2023年湖北省部分省級(jí)示范高中高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（教師版含解析）

湖北省局部省級(jí)示范高中高二下學(xué)期期末測(cè)試

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：此題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為

哪一項(xiàng)符合題目要求的.

1.設(shè)全集為R,集合/={x[0<x<2},8={x|xNl},則4r|（。8）=

A.|x|0<x<l}B.{x[0<x<l}C.1x|l<x<2|D.{x[0<x<2}

（答案）B

（解析）

（詳解）分析：由題意首先求得CRB,然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.

詳解：由題意可得：CR6={X|X<1},

結(jié)合交集的定義可得：zn（CM）={o<x<i}.

此題選擇B選項(xiàng).

點(diǎn)睛：此題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

2.假設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足（l+3i）z=l-i（i為虛數(shù)單位），則z所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

（答案）C

（解析）

12

（分析）利用復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算得到2=-1-《「得到答案.

,、1-i（l-i）（l-3i）-2-4i12.

（詳解）（l+3i）z=l-i,故z卞=：Q<=⑺=-丁7,故對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限.

''1+31（1+31）（1-31）1055

應(yīng)選：C.

3.已知函數(shù)/（2'+1）的定義域?yàn)椋?,5）,則函數(shù)/（2x+l）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（1,2）B.（9,33）C.（4,16）D.（3,5）

（答案）C

（解析）

（分析）計(jì)算2，+le（9,33）,依據(jù)抽象函數(shù)定義域得到9<2x+l<33,解得答案.

（詳解）當(dāng)xe（3,5）時(shí)，2、+le（9,33）,故9<2x+l<33,解得4<x<16.

應(yīng)選：C.

4.中國(guó)古代的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱(chēng)"六藝〃.某校國(guó)學(xué)社開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng)，每藝

安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“數(shù)”必須排在第三節(jié)，且“射”和"御"兩門(mén)課

相鄰排課，則“六藝”課程講座排課順序共有（）

A.12種B.24種C.36種D.48種

（答案）C

（解析）

（分析）先排“數(shù)"，然后排"射"和"御”，再排剩下的三門(mén)，由此計(jì)算出正確答案.

（詳解）先排“數(shù)”，然后排"射"和"御”，方法有（1+2）X2=6種，

再排剩下的三門(mén)，方法數(shù)有=6種，

故總的方法數(shù)有6x6=36種.

應(yīng)選：C

5.2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒驚天下”的三星堆遺址向世人展示了其重大考古新發(fā)覺(jué)一一6

個(gè)三星堆文化"祭祀坑”現(xiàn)已出土500余件重要文物.為推測(cè)文物年代，考古學(xué)者通常用碳14測(cè)年法推

算，碳14測(cè)年法是依據(jù)碳14的衰變程度來(lái)計(jì)算出樣品的大概年代的一種測(cè)量方法.2021年，考古專(zhuān)家對(duì)

某次考古的文物樣本上提取的遺存材料進(jìn)行碳14年代測(cè)定，檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的68%,已

知碳14的半衰期（放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間）是5730年，且屬于指數(shù)型衰減.以此推算出該文物

大致年代是（）

（參考數(shù)據(jù)：log”額j1°~-19034.7,log”如68?-34881）

A.公元前1400年到公元前1300年B.公元前1300年到公元前1200年

C.公元前1200年到公元前1100年D.公元前1100年到公元前1000年

（答案）C

（解析）

（分析）設(shè)樣本中碳14初始值為七,衰減率為經(jīng)過(guò)X年后，殘留量為V,可得函數(shù)關(guān)系式

y^k（\-Py,依據(jù)半衰期可構(gòu)造方程求得1-p,由此得到函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)左『炳）'=68%%可求

得x,由此可推斷出年代.

（詳解）設(shè)樣本中碳14初始值為左，衰減率為P,經(jīng)過(guò)x年后，殘留量為丁，則》=左（1—p）*,

???碳14的半衰期是5730年，.?/(1—0/3°=權(quán)，.?.1-0=57炳，—=.57賄『；

由頗可=68%左得：

x=log”崛0.68=log”崛68-log”幅100=-34881-2x(-19034.7)?3188,

2021年之前的3188年大致是公元前1167年，即大致年代為公元前1200年到公元前1100年之間.

應(yīng)選：C.

-1------1一__________

6.在平行四邊形力BCD中，46=3,4。=2,/P=]/民4。=5/D,假設(shè)CP?C0=12,則4。C二

5n3nIn7t

A.—B.—C.—D.一

6432

（答案）C

（解析）

（分析）

由CP=CB+BP=-AD-§AB,C0=8+。0=-/8—利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，先求得

7T

/氏4。=§,利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.

（詳解）如下圖,

平行四邊形N8CO中，AB=3,AD=2,

—1------1—■

AP=—AB^AQ=—AD,

______2___

:.CP=CB+BP=-AD——AB

39

CQ^CD+DQ^^AB-^AD,

因?yàn)闋t?函=12,

所以而.函=(_石_|■通){—而而)

2,'—21■■-24''■一"

=—AB+—4。+—ABAD

323

214

=—x323+—x22+—x3x2xcos/BAD=12,

323

cos/.BAD=-,NBAD=—71,

23

所以乙4￡>C=4一生=，應(yīng)選C.

33

（點(diǎn)睛）此題主要考查向量的兒何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種

方法：（1）平行四邊形法則（平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)分別是兩向量的和與差）；（2）三角形法則（兩箭頭間向

量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.

7.在研究某高中高三年級(jí)學(xué)生的性別與是否喜歡某學(xué)科的關(guān)系時(shí)，總共調(diào)查了N個(gè)學(xué)生

N=100m,〃?eN*,其中男女學(xué)生各半，男生中60%表示喜歡該學(xué)科，其余表示不喜歡；女生中40%表

示喜歡該學(xué)科，其余表示不喜歡.假設(shè)有99.9%把握認(rèn)為性別與是否喜歡該學(xué)科有關(guān)，則可以推測(cè)N的最

小值為（）

附心——幽出——,

（Q+b）（c+d）（Q+c）（b+d）

2

P（K...k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

A.400B.300C.200D.100

（答案）B

（解析）

（分析）依據(jù)題目列出2x2列聯(lián)表，再依據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)計(jì)算K?值，進(jìn)而得到關(guān)于用的關(guān)系式，求解即

可.

（詳解）由題可知，男女各50m人，列聯(lián)表如下:

喜歡不喜歡總計(jì)

男30m20m50m

女20m30m50m

總計(jì)50m50m100m

K?100/72（900m2-400〃72y

4加，

50x50x50x50m4

???有99.9%把握認(rèn)為性別與是否喜歡該學(xué)科有關(guān)，

A4m>10.828,解得加〉2.707,

加eN*，

m>3,

Nmin=300.

應(yīng)選：B

8.過(guò)拋物線(xiàn)=2px（p>0）焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)。交于48兩點(diǎn)，其中|/8|=8,AD=DB>圓

C':x2+y2-^y=0,假設(shè)拋物線(xiàn)C與圓C'交于P,。兩點(diǎn)，且|尸0|=逐，則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為（）

A.2B.3C.4D.5

（答案）B

（解析）

（分析）設(shè)尸（0,0）,0（陽(yáng),〃）,加>0,先求得。（1,2）,因此可得拋物線(xiàn)C的方程為/=4x,設(shè)

4（國(guó),乂）,8（X2,%）,由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得到玉+/=6,進(jìn)而得到點(diǎn)。的橫坐標(biāo).

（詳解）易知圓。'過(guò)原點(diǎn),設(shè)P（O,O）,0（〃z,〃）,〃?〉O,

由|尸0|=石，可得加2+〃2=5,又相2+/=g〃，聯(lián)立可解得m=1,〃=2.

將。（1,2）代入「=2px中，解得。=2,.?.拋物線(xiàn)c的方程為j?=4x,

設(shè)/（西,凹）,8*2，%），則

MM=\AF\+陟|=19+卜+?=須+%+p=玉+9+2

由=8可得再+Z=6.

由1萬(wàn)=麗可知，點(diǎn)。是"8的中點(diǎn)，因此，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為“；"=3.

應(yīng)選：B.

（點(diǎn)睛）結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：假設(shè)是過(guò)拋物線(xiàn)V=2px（p>0）焦點(diǎn)的弦，設(shè)

乂）,8（》2，%），則|/8|=玉+x2+p.

二、選擇題：此題共4小題，每題5分，共20分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，局部選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)列｛4｝中，6=l,q,a,+|=2","eN*,則以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）

A.%=4B.｛%,,｝是等比數(shù)列

1n+l

C.aln-aln_x-2"D.aln_y+a2n-2

（答案）ABC

（解析）

（分析）依據(jù)已知條件推斷出數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別是以2為公比的等比數(shù)列，由此對(duì)選項(xiàng)逐

一分析，從而確定正確選項(xiàng).

（詳解）依題意%=1,-。〃+1=2",〃wN*,

所以％?4=2,貝1」4=2,%+1?%+2=2向，

an+\'an+2_2a2_n

-------------------->---n-+---Z,

an-an+\2%

所以數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別是以2為公比的等比數(shù)列.

az,n”=2x2"-'=27",a￡n2—,1\,=lx2"-'=2"-'.

所以〃4=2?=4,A^B正確.

%〃一&〃T=2〃一2'i=2〃T,C正確.

a2n+出.一1=2"+2'i=3x2"-',D錯(cuò)誤.

應(yīng)選：ABC

10.已知函數(shù)/(x)=sincox-g（0＞0）在區(qū)間［0,句上恰能取到2次最大值，且最多有4個(gè)零點(diǎn)，則

\6

以下說(shuō)法中正確的有（）

A./（x）在（0,7）上恰能取到2次最小值B.。的取值范圍為

C./（x）在（。苗）上肯定有極值D./（x）在（0,上不單調(diào)

（答案）BD

（解析）

（分析）當(dāng)xe［0,句時(shí)，cox-^e一鄉(xiāng)，-g，然后由條件可得。）一工2三，3萬(wàn)一工＜4］，解

L」666626

出。的范圍，然后注意推斷即可.

(詳解)當(dāng)xe[0,乃]時(shí)，(ox——e--,o)7t——

666

由函數(shù)/（x）在區(qū)間［0,句上恰能取到2次最大值可得w-92￥

62

由/（X）最多有4個(gè)零點(diǎn)可得0萬(wàn)一$＜4》,所以可得54啰＜=，故B正確,

636

Q

當(dāng)?=§時(shí)，/（X）在（0,乃）上只能取到1次最小值，故A錯(cuò)誤

,，八萬(wàn)、?71（7171

當(dāng)xe0,公時(shí)，cox--&\--,-a）--\,

\oy0^00o）

當(dāng)＜y=g時(shí)，菅0/（x）無(wú)極值，故C錯(cuò)誤

,，八乃、，7V（7V7t萬(wàn)）

當(dāng)xw0,；時(shí)，G）x--e\—

＜3；6（636）

因?yàn)槎欢?彳一”＞工，所以/（x）在（0,可）上不單調(diào)，故D正確

363362

應(yīng)選：BD

（點(diǎn)睛）方法點(diǎn)睛：在處理正弦型函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常把0X+。當(dāng)成整體處理.

11.已知偶函數(shù)/（x）滿(mǎn)足：/（2+x）=/（2—x）,且當(dāng)0WxW2時(shí)，/（x）=2'—2,則以下說(shuō)法正確的選

項(xiàng)是()

(1V

A.-2WxW0時(shí)，/(x)=--2

B.點(diǎn)(1,0)是道x)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心

C.?r)在區(qū)間一10,10］上有10個(gè)零點(diǎn)

D.對(duì)任意司)2，都有|/(斗)一/(々)|,,2

(答案)AC

(解析)

(分析)由偶函數(shù)的定義得解析式，推斷A,由［0,2］上的解析式推斷B,己知條件得x=2是一條對(duì)稱(chēng)

軸，這樣函數(shù)“X)是周期函數(shù)，周期為4,利用周期性可推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，推斷C,由最值推斷D.

(詳解)因?yàn)?(x)是偶函數(shù)，所以—2WxW0時(shí)，/(x)=/(—幻=2-'一2=(；)-2,A正確；

在［0,2］上，/(》)=2'-2不關(guān)于(L0)對(duì)稱(chēng)，因此(1,0)不是八對(duì)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，B錯(cuò)；

由2、一2=0得x=l，因此在［-2,2］上，〃x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

又/(2+x)=/(2-x),所以x=2是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，

/(4+x)=/(2—(2+x))=/(-x)=/(x),所以/(x)是周期函數(shù)，周期為4,因此“X)在

［-10,-6］,［—6,—2］,［2,6］,［6,10］上各有2個(gè)零點(diǎn),在［-10,10］上共有10個(gè)零點(diǎn)，C正確；

由周期性知/(初3=22—2=2,/(x)min=2°-2=-l,/(x)mx-/(x)min=3>2,D錯(cuò).

應(yīng)選：AC.

(點(diǎn)睛)思路點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性與周期性，解題關(guān)鍵是由兩個(gè)對(duì)稱(chēng)性得出函數(shù)具有周

期性，因此只要在一個(gè)周期內(nèi)確定函數(shù)的零點(diǎn)，從而可得函數(shù)的性質(zhì)可得整個(gè)定義域上函數(shù)的性質(zhì).

12.截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面

體.如圖，將棱長(zhǎng)為3的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到全部棱長(zhǎng)均為1的截角四面

體，則()

A.該截角四面體一共有12條棱

B.該截角四面體一共有8個(gè)面

C.該截角四面體的外表積為7百

D.該截角四面體的體積為羽2

12

（答案）BCD

（解析）

（分析）確定截角四面體是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形構(gòu)成，然后分別求解四

面體的外表積，體積即可推斷選項(xiàng).

（詳解）對(duì)于AB,可知截角四面體是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正六邊形構(gòu)成，故該截

角四面體一共有8個(gè)面，18條棱，故A錯(cuò)誤，B正確；

對(duì)于C,邊長(zhǎng)為1的正三角形的面積S=』xlxlx@=YI,邊長(zhǎng)為1的正六邊形的面積

224

S=6xLxlxlxY3=2叵，故該截角四面體的外表積為S=4x且+4xX3=7百，故C正確；

22242

對(duì)于D,棱長(zhǎng)為1的正四面體的高〃=走］=Y5,利用等體積法可得該截角四面體的體積為

O32J3

jz=lxlx3x3x—X3x--4xlxlxlxlx-x—=故D正確.

3223322312

應(yīng)選：BCD

（點(diǎn)睛）關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查多面體的外表積及體積求法，解題的關(guān)鍵是審清題意，清楚截角四面體的

定義及構(gòu)成，考查學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于較難題.

三、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.

13.某圓柱兩個(gè)底面面積之和等于其側(cè)面面積，則該圓柱底面半徑與高的比值為

（答案）1

（解析）

（分析）設(shè)圓柱底面半徑為廣，高為/?,求出底面積的側(cè)面積，即可得結(jié)論.

（詳解）設(shè)圓柱底面半徑為，高為〃，

由題意2萬(wàn)尸2=2%泌，所以r=〃，即2=1.

h

故答案為：1.

14.假設(shè)的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi).（用數(shù)字作

答）

…35

（答案）—

8

（解析）

（分析）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求出〃，再寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，由通項(xiàng)中x的指數(shù)為0即可得解.

（詳解）的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)知：展開(kāi)式共有9

項(xiàng)，則〃=8,

（x-；）8展開(kāi)式的通項(xiàng)為=C；x8-r-（-=（-^）rqx8-2r（rer<8）,

2x2

展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)，必有8—2〃=0,即〃=4,

所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為4=（—；）4以=焉,70=費(fèi).

35

故答案為：—

8

15.已知定義域?yàn)槲业暮瘮?shù)/（x）恒滿(mǎn)足/（2+x）=/（2—x）=/（x）,且/（x）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，寫(xiě)

出一個(gè)滿(mǎn)足條件的函數(shù)解析式/（x）=.

（答案）cos7x（答案不唯一）

（解析）

（分析）依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、周期性、單調(diào)性寫(xiě)出符合題意的/（X）.

（詳解）定義域?yàn)镽的函數(shù)/（X）恒滿(mǎn)足/（2+x）=/（2—x）=/（x）,

所以/（x）的對(duì)稱(chēng)軸為x=l和x=2,且/（x）是以2為周期的周期函數(shù)，

結(jié)合/（x）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減，可得/（x）=cos;rx符合題意.

故答案為：C0S7TX（答案不唯一）

16.在對(duì)外表為曲面的工件進(jìn)行磨削時(shí)應(yīng)中選用尺寸適當(dāng)?shù)膱A形砂輪，如果砂輪半徑太大，則磨削時(shí)工件

與砂輪接觸處附近的那局部會(huì)磨去太多.現(xiàn)有一工件，其截面內(nèi)外表是一長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為g的橢

圓，在對(duì)其內(nèi)外表進(jìn)行拋光時(shí)，所選用砂輪的半徑最大為.

…3

（答案）一1.5

2

（解析）

22

（分析）依據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)和離心率得到橢圓方程為亍+q=1，設(shè)圓方程為（》-2+-）2+/=/，依據(jù)橢圓

的圓相切得到A=0,計(jì)算得到答案.

C]

（詳解）2。=4,。=2,離心率e=—,故c=l,h—V3?

a2

22

不妨設(shè)橢圓方程為：土+匕=1,

43

設(shè)圓半徑為廠，橢圓與圓相切于左頂點(diǎn)或者右頂點(diǎn)時(shí)7有最大值，

圓方程為：（工一2+尸）”+儼=/2,聯(lián)立方程：J43,

（x-2+r）2-by2-r2

消去V得到工犬+2（尸一2）x+7-4/=0,A=4（尸一2『一7+4/二（2尸一3『二0,

3

解得r=一.

2

3

故答案為：一.

2

四、解答題：此題共6小題，共70分.解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.在①a=&sin/-acosC，②（2a-6）sin4+（2b-a）sin6=2csinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，

補(bǔ)充在以下問(wèn)題中，并解答.

己知口/BC的角劉聞。對(duì)邊分別為a,8c,c=JJ,而且.

⑴求“；

⑴）求口Z6C面積的最大值.

（答案）⑴工；（11）逋

34

（解析）

(分析)⑴選①，先利用正弦定理化簡(jiǎn)可得sinA=y/3smCsinA-sinAcosC)進(jìn)而得到

43sinC-cosC=\，結(jié)合C的范圍即可求得C=g；

選②，先利用正弦定理可得(2“-b)a+(26-a)b=2c2,再利用余弦定理可得cosC=,，結(jié)合C的范圍即

2

可求得。=一；

3

(II)由余弦定理可得5=3,再利用根本不等式可得Qb43,進(jìn)而求得△/6C面積的最大值.

(詳解)解：⑴選①，,.?。=-acosc,

sinA=yfisinCsinA-sinAcosC，

Vsin^^O,

**?>/3sinC-cosC=1，即位"(。一?卜于

又0VCV7T,

4《-一冷故°弋吟即c=「

選②，?:Qa-b)siM+(2b-a)siri5=2csmC,

122

(2Q-b)a+(2b-a)b=2c,即a^b-c=abf

a2+b2-c2]_

cosC-

2ab2

V0<C<n,

.\C=-;

3

71

(n)由⑴可知，。=一，

3

在△48C中，由余弦定理得/+〃一2而cosC=3，即°2+/-仍=3,

a2+b2=3+ab>2ab

：.ab<3,當(dāng)且僅當(dāng)那個(gè)時(shí)取等號(hào)，

；?=-^sinC<-x3x—=—,即/\ABC面積的最大值為—.

△“BC22244

18.已知等差數(shù)列｛4｝和等比數(shù)列｛〃,｝滿(mǎn)足，6=2,4=1,。2=4，%="一2.

⑴求｛%｝和｛4｝的通項(xiàng)公式：

⑵假設(shè)數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足g=a?bn,求｛q,｝的前"項(xiàng)之和S”.

（答案）⑴4=2"，〃=2"T

⑵S〃=（〃-1）X2"M+2

（解析）

（分析）（1）依據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式得到方程組，解得答案.

（2）計(jì)算cn=n-2",利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.

【小問(wèn)1詳解）

生=4,即2+d=—h4—2,即2+Id=/—2,解得q=2,d=2,

故=2+（〃_1）X2=2〃，b?=lx2n-'=2"-'.

（小問(wèn)2詳解）

cn=anbn=2〃x2"-i=〃.2",

S,=lx2+2x2?+…+〃x2”,則2s“=1X2?+2X23+…+〃X2"M,

1_7W

n+1,,+l,,+1

兩式相減得至|J：—S“=1X2+22+―+2"—〃X2"+I=2―--—Wx2=2-2-?x2,

,1-2

故S,,=（〃_l）x2"i+2.

19.為做好精準(zhǔn)扶貧工作，農(nóng)科所經(jīng)實(shí)地考察，發(fā)覺(jué)某貧困村的土地合適種植藥材A,村民可以通過(guò)種植

藥材A增加收入，到達(dá)脫貧標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：藥材A的收購(gòu)價(jià)格處于上漲趨

勢(shì)，最近五年的價(jià)格如下表：

年份20232023202320232023

年份編號(hào)X12345

單價(jià)V（元/公斤）1820232529

藥材A的畝產(chǎn)量在2023年的頻率分布直方圖如下:

（1）假設(shè)藥材A的單價(jià)V（單位：元/公斤）與年份編號(hào)X間具有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出V關(guān)于X的回歸直線(xiàn)方

程，并估量2023年藥材A的單價(jià)；

（2）利用上述頻率分布直方圖估量藥材A的平均畝產(chǎn)量（同組數(shù)據(jù)以該數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（3）稱(chēng)畝產(chǎn)量不高于390公斤的田地為“待改進(jìn)田”，將頻率視為概率，現(xiàn)農(nóng)科所研究員從這個(gè)村的地中隨

機(jī)選取3塊面積為1畝的田地進(jìn)行試驗(yàn)，記其中“待改進(jìn)田”的個(gè)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.

工工』,一"郎

參考公式：回歸直線(xiàn)方程夕=哀+4,其中右=號(hào)---------，a^y-bx.

之X：-tix2

/=!

（答案）（1）/=2.7X+14.9,單價(jià)為31.1元/公斤；（2）401公斤；（3）0.9.

（解析）

（分析）（1）先求出年號(hào)x,單價(jià)y的平均數(shù)，利用最小二乘法得回歸直線(xiàn)方程，再由此預(yù)測(cè)得解；

（2）求出頻率分布直方圖中各組的頻率，再求出它與所對(duì)各組區(qū)間中點(diǎn)值的積而得解；

（3）隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的期望公式求解即得.

【詳解）（1）亍=3,歹=23,

5

_1-18+2-20+3-23+4-25+5-29-5-3-23

三，「2:12+22+32+42+52-5X32=.'

—5x

f=l

&=工_A二=23-2.7?3=14.9，故回歸直線(xiàn)方程為/=2.7x+14.9,

當(dāng)x=6時(shí)，力=31.1,從而2023年藥材A的單價(jià)估量為31.1元/公斤；

（2）組距為20,自左向右各組的頻率依次為0.1,0.2,0.35,0.25,0.1,

則A藥材的平均畝產(chǎn)量為360x0.1+380x0.2+400x0.35+420x0.25+440x0.1=401公斤:

（3）稱(chēng)畝產(chǎn)量不高于390公斤的頻率為0.3,由此估量稱(chēng)畝產(chǎn)量不高于390公斤的概率為0.3,

因3塊地中，任取一塊地有“待改進(jìn)田”和非"待改進(jìn)田”兩個(gè)不同結(jié)果，則隨機(jī)變量萬(wàn)口8(3,0.3),

故數(shù)學(xué)期望E(X)=3x0.3=0.9.

20.如圖，口48C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面ZC0E_L平面N8C,且NC=QC=DE=4E,

ZACD=60°,DF//BC,DF=\.

(1)求證："7/平面/8C；

(2)求平面48C與平面BE尸所成銳二面角的余弦值.

(答案)(1)證明見(jiàn)解析；(2)恒

13

(解析)

(分析)(1)依據(jù)四邊形4CDE是菱形，得到/C〃DE,證得DE〃平面48C,再由DR//8C,證得

〃平面/8C,進(jìn)而得到平面。口〃平面Z8C,即可證得跖〃平面NBC；

(2)取4C中點(diǎn)。，連接08,OD,分別以08,OC,CZ)所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系，求

得平面8E尸和Z8C的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

(詳解)(1)因?yàn)?C=DC=DE=ZE,所以四邊形4CDE是菱形，

所以AC//DE,且。平面/8C,所以。E〃平面/8C.

又因?yàn)镈FHBC,。尸(2平面48C,所以DF〃平面4BC,

因?yàn)?。尸n〃E=0，且平面?！晔?，所以平面。及7/平面/8C,

又因?yàn)镋Fu平面。EE,所以所〃平面/8C.

(2)取/C中點(diǎn)O,連接08,OD,分別以08,OC,CO所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間坐標(biāo)系，如

下圖，

則6(Ji,0,0),r>(0,0,J5),C(0,l,0)，可得而=(6,-1,0)，

由而可得尸g'l'G

又由瓦=以=(0,_2,0),可得E(0,-2,G),

所以BE=(-百,-2#),EF=^-,-,0,

k22J

_府方=0卜6-2尸怎=0

設(shè)平面5EF的法向量為〃=(x,y,z),則〈——一，可得《、萬(wàn)3

[BE-n-0—xH——y=0

22

百,-咚,

取x=Ji，則丁=一1，所以〃=

又由平面N8C的一個(gè)法向量為碗=(0,0,1),

出

所以cos<in,n>=——=----

1”13

1xJ—

V3

所以平面ABC與平面BEF所成銳二面角的余弦值為史

13

(點(diǎn)睛)利用空間向量計(jì)算二面角的常用方法：

1、法向量法：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)法向量的夾角得到二面角

的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形推斷所求角的大??；

2、方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的

夾角的大小就是二面角的大小.

21.已知函知/卜)=加上(8+1)一》2一4》一2.

(1)假設(shè)加=1,試求曲線(xiàn)歹=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程；

⑵商量/(x)的單調(diào)性.

(答案)(l)y=_2x-l

(2)答案見(jiàn)解析

(解析)

(分析)(1)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算/'(0)=-2,/(0)=-1,得到切線(xiàn)方程.

⑵求導(dǎo)得到/'(x)=(x+2乂〃*一2),考慮用40,0</w<2e2.機(jī)=2e?,用>2e?四種情況，依據(jù)

導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性.

(小問(wèn)1詳解)

/(x)=ev(x+l)-x2-4x-2,/,(x)=er(x+2)-2x-4,/(0)=2-4=-2,

/(0)=-1,故切線(xiàn)方程為：y=-2x-1.

(小問(wèn)2詳解)

/(x)=me'(x+l)-x2-4x-2，故/'(x)=me*(x+2)_2x_4=(x+2)(加e*_2),

當(dāng)機(jī)<0時(shí)，me*-2c0，當(dāng)x<-2時(shí)，/'(x)>0,當(dāng)x>-2時(shí)，/'(x)<0,故函數(shù)在(一*-2)上單

調(diào)遞增，在(-2,+8)上單調(diào)遞減；

2

當(dāng)/??>0時(shí)，mQx—2=0得到x=In一,

m

當(dāng)加>2e?時(shí)，1。工〈一2,當(dāng)XG(-00111工］和XE(-2,+OO)時(shí)，/'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)xw

m\mJ

r21

In-,-2，時(shí)，/(力<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

\m)

2

當(dāng)加=2e?時(shí)，ln-=-2,/'(x)NO恒成立，函數(shù)在R單調(diào)遞增；

m

當(dāng)機(jī)<2e?時(shí)，ln2>-2,當(dāng)xe(-oo,-2)和xe(ln2,+oo］時(shí)，/,(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)xw

mymJ

(2、

-2,In—時(shí)，/”(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

綜上所述：

當(dāng)機(jī)40時(shí)，函數(shù)在（-8,一2）上單調(diào)遞增，在（-2,+8）上單調(diào)遞減；

當(dāng)0〈加＜2e?時(shí)，函數(shù)在（一叫一2）和I片\,+8）上單調(diào)遞增，在卜2,In：）上單調(diào)遞減；