高中數(shù)學排列組合題型歸納總結(jié)2

排列組合

L分類計數(shù)原理（加法原理）

完成一件事，有”類辦法，在第1類辦法中有町種不同的方法，在第2類辦法中有加2種不同的

方法，…，在第"類辦法中有“，種不同的方法，那么完成這件事共有：.=町+??；常種

不同的方法.

2.分步計數(shù)原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成〃個步驟，做第1步有犯種不同的方法，做第2步有鈾種不同的方法，…,

做第"步有”種不同的方法，那么完成這件事共有：|N=//x牙x兩種不同的方法.

3.分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別

分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。

分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件.

一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略

例1、.由0』,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).

解：由分步計數(shù)原理得C：C；A：=288

練習題：7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里,

問有多少不同的種法？

二.相鄰元素捆綁策略

例2、7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.

解：&&&=480

要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素

合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.

練習題：某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為20

三.不相鄰問題插空策略

例3.、一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序

有多少種？

解84：元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端

練習題：某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩

個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為30

四.定序問題倍縮空位插入策略

例4.、7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法

解:（倍縮法）對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列，然

后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：

（空位法）設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有用種方法，其余的三個位置甲乙丙

共有」_種坐法，則共有用種方法。思考:可獲讓甲乙丙就坐嗎？

（插入法）先排甲乙丙三個人，共有71中排法，再把其余4四人依次插入共有方法

定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理

練習題：10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法?

五.重排問題求募策略

例5.、把6名實習生分配到7個車間實習，共有多少種不同的分法

允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排

各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為M種

練習題：

1.某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)

目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為42

2.某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法

六.環(huán)排問題線排策略

例6.、8人圍桌而坐，共有多少種坐法？

解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把

圓形展成直線其余7人共有(8-1)!種排法即7!

C

一般地,n個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素

作圓形排列共有

練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120

七.多排問題直排策略

例7.、8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排,共有多少排法

解:,則共有種

練習題：有兩排座位，前排11個座位,后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座

位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346

八.排列組合混合問題先選后排策略

例8.、有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少不同的裝法.

苑頻:一個班有6名戰(zhàn)士，其中正副班長各1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種

任務,且正副班長有且只有1人參力口.則不同的選法有192種

九.小集團問題先整體后局部策略

例9.用123,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1,5在兩個奇數(shù)之間，這樣的五位

數(shù)有多少個？

解：共有A3㈤種排法

練習題：

1、計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一

品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為

2、5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰,女生也相鄰的排法有種’

十.元素相同問題隔板策略

例10.、有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案？

o|oololoololoo|o

IIIIiIi

將n個相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插

入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為

練習題：1、10個相同的球裝5個盒中，每盒至少一有多少裝法？

2、x+y+z+卬=100求這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù)

。東3

十一.正難則反總體淘汰策略

例11.、從0,1,2,3,456,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的

取法有多少種？

解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個數(shù)字中有5個偶

數(shù)5個奇數(shù)，所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有C；，只含有1個偶數(shù)的取法有，和為偶數(shù)

的取法共有C；C；+C￡再淘汰和小于10的偶數(shù)麗種，符合條件的取法共看運+C；-9

有些排列組合問題，正面直接考慮比較復雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的

反面，再從整體中淘汰.

練習題：我們班里有43位同學，從中任抽5人，正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的

抽法有多少種？

十二.平均分組問題除法策略

例12.、6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？

平均分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除以為均分

的組數(shù)）避免重復計數(shù)。

練習題：

1、將13個球隊分成3組，一組5個隊，其它兩組4個隊，有多少分法？

（鈉以/A：）

2、10名學生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組，有多少種不同的分

組方法？(1540)

3、某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安

排2名，則不同的安排方案有多少

90)

十三.合理分類與分步策略

例13.、在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人

伴舞的節(jié)目，有多少選派方法

解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研

究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種，只會唱的5人中只有1人選上唱歌人

員種，只會唱的5人中只有2人選壬畫:人員有C；C；種，由分類計數(shù)原理共有

+種。

解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分

步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的

始終。

練習題：

1、.從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生,

則不同的選法共有區(qū)

2、3成人2小孩乘船游玩,1號船最多乘3人,2號船最多乘2人,3號船只能乘1人，他們?nèi)芜x2只

船或3只船,但小孩不能單獨乘一只船，這3人共有多少乘船方法.(27)

十四.構(gòu)造模型策略

例14.、馬路上有編號為123,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關掉其中的3盞，但不能關掉相鄰的2

盞或3盞，也不能關掉兩端的2盞,求滿足條件的關燈方法有多少種？

解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有種

一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝

盒模型等，可使問題直觀解決

練習題：某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？

(120)

十五.實際操作窮舉策略

例15.、設有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi)，要

求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同，有多少投法

解：從5個球中取出2個與盒子對號有點種還剩下3球3盒序號不能對應，利用實際操作法,

如果剩下3,4,5號球,3,4,5號盒3耳衣裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號

球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法，由分步計數(shù)原理有2C；種

對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖

會收到意想不到的結(jié)果

練習題：1.同一寢室4人，每人寫一張賀年卡集中起來,然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀

年卡不同的分配方式有多少種？（9）

2.給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色,則不同的著色方法有72種

十六.分解與合成策略

例16.、30030能被多少個不同的偶數(shù)整除

分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2x3x5x7xl1x13,依題意可知偶因數(shù)

必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因數(shù)為：C；+C；+C；+C；+C；

十八.數(shù)字排序問題查字典策略

例18.、由0,1,2,3,4,5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復的比324105大的數(shù)？

解:N=28+2A：+A；+A；+A；=297

數(shù)字排序問題可用查字典法，查字典的法應從高位向低位查,依次求出其符合要求的個數(shù),

根據(jù)分類計數(shù)原理求出其總數(shù)。

練習:用0,123,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來，第71個數(shù)

是3140

排列組合易錯題正誤解析

例1從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺，其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,

則不同的取法有一種.

例2在一次運動會上有四項比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有

（）種.

（A）A：（B）43（C）34（D）

例3有大小形狀相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列