數(shù)列與平面向量練習題

數(shù)列局部：1.等比數(shù)列中，，=4，函數(shù)，那么〔〕A．B.C.D.2.〔〕A.B.C.2D.不存在3、在等比數(shù)列中，，公比.假設(shè)，那么m=〔〕〔A〕9〔B〕10〔C〕11〔D〕124.數(shù)列的首項，其前項的和為，且，那么——〔A〕0〔B〕〔C〕1〔D〕25、是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，那么數(shù)列的前5項和為〔〕〔A〕或5〔B〕或5〔C〕〔D〕6、設(shè)是任意等比數(shù)列，它的前項和，前項和與前項和分別為，那么以下等式中恒成立的是〔〕A、 B、C、 D、7、如圖，在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去，設(shè)為前n個圓的面積之和，那么=〔〕A．2B.C.4D.68．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,假設(shè),,那么當取最小值時,n=〔〕A．6 B．7 C．8 D．99、等比數(shù)列滿足，且，那么當時，()A.B.C.D.10、設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為，假設(shè)=3，那么=〔〕A.2B.C.D.311、等比數(shù)列的前n項和為，且4，2，成等差數(shù)列。假設(shè)=1，那么=()A.7B.8C12、為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項和，那么使得到達最大值的是〔〕A.21B.20C.19D.1813、數(shù)列的通項，其前項和為，那么為〔〕A．B．C．D．14、數(shù)列滿足：那么________；=_________.15、等差數(shù)列{}前n項和為。+-=0，=38,那么m=_______16、設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,假設(shè),那么.17、將正⊿ABC分割成〔≥2，n∈N〕個全等的小正三角形〔圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形〕，在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC的三邊及平行于某邊的任一直線上的數(shù)〔當數(shù)的個數(shù)不少于3時〕都分別依次成等差數(shù)列，假設(shè)頂點A,B,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，那么有f(2)=2，f(3)=，…，f(n)=_______________.18、設(shè)，，，，那么數(shù)列的通項公式=．19、設(shè)，將的最小值記為，那么其中=__________________.20、數(shù)列滿足那么的最小值為__________.21．假設(shè)數(shù)列滿足：對任意的，只有有限個正整數(shù)使得成立，記這樣的的個數(shù)為，那么得到一個新數(shù)列．例如，假設(shè)數(shù)列是，那么數(shù)列是．對任意的，，那么，．解答題：1、在數(shù)列中，，且對任意.，，成等差數(shù)列，其公差為?！并瘛臣僭O(shè)=，證明，，成等比數(shù)列〔〕〔Ⅱ〕假設(shè)對任意，，，成等比數(shù)列，其公比為。證明：〔i〕是等差數(shù)列。(ii)對任意,,有2、數(shù)列中，是函數(shù)的極小值點〔Ⅰ〕當a=0時，求通項；〔Ⅱ〕是否存在a，使數(shù)列是等比數(shù)列？假設(shè)存在，求a的取值范圍；假設(shè)不存在，請說明理由。3、設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列?！?〕求數(shù)列的通項公式〔用表示〕；〔2〕設(shè)為實數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。4、在數(shù)列中，〔I〕設(shè)，求數(shù)列的通項公式〔II〕求數(shù)列的前項和5、設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項和，滿足?！?〕求數(shù)列的通項公式及前項和；〔2〕試求所有使得為數(shù)列中的項的正整數(shù)的值。6、數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個屬于.〔Ⅰ〕分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；〔Ⅱ〕證明：，且；〔Ⅲ〕證明：當時，成等比數(shù)列.7、對于正整數(shù)≥2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中〔和可以相等〕；對于隨機選取的〔和可以相等〕，記為關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根的概率?！?〕求和；〔2〕求證：對任意正整數(shù)≥2，有.8、等比數(shù)列{}的前n項和為，對任意的，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.〔1〕求r的值；〔11〕當b=2時，記證明：對任意的，不等式成立。9、曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為．〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕證明：.10、首項為正數(shù)的數(shù)列滿足〔I〕證明：假設(shè)為奇數(shù)，那么對一切都是奇數(shù)；〔II〕假設(shè)對一切都有，求的取值范圍.11、各項均為正數(shù)的數(shù)列，，且對滿足的正整數(shù)都有〔1〕當時，求通項〔2〕證明：對任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)，都有12、數(shù)列的前n項和〔n為正整數(shù)〕?！并瘛沉?，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ〕令，試比擬與的大小，并予以證明。13、數(shù)列滿足，.猜測數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；〔Ⅱ)證明：。14、等差數(shù)列{}的公差為d〔d0〕，等比數(shù)列{}的公比為q〔q>1〕。設(shè)=+…..+,=-+…..+(-1,n假設(shè)==1，d=2，q=3，求的值；假設(shè)=1，證明〔1-q〕-〔1+q〕=，n；(Ⅲ)假設(shè)正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個不同的排列，，證明。15、設(shè)數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記?！睮〕求數(shù)列的通項公式；〔II〕記，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有；〔III〕設(shè)數(shù)列的前項和為。正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。16、是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。假設(shè)，是否存在，有說明理由；找出所有數(shù)列和，使對一切,,并說明理由；假設(shè)試確定所有的，使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項，請證明。17、設(shè)個不全相等的正數(shù)依次圍成一個圓圈．〔Ⅰ〕假設(shè)，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項和滿足：，求通項；〔Ⅱ〕假設(shè)每個數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項，求證：；平面向量局部：1、平面上O,A,B三點不共線，設(shè)，那么△OAB的面積等于〔〕(A)(B)(C)(D)2、向量a，b滿足，那么〔〕A.0B.C.4D.83、設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，那么〔〕〔A〕8〔B〕4〔C〕2〔D〕14、定義平面向量之間的一種運算“”如下，對任意的，，令，下面說法錯誤的選項是〔〕A.假設(shè)與共線，那么B.C.對任意的，有D.5、在中，=90°AC=4，那么等于〔〕A、-16B、-8C、8D、166．和點M滿足.假設(shè)存在實數(shù)m使得成立，那么m=()A．2B．3C．4D．57、平面向量滿足，且與的夾角為120°，那么的取值范圍是__________________.8.向量，滿足，，與的夾角為60°，那么9、在中，,,,那么.10.假設(shè)向量=〔1,1,x〕,=(1,2,1),=(1,1,1),滿足條件，那么=.11、設(shè)向量，滿足：，，．以，，的模為邊長構(gòu)成三角形，那么它的邊與半徑為的圓的公共點個數(shù)最多為()wA．B.4C． 12、向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么()A．且c與d同向B．且c與d反向C．且c與d同向D．且c與d反向13、設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，那么〔〕A.B.C.D.14、設(shè)、、是單位向量，且·＝0，那么的最小值為 ()A. B. C.D.15、是兩個向量集合，那么() A．｛〔1，1〕｝B.｛〔-1，1〕｝C.｛〔1，0〕｝D.｛〔0，1〕｝16、向量，那么() A.B.C.D.17、平面向量a與b的夾角為，，那么()A.B.C.4D.218、O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，那么點O，N，P依次是的()A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心C.外心重心垂心 D.外心重心內(nèi)心19、，那么向量與向量的夾角是〔〕A． B． C． D．20、函數(shù)的圖象按向量平移到,的函數(shù)解析式為當為奇函數(shù)時，向量可以等于() 21、假設(shè)平面向量，滿足，平行于軸，，那么22、向量和向量的夾角為，，那么向量和向量的數(shù)量積=.23、給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為.如下圖，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動.假設(shè)其中,那么的最大值是________.24、向量，，，假設(shè)∥，那么=．解答題：1、在平面直角坐標系xOy中，點A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；設(shè)實數(shù)t滿足()·=0，求t的值。2、設(shè)向量〔1〕假設(shè)與垂直，求的值；〔2〕求的最大值;〔3〕假設(shè)，求證：∥.3、向量與互相垂直，其中．〔1〕求和的值；〔2〕假設(shè)，求的值．4、在，，求角A，B，C的大小.5、△頂點的直角坐標分別為.(1〕假設(shè)，求sin∠的值;〔2〕假設(shè)∠是鈍角，求的取值范圍.圖4圖46、如圖，點和單位圓上半局部上的動點．⑴假設(shè)，求向量；⑵求的最大值．參考答案數(shù)列局部：1.C2.B3.C4.B5.C6.D7.C8.A9.C10.B11.C12.B13.A14.1,015.1016.117.18.19.20.21.2，解答題：1、〔Ⅰ〕證明：由題設(shè)，可得。所以==2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比數(shù)列。〔Ⅱ〕證法一：〔i〕證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得當≠1時，可知≠1，k，從而所以是等差數(shù)列，公差為1。〔Ⅱ〕證明：，，可得，從而=1.由〔Ⅰ〕有所以因此，以下分兩種情況進行討論：當n為偶數(shù)時，設(shè)n=2m()假設(shè)m=1,那么.假設(shè)m≥2，那么+所以(2)當n為奇數(shù)時，設(shè)n=2m+1〔〕所以從而···綜合〔1〕〔2〕可知，對任意,,有證法二：〔i〕證明：由題設(shè)，可得所以由可知?？傻?，所以是等差數(shù)列，公差為1?！瞚i〕證明：因為所以。所以，從而，。于是，由〔i〕可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項公式可得=，故。從而。所以，由，可得。于是，由〔i〕可知以下同證法一。2、3、〔1〕由題意知：，，化簡，得：，當時，，適合情形。故所求〔2〕〔方法一〕，恒成立。又，，故，即的最大值為。〔方法二〕由及，得，。于是，對滿足題設(shè)的，，有。所以的最大值。另一方面，任取實數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，那么符合條件，且。于是，只要，即當時，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。4、〔I〕由有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式:()〔II〕由〔I〕知,=而,又是一個典型的錯位相減法模型，易得=5、〔1〕設(shè)公差為，那么，由性質(zhì)得，因為，所以，即，又由得，解得,(2)〔方法一〕=,設(shè)，那么=,所以為8的約數(shù)〔方法二〕因為為數(shù)列中的項，故為整數(shù)，又由〔1〕知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有。6、〔Ⅰ〕由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P.由于都屬于數(shù)集，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.〔Ⅱ〕∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個屬于A，由于，∴，故.從而，∴.∵，∴，故.由A具有性質(zhì)P可知.又∵，∴，從而，∴.〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，當時，有，即，∵，∴，∴，由A具有性質(zhì)P可知.，得，且，∴，∴，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列。7、8、解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數(shù)列,所以,公比為,〔2〕當b=2時，,那么,所以下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立.當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立.假設(shè)當時不等式成立,即成立.那么當時,左邊=所以當時,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.9、解：〔1〕設(shè)直線：，聯(lián)立得，那么，∴〔舍去〕，即，∴〔2〕證明：∵∴由于，可令函數(shù)，那么，令，得，給定區(qū)間，那么有，那么函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又，那么有，即.10、解：〔I〕是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，那么由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。根據(jù)數(shù)學歸納法，對任何，都是奇數(shù)。〔II〕〔方法一〕由知，當且僅當或。另一方面，假設(shè)那么；假設(shè)，那么根據(jù)數(shù)學歸納法，綜合所述，對一切都有的充要條件是或?！卜椒ǘ秤傻糜谑腔?。因為所以所有的均大于0，因此與同號。根據(jù)數(shù)學歸納法，，與同號。因此，對一切都有的充要條件是或。11、解：〔1〕由得將代入化簡得所以故數(shù)列為等比數(shù)列，從而即可驗證，滿足題設(shè)條件.(2)由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為那么考察函數(shù),那么在定義域上有故對，恒成立.又,注意到,解上式得取,即有.12、解〔I〕在中，令n=1，可得，即當時，，..又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.于是.(II)由〔I〕得，所以由①-②得于是確定的大小關(guān)系等價于比擬的大小由可猜測當證明如下：證法1：〔1〕當n=3時，由上驗算顯示成立。〔2〕假設(shè)時所以當時猜測也成立綜合〔1〕〔2〕可知，對一切的正整數(shù)，都有證法2：當時綜上所述，當，當時13、證明〔1〕由由猜測：數(shù)列是遞減數(shù)列下面用數(shù)學歸納法證明：〔1〕當n=1時，已證命題成立〔2〕假設(shè)當n=k時命題成立，即易知，那么=即也就是說，當n=k+1時命題也成立，結(jié)合〔1〕和〔2〕知，命題成立〔2〕當n=1時，，結(jié)論成立當時，易知14、〔Ⅰ〕解：由題設(shè)，可得所以，〔Ⅱ〕證明：由題設(shè)可得那么①②式減去②式，得式加上②式，得③eq\o\ac(○,3)式兩邊同乘q，得所以，(Ⅲ)證明：因為所以假設(shè)，取i=n假設(shè)，取i滿足且由〔1〕,(2)及題設(shè)知，且當時，得即，…，又所以因此當同理可得，因此綜上，15、解：〔Ⅰ〕當時，又數(shù)列成等比數(shù)列，其首項，公比是……..3分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知=又當當〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知一方面，恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時，設(shè)那么>對一切大于1的奇數(shù)n恒成立只對滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。另一方面，當時，對一切的正整數(shù)n都有事實上，對任意的正整數(shù)k，有當n為偶數(shù)時，設(shè)那么<當n為奇數(shù)時，設(shè)那么<對一切的正整數(shù)n，都有綜上所述，正實數(shù)的最小值為4………….14分16、[解法一]〔1〕由，得，．．．．2分整理后，可得，、，為整數(shù)，不存在、，使等式成立。．．．5分〔2〕假設(shè)，即，〔*〕〔ⅰ〕假設(shè)那么。當{}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。．．．7分〔ⅱ〕假設(shè)，〔*〕式等號左邊取極限得，〔*〕式等號右邊的極限只有當時，才能等于1。此時等號左邊是常數(shù)，，矛盾。綜上所述，只有當{}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。．．．10分【解法二】設(shè)那么假設(shè)d=0，那么假設(shè)〔常數(shù)〕即，那么d=0，矛盾綜上所述，有，10分〔3〕設(shè).，.13分取15分由二項展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得〔4-1〕2s+2=4M1+1,故當且僅當p=3s,sN時，命題成立.說明：第〔3〕題假設(shè)學生從以下角度解題，可分別得局部分〔即分步得分〕假設(shè)p為偶數(shù)，那么am+1+am+2+……+am+p為偶數(shù)，但3k為奇數(shù)故此等式不成立，所以，p一定為奇數(shù)。當p=1時，那么am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=當ｋ為偶數(shù)時，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立1分當p=3時，那么am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,也即3〔4m+9〕=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已證可知，當k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時，存在m,4m+9=3k成立2分當p=5時，那么am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk也即5〔4m+13〕=3k,而3k不是5的倍數(shù)，所以，當p=5時，所要求的m不存在故不是所有奇數(shù)都成立.2分17、解：〔I〕因是公比為d的等比數(shù)列，從而由，故