2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷07（A卷）（含答案）

屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷07（A卷）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，則的值是A． B．0 C． D．3．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，則等于A．2 B．3 C．4 D．64．已知，則（

）A． B． C． D．5．將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有一個小球，且每個盒子里的小球個數(shù)都不相同，則不同的放法有A．15種 B．18種 C．19種 D．21種6．設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列命題，正確的是A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則7．若函數(shù)是偶函數(shù)，定義域為,且時，，則滿足的實數(shù)的取值范圍是A．[0，1) B．(-1，1) C．[0，2) D．(-2，2)8．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的y2＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（

）A．（1，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（，）二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C．若，則D．若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則直線（為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為10．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為，設(shè)事件“為整數(shù)”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．11．歐拉函數(shù)是數(shù)論中的一個基本概念，的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（只有公因數(shù)1的兩個正整數(shù)互質(zhì)，且1與所有正整數(shù)（包括1本身）互質(zhì)），例如，因為1，3，5，7均與8互質(zhì)，則（

）A． B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C． D．?dāng)?shù)列的前項和小于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知，以為斜邊的直角，其頂點(diǎn)的軌跡方程為.13．如圖，在水平放置的底面直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入三個半徑相等的實心小球（小球材質(zhì)密度），向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球，若圓柱底面半徑為，則球的體積為，圓柱的側(cè)面積與球的表面積的比值為．

14．已知函數(shù)在上單調(diào)，，則的可能取值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實數(shù)a，b的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．16．如圖，在三棱柱中，，，，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.17．新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項選擇題，每小題有A、B、C、D四個選項，原則上至少有2個正確選項，至多有3個正確選項．題目要求：“在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．”其中“部分選對的得部分分”是指：若正確答案有2個選項，則只選1個選項且正確得3分；若正確答案有3個選項，則只選1個選項且正確得2分，只選2個選項且都正確得4分．(1)若某道多選題的正確答案是AB，一考生在解答該題時，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少一個選項，至多三個選項，請寫出該生所有選擇結(jié)果所構(gòu)成的樣本空間，并求該考生得分的概率；(2)若某道多選題的正確答案是2個選項或是3個選項的概率均等，一考生只能判斷出A選項是正確的，其他選項均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出恰當(dāng)方案：方案一：只選擇A選項；方案二：選擇A選項的同時，再隨機(jī)選擇一個選項；方案三：選擇A選項的同時，再隨機(jī)選擇兩個選項．18．已知雙曲線過點(diǎn)且焦距為10．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，求直線l斜率的取值范圍．(3)已知點(diǎn)，E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H兩點(diǎn)．證明：．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為1的圓沿著軸正向無滑動地滾動，點(diǎn)為圓上一個定點(diǎn)，其初始位置為原點(diǎn)為繞點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度（單位：弧度，）.(1)用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡在點(diǎn)處的切線存在，且傾斜角為，求證：為定值；(3)若平面內(nèi)一條光滑曲線上每個點(diǎn)的坐標(biāo)均可表示為，則該光滑曲線長度為，其中函數(shù)滿足.當(dāng)點(diǎn)自點(diǎn)滾動到點(diǎn)時，其軌跡為一條光滑曲線，求的長度.2024屆高考數(shù)學(xué)沖刺模擬卷07（A卷）答案解析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式求出集合A,B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由題意，即，且，由得：，故，，則，故選：．2．設(shè)，則的值是A． B．0 C． D．【答案】C【解析】先利用賦值法求出的值，再求出的值，即得解.【詳解】令得.令得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項式定理求系數(shù)的和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析能力.3．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，則等于A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】由已知，可根據(jù)拋物線方程結(jié)合拋物線的定義直接求解.【詳解】由已知，拋物線方程為，根據(jù)拋物線的定義：.故選：B4．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式求解值.【詳解】.故選:B5．將9個相同的小球放入3個不同的盒子，要求每個盒子中至少有一個小球，且每個盒子里的小球個數(shù)都不相同，則不同的放法有A．15種 B．18種 C．19種 D．21種【答案】B【詳解】每個盒子先放一個球，用去3個球，則不同放法就是剩余6個球的放法；有兩類：第一，6個球分成1,5或2,4兩組，共有種方法；第二，6個球分成1,2,3三組，有種方法．所以不同放法共有12+6=18種．故選B6．設(shè)是兩條不同的直線，是三個不同的平面，給出下列命題，正確的是A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，，則【答案】B【詳解】試題分析：A中若，由于為內(nèi)任意一條直線，不能說明，A錯誤；B中，而，說明內(nèi)必有一條直線，，則，符合兩個平面垂直的判定定理，則；C中垂直于同一平面的兩個平面可以平行也可以垂直；D選項可用三棱柱的三個側(cè)面來說明其不正確.考點(diǎn)：空間直線與平面平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用.7．若函數(shù)是偶函數(shù)，定義域為,且時，，則滿足的實數(shù)的取值范圍是A．[0，1) B．(-1，1) C．[0，2) D．(-2，2)【答案】B【分析】根據(jù)題意，分析得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，計算得f（1）＝1，則原不等式可以轉(zhuǎn)化為||＜1，解可得m的取值范圍，即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)x≥0時，f（x）＝，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）＝log22＝1，則?||＜1，即﹣1＜m＜1，故選B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性及特殊值．8．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的y2＝1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在橢圓上，若5，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是（

）A．（1，） B．（，0） C．（0，﹣1） D．（，）【答案】C【分析】由橢圓方程可知，，，，設(shè)，，根據(jù)，可得，分別代入橢圓方程即可得出．【詳解】由y2＝1知，，，，，設(shè)，，，，，，．解得，．．故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C．若，則D．若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則直線（為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及其幾何意義，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A，設(shè)，則，若，則，則，所以，故A正確；對于B，若，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，故B錯誤；對于C，設(shè)，由，可得，則，即，則，故C正確；對于D，設(shè)，則，若，則，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，設(shè)過原點(diǎn)與圓相切的直線為，即，則圓心到切線的距離，解得，所以直線（為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為，故D正確.故選：ACD10．先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為，設(shè)事件“為整數(shù)”，“為偶數(shù)”，“為奇數(shù)”，則（

）A． B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．【答案】BCD【分析】列舉所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互獨(dú)立事件的定義及條件概率的概率公式計算可得.【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為，，則基本事件總數(shù)為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36種情況，滿足事件的有，，，，，，，，，，，共種，其概率，故A錯誤；滿足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，故；滿足事件的有，，共個，所以，故B正確；滿足事件的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，故，滿足事件的有，，，，，，，，，共個，所以，所以事件與事件相互獨(dú)立，故C正確；滿足事件的有，，，，，，，共種，所以，則，故D正確.故選：BCD11．歐拉函數(shù)是數(shù)論中的一個基本概念，的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)（只有公因數(shù)1的兩個正整數(shù)互質(zhì)，且1與所有正整數(shù)（包括1本身）互質(zhì)），例如，因為1，3，5，7均與8互質(zhì)，則（

）A． B．?dāng)?shù)列單調(diào)遞增C． D．?dāng)?shù)列的前項和小于【答案】ACD【分析】A，由題意可得，即可判斷選項正誤；B，由A選項可判斷選項正誤；C，注意到，則從1到100個整數(shù)中去掉能被2或5整除的數(shù)，即可得與100互質(zhì)的數(shù)，即；D，由C選項分析結(jié)合題意可得，后由等比數(shù)列前n項和公式可判斷選項正誤.【詳解】A選項，由題可知與4互質(zhì)的數(shù)為1，3，則；與6互質(zhì)的數(shù)為1，5，則；與10互質(zhì)的數(shù)為1，3，7，9，則，故，即A正確；B選項，由A選項可知，，故數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列，即B錯誤；C選項，注意到，則從1到100，這100個整數(shù)中，被2整除的有50個，被5整除的有20個，同時被2和5整除的有10個，則從1到100，這100個整數(shù)中，不能被被2或5整除的數(shù)，即與100互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)為個，則，故C正確；D選項，由C選項分析可知，與互質(zhì)的數(shù)，就是從1到，這個整數(shù)中去掉所有的2的倍數(shù).其中2的倍數(shù)有個，則，同理可得.則，即為首項為，公比為的等比數(shù)列，其前項和，故D正確.故選：ACD三、填空題12．已知，以為斜邊的直角，其頂點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由勾股定理得到等式，化簡后除去曲線與軸的交點(diǎn)得答案.【詳解】設(shè)，則，即，整理得：.∵三點(diǎn)構(gòu)成三角形，∴.∴頂點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為：.13．如圖，在水平放置的底面直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入三個半徑相等的實心小球（小球材質(zhì)密度），向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好淹沒小球，若圓柱底面半徑為，則球的體積為，圓柱的側(cè)面積與球的表面積的比值為．

【答案】；.【分析】先作圓柱的軸截面圖，根據(jù)幾何關(guān)系求得小球半徑，再根據(jù)球體的體積公式和表面積公式，以及圓柱側(cè)面積計算公式，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作出圓柱的軸截面圖，連接，過作，垂足為，如下所示：

設(shè)小球半徑為，圓柱的底面圓半徑為，根據(jù)題意可得：，，，在三角形中，由勾股定理可得，即，整理得，又，則，又，則；故球的體積為；圓柱的側(cè)面積，球的表面積，則；故答案為：，.14．已知函數(shù)在上單調(diào)，，則的可能取值為.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定，再根據(jù)確定關(guān)于周期的相應(yīng)等式，結(jié)合其范圍，即可求得答案.【詳解】設(shè)的周期為T，函數(shù)在上單調(diào)，故；由以及函數(shù)在上單調(diào)，得，由，，得或或，若，則；若，則；若，則；故的可能取值為，故答案為：四、解答題15．已知函數(shù)且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實數(shù)a，b的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），，減區(qū)間，增區(qū)間；（2）【分析】（1）首先將代入得切點(diǎn)為，從而得到，解方程組即可得到，再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可.（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出設(shè)的最小值即可.【詳解】（1）代入得：，所以切點(diǎn)為.，所以.所以.，令，解得，（舍去）.所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).（2）因為恒成立，即恒成立，化簡為：恒成立.設(shè)，即即可.，因為在為增函數(shù)，且，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).，即.16．如圖，在三棱柱中，，，，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）由平面，所以，再由勾股定理，證得，利用線面垂直的判定定理，即可得到平面.（2）以為原點(diǎn)，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（1）證明：因為平面，所以，因為，，所以，又，所以平面.（2）以為原點(diǎn)，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，，所以，，取，則.又平面，取平面的法向量，所以.由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直判定與證明，以及二面角的計算問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理．同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.17．新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項選擇題，每小題有A、B、C、D四個選項，原則上至少有2個正確選項，至多有3個正確選項．題目要求：“在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．”其中“部分選對的得部分分”是指：若正確答案有2個選項，則只選1個選項且正確得3分；若正確答案有3個選項，則只選1個選項且正確得2分，只選2個選項且都正確得4分．(1)若某道多選題的正確答案是AB，一考生在解答該題時，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少一個選項，至多三個選項，請寫出該生所有選擇結(jié)果所構(gòu)成的樣本空間，并求該考生得分的概率；(2)若某道多選題的正確答案是2個選項或是3個選項的概率均等，一考生只能判斷出A選項是正確的，其他選項均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出恰當(dāng)方案：方案一：只選擇A選項；方案二：選擇A選項的同時，再隨機(jī)選擇一個選項；方案三：選擇A選項的同時，再隨機(jī)選擇兩個選項．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)古典概型計算公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)三種方案下數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】（1）由題意，該考生所有選擇結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為：設(shè)“某題的答案是AB，該考生得分”，則．（2）設(shè)方案一、二、三的得分分別為X，Y，Z．①∵，．∴X的分布列為：X23P則．②∵，，，∴Y的分布列為：Y046P則．③∵，，∴Z的分布列為：Z06P則．∵，∴以數(shù)學(xué)期望為依據(jù)選擇方案一更恰當(dāng)．18．已知雙曲線過點(diǎn)且焦距為10．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)作直線l與雙曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，求直線l斜率的取值范圍．(3)已知點(diǎn)，E為線段AB上一點(diǎn)，且直線DE交C于G，H兩點(diǎn)．證明：．【答案】(1)(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題意列方程組求出，即可得出C的方程；（2）設(shè)