廣東省汕尾市2022-2023學(xué)年高二年級下冊期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷

汕尾市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)

本試題共4頁，考試時(shí)間120分鐘，總分150分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

1.在等差數(shù)列｛。“｝中，4+4=20,a7=12,則%=（）

A.4B.5C.6D.8

2.已知函數(shù)/（X）=X3+2X,XGR,則曲線y=/（x）在點(diǎn)（1,./■（1））處的切線方程為（）

A.5x-y+2=0B.5x-y-2=0C.x-5y+2=0D.x-5y-2=0

3.5個(gè)人分4張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，則不同分法的種數(shù)為（）

A.5B.10C.60D.120

4.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，一個(gè)瓶子的制造成本是0.8兀/分，其中廣（單位：cm）是

瓶子的半徑.已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm,

則使得每瓶飲料的利潤最大時(shí)的瓶子的半徑為（）

9

A.2cmB.—cmC.5cmD.6cm

2

5.直線3x+2y—l=0的一個(gè)方向向量是（）

A.（2,-3）B.（2,3）C.（-3,2）D.（3,2）

6.（l+2x）7的展開式中第3項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)分別為（）

A.84,21B.21,84C.35，280D.280,35

7.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯同一份密碼，已知甲、乙能破譯密碼的概率分別為,，則密碼被成功破譯的

34

概率為（）

1151

A.—B.-C.—D.一

123122

8.已知定義在（0段）上的函數(shù)/（x）,/'（X）是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有〃x）＜/'（x）.tanx成立，則（）

A.后停）＞0低B./（1）＜2/（訃ini

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知向量a=(l,—2),8=(1,3),則下列說法正確的是()

A.卜+。|=6

B.向量。與匕的夾角為百

4

(/F/7\

C.若6=上，—上9，則e是與。垂直的單位向量

(55

D.向量a在向量5上的投影向量為(一;,一||

10.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在5()?350kW-h之間，進(jìn)行

適當(dāng)分組后(每組為左閉右開的區(qū)間)，畫出頻率分布直方圖如圖所示，則()

A.x=0.0044

B.被調(diào)查的100戶居民用戶的月平均用電量估計(jì)為200kW?h

C.在被調(diào)查的用戶中，用電量落在區(qū)間[1()(),250)內(nèi)的戶數(shù)為70

D.被調(diào)查的100戶居民用戶的月用電量數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)估計(jì)為200

LI

11.已知函數(shù)/(%)=?,則下列說法正確的是()

A./(x)有極小值,

B./(6的單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,0)_(1,”)

C./(力有唯一零點(diǎn)x=0

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,：)

D.若關(guān)于x的方程/(x)=a有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

12.已知數(shù)列｛a“｝滿足a“+]+(-1)，，-'?a”-=3n-4(九.2,且〃eN*),則下列說法正確的是()

A.電+。4=5，且。3-。［=2

B.若數(shù)列｛4｝的前16項(xiàng)和為540,則q=6

C.數(shù)列｛《,｝的前4M左eN*）項(xiàng)中的所有偶數(shù)項(xiàng)之和為必2-k

D.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，+2--------------+4

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知復(fù)數(shù)z=l—i是關(guān)于x的方程2X2+PX+4=0（〃MGR）的一個(gè)根，則p+q=.

14.某中學(xué)共有學(xué)生600人，其中男生400人，女生200人.為了獲得該校全體學(xué)生的身高信息，采用男、

女按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標(biāo)值（單位：cm）,經(jīng)計(jì)算得到男生樣本的

均值為170,方差為18,女生樣本的均值為161,方差為30.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該校全體學(xué)生身高的均

值為:估計(jì)該校全體學(xué)生身高的方差為.

15.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，側(cè)棱A4,=8.若側(cè)面M與8水平放置時(shí)，水面恰好過AC,BC,

AG，5C的中點(diǎn)，則當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時(shí)，水面的高度為

16.如圖，在"Be中，點(diǎn)。在線段AB上，且AD=！A5,E是CD的中點(diǎn)，延長AE交于點(diǎn)H,

3

點(diǎn)P為直線A”上一動點(diǎn)（不含點(diǎn)A）,且AP=4A3+〃AC（2,/ZGR）.若AB=4,且2AC=〃BC,

則△CA"的面積的最大值為

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）

2022年4月16日，3名中國宇航員在太空歷經(jīng)大約半年時(shí)間安全返回地球，返回之后3名宇航員與2名航

天科學(xué)家從左到右排成一排合影留念.求：

（1）3名宇航員互不相鄰的概率；

（2）2名航天科學(xué)家之間至少有2名宇航員的概率.

18.（12分）

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinB-J50cosA=0.

（1）求4；

(2)若a=2,且的面積為3,求力+C.

19.(12分)

如圖，正方形ABCD的邊長為1,取正方形A5CO各邊的中點(diǎn)E,F,G,H,作第2個(gè)正方形EPG”，

然后再取正方形石尸G”各邊的中點(diǎn)/,J,K,L,作第3個(gè)正方形〃KL,以此方法一直繼續(xù)下去.

(1)求從正方形A8CD開始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和;

(2)假設(shè)第〃(neN")個(gè)正方形的面積為％,求數(shù)列｛〃9,｝的前”項(xiàng)和7；.

20.(12分)

如圖，在四棱雉中，底面A8C0是正方形，PO_L底面ABC。，PD=CD,E是PC的中點(diǎn),

作EFLPB交PB于點(diǎn)F.

(1)證明：R4〃平面BOE；

(2)證明：PB_L平面DE產(chǎn)；

(3)求平面PBC與平面PBO的夾角的大小.

21.(12分)

己知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(diǎn)卜,26)(a>0).

(1)求C的方程；

(2)若斜率為6的直線過C的焦點(diǎn)，且與C交于A,B兩點(diǎn)，求線段AB的長度.

22.（12分）

某中學(xué)科技創(chuàng)新教研組為了研制飛機(jī)模型的自動著陸系統(tǒng)，技術(shù)人員需要分析飛機(jī)模型的降落曲線.如圖，

一架水平飛行的飛機(jī)模型著陸點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)0.已知飛機(jī)模型開始降落時(shí)的飛行高度為10m,水平飛行速

度為lm/s,且在整個(gè)降落過程中水平速度保持不變.出于保持機(jī)身結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的考慮，飛機(jī)豎直方向的加速

度的絕對值不得超過日g（此處galOm/s2是重力加速度）.若飛機(jī)模型在與著陸點(diǎn)的水平距離是x°m時(shí)

開始下降，飛機(jī)模型的降落曲線是某三次多項(xiàng)式函數(shù)/（x）=o?+加2+u+d（ahc,deR）圖象的一

部分，飛機(jī)模型整個(gè)降落過程始終在同一個(gè)平面內(nèi)飛行，且飛機(jī)模型開始降落和落地時(shí)降落曲線均與水平

（1）確定該飛機(jī)模型的降落曲線方程;

（2）求開始下降點(diǎn)與所能允許的最小值（精確到0」，后23.87）.

汕尾市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測

答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（參考）數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的。

12345678

cBADAADC

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9101112

ADACDCDACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

13.014.1674015.616.-

4

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.解：（1）先排2名航天科學(xué)家，然后再插入3名宇航員，.?.一共有A；A；=12（種）排法.

人排成一排一共有A：=120（種）排法,

121

；.3名宇航員互不相鄰的概率為P=——=一..............................................（4分）

12010

A2A1

（2）①當(dāng)2名航天科學(xué)家之間有3名宇航員時(shí)，［=2?=--,...........................（6分）

'A-10

C；A：A；A；_1

②當(dāng)2名航天科學(xué)家之間有2名宇航員時(shí)，《=（8分）

113

故尸=<+月=——+--—,

'210510

3

；.2名航天科學(xué)家之間至少有2名宇航員的概率為，.......................................（10分）

10

18.解：（1）由已知得asinB=JOcosA,

由正弦定理，得a=2RsinA,b=2RsinB,R為ZXABC外接圓的半徑,

/.sinA-sinBsinB-cosA...........................................................（2分）

*/sinBH0,tanA=>/3...............................................................（4分）

又Aw（0,7l）,A=y...................................................................（6分）

說明：3分點(diǎn)"tanA=J^”也可表達(dá)為sinA-百cosA=0,得sin|A-1）=O）

TT

（2）由（1）知4=一，又；a=2,

3

故由余弦定理a?=力2+c?-2/>c-cosA,得匕2+，-/?。=4①..........................（8分）

由題意知S2BC=g"c-sinA=石，即bc=4②.....................................（10分）

聯(lián)立①②得〃+/=8,（b+c）2=b2+c2+2bc=16,故b+c=4.......................。2分）

19.解：（1）設(shè)從正方形ABCD開始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和為S”）.

由題意知兒=1+（,+出+?

（2分）

1023

（4分）

712

2

1023

...從正方形ABCD開始，連續(xù)10個(gè)正方形的面積之和為10............................（5分）

512

（2）由題意知4=1,且/+]=；%（〃￡N*）,..............................................（6分）

1（1丫

???數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，一為公比的等比數(shù)列，則為=-（〃￡N*）....................（7分）

2v27

（1、〃-]

（注：直接得出q=一（〃EN*）不扣分）

v2/

/]

令"〃=〃?%=〃?—,從而（=々+打+&+…+〃.

法一：錯(cuò)位相減法

4-nx—②.（9分）

3

②-①，得T“=+,■

/?x—=4-(〃+2)x|—.....................................................................(12分)

法二：裂項(xiàng)相消法

20.法一：傳統(tǒng)法

（1）證明：連接AC,交BO于點(diǎn)。，連接E。，如圖.

...四邊形ABCO為正方形，...0為線段AC的中點(diǎn).

又是PC的中點(diǎn)，E。為△E4C的中位線，...........................................（1分）

EO//PA.

又EOu平面BDE,PAa平面BOE,

7W平面................................................................（4分）

(2)證明：?.?在△「口)中，PD=CD,且E為PC的中點(diǎn)，

PCIDE.

PD±底面ABCD,PDu平面PCD,

...平面43CO，平面PCD.

?..平面ABC。平面PC￡>=CD,BCu平面ABC。，且BCLCD,

8C_L平面PCD.

???DEu平面PCD,

BCYDE.

又,：PCBC=C,PC,BCcPBC,：.DE±￥?PBC......................................................6分

P8u平面PBC,ADELPB.

又,；EF人PB,且DEEF=E,DE,EFu平面DEF,

平面DEF.............................................................8分

(3)解：由(2)知，PB_L平面DEF,：￡>Fu平面。EF,

DF±PB.

又：Dbu平面PBO,EEu平面PBC,平面PBC平面PBD=PB,

NEFD為二面角C—PB—。的平面角....................................................9分

不妨設(shè)正方形ABC。的邊長為1,

1J2

：.DE=-PC=—

22

又?.?在RtaPB。中，PD=1,BD=&,PB=y/3,

PDBD_46

：

.DF=PB~~i'

：￡>E_L平面PBC,Efu平面P8C,防，

故在RtzXDEF中，sinZEFD=—=—..............................................11分

DF2

?；ZEFDe1°，^J，?*,々FD=y,

TT

平面PBC與平面心。的夾角的大小為二..................................................12分

3

法二：向量法

(1)證明：由題意知D4,DC,。尸兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x

軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CD=PD=\..........................1分

連接AC,交BO于點(diǎn)。，連接E0.

由題意得A(1,O,O),P(O,O,1)，

?..四邊形ABC。為正方形，二。為線段AC的中點(diǎn)，故。............................2分

APA=(1,O,-1),EO=(；,0,—g],；.PA=2EO,即EO〃%.

又???￡Ou平面92平面3￡)石，；.以〃平面5。石...................................4分

(2)證明：；B。,1,0),二P8=(l,

<22；22

ADELPB....................................................................................................................................................6分

由題意知石尸J_PB,且。EEF=E,DE,EFu平面DEF,

PB_L平面DE尸..........................................................................8分

(3)解：由(2)知，依_1_平面。底尸，：￡>?<=平面。瓦',

DF±PB.

又：OEu平面P6O,萬戶u平面PBC,平面PBC平面

...NEED為二面角C—PB—O的平面角...................................................................................................9分

設(shè)P尸=4尸3(0<4<1),???DF=2DB+(l-2)DP=2(l,l,O)+(l-2)(O,O,l)=(2,2,l-2).

：ADFPfi=A+A-(l-A)=0,解得2=；,...............................................................

?DF±PB,10分

DF=3,3,3)

FDFE

cosZEFD-HH

?；ZEFDe[°，3々FD=1,

JT

...平面PBC與平面PSD的夾角的大小為一............................................................................................12分

3

21.解：(1):拋物線C:y2=2px(p>0)過點(diǎn)(4,26)(?！?),

.,.2p-a=4a.

XVtz>0,.,.2/?=4,故C的方程為V=4x..........................................................................(5分)

(2)設(shè)4(石,%)，5(x,,y2).

由(1)知，拋物線C的焦點(diǎn)為尸(1,0),

,直線AB的斜率為6,且過點(diǎn)尸，

.??直線AB的方程為y=6(x—1),...............................................................................................。分)

聯(lián)立]y=6(x-l),得3%2_[0*+3=0,則%+x=12.......................................................CO分)

y=4%,?3

.|10°16

??I|AD叫=%+々+〃=w+2=,

故線段AB的長度為3.............................................................................................................(12分)

3

22.解：⑴???降落曲線