上海二中2023-2024學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

上海二中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題

注意事項(xiàng)

1.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知尸是拋物線/=8x的焦點(diǎn)，直線/是拋物線的準(zhǔn)線，則歹到直線/的距離為O

A.2B.4

C.6D.8

2.已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，若％=2,4=32,則%的值為()

A.8B.±8

C.16D+16

3.已知命題?：Vxe(O,+8),x>lgx,則p的否定是()

A.3X0e(0,+oo),x0<lgx0B.Vxe(0,-Ko),x<1g%

C.3x0e(0,+oo),x0>lgx0D.VJCe(0,+co),x<1g%

4.若x=l是函數(shù)"%)=1+雙—1)/的一個(gè)極值點(diǎn)，則/(光)的極大值為()

A.-eB.e-1

C.e2D.5e-2

5.等差數(shù)列｛%｝中，4+%1+。14=9,則前17項(xiàng)的和+。2+。3-----=。

A.OB.17

C.34D.51

6.已知等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，且％=2,830=14,則$4。=()

A.20B.30

C.40D.50

7.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-中，點(diǎn)P在截面上(含邊界)，則線段AP的最小值等于()

Cl

.22指

A?D.--------

33

C.V2D.逑

3

8.已知向量〃=(2,0,1)為平面a的法向量，點(diǎn)4(—1,2,1)在a內(nèi)，點(diǎn)2)在a外<,則點(diǎn)P到平面戊的距離為

（）

A至D.-------

513

「A/65D.迷

L?------

655

9.已知數(shù)列｛4｝中，囚=2,a“+i-則&=()

1

A.2B.一

2

1

C.-lD.——

2

10.設(shè)向量a=（x』,l）,Z?=（l,y,l）,c=（2,-4,2）,且aJ_c，b//c>貝“。+人|=（）

A.2A/2B.9

C.3D.4

11.若函數(shù)/（x）=Y—x—61nx,則/（x）單調(diào)增區(qū)間為。

A.f-co,jo（2,+oo）B.（0,2）

D.[o，|｝（2,+s）

C.（2,+8）

12.不等式(x+2)(x—3)>0的解集為()

A.｛x|xv-2或x>3｝B.｛x|x<-2｝

C.｛x|x>3｝D.｛X|-2<X<3｝

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2

13.已知雙曲線>2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳，心，p為雙曲線上一點(diǎn)，且/月產(chǎn)￡=90°,則八|的值為

14.已知點(diǎn)A（0,2）,點(diǎn)3是直線x+y=O上的動(dòng)點(diǎn)，貝!的最小值是

15.已知點(diǎn)尸是拋物線V=2x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)尸在y軸上的射影是M,點(diǎn)4,則的最小值是

16.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（X1，%）,^（々，上乂%%<°）是拋物線y2=4x上的兩點(diǎn)，且滿足次.茄=12，貝！I

%%=；若OM垂直于點(diǎn)M,且|MQ|為定值，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）記S,為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知％=-3,S4=0.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）求S“，并求S”的最小值.

18.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S,,且S,=3q「2.

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；.

（2）求數(shù)列｛3八的前〃項(xiàng)和7“.

19.（12分）如圖，在三棱柱ABC—A4G中，AB=AC=2,。為的中點(diǎn)，平面，平面ABC

(1)證明：AD1BB,.

(2)已知四邊形34GC是邊長(zhǎng)為2的菱形，且/用3c=60°,問(wèn)在線段CG上是否存在點(diǎn)E,使得平面EAO與平

面EAC的夾角的余弦值為巫，若存在，求出CE的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

5

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*-ax+a(aeR)

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間

21.(12分)已知直線丸：2x—y+l=0,/2:x+y-4=0,Z3:3x+4y=0,其中人與右交點(diǎn)為尸

(1)求過(guò)點(diǎn)尸且與A平行的直線方程;

(2)求以點(diǎn)尸為圓心，截6所得弦長(zhǎng)為8的圓的方程

22.(10分)為了了解高一年級(jí)學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測(cè)試，將所得數(shù)據(jù)整理后,

畫(huà)出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小長(zhǎng)方形面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組的頻數(shù)為12

(1)第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？

(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級(jí)學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？

(3)樣本中不達(dá)標(biāo)的學(xué)生人數(shù)是多少？

(4)第三組的頻數(shù)是多少？

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】根據(jù)拋物線定義即可求解

【詳解】由/=8x得。=4,所以尸到直線/的距離為，=4

故選：B

2、A

【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，設(shè)｛4｝的公比為4,

5

則出=%,4=2,a6=ax-q=32,

兩式相除可得/=16,所以/=4,

所以。4=。6,==32+4=8,

q"

故選：A.

3、A

【解析】直接根據(jù)全稱(chēng)命題的否定寫(xiě)出結(jié)論.

【詳解】命題。：V%e(0,+8),x>lgx為全稱(chēng)命題，故p的否定是：3x0e(0,+oo),x0<lgx0.

故選：A

【點(diǎn)睛】全稱(chēng)量詞命題的否定是特稱(chēng)(存在)量詞命題，特稱(chēng)(存在)量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題

4、D

【解析】先對(duì)函數(shù)/(光)求導(dǎo)，由已知廣。)=0,先求出。，再令r(x)=o,并判斷函數(shù)/(%)在其左右兩邊的單調(diào)

性，從而確定極大值點(diǎn)，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.

【詳解】因?yàn)?'(#=[9+(4+2卜+?！猯]e*,尸(1)=0,所以a=—l,

所以=(尤2-x—l)e",/⑺=(犬+x-2)e*,

令/'(尤)=0,解得x=-2或x=l,

所以當(dāng)％?-。,一2),/'(X)>0,“力單調(diào)遞增；

尤e(—2,1)時(shí)，/(%)<0,/(尤)單調(diào)遞減；

當(dāng)為?1,同,r(%)>o,〃龍)單調(diào)遞增，

所以/(%)的極大值為/(-2)=[(-2)2-(-2)-l]e-2=5e-2

故選：D

5、D

【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得。9,根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】數(shù)列｛g｝為等差數(shù)列，.??生+%1+為4=349=9,解得：%=3;

17（q+a17）

4+%+〃3-----H%7=17%—51.

2

故選：D.

6、B

【解析】利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為的,公比為q(q>O,qwl),則

q（1-4。

=2①

i-q,由5得l+4°+do=7,

囚（i-/。

=14②

i-q

即/°+，°_6=0,解得，°=2或豕°=_3(舍),

且代入①得3=-2,貝!!/°=16,

1-q

所以S40=』-----^=(—2)x(1—16)=30.

i—q

故選：B.

7、B

【解析】根據(jù)體積法求得A到平面43。的距離即可得

【詳解】由題意AP的最小值就是A到平面43。的距離

正方體棱長(zhǎng)為2,則45=5。=4。=2血，S慚=冬3》=20，

設(shè)A到平面\BD的距離為h,由V^ABD=匕MB。得

-X-X2X2X2=-X273/Z,解得(=第

3233

故選：B

8、A

【解析】先求出向量AP，再利用空間向量中點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.

【詳解】解：由題知，點(diǎn)4(—1,2,1)在a內(nèi)，點(diǎn)2)在a外，

所以AP=（2,0,—3）

又向量”=（2,0,1）為平面打的法向量

|”力|16

所以點(diǎn)P到平面a的距離為：d=—='=?

|n|A/55

故選：A.

9、A

【解析】根據(jù)數(shù)列的周期性即可求解.

【詳解】由。1=2,Q〃+I=1一■）得出=；,%=一1，%=2,

顯然該數(shù)列中的數(shù)從應(yīng)開(kāi)始循環(huán),數(shù)列的周期是3,

所以40-^3x3+1==2.

故選：A.

10、C

【解析】根據(jù)空間向量垂直與平行的坐標(biāo)表示，求得尤,y的值，得到向量。+6=（2,-1,2）,進(jìn)而求得卜+。|,得到答

案.

【詳解】由題意，向量a=（x,l.l）,Z?=（l,j,l）,c=（2,T,2）,

因?yàn)閍，c，可得a-c=2x—4+2=0,解得x=l，即a=

又因?yàn)?〃c，可得^二卷，解得尸一2,即〃=（L-2,1）,

可得a+b=（1,1,1）+（1,-2,1）=（2,-1,2）,所以k+"J=V4+1+4=3.

故選：C.

11、C

【解析】求出導(dǎo)函數(shù)/'（x）,令/'（力＞0解不等式即可得答案.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)〃力=必—九—61nx,所以/⑴―a=2廠ria〉。）,

XX

令/'（力＞0,得尤＞2,所以“力的單調(diào)增區(qū)間為（2,+8）,

故選：C.

12、A

【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法可得答案.

【詳解】由不等式(x+2)(x—3)>0可得％<—2或%>3

不等式(x+2)(x—3)>0的解集為{x|x<—2或x>3}

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】求得雙曲線的“，b,c,不妨設(shè)尸為雙曲線右支上的點(diǎn)，|尸品|=機(jī)，|尸尸2尸"，利用雙曲線的定義、余弦定理

列出方程組，求出機(jī)”即可.

2

【詳解】雙曲線5-9=1的a=2,b—1,c=#),

不妨設(shè)尸為雙曲線右支上的點(diǎn)，\PFy\=m,\PF2\^n,

則7律—〃=2。=4,①

由余弦定理可得4c2=m2+rT—2/17Z7cos90°=m2+n2=20>②

聯(lián)立①②可得加〃=2

故答案為：2

14、0

【解析】直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出

【詳解】線段AB最短時(shí)，AB與直線x+y=0垂直，

所以，|A4的最小值即為點(diǎn)A到直線x+y=0的距離，則\AB\m.a=J；］?=V2.

故答案為：拒.

9

15、-##4.5

2

【解析】由拋物線的定義可得歸閭=歸4-g,所以+的最小值轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PF|-g的最小值，由圖

可知|/列|+忸閔的最小值為從而可求得答案

【詳解】拋物線V=2x焦點(diǎn)/［J,。］,準(zhǔn)線為x=-;，

由拋物線的定義可得=|PF|-1,

所以|R4|+|PM=|PA|+|PF|—g2|Ab|—g,

因?yàn)榕鉚，嗚q,

所以IAP|=+(-4—0)2=5，

所以|以|+|9|=|"|+戶刊_；2仙司_；=5_；=?

當(dāng)且僅當(dāng)AP,/三點(diǎn)共線且p在線段.上時(shí)，取得最小值,

所以|以|+上閘的最小值為

9

故答案為：-

2

【解析】由拋物線的方程及數(shù)量積的運(yùn)算可求出X%，設(shè)直線45的方程為無(wú)二加丁+乙聯(lián)立拋物線方程，由根與系

數(shù)的關(guān)系可求出匕由圓的定義求出圓心即可.

22

【詳解】由。4-05=可/+%%=12,即々?字+%%=12,

解得為為=-24或％%=8(舍去).

設(shè)直線AB的方程為x=my+t.

x=my+t、

由2,，消去x并整理得＞-4my-4f=0,

、y=4x

.?.%+%=4m,%%=-4九

又以%=-24，1=6，

直線AB恒過(guò)定點(diǎn)N(6,0),

OM垂直4B于點(diǎn)M,

二點(diǎn)M在以O(shè)N為直徑圓上.

|MQ|為定值，

點(diǎn)。為該圓的圓心，又即0(3,0).

故答案為：—24;(3,0)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)an=2n-5

2

(2)Sn=n-4n,-4

【解析】(1)由％=-3,§4=0計(jì)算出公差，再寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可.

(2)直接用公式寫(xiě)出S“，配方后求出最小值.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)公差為d,由$4=0得4(4+%)=o,從而q+%=0,即2q+3d=0

2

又4=-3,：.d=2:q=q+(〃—l)d=2〃_5

【小問(wèn)2詳解】

由⑴的結(jié)論為=2〃-5,

n(—3+2n—5)

2

?e--=n—4n

229

.■.S?=(n-2)2-4,.,.當(dāng)〃=2時(shí)，S.取得最小值y.

18、(1)4=0|產(chǎn)；

3

(2)7；,=(2Z7-4)X(-)"+4.

【解析】⑴根據(jù)給定條件結(jié)合當(dāng)“22時(shí)，a“=S“-S,i探求數(shù)列｛%｝的性質(zhì)即可計(jì)算作答.

⑵由⑴求出nan,再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算作答.

小問(wèn)1詳解】

3

依題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?=S,—S“_i=(3凡一2)-(3々〃_1-2)=3為一3q_1，則為二萬(wàn)4_1，

當(dāng)〃=1時(shí)，%=，=3%-2,解得“1=1,

于是得數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)列，則a〃=(|)"T,

所以｛q｝的通項(xiàng)公式是4=(|尸.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)可知，=nx(|)""1,

則〈=1x(|)°+2x(I)1+3x(|)2+…+〃義(|尸，

因此|〈=1x(1)1+2x(|)2+3x(|)3+…+(“—1)x(|尸+“x(?”,

!-(_)?

兩式相減得：一；(=(卞。+§)'+g)2+§)'+…+g)"T_"xg)"=---------HX(-)"=-2+(2-n)x(—)/,,

1-2

于是得￡=(2%一4)><(1)"+4,

所以數(shù)列｛nan｝的前〃項(xiàng)和Tn=(2〃-4)x(|)"+4.

19、(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在，1

【解析】(1)由面面垂直證明線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.

【小問(wèn)1詳解】

VAB=AC,且。為BC的中點(diǎn)，AAD1BC,

因?yàn)槠矫鍮31GC，平面A3C,交線為BC,AD1BC,A。u面ABC,

所以AO上面34clC,

因?yàn)锽B]u面BBGC,

所以A。，5A.

【小問(wèn)2詳解】

假設(shè)存在點(diǎn)E,滿足題設(shè)要求

連接用。，與。，?.?四邊形為邊長(zhǎng)為2的菱形，且/B|3C=60。,

.旦3。為等邊三角形，

?.?。為5c的中點(diǎn)

/.B.DYBC,

?.?平面平面A3C,交線為3C,BQu面BB￡C,

所以與。，面ABC,

故以。為原點(diǎn)，DC,DA,。用分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系

q

X

R

則D（0.0,0）,A（O,AO）,C（I,O,0),q(2,0,73),CC,=(1,0,A/3)

設(shè)CE=XCC1（O<X<1）,AC=（1,-73,0),AE=AC+CE=(l+2,-^,V32)

、n-AE=0(1+Ayx—y/3y+s[3A,z=0

設(shè)面AED的一個(gè)法向量為n=（x,y,2

7[n-DA=Q[島=0

令Z=]+2,則〃=+彳）

m-AE=0(1+A)x—yf3y+y/3Az=0

設(shè)面AEC的一個(gè)法向量為m=（x,y,?),貝！「，

[m-AC=0[x-s/3y=0

令z=-l,則根=（百」,T）

m-nI-3A-1-AI/

設(shè)平面EAD與平面EAC的夾角為3,貝(1cos。IlI-----------------:

M\\NV5X^3A2+(1+A)5

解得：2=(,故點(diǎn)E為CC中點(diǎn)，所以CE=1

20、(1)y=2

(2)答案見(jiàn)解析

【解析】(1)根據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率，切點(diǎn)在曲線上可得切線方程；

(2)求導(dǎo)，分類(lèi)討論可得.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=e'-x+l,/(0)=e°+l=2,

/,(x)=eJC-l,貝！|/'(O)=O,所以在％=0處的切線方程為y=2

【小問(wèn)2詳解】

/(x)=ev-ax+a,f'^x)=ex-a,

當(dāng)aWO時(shí)，/。)>0,函數(shù)f(無(wú))在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，令/'(%)=0,則x=lna,當(dāng)行(-8,1114)時(shí)，/(%)<0,/⑺單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(Ina,+8)時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增

..?當(dāng)時(shí)，/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一%+8),

當(dāng)a>0時(shí)，Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間為Qna,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,Ina)

21、(1)3x+4_y—15=0；

(2)(x-l)2+(y-3)2=25.

【解析】(1)首先求4、4的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)4的斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出過(guò)P且與4平行的直線方程;

(2)根據(jù)弦心距、弦長(zhǎng)、半徑的關(guān)系求圓的半徑，結(jié)合P的坐標(biāo)寫(xiě)出圓的方程.

【小問(wèn)1詳解】

2x-y+1=0|%=1

聯(lián)立44得：",可得：故尸(L3),

[x+y_4=0ly=3

33

又h的斜率為k=--,則過(guò)尸且與、平行的直線方程y-3=--(x-l),

4