中考數(shù)學知識點與經(jīng)典題型練習 直角三角形中由動點引起的分類討論問題(解析版)

專題25直角三角形中由動點引起的分類討論問題

【模型展示】

解直角三角形的動點問題，一般分三步走

第一步尋找分類標準，

第二步列方程，

第三步解方程并驗根.

特點一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后按照三角比或勾股定理列方程.

有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便.

解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起.

如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個新的相似直

角三角影，這樣列比例方程比較簡便.

結(jié)論直角三角形的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用

【題型演練】

一、單選題

1.如圖,M,A,N是直線/上的三點，AM=3,AN=5,P是直線/外一點，且ZPAN=60°,AP=X,

若動點Q從點M出發(fā)，向點N移動，移動到點N停止，在AAPQ形狀的變化過程中，依

次出現(xiàn)的特殊三角形是()

"■—1P—■-J

MAN

A.直角三角形-等邊三角形-直角三角形-等腰三角形

B.直角三角形-等腰三角形-直角三角形-等邊三角形

C.等腰三角形-直角三角形-直角三角形-等腰三角形

D.等腰三角形-直角三角形--等邊三角形-直角三角形

【答案】D

［分析】根據(jù)NPAN=60。,AP=},按照Q在線段AM和線段ANI二進行分類討論即可.

【詳解】解：???NPAN=6()O,Ap=1,

.,.NPAM=180o-60°=120°,

①當。在線段AM上，只能形成等腰三角形，當AQ=AP=I時，AAPQ為等腰三角形；

②當。在線段AN上時，乙4QP逐漸減小，

當NA0P=9O。時，AAPQ為直角三角形，此時NAPQ=30。,AQ=gAP=g；

當NAQP=60°時，AAPQ為等邊三角形，此時AQ=AP=1；

當NAQP=3()。時，?/ZPAN=ωo,NAPQ=90。，.?.AAPQ為直角三角形，此時

PQ=2AP=2,AQ=7^^4^Γ=√5；

.?.^APQ形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是：等腰三角形-直角三角形-等邊

三角形-直角三角形；

故選D.

【點睛】本題考查特殊三角形的判定.熟練掌握等腰三角形、直角三角形和等邊三角形的判

定方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

2.如圖，∕?ΔABC中，NAC8=90。，NABC=60。，BC=2cm,。為BC的中點，若動點E

以ICmZS的速度從A點出發(fā)，沿著4→3→A的方向運動，設(shè)E點的運動時間為f秒

(0<r≤6),連接OE,當Mr>E是直角三角形時，r的值為.

【答案】2或3.5或4.5或6

【分析】先求出AB的長，再分①∕BOE=90。時，DE是AABC的中位線，然后求出AE的

長度，再分點E在A8上和在ZM上兩種情況列出方程求解即可：②NBEO=90。時，含30

度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求出8E,然后分點E在A8匕和在84上兩種情況列出

方程求解即可.

【詳解】解：VZACfi=90o,NA8C=60°,BC=2cm,

ΛZA=30o,AB=IBC=A(cm),

①N8OE=90。時，

,.?/5=60°,

：.ZDEB=30°,

EB=IDB=BC=I

：.AE=AB-BE=2(cm),

點E在AB上時，f=2÷l=2(秒)，

點E在A4上時，點E運動的路程為4χ2-2=6(cm),

Λr=6÷l=6（秒）；

②/加2=90。時，BE=-BD=-BC-=0.5(cm),

24

點E在48上時，t=(4-0.5)÷1=3.5(秒)，

點E在BA上時，點E運動的路程為4+0.5=4.5(cm),

r=4.5÷l=4.5(秒)，

V0<r≤6

綜上所述，f的值為2或3.5或4.5或6,

故答案為：2或3.5或4.5或6.

【點睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分情況討論.

3.如圖，在R∕ΔABC中，∕C=90?,AC=12,BC=IO,。是BC的中點，E是AC上一動

點，將△€■￡>E沿OE折疊到△(?￡)￡,連接AC',當AEC'是直角三角形時，CE的長為

【答案】5或5

【分析】分兩種情況進行分類討論：①當/A￡C'=90?時，求CE的長；②當NAC'E=90。時,

求CE的長.

【詳解】解：①如圖1,當∕AEC=90?時，/CED=NCED=45。,

NC=90。,

.?.ZCDE=4CED=45°,

QBC=IO,。是BC的中點，

/.CD=CE=5.

圖1

②如圖2,當NAC'￡=90。時，由折疊性質(zhì)知NOCE=NC=90。,

.?.ΛDC'E+ZACE=180°,

???RC',A三點共線.

,CZ)=DB=5√4C=12,

在∕?ΔAC。中，AO=√52+122=13-

設(shè)CE=C'E=x,

.?AE=l2-x9

.1在用ΔAC'E中，X2+(13-5)2=(12-x)2,

綜上所述，CE的長為：5或7.

【點睛】此題考查翻折變換，勾股定理，熟練運用勾股定理以及學會用分類討論的思想思考

問題是解題的關(guān)鍵.

4.己知：如圖，正方形ABCf）中，AB=2,AC,BO相交于點0,E,F分別為邊BC,CD

上的動點（點E,F不與線段BC,CO的端點重合）.HBE^CF,連接OE,OF,EF.在

點、E,F運動的過程中，有下列四個說法：

①AOEF是等腰直角三角形；

②△（?￡：/面積的最小值是g；

③至少存在一個ECF,使得EcR的周長是2+不；

④四邊形OEC尸的面積是1.

其中正確結(jié)論的序號有.

【答案】①②④

【分析】證明VCoE@/。0尸，可得OE=OF,?CoEcIDOF,可得到①；再由當OELBC

時，OE最小，此時OE=Of=:BC=1,可得aOEF面積的最小值是可得到②正確；

22

2

設(shè)CE=X,則BE=CF=2-X,根據(jù)勾股定理可得EF=√2(x-l)+2,從而得到√2<EF<2，

lJ

得③錯誤；再根據(jù)VCOE@^￡)。尸，J得場邊形OEeF=SACOE+SAOCF=SAOQC=工S正方形A8CD，UJ

得④正確；即可求解.

【詳解】解：；四邊形ABC。是正方形，

BC=CD,?OCB?ODC45?,OCOD,NDOC=90°,

,.?BE=CF,

，CE=DF,

.?.VCOE(gVOOF,

：.OE=OF&COE?DOF,

：.?EOF?COE?COF?DOF?COF?DOC90?,

.?.ZXOE尸是等腰直角?：角形，故①正確；

當OEJ_BC時，OE最小，此時OE=OF=OBC=1,

2

???△<?所面積的最小值是:。足。尸=(，故②正確；

22

,/BE=CF,

.?.CE+CF=BE+CE=BC=2,

設(shè)CE=X,則BE=CF=2—x,

/?EF=JX2+(2-Xy="(if+2,

.ECF∣?J???EF+CE+CF=EF+2,

,.?(Xx<2,

??V2≤EF<2，

，EF+2<4

??.不存在個,比尸，使得4EC尸的周長是2+石，故③錯誤；

VVCOE(SVDOF,

==

,?S四邊形OECFSACOE+SAOeF=SADW?+SAOBK=SAODCZ?S)T?AβC0=—×2×2=1,故④正確;

故答案為：①②④

【點睛】此題屬于四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股

定理以及等腰直角三角形的性質(zhì).注意掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

5.如圖，在R/AA8C中，/4=90。，A8=4g,AC=4,點。是AB的中點，點E是邊BC上

一動點，沿。E所在直線把△8￡>E翻折到△夕。E的位置，B'D交邊BC于點、F,若△CB下為

直角三角形，則CB，的長為

【答案】2√7或4##4或2不

【分析】當△8戶為直角三角形時，需要分類討論，點C,B'F分別為直角頂點時，畫

出圖形求解即可.

【詳解】解：在RtAABC中，ZA=90o,AB=4√3,AC=4,點。是AB的中點，

:.BC=8,N8=30。，AD=BD=26

由折疊可知，BO=B,D=2√3.

AD=BD=B'D=2百

①由點運動可知點C不可能是直角頂點；

②如圖，當點尸為直角頂點，即NeFBf=90。，

：.DF=；BD=6,BF=CDF=3,

:.β,F=√3>CF=5,

22

-.CB'=λ∕(√3)+5=2√7;

③如圖，當點力是直角頂點時，即NceN=90。，連接CO,

CD=CD

AD=B'D

Rt?ACD≡RtΔB,CZXHL),

.?,CB,=CA=4,

故答案為：2近或4.

【點睛】本題考查翻折變換、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈

活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

6.如圖，已知NB=45。，AB=2cm,點P為NABC的邊Be上一動點，則當BP?=cm

時，ABAP為直角三角形.

【答案】2或8

【分析】由于直角頂點不能確定，故應(yīng)分NAPB=90。與NBAP=90。兩種情況進行分類討論.

【詳解】解：①當NAPB=90。時，

VZB=450,AB=2cm,

：.BPt=APt,

,12

..BI↑+APl=AB-=4,

：.BP-=2■

②當∕BAP=900時，

:/8=45°,AB=2cm,

：.AB=AP2=I,

：.BZζ2=AB2+AΛ2=8.

故本題答案為：2或8.

【點睛】本題考查的是勾股定理的逆定理，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解.

7.如圖，長方形ABC。中，NDAB=NB=NC=ZD=琳，AD=BC=4,AB=CD=3.E為

邊BC上的一個動點，將ΔABE沿AE折疊，使點8落在8'處.

A題：當NEβzC=9O。時，EC的長為.

8題：當，EB'C為直角三角形時EC的長為.

【答案】∣?;或者1

22

【分析】A題：設(shè)BE=X,則￡B'=x,根據(jù)矩形折疊性質(zhì)易得8、DKE三點共線，由勾

股定理求出AC的長度，在4BEC中利用勾股定理可解得X的值，即可得到EC的長度；

8題：找出直角三角形，再根據(jù)勾股定理分情況求解即可.

【詳解】解：A題：設(shè)8E=x,則E3'=x,

由折疊的性質(zhì)可得NAB，E=NB=90，

VZEB1C=90,

/.8、ZXE三點共線，

根據(jù)勾股定理得，AC=y∣AB2+BC2=5.

B?=AC-BC=2,

：.EC2=EB'2+B1C2,

Λ(4-X)2=X2+22,

3

解得：X、，

.?.EC=4--=-

22t

B題:當NEB'C=9(),EC=,;

5恰好落在AD上，BE=Z，則EC=BC-BE=X,

故答案為：?∣■:?∣■或1.

22

【點睛】此題考查了矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉折疊的性質(zhì)和勾股定理.

8.如圖，4ABC'AADE都是等腰直角三角形，∕B4C=∕D4E=9(Γ,AB=4,F是DE

的中點，若點E是直線8C上的動點，連接8F,則BF的最小值是.

【分析】由AA8C?AAOE都是等腰直角三角形，可得出：ZkBCSI?ADE,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)得到NADE=/A8E,推出點4,D,B,E四點共圓，得到NOBE=9(Γ,根據(jù)直角

三角形的性質(zhì)得到BF=gθE,當。E最小時，BF的值最小，OE最小，根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，

V?ABC?AAOE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90o,AB=4

.ABAD

..——==1,AC=AB=4

ACAE

：.ΛABC^∕?ADE,

：.ZADE=ZABE,

點A,D,B,E四點共圓，

,.?NoAE=90°,

ZZ)BE=90o,

：尸是。E的中點,

BF=-DE,

2

二當。E最小時，8斤的值最小，

：若點E是直線8C上的動點，

二當AEi.8C時，AE最小，此時，OE最小,

VZBΛC=90o,AB=A,AC=4,

fiC=4√2,

X償嗡=2日

?/ΛABC^^∕?ADE,

ACBC

.?.----=-----,

AEDE

■44夜

^2√2-^DE

DE=A,

.?.BF=2,

.?.8F的最小值是2.

故答案為：2.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，四點共圓，直角三角形

的性質(zhì)，確定出當DE最小時、BF的值最小是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，等邊一ΛBC的邊長是2,點。是線段BC上一動點，連接AD,點E是A。的中點，

將線段DE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)6()。得到線段DF,連接FC,當一CD廠是直角三角形時，則線

段8。的長度為.

D

【答案】1或34

【分析】KDF是百角角形分三種情況討論：①當NZ*C=90°時，當點F在AC上時,

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得NFDC=180o-ZDFC-ZC=30°,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得。F=；AD,

根據(jù)等腰三角形三線合一，^BD=?C=?.②NDCr=90°延長。尸到G使DG=D4,連

接AG、CG,過G作G”,8C交BC延長線于根據(jù)相全等三角形的判定得AABDT

ACG,即CG=2C，，設(shè)CH=X,則CG=BD=2x,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出DF=gOG,再由

2

DCDF

相似三角形的判定得出DCFsADHG,再由相似的性質(zhì)得出e=χ=71,即50=彳4;

DHDCJ23

③當NCr)F=90°時，ZADF+ZCDF+ZADB=210°>180o,Na)P=90°不成立.

【詳解】解：①當Nf>HC=90。時，

當點F在AC上時，

ABC是等邊三角形且邊長為2,

.?.AB=AC=BC=I,NC=60°,

.?.ZFDC=180。-NDFC-NC=30°,

DE旋轉(zhuǎn)60°得到線段DF,

.-.ZEDF=GOo,

.?.ZADC=NEDF+ZFDC=90°,

.?.ZDAC=180o-ZADC-ZC=30°,

.?.DF=-AD,

2

E是AQ的中點，

.?.DE=-AD,

2

.?.DE=DF,

即AD/BC時，ZDFC=90°,

.-.BD=-BC=X-,

2

②/ZXT=90°,如圖，

延長DF到G使。G=ZM,

連接AG、CG,

過G作GHj_BC交3C延長線于”，

AD=DG,ZADG=60o,

.?.AOG是等邊三角形，

o

.?.ZZDt4G=60,AD=AG9

一A5C是等邊三角形，

ΛAB=ACiZBAC=ZB=ZACB=60°

.?ZBAC=ZDAG,

:.ZBAC-ZDAC=ZDAG-ZDAC1

即ZBAD=ZCAG,

在AABQ和耳ACG中，

AB=AC

<ΛBAD=ΛCAGi

AD=AG

:._ABD^λACGCSAS)f

..BD=CG,NB=ZACG=60。,

"GCH=180o-ZACB-ZACG=60°,

GH工BC,

.?.4=90。,

.?.NCGH=30。，

:.CG=ICH.

設(shè)CH=X,則CG=Bo=2x,

E是Af)中點，

.'.DE=-AD

29

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知DF=DE,

,AD=DG,

:.DF=-DG

2f

.ZDCF=90°=AH,ZCDF=ZHDG,

:.DCFSADHG,

.DCDF

'"DH~~DG~2J

:.DC=-DH,

2

JDC=CH=X,

BD+DC=2,

:.2x+x=2，

2

x=-

31

4

/.BD=-;

3

③當NC。尸=90。時，

QZADF=60。，ZADB>ZACB=60°,

.?.ZADF+ZCDF÷ZADB=210o>180o,

.?.Nα*=∕r不成立，

4

綜上，比>=1或§；

4

故答案為：1或g?

【點睛】本題考查等邊三角形中動點的旋轉(zhuǎn)問題.通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造另外的等邊三角形以及全等

手拉手模型，本題考查的知識較為綜合，難度較大，通過分類討論確定動點的位置，熟記旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

10.已知任意直角三角形的兩直角邊a,b和斜邊C之間存在關(guān)系式:如圖，在AABC

中，NBAC=90。,AB=AC,點。在BC上,80=3,CD=4,以AD為一邊作4ADE,使Nf)AE=90。，

AD=AE.若點M是CE上一個動點，則線段CM長的最小值為.

【分析】連接CE,過點C作CM，OE于點H,首先證明BAD^.C4￡,可推導CE=%>=3,

ZACE=N8,再證明/ECD=90。，在肋ACOE中，由勾股定理計算￡>￡=，由+5=5,

12

然后借助三角形面積求出CH=M,根據(jù)“垂線段最短”可知，當CMLOE,即M、"重合

時，線段CM的長取最小值，即可獲得答案.

【詳解】解：連接CE,過點C作CW_LDE于點從如下圖,

VZBAC=ZZME=90o,β∣JZBAD+ZDAC=ZZ?C+ZCAE,

,

..ZBAD=ZCAEf

*：AB=ACfAD=AEf

.?.ABAD經(jīng)LCAE(SAS),

???CE=BD=3,ZACE=ZB,

,.?ZBAC=90o,

：.ZB+ZACB=1-ABAC=90o,

ΛZACEZACB=ZB+ZACB=90o,即NEeD=90。，

工在RtACDE中,DE=√CE2+CD2=√32+42=5，

YCH-LDE1

：.SYCDE=；CDeE=；DEcH，δP∣×4×3=∣×5×CW,

12

解得C"=],

：點M是DE上一個動點，則當CMJ_DE,即M、”重合時，線段CM的長取最小值，

12

此時CM=C"=《.

12

故答案為：y.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構(gòu)建

全等三角形是解題關(guān)鍵.

三、解答題

11.已知：如圖，在Rt?ABC中，∕C=90?,AS=5cm,AC=4cm,動點尸從點8出發(fā)沿

射線8C以ICmzS的速度移動，設(shè)運動的時間為r秒.

⑴求BC邊的長；

(2)當NBP為直角三角形時，求f的值;

(3)當ZVWP為等腰三角形時，求r的值.

【答案】⑴3cm

⑵3或日

(3)5或6或鄉(xiāng)25

【分析】(1)利用勾股定理即可求出結(jié)論；

(2)由題意可得：BC=tcm,ZB≠90o,然后根據(jù)直角三角形直角的情況分類討論，利用

勾股定理等知識即可解答；

(3)當AABP為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形,

根據(jù)三線合一、勾股定理等知識即可解答.

(1)

解：；在用ABC中，∕C=90?,AB=5cm,AC=4cm,

?'?BC=JAfiLAC?=3crn.

(2)

解：BC=tern,ZB≠90o

當NAPB=90。時，點P與點C而合，

.,.BP=BC.

即t=3；

當NPA8=90。時，如下圖所示：

.?.CP=BP-BC=(t-3)cm.

?/AC2+CP2=AP-=BP2-AB2,

.?.42+(r-3)2=r-52,

解得：t--y.

綜上：當△的為直角三角形時，r=3或號;

(3)

解：當Afi=AP時，如下圖所示：

A

,：AClBC.

：.BP=2BC,

即，=2x3=6.

當AB=BP時，如下圖所示:

當AP=BP時，如下圖所示:

則C尸=8C-8P=(3τ)cm,AP=BP=t,

在RfAPC中，AC2+CP2=AP2,

即42+(3-/)2=?,

解得：t=^25-.

6

25

綜上：當AABP為軸對稱圖形時，，=5或6或

O

【點睛】此題考查的是勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)是

解決此題的關(guān)鍵.

12.如圖，在矩形48CD中，設(shè)ΛB=α,AD=b,且α>6.

(1)若α,b為方程d-依+k+4=0的兩根，S.BD=2√10,求A的值.

(2)在(1)的條件下，尸為CQ上一點(異于C、0兩點)，?在什么位置時，?APB為直角

三角形？

(3)P為CO上一動點(異于C、E)兩點)，當α,人滿足什么條件時，使AAPB為直角三角形的

尸點有且只有一個？請直接寫出“,。滿足的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(l)k=8

(2)產(chǎn)在(3+6)或(3-石)位置時，AAPB為直角三角形

(3)a=2b

【分析】(1)根據(jù)矩形性質(zhì)求出RrAZ)B斜邊與兩直角邊的關(guān)系，根據(jù)兩直角邊又是一元二

次方程的解，由此即可求解；

(2)在矩形中，ZW>8為直角三角形，則可找出∕?CBP?∕?DPA,根據(jù)對應(yīng)邊的比相等，

即可求解；

(3)求唯一值，可以根據(jù)一元二次方程的判別式A=O來判斷，主要是找出矩形的兩直角邊

與點P的數(shù)量關(guān)系，由此即可求解.

(1)

解：?.?8O=2j而且是矩形ABC。的對角線，在RtA中，AB=a,AD=b,

?,?BD=√o2+b2=2√10，即a2+b2=(a+b)2-2ab=40，

Va,。為方程χ2-^+z+4=0的兩根，根據(jù)韋達定理得，

：.a+b=-(-k)=k,ab=k+4,

Λ?2-2(*+4)=40,解-元二次不等式得，

k`=-6,?2=8.

當女=-6時，原方程得f+6χ-2=0,則χJ±j62+8不符合題意,故舍去；

2

當k=8時，原方程得V—8X+12=0,則%=8±正8)2衛(wèi)=型,

22

?'?0=6,b=2,符合題意，

故答案是：k=8.

(2)

解：根據(jù)(1)得，。=6,?=2,如圖所示，

設(shè)。P=%,貝IJCP=6—%，

若AVZ為直角三角形，在矩形4?C。中，RtCBP~RtDPA,

「R[)P9Y

‘而二'即i≡T5'解分式方程得,…0…5

.?.P在(3+0)或(3-逐)位置時，?APB為直角三角形.

(3)

解：根據(jù)題意

設(shè)。P=m,則CP=α-x,

若“Pa為直角三角形，在矩形ABC。中，RtCBP~RtDPA,

01,即bin2

7，m~2-aιn+h~=0?

CPDAa-tnb

???P點有且只有一個,

Λ(-a)2-4?2=0,B∣Ja2=4b?

.*.a=2b,

故答案是：a=2b.

【點睛】本題主要考查的矩形的性質(zhì)，相似三角形的運用，理解和掌握矩形的性質(zhì)，相似三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，AASC是邊長是12Cm的等邊三角形，動點P,Q同時從A,B兩點出發(fā)，分別

沿A3,8C方向勻速移動，其中點P運動的速度是ICmzS,點。運動的速度是2cm∕s,當點。

到達點C時，P、。兩點都停止運動，設(shè)運動時間為r(s),解答下列問題:

(1)當點。到達點C時，PQ與AB的位置關(guān)系如何？請說明理由.

(2)在點P與點。的運動過程中，VBPQ是否能成為等邊三角形？若能，請求出J若不能,

請說明理由.

(3)則當，為何值時，VBPQ是直角三角形?

【答案】(I)PQ與AB垂直，見解析

(2)能，4

(3”=2.4秒或/=6秒

【分析】(1)根據(jù)題意求出”的長度，則可知點P為AB的中點，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)

即可得出答案：

(2)若VBPQ是等邊三角形，則BP=PQ=8Q,列出相應(yīng)方程求解即可；

(3)分兩種情況進行討論：當NBQP=90?時；當NBPQ=90。時.

(1)

當點Q到達點C時，PQ與AB垂直，

理由如下：

,/AB=AC=BC=ITcm,

當點Q到達點C時，可得AP=6cm,

點P為AB的中點，

.?.PQVAB.,

(2)

假設(shè)在點P與點Q的運動過程中，XBPQ能成為等邊三角形，

IBP=PQ=BQ,

.?.12-r=2r,解得f=4,

.?.當f=4時，VBPQ是等邊三角形；

(3)

根據(jù)題意得AP=/,BQ=2t,

.?.BP=n-t,

當N8QP=90?時，

?.?∕P8Q=60?,

?.?∕3PQ=30°,

ΛBQ=-BP,即2f=?!?(i2-f),解得r=24秒；

22

當∕3PQ=90。時，同理可得12-f=Lχ2r,解得r=6秒，

2

.?.當/=2.4秒或f=6秒，VBPQ是直角三角形.

【點睛】本題考查了三角形綜合題，考查了含3"的直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，幾何

動點問題，讀懂題意，根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程是解本題的關(guān)鍵.

14.已知AABC是等邊三角形，AD_LBC于點。，點E是直線AO上的動點，將BE繞點8

順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到B片連接EF、CF、AF.

(1)如圖1,當點E在線段A。上時，猜想NAFC和/∕?C的數(shù)量關(guān)系；(直接寫出結(jié)果)

(2)如圖2,當點E在線段AO的延長線上時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的

結(jié)論，若不成立，請寫出你的結(jié)論，并證明你的結(jié)論；

(3)點E在直線上運動，當AACF是等腰直角三角形時，請直接寫出/E2C的度數(shù).

【答案】⑴NAFC+NE4C=90?,證明見解析

(2)成立，理由見解析

(3)15?；?5。

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8E=8F,NEBF=60°,由''SAS''可證二ABE空CBF,可得

NBAE=NBCF=3",由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得8E=8F,NEBF=60°,由"SAS''可證CABE絲CBF,可得

NBAE=NBCF=30°,由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(3)由全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AE,再分這情況討論，結(jié)合等腰三

角形的性質(zhì)可求解.

(1)

解：/AFC+/BIC=90?,理由如下：

?.?△A8C是等邊三角形，

.?.A8=AC=8C,ZABC^ZBAC^ZACB=60°,

"：AB=AC,ADlBC,

：.ZBAD=30°,

：將8E繞點8順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到BF,

LBE=BF,NEBP=60°,

.?.ZEBF=ZABC,

：.ZABE=ZFBC,?AB=BC,BE=BF,

：..AB-CBF(SAS)

NBAE=NBCF=3伊,

：.NACF=90。，

ZAFC+ZFAC=90°;

(2)

(1)的結(jié)論仍然成立，理由如下：

「△ABC是等邊三角形，

.?ΛB=AC=BCfZABC=ZBAC=ZACB=60°,

9：AB=AC,ADlBC,

：.NBw=30°,

???將BE繞點8順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到BF,

；?BE=BF,∕EBF=60°,

：,/EBF=NABC,

：?NABE=NFBC,KAB=BC,BE=BF,

：?；ABEgCBF(SAS)

ΛZθAE=ZBCF=30°,

/.ZACF=90°,

???ZAFC+ZMC=90o;

(3)

如圖，當點E在點A下方時，

YAACF是等腰直角三角形,

：.AC=CF,

YAABEtACBF,

JCF=AE,

：.AC=AE=AB,

180?-

：.ZABE=

~2

：.NEBC=NABE-NABC=I5?,

如圖，當點E在點A上方時，

B

同理可得：BAD=30,?AB=AC=AE,

：.NABE=I5?,

INEBC=W.

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵.

15.如圖，在三角形ABC中，AB=3,BC=3√3,AC=6,點。是AC上一個動點，過點。

作?？贚BC于點凡過點產(chǎn)作EE〃AC,交AB于點E.

(1)當四邊形A。FE為菱形時，則NAED=.

(2)當AQEF為直角三角形時，則CQ=.

【答案】6003或4.8

【分析】(1)根據(jù)勾股定理逆定理可得∕ABC=90?,利用菱形的性質(zhì)即可得出答案；

(2)利用分類討論結(jié)合①當∕OFE=90。時.②當∕F?OE=RO°時，③當Nr)EF=90°時，分

別分析得出符合題意的答案.

【詳解】解：⑴?/AB=3,BC=38AC=6,

?/32+(3√3)2=36=6。

?*.AB2+BC2=AC2,

45C=90?,

...4=30。，ZA=60o,

,.?FE//AC,

：.NBM=4=60?,

?；四邊形AoFE為菱形，

.?.ZAEF=I80o-60o=l20°,

.?.AAED=-AAEF=WO.

2

故答案為：60?；

(2)①當NOFE=90°時.

VFE//AC,ZO=30o,

NEFB=Ne=30°,

/.ZDfE=180o-90o-30o=60o≠90°,

這種情況不存在；

圖2

VDFLBC,4=90。,

NOFe=Ns=90°，

，DF//AB,

'：EF//AC,

四邊形AEFD為平行四邊形,

.?.AE=DF=Lm

2

'：/DFC=/FDE=,

DE//BC.

：.ZADf≡ZC≡30o,ZAED=ZB=90°,

在心ZLWE中，NAEr)=90°,ZADE=30°,

.?.AE=AD=^(6-CD)

U[lCD=(6-CD),

解得：CD=3,

③當∕DEF=90。時，如圖3,

圖3

VEF//AC,NC=30。，

/./EFB=/C=30。,

?.?ZDFC=90o，

/.ZDFE=60o,

,.?NOEF=90。,

/./FDE=30。,

?/NB=90。，

JZFEB=60o,

,.?NDEF=90。,

/.ZAED=30o,

.*.ZADE=90o,ZAED=/FDE=30。,

；?FD//AE,

???四邊形AEFD為平行四邊形，

AE=DF=-CD

2f

在mZVLDE中，

o

ZADE=90fZA￡0=30。，

ΛAD=-AE,

2

g|]6_CD=lxiC￡),

22

解得：8=4.8.

綜上所述，當AbED是直角三角形時，CD的值為3或4.8.

故答案為：3或4.8.

【點睛】本題考查三角形和平行四邊形綜合應(yīng)用.熟練掌握直角三角形的判定和含弱的

直角三角形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，矩形04BC頂點8的坐標為(8,3),定點。的坐標為(12,0),動點P從點。出

發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿X軸的正方向勻速運動，動點Q從點。出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度沿X軸的負方向勻速運動，P、。兩點同時運動，相遇時停止.在運動過

程中，以P。為斜邊在X軸上方作等腰直角三角形PQK，設(shè)運動時間為f秒，APQR和矩形

OABC重疊部分的面積為S.

(1)當Z=時，△PQR的邊QR經(jīng)過點B

(2)求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式，并寫出f的取值范圍.

【答案］⑴1

39

y-6r(0</<1)?

1

⑵S=V——r92-5r+19(l<r<2)

2

7

-z2-14r+28(2<z<4)

【分析】(1)當點B在QR上時，根據(jù)是等腰直角三角形求出AQ的長度，進而求出

DQ的長度，從而得出結(jié)果.

(2)由點尸和點0的運動情況可知，*PRQ和矩形OABC的重合部分分為3類情況：按照

三種情況的特點，分別用矩形、梯形、等腰直角三角形的面積關(guān)系分類求解即可.

(1)

解：PRQ為等腰直角三角形

.,.NRQA=45。

I四邊形Q4BC為矩形

當。R經(jīng)過點B時，AABQ為等腰直角三角形

1點B的坐標為(8,3),點。的坐標為(12,0)

.*.AQ=AB=3,OQ=OA÷AQ=8÷3=11

.?.Dβ=OD-O2=12-l1=1

此時，運動時間，=ι÷ι=ι

(2)

解：①當0≤∕≤l時，

如圖，設(shè)尸R交BC于點G,過點P作Pb_LBC于點，

則07=OP=2f,GH=PH=3

..S=S梯形ABG0=S矩形O4βc-S梯形OPGC

=8χ3-g(2f+2∕+3)χ3

②當1V<2時，

如圖，設(shè)尸R交BC于點G,RQ交BC、AB于點S、T,

則AT=AQ=4-f,BS=BT=3T4-t)=t-l

?*?S=S梯形ABGP-SBST

=--r-5t+?9.

2

③當2<f<4時，

如圖，設(shè)RQ與AB交于點T,則AT=AQ=4-f,

PQ=I2—3t,PR=RQ=去(12-3t).

?*?S=S&PQR-SAAQT

11

=~(12-3r)92--(4-092

7

=-r29-14r+28

4

【點睛】此題考查J'等腰三角形的性質(zhì)、函數(shù)與圖像、矩形的性質(zhì)；其中根據(jù)圖像的變化情

況對重合部分的面積進行分類討論是解決此題的關(guān)鍵.

17.如圖，在一ABC中，AB=4,BC=6,尸是BC邊上一動點，ZAPN=NB=W,過A

點作射線4W〃BC,交射線PN于點D

備用圖

⑴求AC的長；

(2)求證：AP2BP-AD

(3)連接C。，若，ACD為直角三角形，求BP的長.

【答案】(1)4C=2√7

(2)證明見解析

⑶滿足條件的P8的長為4或U-5

【分析】(1)如圖1中，作AHJ.3C于”，根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)求出B，、AH,

再利用勾股定理求出4C即可；

(2)證明-ABP~J9B4即可證明；

(3)分兩種情形分別求解即可解決問題.

(1)

如圖1中，作AHJ_BC于H,

AM

BHC

圖1

在RtAM中，

???/B=60。，AB=4,

.,.BH=^AB=2,AH=CBH=2日

JCH=BC-BH=6-2=4

在RLACw中，AC=>JAH2-^CH2=^(2ΛΛJ2+42=2√7，

(2)

圖2

t:AM//BC,

：.NDAP=NAPB，

YNAPD=NABP=(^,

???_ABP_DPA,

.PA_PB

??一,

DAPA

?'?AP2=BP?AD-

(3)

①如圖3中，當NM)C=90。時，作44LBC于，，連接C￡),

圖3

，四邊形A"C。是矩形,

在Rl43”中，

VAB=4,/B=60。，NΛHB=90°,

.??^BAH=30o,

：.BH=^AB=21AH=2y[3

YBC=6,

?,.CH=4,

Y四邊形4〃CO是矩形，

JAD=CH=4,

?：AP2=BPlAD，

?*?AP2=4BPf

XVAP2=ΛW2+P7∕2=12+(PB-2)2,

/.4PB=12+(PB-2)2,

解得P5=4;

如圖4中，當∕ACD=90。時，作LBC于，，CG_LA。于G,連接CD,

圖4

?/ZACD=90o,ZAGC=90o,

/ADC+/DAC=90。，ZDAC+^ACG=90o,

???^ADC=^ACG,

:…CGA?DGC,

.CGGA

*'DG^CG'

CG?=GA?DG,

Λ12=4T>G,

：?DG=3,AD=Jf

,222

.?PA=BP?ADfPA=AH+PH?PH=BH-BP,

/.7BP=12+(2-BP)2

解得PB="一屈或P3=1"后(舍去)，

22

ll-√57

.?.滿足條件的P8的長為4或

2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、含30。的宜角三角形的性質(zhì)和勾股定理，解

決本題的關(guān)鍵是靈活運用所學的知識解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決

問題.

18.矩形488的邊AB在X軸上，點C、力在第一象限，且AO=3,AB=4,點A的坐標

(2)過點A的直線/與矩形ABC。的一條邊交于點E,如果直線，把矩形ABCZ)分成兩部分圖

形的面積比為1:2,求直線I的解析式；

(3)P是線段8上動點，DP=m,連接依，以P8為直角邊在P8的逆時針方向作等腰直角

三角形PBQ,且尸8=PQ,NBPQ=90°,如圖(2).

①求出點。的坐標(用含，"的式子表示)；②連接。。，當線段。。的長度最短時，求〃，的

值；

【答案】(1)(6,3);

991

(2)y=-x--^y=-x-l；

o4?λ

(3)Q(m+5,7-m),m=?.

【分析】(1)求出OB和BC的值即可求出點C的坐標.

(2)分類討論，當點E在CO上和當點E在BC上時，兩種情況，求出點E坐標，利用

SAAOE=gS矩形ABCD即可求出點E的坐標，再由A、E兩點確定直線表達式?

(3)添加輔助線，構(gòu)造“三垂直”全等，表示MP=BN=4.即可表示點。的坐標；再用

配方法確定當。。最小時，m=?.

(1)

解：由題意知：

08=2+4=6,BC=AD=3,

.?.C(6,3);

(2)

解：①當點E在。。上時，如圖:

yk

[D._

II/Illlll

o\AB

設(shè)：E(",3),

則。E="-2,

由題意得：

SMCE=§S矩形ABCD>

即;OE?AD=gxl2,

”(〃-2)x3=4,

2

14

.*.n=—,

3

.?,E(y,3),

設(shè)直線/的表達式為:y=?lx+?l

3=-k.+h.

貝I」：[311.

0=2?1+b1

I-

.8

",9，

99

.?y=-x——,

-84

②當點E在BC上時,如圖：

1

LD,-----------IC

B

設(shè)：E(6,a),

則3E=4,

由題意得：

StlABE=?S矩形ABCo，

^-ABBE=-×?2

231

-×4a=4

2i

..tz—2,

.?.E(6,2),

設(shè)宜線/的表達式為：y=k2x^b2f

則.尸=6七+偽

[0=2k2+b2

k,=；

4=τ

1

.,.y=-x-1↑,

991

綜上可知直線/的表達式為：y=gx-a或y=1；

(3)

解：

①如圖作PNJ_A8,交AB于點M作QM_LPM垂足為點M,

ΛZ1+Z3=9O,Nl+N2=90,

.?.Z3=Z2,

在AQMP與4PNB中,

NQMP=/PNB

?Z3=Z2,

PQ=PB

QMP=PNB

:.MQ=PN=3,

,DP=m,

:.MP=BN=4—m、

,?Q(∕n-t-5,7-m),

②0Q=J(∕n+5)2+(7-Zny=√2W2-4W+74=小2(利-1丫+72>√72=6√2,

當OQ最小時，加=1.

【點睛】本題主要考查了利用幾何圖形求點的坐標，確定一次函數(shù)表達式，三角形全等轉(zhuǎn)化

線段，二次函數(shù)求最值，轉(zhuǎn)化思想和添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

19.問題的提出：如果點尸是銳角ZVWC內(nèi)一動點，如何確定一個位置，使點P到ZVSC的

三頂點的距離之和Λ4+PB+PC的值為最??？

(1)問題的轉(zhuǎn)化：如圖，把aAPC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到A4PC,連接PV,這樣就把

確定Λ4+P8+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定3尸+火+〃。'的最小值的問題了，請你利用圖

1畫出上述操作的最終圖象的示意圖，并證明：PA+PB+PC=BP+PP,+P'C；

圖1

(2)問題的解決：當點P到銳角AABC的三頂點的距離之和B4+PB+PC的值為最小時，貝IJ

ZAPB的度數(shù)是,ZAPC的度數(shù)是:

(3)問題的延伸：如圖2是有一個銳角為30。的直角三角形，如果斜邊為2,點尸是這個三角

形內(nèi)一動點，請你利用以上方法，求點尸到這個三角形各頂點的距離之和的最小值.

圖2

【答案】(1)畫圖見解析：證明見解析

(2)120°；120°

⑶√7

【分析】(1)問題的轉(zhuǎn)化：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明A4∕>P是等邊三角形，則F4=PQ,可得

結(jié)論；

(2)問題的解決:運用類比的思想,把AAPC繞點A逆時針旋