廣東省揭陽(yáng)市普寧國(guó)賢學(xué)校2024屆高三年級(jí)上冊(cè)開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

M=lx∣x2-2x-3<θlN=∣Λ∣lg(x-2)<1).?r

1.已知集合?1>,'?,則MDN=()

A.{x∣2<x<12}B.∣Λ∣-1<X<12∣

C.{Λ∣-12<Λ<1}D.0

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合M、N,利用并集的定義可求得集合MDN.

【詳解】因?yàn)镸={x∣χ2-2χ-3<θ}={H-l<x<3},

N={x∣lg(Λ-2)<l}={Λ∣O<X-2<10}={X∣2<Λ<12},

因此，M?JN-{x∣-l<?<12∣.

故選：B.

2.已知復(fù)數(shù)Z=」±L,則復(fù)數(shù)Z的共規(guī)復(fù)數(shù)W=()

31-1

12.12.

A.--------1B.-----1—1C.

5555

【答案】D

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z,再由共輾復(fù)數(shù)的定義求得相

1+i(l+i)(3i+l)-2+4i12.-12

【詳解】Z=.=M‰4=F=M一不，則Z=M+7?

故選：D

7

3.已知CoSA+sinA=——,A為第四象限角，則tanA等于()

【答案】C

【解析】

【分析】通過(guò)(CoSA±51114)-=1±28&451114來(lái)實(shí)現(xiàn)知8$4+5?14求85/1'11/1,進(jìn)而可COSA,sinA.

則tanA可求.

7

【詳解】cosA÷SinA=------

13

(7Y120

，1+2COSASinA=-----可得2sinAcosA=-77^，

(13J169

2289

?,?(CoSA-SinA)"=1—2sinAcosA=-----.

v)169

,,17

??cosA-sιnAF=±——.

13

17

又A為第四象限角，「.CosA-SinA=—

13

7

又COSA+SinA=——

13

512

所以CoSA=—,SinA=——.

1313

12

所以tanA=-----.

5

答案：C.

4.草莓中有多種氨基酸、微量元素、維生素，能夠調(diào)節(jié)免疫功能，增強(qiáng)機(jī)體免疫力.草莓味甘、性涼，有

潤(rùn)肺生津，健脾養(yǎng)胃等功效，受到眾人的喜愛(ài).根據(jù)草莓單果的重量，可將其從小到大依次分為4個(gè)等

級(jí)，其等級(jí)X(X=I,2,3,4)與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷售單價(jià)＞(單位：元/千克)近似滿足函數(shù)關(guān)系式

y=em+h,若花同樣的錢(qián)買(mǎi)到的1級(jí)草莓比4級(jí)草莓多1倍，且1級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)為20元/千克,

則3級(jí)草莓的市場(chǎng)銷售單價(jià)最接近(參考數(shù)據(jù)：蚯=1.26，√4≈1,59)()

A.30.24元/千克B.31.75元/千克

C.38.16元/千克D.42.64元/千克

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

4.+/?

3

【詳解】由題意可知，^r=e0=1+1，解得e"=次，由e"+&=20.

可得e3β+fe=efl+z,?e20=ea+b?(en)2=20×(√2)2≈20×1.262≈31.75.

故選:B.

5.平面向量〃與。的夾角為60",2=(2,0),聞=1,則卜+2同等于()

A.√3B.2√3C.4D.12

【答案】B

【解析】

【分析】轉(zhuǎn)化為平面向的數(shù)量積可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镚=(2,0),所以∣αI=2,

,+2可=J(α+)=JlaF+44?H+41〃)=-j4+4×2×l×cos60+4=2百.

故選：B

6.已知(ax—2)(x+l)4的展開(kāi)式中/的系數(shù)為一2,則實(shí)數(shù)a=()

A.2B.-1C.1D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)('+I)"的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出Y的系數(shù)和Y的系數(shù)，再結(jié)合題意列式可求出α.

【詳解】(x+1)4的展開(kāi)式中/的系數(shù)為Cj=6,/的系數(shù)為C；=4,

所以(0x—2)(X+I)4的展開(kāi)式中X3的系數(shù)為6α—2X4=6g—8,

依題意得6cz—8=—2,得α=1.

故選：C

7.已知α=e='ln,2.8,c=SirlL則C的大小關(guān)系是（）

24

A.b>a>cB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】使用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)詞進(jìn)行化簡(jiǎn)放縮比大小，找到中間值~結(jié)合三角不等式

sinx<%<tan%<X<?πJ,判斷C與;的大小.

2

【詳解】=X得Q=e嗎=?,再由對(duì)數(shù)運(yùn)算log/"="log/可得b=gln√∑8=?ln2.8>?.

當(dāng)工∈(θ,］］時(shí)，令/(x)=SinA-%,則廣(X)=CoSvθ,

所以〃x)=SinL尤在［0,5)遞減，則/(x)</(0)=0.

所以sim<x,c=sin—<一，故b>α>c.

44

故選：A

22

vV

8.已知雙曲線C?2Γ-W=1(Q>0∕>0),0為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，K為雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸為雙曲線

ah

上一點(diǎn)，若IP用=3歸段,|0尸|=。，則雙曲線。的方程可以為()

222

A.21-√.1B.匕一工=1

424

2222

C.匕-二=1D.匕-工=1

34164

【答案】B

【解析】

abb2

――,再根據(jù)點(diǎn)P在雙曲線上求雙曲線方程.

CC

【詳解】設(shè)K為雙曲線的下焦點(diǎn)，居為雙曲線?的上焦點(diǎn)，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作PHL于點(diǎn)H.

因?yàn)镮P周=3IP閭,I尸制TPH=幼,所以IP閭=α,

因?yàn)镮Pol=Ho周=c,

所以仍居「+|POI2=/+/=。2=[0閭2,所以？OPK9(),

故JoPI?∣p閭=；|。閭?∣HP∣,得∣"P∣=?.

因?yàn)楱O“O∣2+∣"P∣2=∣op∣2,所以Wa=生,

將PEYf代入雙曲線.X2

=1中，

42422

?-β?-2β=θX-^--2=O,∣b^--2Y?b+Xθ,

aa'IaaΛaJ

h2b2

解得勺=2或%=-1(舍去)，故B項(xiàng)正確.

a^a~

故選：B.

二、多選題

9.下列說(shuō)法中，正確的命題有()

A.A知隨機(jī)變量自服從正態(tài)分布N(2,A)，P("4)=0.84,則P(2<J<4)=0.34

B.以模型y=cT'去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)Z=Iny,求得線性回歸方程為

z=0.3x+4,則c，%的值分別是/和0.3

C.若事件A與事件B互斥，則事件A與事件8獨(dú)立

D.若樣本數(shù)據(jù)%,乙，,x∣o的方差為2，則數(shù)據(jù)2玉一1,2工2-1,?,2x∣OT的方差為16

【答案】AB

【解析】

【分析】由正態(tài)分布可判斷選項(xiàng)A,由計(jì)算可判斷選項(xiàng)B,根據(jù)互斥事件和獨(dú)立事件的概念可以判斷選項(xiàng)

C,由方差的計(jì)算公式可以判斷選項(xiàng)D.

處包0.34

【詳解】P(O<J<4)=2P(J<4)-I=O.68,P(2<J<4)=

2

故A正確;

設(shè)Z=Iny,求得線性回歸方程為)=o.3χ+4,則Iny=O.3x+4=y=/⑶+,=?e°M,故CM的值

分別是e4和0.3,故B正確；

若事件A與事件B互斥，則事件4與事件8不獨(dú)立，故C錯(cuò)誤；

若樣本數(shù)據(jù)玉,工2，，XK)方差為2,則數(shù)據(jù),2%-1的方差為8,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.已知數(shù)列｛0,,｝的首項(xiàng)為4,且滿足2(〃+1)4=〃《+](〃∈N*),則()

A.，為等差數(shù)列B.｛4｝為遞增數(shù)列

C.｛叫的前〃項(xiàng)和S.=(〃-1)2"+2+4D.[券｝的前"項(xiàng)和7；=穹W

【答案】BCD

【解析】

【分析】由2(〃+1)4一〃4+1=0得4也=2*%，所以可知數(shù)列[巴4是等比數(shù)列，從而可求出

?+1n[n)

n+

an=n-2',可得數(shù)列｛0,,｝為遞增數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法可求得｛0,,｝的前〃項(xiàng)和，由于

-?-=生莽=n,從而利用等差數(shù)列的求和公式可求出數(shù)列｛黑｝的前"項(xiàng)和.

2〃2"12J

【詳解】由2(〃+1)?！耙唤杏?0得也=2x%,

π+1n

所以IAL｝是以:=q=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)榻M=4x2"T=2"∣,所以α,,="?2"+∣,顯然遞增，故B正確；

n

23n+34n+2

g∣^jSn=l×2+2×2++n?2',2S,,=l×2+2×2++n?2,

n+lΠ+2

所以一S“=1X2?+2'++2-n-2=2-(T)_小γ,+2,

1-2

故S“=(〃-1)X2"+2+4,故C正確；

因?yàn)?=巴羿=〃，所以r]的前〃項(xiàng)和Z=型土包=E±2,

2,,+l2π+'[2n+'Jn22

故D正確.

故選：BCD

【點(diǎn)晴】本題是等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用題，涉及到遞推公式求通項(xiàng)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，等

差數(shù)列前八項(xiàng)和等，需要很強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及對(duì)概念的熟悉運(yùn)用能力.

11.已知函數(shù)/(x)=bi∏X+∣cosΛI(xiàn)-Sin2x-l,則下列說(shuō)法正確的是()

A./(元)是以兀為周期的函數(shù)

B.直線χ=?∣是曲線y=∕(χ)的對(duì)稱軸

C.函數(shù)/(x)的最大值為0,最小值為血-2

2023

D.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(O,MTr)上恰有2023個(gè)零點(diǎn)，則U"<M<1012

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)周期函數(shù)定義判斷A即可；根據(jù)函數(shù)對(duì)稱軸定義判斷B即可；由A知.f(χ)是以π為周期的函

數(shù)，所以根據(jù)求解/(X)在區(qū)間［0,兀］上的最大值即可判斷選項(xiàng)C,利用/(x)在區(qū)間［0,兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即

可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?(X+兀)=/(X),

所以Ax)是以兀為周期的函數(shù)，故A正確；

對(duì)于B,W∕(π-x)=∣sinx∣+∣cosx∣+sin2x-l≠f(x),故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由A知只需考慮/(x)在區(qū)間［(),兀］上的最大值，

當(dāng)x∈0,—時(shí)，令f=sinx+cosx=V∑sin∣x+巴I,

L2jI4J

貝IkG(X)=-2SinXCOSX-Sin%-cos2x+f=-/+t=u(t),

易知"(f)在區(qū)間口,&］上單調(diào)遞減，

所以/(%)的最大值為H(I)=0，最小值為Ue)=亞-2；

當(dāng)XWlE,π時(shí)，令f=sinx—CoSX=J∑sin∣x一巴I,

(2」I4；

則fe［l,√∑］"Q)=d+/-2=兇)，

易知v(f)在區(qū)間［1,&］上單調(diào)遞增，

所以/(X)的最大值為v(√2)=√2,最小值為V(I)=O,

綜合可知：函數(shù)/(x)的最大值為、歷，最小值為、反一2,故C正確;

對(duì)于D,因?yàn)?(x)是以兀為周期的函數(shù)，

可以先研究函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，易知/(兀)=0，

當(dāng)x∈0,］時(shí)，令/0)=〃?)=-產(chǎn)+，=0,解得f=o或1,

兀π(π3π

因?yàn)樵?;∈—

44144

則/=J∑sinX+-=0在區(qū)間上無(wú)解,

I4

∕u=J∑sin(x+:J=I在區(qū)間(θ,^?上僅有一解X=I,

當(dāng)x∈［,兀時(shí)，令/。)=雙6=/+，-2=0,解得，=一2或1,

π

因?yàn)閄—二∈

4

則1=夜5布(工一；)=一2在區(qū)間(5，兀)上無(wú)解，

r=J∑sin(x-()=1在區(qū)間(］?,7τ匕也無(wú)解，

Tr

綜合可知：函數(shù)/(χ)在區(qū)間(0,兀］上有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為χ=5和X=兀,

又因?yàn)?(x)是以兀為周期的函數(shù)，

所以若〃eN*，則/(X)在區(qū)間(0,nπ］上恰有2〃個(gè)零點(diǎn),

又已知函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,Mn)上恰有2023個(gè)零點(diǎn),

2023

所以——<M≤1012,故D正確.

2

故選：ACD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查命題的真假判斷，利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)行分類討論是解決本

題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCo-AB￡A中，點(diǎn)M，N分別在線段AQ和4G上.給出下列四

個(gè)結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.MN的最小值為2

4

B.四面體NMBC的體積為一

3

C.有且僅有一條直線MN與垂直

D.存在點(diǎn)M,N,使AWBN為等邊三角形

【答案】ABD

【解析】

【分析】由公垂線的性質(zhì)判斷A；由線面平行的性質(zhì)判斷B；舉反例判斷C；設(shè)OM=04

(0≤2≤2),GN=Mo≤f≤2),由等邊三角形三邊相等，判斷D.

【詳解】對(duì)于A：

因?yàn)锳BCo-ASGR是正方體，

所以CR1平面ADD1A1,CQl_L平面BCC,

又因?yàn)锳Dt?平面ADDtA],BGU平面BCC1B1,

所以C1P1±ADl,C1D1±B1C1,即C1D1是AD1與S1C1的公垂線段，

因?yàn)楣咕€段是異面直線上兩點(diǎn)間的最短距離，

所以當(dāng)M,N分別與A，C重合時(shí)，MN最短為2,故A正確；

對(duì)于B：

因?yàn)锳BCD-AAGR是正方體，

所以平面ADD1A〃平面BCCtBt,且AAU平面ADD,A1,

所以A0∣平面NBC,

可知，當(dāng)點(diǎn)M在AA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M到平面M5C的距離不變，距離〃=2,

由B￡〃BC可知，當(dāng)點(diǎn)N在與G上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N到BC的距離不變，

所以一NBC的面積不變，

1114

所以VW-N8C=§SNBC^=3X5X2X2X2=§，所以B正確；

對(duì)于C：

當(dāng)M,N分別與口,G重合時(shí)，MNLADI；

當(dāng)"為AA中點(diǎn)，N與用重合時(shí)，MN工AD∣,所以C錯(cuò)誤;

對(duì)于D：如圖以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以。A。。,。A所在直線為％,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)〃M=√^l(0≤4≤2),GN=/(0<f≤2),

則M(4,0,2—4),N(t,2,2),B,(2,2,2),B(2,2,0),

Mfi2=(2-Λ)2+4+(2-Λ)2,

8解=4+(2τ>,

MN2=(λ-t)2+4+λ2,

因?yàn)锳WBN為等邊三角形,

由MB2=MN'

42-4

得(2—/1)2+4+(2-/1)2=(χτy+4+yl2,得8—8/1=—2加，即r=-----,

由BN?=MB?,得4+(2—=(2-2)2+4+(2-A)2，

則2F=2(2-A)2,即(4-2)2(2-%)=o,解得X=夜或;1=2,

λ—y/2Λ=2

即《或V故D正確;

r=4-2√2t=2

故選：ABD.

三、填空題

13.函數(shù)/(X)=卜，WJ/(/(-2))=___.

[log2x,X〉0

【答案】2

【解析】

【分析】由解析式先求/(一2),再求/(/(一2))即得.

【詳解】因?yàn)?(一2)=(-2)2=4,所以/(/(—2))=∕(4)=log24=2.

故答案為：2

L，兀'

14.已知7gsin6=l+7cos夕則sin2。+:=________.

V6J

97

【答案】77

98

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式可得sin(e-g]=],再根據(jù)二倍角與誘導(dǎo)公式求解即可.

I6J14

【詳解】7百Sine=I+7CoSe即14gsinl-]cos6=1,故sin("1]=1.

I22JV6；14

故COs(26-&]=1-2si∏2一工]=巴.

I?jIβj98

則sin[lθ+工]=sin(26—生+工]=cos[lθ--'j=—.

161132ylI3)98

97

故答案為：?—

15.已知函數(shù)/(x)=e*—g(x)=x-lnx-m,若函數(shù)g(x)存在零點(diǎn)2023,則函數(shù)/(x)一定存在零

點(diǎn)七,且Xo=.(只寫(xiě)一個(gè)即可)

【答案】ln2023

【解析】

【分析】由函數(shù)g(x)存在零點(diǎn)2023求得m值，代入函數(shù)/(x)=e'-x-根，再求解方程e'-x—m=0

得答案.

【詳解】?g(x)=xTnX一m存在零點(diǎn)2023,

.?.x=2023是方程X-InX—∕%=0的根，即2023—In2023—/%=0,

所以機(jī)=2023-In2023.

由/(x)=e?v-x-m=0,得e*-x-2023+ln2023=0,

得ev-x=2023-In2023=e'n2023-ln2023，

即X=In2023一定是方程e*—x-〃2=0的一個(gè)根，

也就是函數(shù)/5)一定存在零點(diǎn)馬，且Xo=In2023.

故答案為：In2023.

16.一個(gè)球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直

徑被截后的線段叫做球缺的高.球缺的體積公式為丫=§兀(3/?-”)"2,其中A為球的半徑，”為球缺的

高.2022北京冬奧會(huì)的吉祥物“冰墩墩”(如圖1)深受廣大市民的喜愛(ài)，它寓意著創(chuàng)造非凡、探索未來(lái)，體現(xiàn)

了追求卓越、引領(lǐng)時(shí)代，以及面向未來(lái)的無(wú)限可能?它的外形可近似抽象成一個(gè)球缺與一個(gè)圓臺(tái)構(gòu)成的組合

體(如圖2),已知該圓臺(tái)的底面半徑分別4和2,高為6,球缺所在球的半徑為5,則該組合體的體積為

【解

【分析】求出球缺的高，根據(jù)球缺的體積公式以及圓臺(tái)的體積公式，即可求得答案.

【詳解】由題意知圓臺(tái)的體積為％=g(16π+4兀+8π)x6=567i,

如圖可知5AB=4,則球心到圓臺(tái)上底面的距離為√52-42=3，

故球缺的高為5+3=8,

1C448

故球缺的體積為％缺=-π(15-8)×82=-y-π,

448616

所以組合體的體積為V=匕擷+噓=亍兀+56兀=F-兀,

一…》616

故答案為：---71.

3

四、解答題

17.已知等差數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，記5.為數(shù)列｛q,｝的前〃項(xiàng)和，q=l,且生，S3,64成等比數(shù)歹∣J?

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

,1,、1

(2)若么=^—,數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和為北，求證

anan+t2

【答案】(1)a,,=2n-l

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)由等差數(shù)列基本量的計(jì)算直接求得;

(2)由裂項(xiàng)相消法求出｛2｝的前"項(xiàng)和η,即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)等差數(shù)列伍“｝的公差為d,且d>0,

Q?,S3,64成等比數(shù)列，

**S3=。2,。|4，

.?.(301+3d)?=?+4)(4+13d),

.q=1,且α>0,.?.d=2,

.?.dfj=q+(〃—l)d—1+2(〃—1)—2〃-1；

【小問(wèn)2詳解】

證明.^?=—1—=1(_,___L)

zι

"?"anan^(2π-l)(2n+l)22n-?2n+?'

T"1、1/1、1,11、

n2323522n-l2〃+1

=；叫)+《［)+???+Gr舟］

—?<L

22n+↑24n+l2

18.已知銳角一ASC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,m-(2c,acosB+bcosA).

n-(?/?,sinA),且〃/〃〃，且滿足α=G?

(1)求角A的大??；

(2)求一ABC周長(zhǎng)的取值范圍.

【答案】(1)A=I

(2)(3+√3,3√3］

【解析】

【分析】(1)由向量平行得2csinA=√J(αcosB+bcosA),利用正弦定理化邊為角整理得

2sinCsinA=WsinC,即可得出答案；

(2)由正弦定理得6=2sinB,c=2sinC,可得α+8+c=G+2氐抽18+J利用三角函數(shù)的性質(zhì),

即可得出答案.

【小問(wèn)1詳解】

由m〃n可得2csinA-百(αcosB+Z2cosA)=0，

即2csinA=拒(acosB+bcosA),

由正弦定理得2sinCsinA=G(SinAcosB+sinBcosA).

故2sinCsinA=bSin(A+B),整理得至∣J2sinCSinA=GSinC，

因?yàn)椤Ｊ莀ABC的內(nèi)角，所以SinC*0,sinΛ=-

2

TrJr

因?yàn)?<4<2，所以A=Z.

23

【小問(wèn)2詳解】

ab

因?yàn)榍姚??/?，A=5

sinAsinBsinC

所以人=2sin3,c=2sinC.

所以。+〃+C=6+2(sin3+sinC)=6+2sinB+sin

=√3+3sinB+√3cosB=√3+2√3sinlB+,

τt2τrπ

因?yàn)開(kāi)ABC為銳角三角形，所以0<8<一且0<——B<-,

232

則武匿)所以嗚《落｝si"吒1鳥(niǎo)1

y∣3+2?∕3sinfB+-^J∈(3+√3,3√3],即α+0+c∈(3+ΛΛ,3ΛΛ],

故_ABC周長(zhǎng)的取值范圍為(3+百,3月］.

19.如圖所示，在三棱錐尸—ABC中，已知/%_!_平面ABC，平面A4BJ_平面PBC.

(1)證明：BCl平面B4B：

(2)若Q4=AB=6,BC=3,在線段PC上(不含端點(diǎn))，是否存在點(diǎn)。，使得二面角5—C的

余弦值為姬，若存在，確定點(diǎn)。的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

5

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)存在；。是PC上靠近。的三等分點(diǎn)

【解析】

【分析】(I)過(guò)點(diǎn)A作A￡_L依于點(diǎn)E，由面面垂直性質(zhì)定理可得AEL平面PBC,由此證明AE_L3C,

再證明P4"L6C,根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論：

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面AQD,平面4h的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件

列方程確定點(diǎn)。的位置；

【小問(wèn)1詳解】

過(guò)點(diǎn)A作AE_LPB于點(diǎn)E，

因?yàn)槠矫鍼A3_L平面PBC,且平面PABC平面PBC=P8,AEU平面Q45，

所以AEL平面尸BC,

又BCU平面P6C,所以ΛEL3C,

又Q4，平面ABC,BCU平面PBC,

所以R4"LBC,

又因?yàn)锳EPA^A,AE,PAU平面∕?B,

所以BCl平面B4B?

【小問(wèn)2詳解】

假設(shè)在線段PC上(不含端點(diǎn))，存在點(diǎn)。，使得二面角5—AD—C的余弦值為典,

5

以B為原點(diǎn)，分別以8C、84為X軸，V軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,6,0),B(0,0,0),C(3,0,0),P(0,6,6),

Ae=(3,-6,0),AP=(0,0,6),PC=(3,-6,-6),BA=(0,6,0),

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為m=(x,?z),

m?AC=0,[3x-6γ=0,

即《取X=2,y=l,z=0,

m?AP-0,[6z=0,

所以機(jī)=(2JO)為平面ACo的一個(gè)法向量，

因?yàn)?。在線段尸C上(不含端點(diǎn))，所以可設(shè)PO=ZlPC=(3%-64-6/1),0<Λ<l,

所以Ar)=AP+PO=(34-6Λ,6—64),

設(shè)平面ABZ)的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n?BA-0,[6>,=0,

?即4./人\

n.Az)=0,[32X-6λy+(6-6λ)z=0,

取1=24—2,y=。，z=4,

所以〃=(22—2,0")為平面ASD的一個(gè)法向量，

/?2×(2Λ—2)+l×0+0×Λ

CGSmn)=、，，，又0<a<1，

√5×√(22-2)^+Λ2

2×(2Λ-2)√iθ

由已知可得亍一I,、，，=一一丁

√5×√(2∕l-2)^+Λ25

2

解得/1=—或2=2(舍去)，

3

所以，存在點(diǎn)。，使得二面角3-AD—C的余弦值為巫,

5

此時(shí)。是PC上靠近C三等分點(diǎn).

20.某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、

女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生40

女生30

合計(jì)

（I）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？

（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門(mén).已知這兩名男生進(jìn)球的

概率均為I,這名女生進(jìn)球的概率射，每人射門(mén)一次，假設(shè)各人射門(mén)相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)X

的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：_______Mad-知____

(4+0)(c+d)(α+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān);

（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為??.

6

【解析】

【分析】（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，再與臨界值表比對(duì)作答.

（2）求出X的可能值，求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，2x2列聯(lián)表如下：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生6040100

女生3070100

合計(jì)90110200

零假設(shè)”0：該校學(xué)生喜歡足球與性別無(wú)關(guān),

200(60×70-30×40)2

Z2的觀測(cè)值為Z2=

?18.182>10.828=x0001,

IOOXlOOX90x110

根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷Ho不成立,

所以有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).

【小問(wèn)2詳解】

依題意，X的可能值為0,1,2,3,

911221215

P(X=O)=(I))2χ(i)=P(X=l)=C^×-(l--)×(l--)+(l--)2×-=-.

JZ1oJJZ?Z1o

,2212?1842912

P(X=2)=C2×-(1--)X-+(-)X(1--)=-=-,P(X=3)=(-)X-=-.

所以X的分布列為:

XO123

1542

P

Ts99

I54211

數(shù)學(xué)期望E(X)=OX—+lx-+2x—+3x—=—.

1818996

21.已知橢圓C：W+W=l(a>b>0)離心率為立，點(diǎn)(絲］在橢圓。上.

ab-3133J

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)點(diǎn)N(2,0)的直線與橢圓。交于AB兩點(diǎn)，求SAa的最大值.

2

【答案】(OLυ+χ2=1

3

(2)在

2

【解析】

【分析】(1)由離心率為逅，求得"=3〃，設(shè)橢圓方程c：E+￡=l,代入求得〃的值，即可求

33b1b2

解；

??nO

(2)設(shè)&√X="y+2,聯(lián)立方程組，得到%+%=——?—，%μ=力—,利用點(diǎn)到直線的距離

3〃+13n~+1

∣36(n2-1)

δ

公式和弦長(zhǎng)公式，求得Saob=λ-—-T,結(jié)合基本不等式，即可求解.

^(3n2+l)^

【小問(wèn)1詳解】

解：由橢圓C的離心率為手，可得￡=Ji上=旦,可得/=3〃，

a23

22

vx(2√2、

設(shè)橢圓方程C:工?+2=ι,將點(diǎn)?,--代入方程，可得從，

272=1

3bbI33>

、,2

故方程為匕+V=1.

3

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)/"：=町+且

X2A(Λ1,γl),B(x2,y2),

X=ny+2/??

聯(lián)立方程jy2+J_3'整理得0"+1x)y+⑵)'+9=O，

??八―?12n9

由△>()，可得〃2_1>0，且πy+%=一丁2「Xy2=°,I，

3n+13n~+1