可．【詳解】解：，去括號，得：，移項合并同類項得：，兩邊都除以4，得．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟，是解題的關(guān)鍵．6．（2022·福建泉州·七年級期末）解方程：．【答案】【分析】方程去括號，移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】解：去括號得：x+2x﹣2＝8+x，移項得：3x﹣x＝8+2，合并得：2x＝10，系數(shù)化為1得：x＝5．【點睛】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握方程的解法是解本題的關(guān)鍵．7．（2022·福建泉州·七年級期末）解方程：【答案】【分析】去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化成1即可．【詳解】解：去括號得：，移項得：，合并得：3x=11，系數(shù)化為1得：．【點睛】本題考查了解一元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵．8．（2022·黑龍江齊齊哈爾·七年級期末）對兩個任意有理數(shù)、，規(guī)定一種新的運算：，例如：．根據(jù)新的運算法則，解答下列問題：(1)求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果；（2）利用題中的新定義得出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可．（1）解：根據(jù)題中的新定義得：（?2）※5＝?2?2×5＝?2?10＝?12；（2）根據(jù)題中的新定義得：2?2（x＋1）＝10，去括號得：2?2x?2＝10，移項合并得：?2x＝10，系數(shù)化為1得：x＝?5．【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算以及解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．9．（2022·河南南陽·七年級階段練習(xí)）對于兩個非零常數(shù)a，b，規(guī)定一種新的運算：，例如，．根據(jù)新運算法則，解答下列問題：(1)求的值；(2)若，求x的值．【答案】(1)7(2)【分析】（1）先根據(jù)新運算得出算式，再根據(jù)有理數(shù)的運算法則進(jìn)行計算即可；（2）先根據(jù)新運算得出算式，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可．（1）根據(jù)題中的新定義得：（2）根據(jù)題中的新定義得：，，，．【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算和解一元一次方程，能靈活運用有理數(shù)的運算法則進(jìn)行計算是解（1）的關(guān)鍵，能根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解（2）的關(guān)鍵．考點6：解一元一次方程—去分母典例：（2022·福建省尤溪第一中學(xué)文公分校七年級期末）解方程(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先移項合并同類項，然后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可；（2）先去括號，再移項合并同類項，然后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可；（3）先去分母，再去括號，然后移項合并同類項，最后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可；（4）先去分母，再去括號，然后移項合并同類項，最后將未知數(shù)系數(shù)化為1即可．（1）解：，移項合并同類項得：，未知數(shù)系數(shù)化為1得：．（2）解：，去括號得：，移項合并同類項得：，未知數(shù)系數(shù)化為1得：．（3）解：，去分母得：，去括號得：，移項合并同類項得：，未知數(shù)系數(shù)化為1得：．（4）解：，去分母得：，去括號得：，移項合并同類項得：，未知數(shù)系數(shù)化為1得：．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的基本步驟，是解題的關(guān)鍵．方法或規(guī)律點撥本題考查正負(fù)數(shù)的意義，解題的關(guān)鍵是理解題意表示出紅色、黑色所代表的數(shù)字．鞏固練習(xí)1．（2022·江蘇·七年級單元測試）解一元一次方程時，去分母正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】方程兩邊同時乘以6即可．【詳解】解：去分母，得，故選：B．【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握去分母的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建泉州·七年級期末）解方程時，去分母結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，把方程的等號的左右兩邊分別乘6，判斷出去分母結(jié)果正確的是哪個即可．【詳解】解：解方程時，去分母結(jié)果正確的是：3（3x-1）=6-2（x+3）．故選：D．【點睛】此題主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性質(zhì)的應(yīng)用．3．（2022·山東威?！て谀┰诮怅P(guān)于x的方程時，小穎在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母15，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)小穎解方程的過程求出a的值，然后正確求出原方程的解即可．【詳解】解：由題意得的解為，∴，解得，∴，去分母得：，去括號得：，移項得：，合并得：，解得：，故選A．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．4．（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期末）下列解方程變形：①由3x＋4＝4x－5，得3x＋4x＝4－5；②由，去分母得2x－3x＋3＝6；③由，去括號得4x－2－3x＋9＝1；④由，得x＝3．其中正確的有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)解一元一次方程的步驟進(jìn)行逐一求解判斷即可．【詳解】解：①由3x+4=4x-5，得3x-4x=-5-4；方程變形錯誤，不符合題意；②由，去分母得2x-3x-3=6；方程變形錯誤，不符合題意；③由，去括號得4x-2-3x+9=1；正確，符合題意；④由，得x=．方程變形錯誤，不符合題意；綜上，正確的是③，只1個，故選：B．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解一元一次方程的方法．5．（2022·河南南陽·七年級期末）如圖的框圖表示解方程的流程，其中第步和第步變形的依據(jù)相同，這兩步變形的依據(jù)是（

）A．乘法分配律 B．分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)C．等式的基本性質(zhì) D．等式的基本性質(zhì)【答案】D【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)解決本題．【詳解】解：第步去分母，根據(jù)等式的基本性質(zhì)等式兩邊同乘一個不為的數(shù)，等式仍然成立，得．第步的系數(shù)化為，根據(jù)等式的基本性質(zhì)等式兩邊同除以一個不為的數(shù)，等式仍然成立，得．第步和第步變形的依據(jù)是等式的基本性質(zhì)．故選：D．【點睛】本題主要考查等式的基本性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·山西呂梁·七年級期中）將方程去分母得到，錯在（

）A．分母的最小公倍數(shù)找錯B．去分母時，漏乘了分母為1的項C．去分母時，分子部分沒有加括號D．去分母時，各項所乘的數(shù)為各分母的最小公倍數(shù)12【答案】C【分析】根據(jù)去分母法解一元一次方程進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：去分母，得3(y+2)+2(2y-1)=12去括號，得3y+6+4y-2=12∴選項A，B，D正確．故選：C．【點睛】本題考查解一元一次方程——去分母，解題關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的步驟．7．（2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級期末）解方程：【答案】【分析】方程去分母，去括號，移項合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】解：去分母，得2（1-2x）-10=5（x+3），去括號，得2-4x-10=5x+15，移項合并，得-9x=23，把x系數(shù)化為1，得．【點睛】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．8．（2021·江蘇·南通市東方中學(xué)七年級階段練習(xí)）解方程：(1)5x+2＝7x﹣8；(2)．【答案】(1)x＝5(2)x＝-5【分析】（1）方程移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解．（1）解：5x+2＝7x﹣8移項得：5x﹣7x＝﹣8﹣2，合并得：﹣2x＝﹣10，解得：x＝5；（2）解：去分母得：3（x﹣1）+12＝2（2+x），去括號得：3x﹣3+12＝4+2x，移項得：3x﹣2x＝4+3﹣12，合并得：x＝﹣5．【點睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項，合并同類項，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．9．（2022·甘肅·永昌縣第六中學(xué)七年級期末）解方程：(1)2（3x﹣5）﹣3（4x﹣3）=0(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）方程去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項，合并同類項，把x系數(shù)化為1，即可求出解．（1）解：去括號得：6x-10-12x+9=0，移項得：6x-12x=10-9，合并得：-6x=1，解得：；（2）去分母得：3（x-3）-2（2x+1）=6，去括號得：3x-9-4x-2=6，移項得：3x-4x=6+9+2，合并得：-x=17，解得：．【點睛】此題考查了解一元一次方程，掌握解題步驟是解題的關(guān)鍵，其步驟為：去分母，去括號，移項，合并同類項，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．10．（2021·吉林油田第二中學(xué)七年級期中）解方程：【答案】x＝【分析】方程兩邊同時乘以6，移項，合并同類項，未知數(shù)系數(shù)化為1，即可作答．【詳解】．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，去分母時，方程兩邊同時乘以各個分母的最小公倍數(shù)，注意不要漏乘沒有分母的項．11．（2022·新疆·和碩縣第二中學(xué)七年級期末）解方程(1)6x﹣7＝4x﹣5(2)＝1﹣【答案】(1)(2)【分析】（1）移項、合并同類項，系數(shù)化為1即可得解；（2）根據(jù)去分母、去括號、移項、合并同類項，系數(shù)化為1的步驟求解即可．（1）解：移項，得6x﹣4x=﹣5+7，合并同類項，得2x＝2，系數(shù)化為1，得x＝1；（2）解：去分母，得2（4x﹣1）＝6﹣（3x﹣1），去括號，得8x﹣2＝6﹣3x+1，移項，得8x+3x＝6+1+2，合并同類項，得11x＝9，系數(shù)化為1，得．【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．12．（2022·河南·鄭州二七優(yōu)智實驗學(xué)校七年級期末）解下列方程：(1)32x－64＝16x＋32；(2)－x＝3－．【答案】(1)x=6；(2)x=-2．【分析】（1）方程移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）方程去分母，去括號，移項，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解．（1）解：移項得：32x-16x=32+64，合并得：16x=96，系數(shù)化為1得：x=6；（2）解：去分母得：4（1-x）-12x=36-3（x+2），去括號得：4-4x-12x=36-3x-6，移項得：-4x-12x+3x=36-6-4，合并得：-13x=26，系數(shù)化為1得：x=-2．【點睛】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項，合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．13．（2022·甘肅·華亭市皇甫學(xué)校七年級期末）解方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1；（2）去分母，移項，合并同裂項，系數(shù)化為1．（1），去括號得，整理得（2），去分母得，整理得【點睛】本題考查方程的化簡求解，需熟練掌握其運算方法．14．（2022·山東濟南·七年級期末）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）按照解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1計算即可；（2）按照解一元一次方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、化系數(shù)為1計算即可．（1）解：去括號，移項、合并，化系數(shù)為1，；（2）解：去分母，去括號，移項、合并，化系數(shù)為1，．【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟并準(zhǔn)確計算是本題的關(guān)鍵．15．（2022·貴州銅仁·七年級期末）方程的解與方程的解相同，求m值．【答案】m的值是-．【分析】因為兩個方程的解相同，所以解出第一個方程后，把x的值代入第二個方程中，進(jìn)行解答即可．【詳解】解：解方程2(1-x)=x+1得x=，∵方程2(1-x)=x+1的解與方程的解相同，把x=代入，得：，∴m=-．故m的值是-．【點睛】本題考查了同解方程，解一元一次方程和一元一次方程的解等知識點，能得出關(guān)于m的一元一次方程是解此題的關(guān)鍵．考點7：一元一次方程拓展訓(xùn)練典例：（2022·廣西防城港·七年級期中）用“★”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a★b＝ab2＋2ab＋a．如：1★3＝1×32＋2×1×3＋1＝16(1)（﹣3）★2＝．(2)若（★3）★（﹣2）＝16，求a的值．【答案】(1)-27(2)2【分析】（1）根據(jù)新定義運算的公式計算即可；（2）根據(jù)新定義運算的公式列出方程后，解方程即可．（1）解：（﹣3）★2＝；故答案為：﹣27；（2）根據(jù)題意得：★3=3a＝8a∴（★3）★（﹣2）＝8a★（﹣2）＝，整理得：8a＝16，解得：a＝2．方法或規(guī)律點撥本題主要考查了新定義運算，一元一次方程，準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2022·吉林長春·七年級期末）已知．當(dāng)時，；當(dāng)時，．則方程的解可能是（

）A．1.45 B．1.64 C．1.92 D．2.05【答案】B【分析】由題意估算得出方程的解的取值范圍在1.5與1.8之間，據(jù)此即可求解．【詳解】解：對于來說，∵當(dāng)x=1.5時，＞0；當(dāng)x=1.8時，＜0；∴方程的解的取值范圍在1.5與1.8之間，觀察四個選項，1.64在此范圍之內(nèi)，故選：B．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出方程的解的取值范圍在1.5與1.8之間．2．（2022·河南南陽·七年級期中）我們把稱為二階行列式，且=，如=－=－10．若=6，則的值為（

）A．8 B．－2 C．2 D．－5【答案】D【分析】根據(jù)二階行列式的定義列式得一個關(guān)于m的一元一次方程，求出m的值即可．【詳解】根據(jù)題意得=-4m-2×7，∵=6，∴-4m-2×7=6，解得m=-5．故選：D【點睛】本題主要考查了利用定義新運算解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確的列方程．3．（2022·河北承德·七年級期末）解一元一次方程的過程就是通過變形，把一元一次方程轉(zhuǎn)化為的形式，下面是解方程的主要過程，方程變形對應(yīng)的依據(jù)錯誤的是（

）解：原方程可化為（

①

）去分母，得（

②

）去括號，得（

③

）移項，得（

④

）合并同類項，得（合并同類項法則）系數(shù)化為1，得（等式的基本性質(zhì)2）A．①分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì) B．②等式的基本性質(zhì)2C．③乘法對加法的分配律 D．④加法交換律【答案】D【分析】方程利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化簡，再利用等式的基本性質(zhì)2兩邊乘以15去分母，去括號后利用等式的基本性質(zhì)1移項，合并后將x系數(shù)化為1，即可求出解．【詳解】解：原方程可化為（

①

）去分母，得（

②

）去括號，得（

③

）移項，得（等式的基本性質(zhì)1

）合并同類項，得（合并同類項法則）系數(shù)化為1，得（等式的基本性質(zhì)2）．故選：D．【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．4．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）對于兩個不相等的有理數(shù)a，b，我們規(guī)定符號min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，例如min{2，-4}＝-4，則方程min{x，-x}＝3x＋4的解為（

）A．x＝－1 B．x＝－2 C．x＝－1或x＝－2 D．x＝1或x＝2【答案】B【分析】根據(jù)題意可得：min{x，-x}或，所以或，據(jù)此求出的值即可．【詳解】規(guī)定符號min{a，b}表示a、b兩數(shù)中較小的數(shù)，當(dāng)min{x，-x}表示為時，則，解得，當(dāng)min{x，-x}表示為時，則，解得，時，最小值應(yīng)為，與min{x，-x}相矛盾，故舍去，方程min{x，-x}＝3x＋4的解為，故選：B．【點睛】本題主要考查一元一次方程的解法，能根據(jù)題意正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南南陽·七年級階段練習(xí)）某同學(xué)解方程時，把“”處的系數(shù)看錯了，解得，他把“”處的系數(shù)看成了（

）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意，設(shè)“□”處的系數(shù)是y，則4y+1=4×4-3，然后根據(jù)解一元一次方程的方法，求出他把“□”處的系數(shù)看成了多少即可．【詳解】解：設(shè)“□”處的系數(shù)是y，則4y+1=4×4-3，∴4y+1=13，移項得4y=13-1，合并同類項得4y=12，系數(shù)化為1得y=3．故選：A．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．6．（2022·湖北孝感·七年級期末）用“*”定義一種運算：對任意的有理數(shù)x和y：x*y＝mx＋my＋1（m為常數(shù)），如：2*3＝2m＋3m＋1＝5m＋1，若1*2＝10，則（－1）*（－3）的值為（

）A．－7 B．－5 C．－13 D．－11【答案】D【分析】根據(jù)新定義的運算，得出關(guān)于m的一元一次方程求解確定m=3，然后再代入新定義的運算求解即可．【詳解】解：∵x*y＝mx＋my＋1，1*2＝10，∴m＋2m＋1=10，解得m=3，∴x*y＝3x＋3y＋1，∴（－1）*（－3）=-3-9+1=-11，故選：D．【點睛】題目主要考查解一元一次方程，理解題目中新定義的運算方法是解題關(guān)鍵．7．（2022·黑龍江大慶·期末）關(guān)于x的方程有無窮多個解，則______．【答案】【分析】方程整理后，根據(jù)有無窮多個解，確定出a與b的值，即可求出所求．【詳解】解：方程整理得：（3a﹣5）x＝2a+3b，∵方程有無窮多個解，∴3a﹣5＝0，2a+3b＝0，解得：a＝，b＝﹣，則a﹣b＝+＝．故答案為：．【點睛】此題考查一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．8．（2022·江蘇·七年級單元測試）已知a，b為定值，關(guān)于x的方程，無論k為何值，它的解總是x＝2，則a＋b＝________．【答案】﹣3【分析】把x＝2代入方程，得，可得，再根據(jù)題意可得4＋b＝0，2a﹣2＝0，進(jìn)而可得a、b的值，從而可得答案．【詳解】解：把x＝2代入方程，得：，，4k＋2a＝6﹣4﹣bk，4k＋bk＋2a﹣2＝0，，∵無論k為何值，它的解總是1，∴4＋b＝0，2a﹣2＝0，解得：b＝﹣4，a＝1．則a＋b＝﹣3．故答案為：﹣3．【點睛】本題主要考查方程解的定義，由k可以取任何值得到a和b的值是解題的關(guān)鍵．9．（2021·河南信陽·七年級期末）若關(guān)于的方程與方程的解相同，則的值為____________．【答案】11【分析】先求出的解，再將解代入中，即可求得k的值．【詳解】解：解可得：，將代入可得：，解得：，故答案為：11．【點睛】本題考查了解一元一次方程及同解方程，熟練掌握解一元一次方程的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022·河南鄭州·七年級期末）關(guān)于x的一元一次方程，其中m是正整數(shù)．若方程有正整數(shù)解，則m的值為_____________．【答案】2或4##4或2【分析】通過解一元一次方程即可解答．【詳解】解：移項得，化簡得，又∵m是正整數(shù)且方程也有正整數(shù)解，∴當(dāng)m=1，2，3，4，5，6時方程有解，而當(dāng)m=2，4時有正整數(shù)解．故答案為：2或4．【點睛】本題考查了解一元一次方程，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握一元一次方程的解．11．（2022·福建泉州·七年級期末）在有理數(shù)范圍內(nèi)我們定義運算法則“¤”：a¤b＝ab＋a－b＋3，如2¤5＝2×5＋2－5＋3＝10．如果－3¤x＝4，那么x的值為______．【答案】-1【分析】根據(jù)a¤b=ab+a-b+3，可得-3x-3-x+3=4，再解方程即可．【詳解】解：∵a¤b=ab+a-b+3，∴-3¤x=-3x-3-x+3=4，∴-4x=4，解得：x=-1，故答案為：-1．【點睛】本題考查解一元一次方程，正確理解定義的運算法則，列出方程是解題的關(guān)鍵．12．（2021·河北承德·七年級期末）設(shè)a，b，c，d為有理數(shù)，則我們把形如的式子叫做二階行列式，它的運算法則用公式表示為，利用此法則解決下列問題：（1）___________________；（2）若，則x值為_______________．【答案】

4

2【分析】（1）根據(jù)：，求出的值是多少即可．（2）根據(jù)：，可得：2×4﹣2（1﹣x）＝10，據(jù)此求出x的值是多少即可．【詳解】解：（1）∵，∴1×2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4．故答案為：4（2）∵，∴2×4﹣2（1﹣x）＝10，∴2x+6＝10，解得x＝2．故答案為：2【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實數(shù)運算時，和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．13．（2022·河南駐馬店·七年級期中）已知關(guān)于的一元一次方程的解是，那么關(guān)于的一元一次方程的解是_________．【答案】【分析】根據(jù)兩個方程的特點，第二個方程中的y+1相當(dāng)于第一個方程中的x，據(jù)此即可求解．【詳解】∵，∴．∵關(guān)于x的一元一次方程的解是x=71，∴關(guān)于(y+1)的一元一次方程的解為：y+1=71，解得：y=70，故答案為：y=70．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，理解兩個方程之間的特點是解題的關(guān)鍵．14．（2022·山東煙臺·期末）若關(guān)于x的方程的解與關(guān)于x的方程的解互為相反數(shù)，則k=______．【答案】15【分析】分別解兩個方程，根據(jù)方程的解互為相反數(shù)，列出方程，解出k即可；【詳解】解：，，，，，解方程：，，，，根據(jù)題意列出方程，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查解一元一次方程，依據(jù)解方程步驟：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化為1進(jìn)行計算，解題關(guān)鍵正確應(yīng)用運算法則．15．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程的解為，那么關(guān)于y的一元一次方程的解___________．【答案】2【分析】根據(jù)x的一元一次方程的解為，得到，根據(jù)題意，得，從而得到即x=y+1，代入計算即可．【詳解】∵x的一元一次方程的解為，∴，∵，∴，∴，∴x=y+1=3，解得y=2，故答案為：2．【點睛】本題考查了一元一次方程的解即使得方程兩邊相等的未知數(shù)的值，正確理解解得意義是解題的關(guān)鍵．16．（2022·四川省九龍縣中學(xué)校七年級期末）已知方程是關(guān)于x的一元一次方程．(1)求代數(shù)式的值；(2)求關(guān)于y的方程m|y－2|＝x的解．【答案】(1)?2(2)y＝6或y＝?2【分析】（1）根據(jù)一元一次方程的定義得到|m|＝1且m＋1≠0，解得m＝1，再解原方程得到x＝4，把代數(shù)式化簡得到原式＝，然后把x＝4代入計算即可；（2）方程化為|y?2|＝4，根據(jù)絕對值的意義得到y(tǒng)?2＝4或y?2＝?4，然后分別解兩個一次方程即可．（1）解：∵方程是關(guān)于x的一元一次方程，∴|m|＝1且m＋1≠0，∴m＝1，原一元一次方程化為：2x?8＝0，解得x＝4，＝＝，當(dāng)x＝4時，原式＝＝?2；（2）解：方程化為|y?2|＝4，∴y?2＝4或y?2＝?4，∴y＝6或y＝?2．【點睛】本題考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．也考查了一元一次方程的定義．掌握相關(guān)定義和一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．17．（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)七年級期末）已知關(guān)于x的整式，整式，若a是常數(shù)，且的值與x無關(guān)．(1)求a的值；(2)若b為整數(shù)，關(guān)于x的一元一次方程bx-b-3=0的解是正整數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）把M與N代入2M+N中，去括號合并得到最簡結(jié)果，由2M+N的值與x無關(guān)，確定出a的值即可；（2）方程移項，x系數(shù)化為1，表示出解，根據(jù)解為正整數(shù)且b為整數(shù)，確定出b的值，進(jìn)而求出所求．（1）解：∵，N=，∴2M+N=2（）+（）==（16a-8）x+6，∵2M+N的值與x無關(guān)，∴16a-8=0，解得：a=；（2）解：方程bx-b-3=0，整理得：x=1+，∵解是正整數(shù)，∴b=1或3，當(dāng)b=1時，=；當(dāng)b=3時，．【點睛】此題考查了整式的加減-化簡求值，以及一元一次方程的解，熟練掌握運算法則及方程的解法是解本題的關(guān)鍵．18．（2022·河南南陽·七年級期中）（1）取何值時，代數(shù)式與的值互為相反數(shù)？（2）取何值時，關(guān)于的方程和的解相同？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到x的值；（2）根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到k的值．【詳解】解：（1）由題意，得，解得，答：當(dāng)時，代數(shù)式與的值互為相反數(shù)；（2），，，解得，方程和的解相同，把代入得，解得，答：當(dāng)時，關(guān)于的方程和的解相同．【點睛】此題考查解一元一次方程，涉及到相反數(shù)的性質(zhì)，同解方程的概念等知識點，熟練掌握一元一次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．19．（2022·河南洛陽·七年級期中）當(dāng)為何值時，關(guān)于的方程和的解相同？【答案】##【分析】先求出第一個方程的解，把求出的x代入第二個方程，再求出k即可．【詳解】解：解方程得：，由題意得：，解得：．【點睛】本題考查了同解方程，解一元一次方程，一元一次方程的解等知識點，能得出關(guān)于k的方程是解此題的關(guān)鍵．20．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知關(guān)于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b為常數(shù)），若這個方程的解恰好為x＝a﹣b，則稱這個方程為“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解為x＝﹣2，恰好為x＝2﹣4，則方程2x+4＝0為“恰解方程”．(1)已知關(guān)于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，則k的值為；(2)已知關(guān)于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解為x＝n（n≠0）．求m，n的值；(3)已知關(guān)于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代數(shù)式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．【答案】(1)(2)m＝﹣3，n＝﹣(3)-9【分析】（1）利用“恰解方程”的定義，得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；（2）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣（mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再結(jié)合x＝n，即可求出m，n的值；（3）根據(jù)“恰解方程”的定義得出mn+n＝，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化簡后代入計算即可．（1）解：（1）解方程3x+k＝0得：x＝﹣，∵3x+k＝0是“恰解方程”，∴x＝3﹣k，∴﹣＝3﹣k，解得：k＝；（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：x＝﹣（mn+n），∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝﹣2+mn+n，∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，∴3mn+3n＝4，∵x＝n，∴﹣2+mn+n＝n，∴mn＝2，∴3×2+3n＝4，解得：n＝﹣，把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，解得：m＝﹣3；（3）解：解方程3x＝mn+n得：x＝，∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，∴x＝3+mn+n，∴＝3+mn+n，∴mn+n＝，∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n＝2mn+2n＝2（mn+n）＝2×（）＝﹣9．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，理解“恰解方程”的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2022·河南駐馬店·七年級期末）我們規(guī)定：若關(guān)于x的一元一次方程a＋x＝b（a≠0）的解為，則稱該方程為“商解方程”．例如：2＋x＝4的解為x＝2且，則方程2＋x＝4是“商解方程”．請回答下列問題：(1)判斷3＋x＝5是不是“商解方程”．(2)若關(guān)于x的一元一次方程6＋x＝3（m﹣3）是“商解方程”，求m的值．【答案】(1)不是(2)m＝【分析】（1）求出方程的解是，再進(jìn)行判斷即可；（2）先求出方程的解，再根據(jù)題意得出關(guān)于的方程，最后求出方程的解即可．（1），，而，所以不是“商解方程”；（2），，，關(guān)于的一元一次方程是“商解方程”，，解得：．【點睛】本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能熟記方程的解的定義（使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解）是解此題的關(guān)鍵．22．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）方程的解的定義：使方程兩邊相等的未知數(shù)的值．如果一個方程的解都是整數(shù)，那么這個方程叫做“立信方程”．(1)若“立信方程”的解也是關(guān)于x的方程的解，則_____；(2)若關(guān)于x的方程的解也是“立信方程”的解，則_______；(3)若關(guān)于x的方程的解也是關(guān)于x的方程的解，且這兩個方程都是“立信方程”，求符合要求的正整數(shù)a和正整數(shù)k的值．【答案】(1)1(2)5(3)，【分析】（1）根據(jù)“立信方程”的定義解答即可；（2）根據(jù)x2+3x-4=0，可得2x2+6x=8，再代入，即可求解；（3）先求出方程的解，可得，再由x的值為整數(shù)，可得為整數(shù)，從而得到a的值，進(jìn)而得到x的值，同理求出方程的解，再利用“立信方程”以及a和k為正整數(shù)，即可求解．（1）解：2x+1=1，解得x=0；把x=0代入1-2（x-m）=3，得：1-2（0-m）=3，即1+2m=3，解得：m=1．故答案為：1．（2）解：∵x2+3x-4=0，∴x2+3x=4，∴2（x2+3x）=2x2+6x=8，∵關(guān)于x的方程的解也是“立信方程”的解，∴8-3-n=0，解得：n=5．故答案為：5．（3）解：∵a為正整數(shù)，則a≠0，∵，∴，∵該方程為“立信方程”，∴x的值為整數(shù)，∴為整數(shù)，∴a可取1，4，2，-1，-4，-2，∴x=-2，16，-1，-4，38，7，同理9x-3=kx+14，∴（9-k）x=17，根據(jù)題意得：9-k≠0，∴，∴9-k可取8，-8，10，26，∴此時x=17，1，-17，-1，∴兩方程相同的解為x=-1，此時對應(yīng)的a=2，k=26，∴符合要求的正整數(shù)a的值為2，k的值為26．【點睛】本題考查了一元一次方程的解的應(yīng)用，能理解立信方程的意義是解此題的關(guān)鍵．能力提升能力提升一、單選題（每題3分）1．（2022·全國·七年級單元測試）下列方程是一元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，有1個未知數(shù)，且未知數(shù)的指數(shù)為1的整數(shù)方程是一元一次方程，判斷即可．【詳解】A、是一元一次方程，符合題意；B、有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，不合題意；C、中未知數(shù)最高次數(shù)為2，不是一元一次方程，不合題意；D、不是整式方程，不是一元一次方程，不合題意；故選A．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義，熟練掌握一元一次方程的定義是本題的關(guān)鍵．2．（2022·福建福州·七年級期末）下列根據(jù)等式的性質(zhì)正確變形的是（

）．A．由，得 B．由，得C．由，得 D．由，得【答案】B【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)依次對各選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．由，得，原等式變形不正確，故此選項不符合題意；B．由，得，原等式變形正確，故此選項符合題意；C．由，得，原等式變形不正確，故此選項不符合題意；D．由，得，原等式變形不正確，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了等式的性質(zhì)，性質(zhì)1：等式兩邊加上或減去同一個數(shù)（或式子），等式仍然成立；性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)或除以一個不為零的數(shù)，等式仍然成立．理解和掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇蘇州·九年級專題練習(xí)）根據(jù)“x與5的和的4倍比x的少2”列出的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】仔細(xì)審題，x與5的和的4倍即是4（x+5），x的即是x，由此根據(jù)可列出方程．【詳解】解：由題意列方程式為：．故選：C．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系．4．（2022·甘肅·景泰縣第四中學(xué)七年級期中）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形拼接而成，第①個圖案有4個三角形和1個正方形，第②個圖案有7個三角形和2個正方形，第③個圖案有10個三角形和3個正方形，…依此規(guī)律，如果第n個圖案中正三角形和正方形的個數(shù)共有2021個，則n=（

）．A．503 B．504 C．505 D．506【答案】C【分析】根據(jù)圖形的變化發(fā)現(xiàn)第n個圖案中有（3n＋1）個正三角形和n個正方形，共（4n＋1）個，進(jìn)而可得n的值．【詳解】解：因為第①個圖案有4個三角形和1個正方形，第②個圖案有7個三角形和2個正方形，第③個圖案有10個三角形和3個正方形，…依此規(guī)律，所以第n個圖案中正三角形和正方形的個數(shù)：3n＋1＋n＝4n＋1，4n＋1＝2021，則n＝505．故選：C．【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．5．（2022·浙江衢州·七年級期末）如圖，將4張形狀、大小完全相同的小長方形紙片分別以圖1、圖2的方式放入長方形ABCD中，若圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，則圖中BE的長為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】設(shè)小長方形的長為y，寬為x，用x、y及BE分別表示出圖1和圖2的周長，根據(jù)圖1中的陰影部分周長比圖2的陰影部分周長少1，即可求解．【詳解】解∶如下圖，設(shè)小長方形的長為y，寬為x，則，圖