第3章 時域分析法12-10-16

第三章

時域分析法在建立起系統(tǒng)數(shù)學模型之后，下一步就是對系統(tǒng)的控制性能進行全面的分析和計算。常用分析方法:時域分析法，根軌跡法和頻率法。時域分析法是最基礎(chǔ)、最常用的方法。第一節(jié)典型控制過程及性能指標系統(tǒng)的響應(yīng)

取決于：其參數(shù)結(jié)構(gòu),外作用,初始條件。為了描述系統(tǒng)的內(nèi)部特征，分析和比較系統(tǒng)性能的優(yōu)劣，通常對外作用和初始條件做一些典型化處理。處理的原則是：接近實際，簡單。第一節(jié)典型控制過程及性能指標一、典型初始狀態(tài)

零初始狀態(tài)：

系統(tǒng)的輸出及其各階導(dǎo)數(shù)在初始時刻均為零。初始時刻可以設(shè)定，所以該約束并不苛刻。二、典型外作用（信號）1．單位階躍如：指令的突然轉(zhuǎn)換,開關(guān)閉合,負荷突變。2．單位斜坡

如：主拖動系統(tǒng)發(fā)出的位置信號,數(shù)控機床加工斜面時的給進指令。3．單位脈沖

如：脈動電壓、沖擊力。4．正弦

如：海浪、噪聲、伺服震動臺。一般的，所有外作用都可近似成典型外作用或典型外作用的集合。第一節(jié)典型控制過程及性能指標三、典型時間響應(yīng)初始狀態(tài)為零的系統(tǒng)，在典型外作用下的輸出。

1．單位階躍響應(yīng)：單位階躍輸入信號

2．單位斜坡響應(yīng)：單位斜坡輸入信號

3．單位脈沖響應(yīng)：單位脈沖輸入信號

三種響應(yīng)之間的關(guān)系

第一節(jié)典型控制過程及性能指標第一節(jié)典型控制過程及性能指標四、階躍響應(yīng)的性能指標跟蹤和復(fù)現(xiàn)階躍作用對系統(tǒng)來說是較為嚴格的工作條件，通常以階躍響應(yīng)來衡量系統(tǒng)控制性能的優(yōu)劣和定義時域性能指標。2．峰值時間

超過穩(wěn)態(tài)值而達到第一個峰值所需的時間。階躍響應(yīng)的性能指標1.上升時間

從0上升到穩(wěn)態(tài)值

所需的時間（有超調(diào)）。4．調(diào)節(jié)時間(過渡過程時間)

達到并不再超出誤差

帶的最小時間。階躍響應(yīng)的性能指標3．超調(diào)量

5．穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差

反映系統(tǒng)的最終控制精度。超調(diào)量反映系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

調(diào)節(jié)時間

表征系統(tǒng)過渡過程持續(xù)的時間，總體上反映了系統(tǒng)的快速性。

階躍響應(yīng)的性能指標上升時間

和峰值時間

表征系統(tǒng)響應(yīng)初始階段的快慢；第二節(jié)一階系統(tǒng)分析一階系統(tǒng)的微分方程：

2.一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：其中T為時間常數(shù),表征系統(tǒng)的慣性，盡管物理意義不同，但總具有“秒”的量綱。一、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

T是表征響應(yīng)特性的唯一參數(shù)。關(guān)于時間常數(shù)T用實驗方法鑒別和確定被測系統(tǒng)是否為一階系統(tǒng)。時間常數(shù)的倒數(shù)=響應(yīng)曲線的初始斜率。調(diào)節(jié)時間:（對應(yīng)5%誤差帶）

（對應(yīng)2%誤差帶）

T越小→ts越小→快速性越好。一階系統(tǒng)的性能指標穩(wěn)態(tài)誤差:一階系統(tǒng)在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

注：一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為T。它只能通過減小時間常數(shù)

T

來減小，而不能最終消除。穩(wěn)態(tài)誤差:三、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)結(jié)論：T越小→響應(yīng)的持續(xù)時間越短→快速性越好。四、三種響應(yīng)之間的關(guān)系

說明：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。其中:——自然頻率,——阻尼比。第三節(jié)二階系統(tǒng)分析微分方程：

特征方程：

傳遞函數(shù)：第三節(jié)二階系統(tǒng)分析特征根：

為不等負實根（過阻尼）

為重根（臨界阻尼）

為共軛復(fù)根（欠阻尼)

一、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1．

（過阻尼）

不等負實根,特征方程可寫成:其中:且可看成是兩個時間常數(shù)不等的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián).過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是非振蕩的,又不同于一階系統(tǒng)(兩個慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)).系統(tǒng)的一個負實根()比另一個()大4倍以上,等效為一個一階系統(tǒng).當

時,當

時,當時,過阻尼二階系統(tǒng)的性能指標,,無意義,表達式太繁,近似式為:欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標解出即為.(第一次峰值)2.峰值時間

由定義,令:

欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標對

求導(dǎo)并令其為0:

欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標

經(jīng)整理得:

即:

欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標第一次峰值:n=1所以:tp=π/wd

峰值時間定性分析

wn↗→wd=wn(1-ξ2)1/2↗→tp↘ζ↘→wd=wn(1-ξ2)1/2↗→tp↘

峰值時間越小,快速性越好.

欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標3.超調(diào)量σ%

由h(t)求出h(tp)和h(∞),代入定義式即得.欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標超調(diào)量σ%的定性分析σ%由ξ

唯一確定。

ξ

=0σ%=100%等幅振蕩（無阻尼）

0<ξ

<1欠阻尼（有超調(diào)）

ξ

=0.707(最佳阻尼比)σ%=4.6%

ξ

=1（臨界阻尼）σ%=0(無超調(diào))欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標4．調(diào)節(jié)時間tS

tS

定義:∣h(t)-h(∞)∣≤△h（∞）；t≥tS

其中：△=5%(或△=2%)

由此定義可推導(dǎo)出調(diào)節(jié)時間的計算公式.欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標若：△=2%則：tS=ln[0.02（1-ξ2)1/2]-1/ξwn

≈4/ξwn定性分析:ξ,wn越大,調(diào)節(jié)時間越小,快速性越好。若：△=5%則：tS=ln[0.05（1-ξ2)1/2]-1/ξwn

≈3/ξwn穩(wěn)態(tài)誤差與參數(shù)

無關(guān)，等于0。欠阻尼二階系統(tǒng)的性能指標5．穩(wěn)態(tài)誤差

二.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)欠阻尼：無阻尼：二.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)臨界阻尼：過阻尼：二.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)主要討論欠阻尼系統(tǒng)1.最大值時間

令：得：二.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)2.單位階躍響應(yīng)超調(diào)量:

∵σ%=[h(tp)–h(∞)]×100%/h(∞)=h(tp)–1

∴

σ%+1=h(tp)

又單位階躍響應(yīng)是單位脈沖響應(yīng)的積分．所以：由t=0到

t=tp間（或k(t)為零對應(yīng)的時間）,單位脈沖響應(yīng)曲線與橫軸所包圍的面積等于1+σ%.

即:三．二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)只討論欠阻尼情況

三．二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

ξ↘→eSS↘，但ξ↘會使σ%↗，平穩(wěn)性變差。

eSS(穩(wěn)態(tài)精度)與σ%(平穩(wěn)性)矛盾。穩(wěn)態(tài)誤差:只能減小，不能消除。四、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施1．誤差信號的比例-微分控制（PD控制）

四、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施

特征方程s的一次項系數(shù)：

等效阻尼比：

阻尼比變大，σ%下降，平穩(wěn)性變好；穩(wěn)態(tài)時微分項不起作用,ess不受影響。解決了eSS（穩(wěn)態(tài)精度）與σ%（平穩(wěn)性）的矛盾。四、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施比例微分控制可由RC網(wǎng)絡(luò)或運算放大器來近似實現(xiàn)

四、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施2．輸出量的速度反饋控制

四、改善二階系統(tǒng)響應(yīng)特性的措施

wn2

G(s)=——————————

s2+(2ξwn+Ktwn2)s+wn2

特征方程s的一次項系數(shù)：2ξwn+Ktwn2

等效阻尼比：ξt=ξ+KtWn/2＞ξ

阻尼比變大，σ%下降，平穩(wěn)性變好

Kts同樣對穩(wěn)態(tài)量eSS

不起作用解決了eSS(穩(wěn)態(tài)精度）與σ%（平穩(wěn)性）的矛盾。第四節(jié)高階系統(tǒng)分析

一.三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)----閉環(huán)負實數(shù)極點當時，三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)其中:A=f(b),B=g(b),C=h(b)

b＜

b隨著實數(shù)極點向虛軸方向移動(b值下降),超調(diào)量下降,上升時間和調(diào)節(jié)時間加長.b≤1,三階系統(tǒng)呈明顯的過阻尼特性．二．高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)函數(shù)項組成.如所有閉環(huán)極點(s0和

)都具有負實部,則所有指數(shù)項和阻尼正弦(余弦)項均趨于0.閉環(huán)極點負實部的絕對值越大,對應(yīng)的響應(yīng)分量衰減越快,對動態(tài)過程的影響越小.h(t)不僅與閉環(huán)極點有關(guān),也與閉環(huán)零點有關(guān)(系數(shù)A,B,D).三.閉環(huán)主導(dǎo)極點閉環(huán)主導(dǎo)極點：離虛軸最近的,對系統(tǒng)性能起主要作用的閉環(huán)極點。閉環(huán)非主導(dǎo)極點：實部與閉環(huán)主導(dǎo)極點相差6(3)倍以上的閉環(huán)極點。高階系統(tǒng)通過主導(dǎo)極點近似成二階(或一階)系統(tǒng).應(yīng)用主導(dǎo)極點的概念可以導(dǎo)出高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達式.閉環(huán)主導(dǎo)極點設(shè):單位反饋高階系統(tǒng)具有一對共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)主導(dǎo)極點則可得高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似表達式為:其中:D(s)-----特征方程1.峰值時間幾點結(jié)論:⑴.閉環(huán)零點的作用是減小峰值時間,越接近虛軸,作用越明顯.⑵.閉環(huán)非主導(dǎo)極點的作用是增大峰值時間.⑶.若閉環(huán)零點和極點彼此接近,則它們的影響相互抵消.⑷.若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點和閉環(huán)非主導(dǎo)極點,則:

四.高階系統(tǒng)的動態(tài)性能估算高階系統(tǒng)的動態(tài)性能估算2.超調(diào)量

σ%=PQe-σtp100%其中:nn

P=∏│si│/∏│s1-si│閉環(huán)非主導(dǎo)極點影響修正系數(shù)

i=3i=3

mm

Q=∏│s1-zi│/∏│zi│閉環(huán)零點影響修正系數(shù)

i=1i=1高階系統(tǒng)的動態(tài)性能估算σ%=PQe-σtp×100%幾點結(jié)論：⑴.閉環(huán)零點靠近虛軸,Q增大,σ%增大,減小阻尼.⑵.閉環(huán)非主導(dǎo)極點靠近虛軸,P減小,σ%減小,增大阻尼.⑶.不存在閉環(huán)零點和閉環(huán)非主導(dǎo)極點,則有:P=Q=1,高階系統(tǒng)的動態(tài)性能估算

3.調(diào)節(jié)時間其中:

幾點結(jié)論：⑴.閉環(huán)零點距靠近虛軸,Q增大,調(diào)節(jié)時間長.⑵.閉環(huán)非主導(dǎo)極點靠近虛軸,F減小,調(diào)節(jié)時間短.

第五節(jié)應(yīng)用計算機求取系統(tǒng)的響應(yīng)

控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計:

利用計算機幫助設(shè)計人員應(yīng)用控制理論設(shè)計控制系統(tǒng)。用計算機進行數(shù)字仿真:控制系統(tǒng)計算機輔助設(shè)計的一種手段。數(shù)字仿真:

根據(jù)性能相似原理構(gòu)成系統(tǒng)的仿真模型，然后用計算機求取系統(tǒng)響應(yīng)（解微分方程），檢驗設(shè)計結(jié)果是否滿足給定的性能指標。

連續(xù)系統(tǒng)數(shù)字仿真常用算法1．常微分方程的解析算法雖精確，但程序繁瑣，計算費時。2．常微分方程的數(shù)值積分算法主要討論。3．離散相似法（又稱狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣法）適應(yīng)于非線性系統(tǒng)。數(shù)值積分法解常微分方程的基本思路

用一階微分方程組（即狀態(tài)方程）表示系統(tǒng)的高階微分方程，將時間離散化，使其成為一系列相等（也可以不相等）的時間間隔，在已知前一時刻的狀態(tài)向量值的情況下，按照給定的步長，估算下一時刻的狀態(tài)向量值。合理選擇數(shù)值計算方法應(yīng)考慮1．所要求的準確度——它依賴于積分每一步所引起的截斷誤差和舍入誤差及其以后的傳播。2．每一步估計誤差的容易程度。3．完成計算的速度。4．編制程序的容易程度。歐拉法

xn+1=xn+hf(xn,tn)其中:f(x,t)=dx/dt，h=t1-t0

(步長)特點:簡單,粗糙,誤差積累.截斷誤差:1、歐拉法公式就是精確解(泰勒公式)截去第三項及其以后各項而得到的近似公式。這樣引起的誤差稱為截斷誤差。

歐拉法的截斷誤差可以表示為o(h2)。2、當某一數(shù)值方法的截斷誤差等于(hp+1)時，即稱其具有p階精度。所以歐拉法為一階精度。預(yù)報-校正法

xn+1=xn+h[f(xn,tn)+f(x(1)n+1,tn+1)]/2，

其中:x(1)n+1=xn+hf(xn,tn).

例：

x2=x1+h×f(x1,t1)/2+h×f(x(1)2,t2)/2，

改進了的歐拉法.

提高了準確度.

截斷誤差:o(h3)龍格-庫塔法xn+1=xn+h[(k1+2k2+2k3+k4]/6

其中:k1=f(xn,tn)k2=f(xn+hk1/2,tn+h/2)k3=f(xn+k2/2,tn+h/2)k4=f(xn+k3,tn+h)第四節(jié)穩(wěn)定性與代數(shù)判據(jù)一、穩(wěn)定概念如系統(tǒng)受擾，偏離原來的平衡狀態(tài)，而當擾動取消后，系統(tǒng)又能逐漸恢復(fù)到原來的狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性（去掉擾動后自身的一種恢復(fù)能力），只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與初始條件及外作用無關(guān)。二、穩(wěn)定的數(shù)學條件及定義系統(tǒng)的微分方程：

拉氏變換后：

(a0sn+…+an)C(s)=(b0sm+…+bm)R(s)+M0(s)其中：M0(s)——與初始條件有關(guān)的多項式

D(s)=a0sn+…+anD(s)=0特征方程

M(s)=b0sm+…+bm二、穩(wěn)定的數(shù)學條件及定義C(s)=M(s)R(s)/D(s)+M0(s)/D(s)假定:D(s)=0有n個互異的特征根si,

即

D(s)=a0П(s-si)假定:R(s)有L個互異的極點srj（j=1，2，…，L）

(如特征方程有重根，不影響結(jié)論)則：

C(s)=ΣAi0/(s-si)+ΣBj/(s-srj)+ΣCi/(s-si)

結(jié)構(gòu)參數(shù)輸入初始條件二、穩(wěn)定的數(shù)學條件及定義C(t)=ΣAi0esit+ΣBjesrjt+ΣCiesit其中：ΣBjesrjt取決于輸入，是一穩(wěn)態(tài)分量；

ΣAi0esit和Σciesit取決特征根(由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)確定)，是瞬態(tài)分量。瞬態(tài)分量衰減為0→系統(tǒng)穩(wěn)定。（去掉擾動后自身的一種恢復(fù)能力）穩(wěn)定性定義：二、穩(wěn)定的數(shù)學條件及定義

穩(wěn)定性的充分必要條件：為系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負實部。

注：判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，可歸結(jié)為判別特征根實部的符號:

Re[si]＜0，（si在左半S平面）——穩(wěn)定；Re[si]=0，(si在虛軸上）——臨界穩(wěn)定；Re[si]＞0，（si在右半S平面）——不穩(wěn)定。三、穩(wěn)定判據(jù)（Routh判據(jù)）

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:Routh表中第一列系數(shù)全部大于零；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，且該列中數(shù)值符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實根的數(shù)目。

系統(tǒng)的特征方程：

a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0.

三、穩(wěn)定判據(jù)（Routh判據(jù)）Routh表：sna0a2a4…sn-1a1a3a5

…sn-2c13=(a1a2-a0a3)/a1c23=(a1a4-a0a5)/a1…sn-3c14=(a3c13-a1c23)/c13c24=(a5c13-a1c33)/c13…∶s1c1ns0c1(n+1)=an

三、穩(wěn)定判據(jù)（Routh判據(jù)）例：單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

GK(s)=K/[s(0.1s+1)(0.25s+1)]1．試求增益K的穩(wěn)定域。

2．欲使特征根全部位于垂線s=-1之左側(cè)（穩(wěn)定度a=1），問K的允許調(diào)整范圍是多少？三、穩(wěn)定判據(jù)（Routh判據(jù)）解：1.GB(s)=GK(s)/[1+GK(s)]=K/[s(0.1s+1)(0.25s+1)+K

特征方程：s(0.1s+1)(0.25s+1)+K=0

0.025s3+0.35s2+s+K=0Routh表：

s30.025

1

s20.35

K

s1(0.35-0.025K)/0.35

0

s0K

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件:K＞0，且0.35-0.025K＞0即K＜14

因而K的穩(wěn)定域為:0＜K＜14。三、穩(wěn)定判據(jù)（Routh判據(jù)）2.取s=s1-1代入特征方程

0.025(s1-1)3-0.35(s1-1)2+(s1-1)+K=0

整理得：s13+11s12+15s1+(40K-27)=0Routh表:

s3

1

15

s2

11

40K-27

s1[11×15-(40K-27)]/11

0

s040K-27

系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：11×15-(40K-27)＞0即K＜4.8

40K-27＞0即K＞0.675

當特征根全部位于垂線S=-1之左側(cè)（穩(wěn)定度a=1）時，K的允許調(diào)整的

范圍是0.675＜K＜4.8。對Routh表中出現(xiàn)的特殊情況的處理1．Routh表的任意一行，第一個元素為0，其余元素不為0或部分為0時用一個很小的正數(shù)ε代替這個0。對Routh表中出現(xiàn)的特殊情況的處理例：s4+3s3+s2+3s+1=0

s4111

s3330

s2ε10

s1(3ε-3)/ε00

s01ε很小，3-3/ε＜0,系統(tǒng)不穩(wěn)定。且有兩個特征根在右半S平面（Routh表第一列系數(shù)數(shù)值符號改變二次）。對Routh表中出現(xiàn)的特殊情況的處理2.Routh表中出現(xiàn)全0行時用全0行上一行的元素構(gòu)成一輔助方程，再對其求導(dǎo)得到新方程，用新方程的系數(shù)代替全0行。對Routh表中出現(xiàn)的特殊情況的處理例：s6+s5–2s4–3s3–7s2–4s–4=0

s61-2-7-4

s51-3-4

s41-3-4輔助方程：s4–3s2–4=0

s30(4)

0(-6)

0(0)

求導(dǎo)：4s3–6s=0

s2-3/2-40

s1-16.70

s0-4

系統(tǒng)不穩(wěn)定。且具有一個正實部根。四、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定及其改進措施僅調(diào)整參數(shù)仍無法穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。例：液位控制系統(tǒng)

KpKmKlKa

Gk(s)=————

s2(Tms+1)

傳遞函數(shù)：

G(s)=H(s)/Ho(s)

=K/(Tms3+s2+K)

四、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定及其改進措施特征方程：Tms3+s2+K=0s3Tm

0

s21

K

s1-TmK

0

s0K無論怎樣改變參數(shù)，只要Tm＞0，K＞0，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。即為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須改變結(jié)構(gòu)。造成結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的原因:特征方程缺項——前向通路有兩個積分環(huán)節(jié).消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施改變積分性質(zhì)或引入比例微分控制。1．改變積分性質(zhì)A．用KH包圍積分環(huán)節(jié)

X2(s)/X1(s)=Ka/(s+KaKH)

包圍受控對象(積分環(huán)節(jié))，使之變成慣性環(huán)節(jié)。液位控制系統(tǒng)的特征方程變?yōu)椋?/p>

Tms3+（1+TmKaKH）s2+KaKHs+K=0沒有缺項消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施B．用反饋KH包圍電動機的傳遞函數(shù)

X2(s)/X1(s)=Km/[(Tms+1)+KmKH]

破壞了原電動機傳遞函數(shù)中的積分性質(zhì)。

積分性質(zhì)的破壞，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但會使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度下降。消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施2．引入比例微分控制

G(s)=H(s)/Ho(s)

=K(τs+1)/[s2(Tms+1)+K(τs+1)]

液位控制系統(tǒng)的特征方程變?yōu)椋?/p>

Tms3+s2+Kτs+K=0

消滅了缺項,只要適當匹配參數(shù),即可使系統(tǒng)穩(wěn)定.第五節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析第五節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度的一種度量,通常稱為穩(wěn)態(tài)性能。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)以及外作用的形式密切相關(guān)。注意：只有當系統(tǒng)穩(wěn)定時，研究穩(wěn)態(tài)誤差才有意義；對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，根本不存在研究穩(wěn)態(tài)誤差的可能性。把在階躍函數(shù)作用下沒有穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，稱為無差系統(tǒng)；而把具有穩(wěn)態(tài)誤差的系統(tǒng)，稱為有差系統(tǒng)。系統(tǒng)誤差e(t)

=期望值-實際值

兩種定義：

1．從輸出端：e(t)=r(t)-c(t)2．從輸入端：e(t)=r(t)-b(t)對單位負反饋系統(tǒng)[H(s)=1]，兩種定義是統(tǒng)一的。

穩(wěn)態(tài)誤差：誤差信號在時間趨于無窮大時的數(shù)值定義，記為一、誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義cc二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算

ess=limsE(s)(拉氏變換的終值定理)

s→0例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖,其中K1,K2均大于零

當輸入r(t)=I(t)，干擾n(t)=I(t)時，求系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的計算舉例解：

1．判別穩(wěn)定性

特征方程：兩個傳遞函數(shù)，兩個特征方程都是:s+K1K2=0∵特征根：s1=-K1K2﹤0∴系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)態(tài)誤差的計算舉例2．求r(t)作用下的ER(s)[n(t)=0]

ER(s)=R(s)-C(s)

=R(s)–GR(s)R(s)

=R(s)[1-K1K2/s/(1+K1K2/s)]

R(S)=1/s

=1/(s+K1K2)3．求n(t)作用下的En(s)[r(t)=0]

En(s)=R(s)–C(s)

=0–GN(s)N(s)

=[-K2/s/(1+K1K2/s)]N(s)

=-K2/[s(s+K1K2)]穩(wěn)態(tài)誤差的計算舉例4．求E(s)

由疊加原理

E(s)=Er(s)+En(s)

=1/(s+K1K2)-K2/[s(s+K1K2)]5．求ess

三、輸入信號r(t)作用下穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的形式：

式中：K——開環(huán)增益,v——積分環(huán)節(jié)數(shù)E(s)=GER(s)R(s)

=R(s)/[1+GK(s)]系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess：1.與外作用R(s)有關(guān)外；2.還與系統(tǒng)的開環(huán)增益K

；3.與積分環(huán)節(jié)數(shù)v

有關(guān)。

輸入信號r(t)作用下穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)（型別）的關(guān)系1．階躍輸入：

若v=0，則

ess=R/(1+K)

若v≥1，則

ess=0

在階躍輸入下，系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差的條件是v≥1，即在開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有一個積分環(huán)節(jié)。輸入信號r(t)作用下穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系2．斜坡輸入

當v=0，ess=∞

當v=1，ess=R/K

當v≥2，ess=0

在斜坡輸入下，系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差的條件是v≥2。即在開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有二個積分環(huán)節(jié)。輸入信號r(t)作用下穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系3．等加速度輸入

v≤1ess=∞v=2ess=R/Kv≥3ess=0

在等加速度輸入下，系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差的條件是v≥3。即在開環(huán)傳遞函數(shù)中至少要有三個積分環(huán)節(jié)。輸入信號r(t)作用下穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系

提高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度（減小ess）要求增加積分環(huán)節(jié)數(shù)，但這與系統(tǒng)的穩(wěn)定性將產(chǎn)生矛盾。四、系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)1．系統(tǒng)的型別

式中：K——開環(huán)增益,v——積分環(huán)節(jié)數(shù)v反應(yīng)了系統(tǒng)的型別。

v=0的系統(tǒng)

稱為0型系統(tǒng)，

對階躍輸入的ess為常值,

對斜坡和等加速度輸入的ess為∞。系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)v=1的系統(tǒng)稱為I型系統(tǒng).對階躍輸入的ess為0,對斜坡輸入的ess為常值,對等加速度輸入的ess為∞；v=2的系統(tǒng)稱為Ⅱ型系統(tǒng)對階躍和斜坡輸入的ess為0,對等加速度輸入的ess為常數(shù).依次類推。系統(tǒng)的型別越高，跟蹤典型輸入信號的無差能力越強。系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)2．靜態(tài)誤差系數(shù)A．靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp反應(yīng)系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。

0型系統(tǒng)（v=0）:KP=K

I型及以上系統(tǒng)（v≥1）:KP=∞

KP反映了系統(tǒng)跟蹤階躍信號的能力。KP越大，ess

越小。系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)B．靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

表示系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度。

0型系統(tǒng)（v=0）：Kv=0

;I型系統(tǒng)（v=1）：Kv=KⅡ型及以上系統(tǒng)（v≥2）：Kv=∞

穩(wěn)態(tài)誤差

Kv

反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的能力。Kv越大，ess

越小。

Kv雖然稱為速度誤差系數(shù)，但得出的ess

并不是速度的誤差，而是系統(tǒng)在跟蹤等速信號時出現(xiàn)的位置上的誤差。系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)C．靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka表示系統(tǒng)在等加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)精度.

0型，I型系統(tǒng)（v≤1）：Ka=0Ⅱ型系統(tǒng)（v=2）：Ka=KⅢ型及以上系統(tǒng)（v≥3）：Ka=∞

穩(wěn)態(tài)誤差：

Ka

反映了系統(tǒng)跟蹤等加速度輸入信號的能力。Ka越大，ess越小。

Ka

雖然稱為加速度誤差系數(shù)，但得出的ess并不是加速度的誤差，而是系統(tǒng)在跟蹤等加速信號時出現(xiàn)的位置上的誤差。系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)誤差系數(shù)Kp,Kv,Ka與系統(tǒng)的型別一樣，均是從系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)特征上體現(xiàn)了系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，反映了系統(tǒng)跟蹤典型輸入信號的能力。不同輸入信號作用下系統(tǒng)類型